Конспект урока элективного курса по комбинаторике на тему " Решение задач на подсчёт числа размещений ."

Урок 5. Тема " Решение задач на подсчёт числа размещений ".

Цель: повторить понятие «размещение из n элементов по k», формулу, учить её применять к решению задач, формировать умение различать понятия перестановка и размещение.

1. Организационный момент.

2. Устный счёт.

      Вопросы:

1.Что такое перестановка?

2.Чему равно число различных перестановок из n предметов?

3.Что такое факториал натурального числа?

4.Чему равно 1!, 2!, 4!, 5!?

5.Составьте задачу, в которой надо найти число различных перестановок.

(машины на ремонте в автосервисе)

6. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

(3!=6)

7. Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Есть ли сходство между 6 и 7 задачами?

( в 6-ой: из 3-х элементов по 3  перестановка из n по n;

в 7-ой: из 3-х элементов по 2  размещения из n по k)

3. Актуализация опорных знаний.

-Мы встретились со случаем, где нужно выбрать из n элементов любые k и расставить их на  k мест. Как  называются  такие комбинации? (Размещениями из n элементов по k и обозначатся .)

-Повторите правило.

(Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.)

(Для учителя: размещения отличаются друг от друга как составом элементов, выбранных в комбинацию, так и их расположением).

-Вспомним формулу подсчёта числа размещений:

Как  и для перестановок количество размещений можно найти по правилу умножения: на первое место ставим любой из n имеющихся элементов, на 2-ое – любой из (n-1) оставшихся элементов и т.д. пока не заполнятся все k мест, т.е.

;

4. Закрепление. (Для детей, хорошо усвоевших  материал, карточки)

№1. Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в  эстафете 4x100 м, побежит на первом, вто­ром, третьем и четвертом этапах?

Решение.

Выбор из 12 по 4 с учетом порядка:

 способов.

Ответ: 11880 способов

 №2. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8 ?

Решение.

а)  Выбираем 4 цифры из 5 данных; порядок выбора имеет значение:

чисел.

б)  Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноль.

   Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем  «нулевых»  комбинаций, которые недопустимы.

   Количество четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно:

 чисел.

   Можно рассуждать, непосредственно используя правило про­изведения: первый выбор - 4 варианта, второй выбор - 4 варианта (включая ноль),  третий выбор - 3 варианта, четвертый выбор - 2  варианта. Всего 4*4*3*2= 96 чисел.

Ответ: а) 120 чисел; б) 96 чисел.

Карточки.

I вариант	II вариант
№1. На странице альбома 6 свободных мест для фо­тографий. Сколькими способами можно вложить в свободные мес­та: а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий? Решение. а) Выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме:  способов.	№1 . На странице альбома 6 свободных мест для фо­тографий. Сколькими способами можно вложить в свободные мес­та: а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий? Решение. б) Выбираем 4 места для фотографий из 6: способов.
№2. На станции 7 запасных путей. Сколькими спосо­бами можно расставить на них 4 поезда? Решение. Выбираем из 7 запасных путей 4 пути для размещения на них поездов; порядок выбора имеет значение:  способов. Ответ: 840 способов.	№2.  В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Выбор из 10 по 5 с учетом порядка:  способов. Ответ: 30240 способов.

5. Обсуждение домашнего задания.

Задача 1. Из 30 участников собрания надо выбрать предсе­дателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Из 30 элементов выбираем 2, причем порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно  способов.

Ответ: 870 способов.

Задача  2. Сколькими способами 6 студентов, сдающих эк­замен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноме­стных столов?

Решение.

Выбираем 6 столов для студентов из 20 имеющихся: порядок выбора учитывается  (кто сидит у окна, кто около преподавателя,

и т. п.):

 способов.

Ответ: 27 907 200 способов.

Задача 3.  Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Решение.

Выбираем из 10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля).

Используя метод исключения лишних вариантов, получаем:

544 320 номеров.

Ответ: 544 320 телефонных номеров.

6. Рефлексия.

-Сегодня я решал…

-У меня получилось..

-Я умею…

-Я знаю…