Конспект по математике на тему "Ряды"

Ряды

При решении ряда математических задач, в том числе и в приложениях математики в экономике, приходится рассматривать суммы, составленные  из бесконечного множества слагаемых. Задача суммирования бесконечного множества слагаемых решается в теории рядов.

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность  чисел ; ;…;…  соединенных знаком сложения: 

 

Числа    называются членами ряда, а член общим или n-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член функция  натурального аргумента.

Например, ряд с общим членом     имеет вид

 Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда записать общий член.

Пример:  

 Рассмотрим  суммы конечного числа членов  ряда:

Сумма n  первых членов ряда  называется n – й частичной суммой ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.,

Число  называется суммой ряда.

Можно записать:  

Если конечного предела не существует, то ряд называется расходящимся.

Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена    при  равен нулю, т.е.

Пример.  Исследовать сходимость ряда

Решение. Значит, ряд расходится.

Замечание. Рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но недостаточный признак сходимости ряда. Если  то из этого еще не следует, что ряд сходится.

Пример   1+1/2+1/3+…+1/n+…, - гармонический ряд. 

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда  с положительными членами существует предел отношения (n+1) –го члена к n-му  члену:

 

Тогда, если  то ряд сходится; если же  то ряд расходится;  то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Замечание.   , то ряд расходится.

Пример. 1. Исследовать сходимость ряда

Решение

 по признаку Даламбера ряд сходится.

2. Исследовать сходимость ряда

Решение