Конспект урока дистанционного обучения по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: Тела вращения. Цилиндр

Конспект урока дистанционного обучения

по дисциплине ОУД.04 Математика

Тема: Тела вращения. Цилиндр

Мы изучили группу тел, которые называются многогранниками: призма, пирамида, усечённая пирамида. Научились решать задачи на эти тела, вычислять их объёмы, площади поверхности, строить сечения многогранников и находить площади этих сечений.

Сегодня начинаем знакомство с другой группой тел, которые называются телами вращения.

Определение. Телом вращения  называется геометрическая фигура, которая получается при вращении некоторой плоской фигуры вокруг оси вращения l.

К телам вращения относятся цилиндр, конус и шар.

Цилиндр

Определение. Цилиндром называется тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон.

                                                                     Элементы цилиндра:

                                     H = OO₁- высота цилиндра

                                                                     L = AA₁ = BB₁ = CC₁-образующая цилиндра

                                                               R = OA= OB - радиус основания цилиндра

Развертка цилиндра

Боковая поверхность цилиндра в развёртке даёт прямоугольник А, одна из сторон которого является образующей L цилиндра, которая равна высоте цилиндра H, а другая сторона прямоугольника равна длине окружности l, основания цилиндра:    l = 2πR

 

Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна  площади прямоугольника А:

   S_{бок пов цил}= 2πR•H.    - где R- радиус основания; H - высота цилиндра.

Площадь основания цилиндра

Площадь основания цилиндра равна площади круга:   S_осн=πR²  

где R - радиус основания цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и площадей двух равных оснований:  S_{полн пов цил}= S_бок + 2•S_осн

Тогда имеем:

S_{полн пов цил}= 2πRH+ 2•πR²    или  S_{полн пов цил} = 2πR•(H+R)

Объём цилиндра

Объём цилиндра равен произведению площади его основания на высоту цилиндра:

V_цил = S_осн • H, где H = OO₁ - высота цилиндра, или  V_цил = πR² • H

Примечание: По форме цилиндр напоминает прямую n - угольную призму, более того, при nпризма становится цилиндром! Поэтому формула объёма цилиндра такая же, как у призмы.

Сечение цилиндра плоскостями

1. Осевое сечение цилиндра

Осевое сечение цилиндра - это сечение, которое получается, если цилиндр пересекает плоскость, проходящая через ось цилиндра О.

                                                     l= О - ось цилиндра;

                                                     Прямоугольник AA₁B₁B - осевое сечение цилиндра

Одна сторона прямоугольника - это образующая  AA₁ = L= H -высота цилиндра, а другая сторона прямоугольника - это диаметр основания цилиндра  AB = 2R.

Площадь осевого сечения цилиндра

Площадь осевого сечения цилиндра равна площади прямоугольника AA₁B₁B:

S_{осев сеч} = 2R • H

2. Перпендикулярное сечение цилиндра

Перпендикулярное сечение - это сечение, которое получается, если цилиндр пересечён плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра l = О.

В сечении получается круг, который параллелен и равен основаниям цилиндра.

Площадь перпендикулярного сечения цилиндра:

                                         

                                         S_{перпен.сеч} πR²,  где R- радиус основания цилиндра

3. Если секущую плоскость провести и параллельно оси цилиндра, но на расстоянии d от оси l, то в сечении также получится прямоугольник, одна из сторон которого равна образующей цилиндра L, а другая сторона является хордой AB окружности основания цилиндра: 

                                                                             

   AB - хорда круга;

             d = OM, где OM ⊥AB

Тогда площадь этого сечения будет меньше, чем площадь осевого сечения цилиндра: S_сеч = = AA₁ • AB, где AA₁ = L=H -высота цилиндра.

Задача № 1

Найти площадь осевого сечения цилиндра, радиус основания которого равен 10 см, а высота цилиндра равна 20 см.

Дано:                                   

Цилиндр

R =10 см - радиус основания

H = 20 см - высота цилиндра

Найти: S_ос.сеч - ?

Решение:

1)      Осевым сечением цилиндра является прямоугольник AA₁B₁B, у которого:

AA₁ = H=20 см и AB = 2R = 2 • 10= 20 см.

2)      Найдем площадь осевого сечения цилиндра:  S_{ос. сеч} = AA₁ • AB

         S_ос.сеч = 20 • 20 = 400 (см²)

Ответ: S_{ос. сеч} = 400 см²

Задача 2. В цилиндрический сосуд. в котором находится 6  воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза.

Чему равен объём детали?

                                         

Решение

Обозначим  высота водяного столба начальная и - после погружения детали. Водяной столб имеет форму цилиндра, объём цилиндра

Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза (, а площадь основания цилиндра не изменилась, то и объём увеличился в 1,5 раза,  т.е. стал равен   

Следовательно, объём детали равен 

Ответ:

Заключение

 Изучили тело вращения цилиндр, узнали основные расчётные формулы:

;   ; 

площадь полной поверхности цилиндра;

- объём цилиндра;

- площадь осевого сечения цилиндра;

- площадь перпендикулярного сечения цилиндра.

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы:

Основные источники:

1. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.— 162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»

2. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2018.

Дополнительные источники:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.

2. Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.

3. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. : Российский государственный университет правосудия, 2015

Аннотация

В период дистанционного обучения сложность у обучающихся при изучении нового материала возникает из-за отсутствия прямого контакта с преподавателем. Данный конспект учебного занятия по дисциплине ОУД.04 «Математика» для обучающихся СПО первого курса по теме «Тела вращения. Цилиндр» поможет студентам обратить внимание на важные моменты, в том числе, и с помощью цветовых акцентов; научиться решать задачи на "цилиндр"; систематизировать теоретический материал по данной теме.

Краткое описание документа:

В период дистанционного обучения сложность у обучающихся при изучении нового материала возникает из-за отсутствия прямого контакта с преподавателем. Данный конспект учебного занятия по дисциплине ОУД.04 «Математика» для обучающихся СПО первого курса по теме «Тела вращения. Цилиндр» поможет студентам обратить внимание на важные моменты, в том числе, и с помощью цветовых акцентов; научиться решать задачи на "цилиндр"; систематизировать теоретический материал по данной теме.