-
Здравствуйте, ребята!
Посмотрите
на рисунок и скажите, что за объемные фигуры изображены на рисунке?
-Дайте
определение многогранника.
-Какие
из изображенных многогранников вам известны?
-На
какие две группы можно разделить эти многогранники?
Какие
многогранники называют выпуклыми? Определим, какие многогранники будут
выпуклыми, а какие невыпуклыми. Почему 3,6,7 невыпуклые?
-
Что мы знаем о сумме всех плоских углов при каждой вершине выпуклого
многогранника?
-
Какая фигура лежит в основании данного многогранника?
-Чему
равна сумма углов в многоугольнике?
-
Давайте подсчитаем, чему равна сумма всех углов в правильном шестиугольнике?
Каждого угла шестиугольника?
Это
нам сегодня понадобиться для изучения новой темы.
- Однажды
Л.Н. Толстой сказал: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные
фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое
симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?».
-С
симметрией мы встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту.
Мы
часто видим симметричные творения природы (листья, цветы, птицы, животные)
или творения человека (здания, техника) - все то, что окружает нас каждый
день. В быту: молотки, рубанки, лопаты, трубы. Мы смотрим на себя в зеркало и
видим, что части нашего лица симметричны друг другу. По улицам ездят
автомобили, автобусы, правая и левая части которых симметричны. Таким
образом, симметрия бывает не только на плоскости (кленовый лист), но и в
пространстве (лицо).
Ребята,
для начала вспомним такие понятия, как симметрия относительно точки,
симметрия относительно прямой, которые мы изучили на плоскости.
-Какие
же точки называются симметричными относительно точки?
При
этом точку О называют центром симметрии.
- Сформулируйте
определение точек симметричных относительно прямой.
При
этом прямую а называют осью симметрии.
По
аналогии с симметрией на плоскости определятся симметрия в пространстве.
Симметрия тесно связана с многогранниками.
Цель
нашего урока: расширить знания о симметрии и многогранниках.
Тему
урока мы запишем в процессе заполнения таблиц.
|
На
рисунке изображены многогранники.
Поверхность,
составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое
тело, называют многогранником.
Правильная
призма (1), наклонная призма(4), пирамида треугольная (2), пятиугольная (5).
На
выпуклые и невыпуклые многогранники.
Многогранник
называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой
его грани.
Выпуклые:1,2,4,5,
невыпуклые:3,6,7.
Сумма
всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .
В
основании данного многогранника лежит правильный шестиугольник.
Сумма
углов в многоугольнике равна .
Сумма
всех углов в правильном шестиугольнике равна . Каждый угол равен .
Точки и называются симметричными
относительно точки О, если О - середина отрезка .
Точки называются симметричными относительно
прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.
|
(слайд 1)
(слайд
2)
(слайд 3)
(слайд 4)
(слайд 5)
(слайд 6)
(слайд
7 -11)
(слайд 12)
(слайд 13)
|
-
Как было сказано выше, по аналогии с симметрией на плоскости определятся
симметрия в пространстве. Поэтому в процессе работы заполним следующую канву –
таблицу.
Мы
вспомнили определение точек симметричных относительно точки. Попробуйте
сформулировать такое определение только для симметричных точек в
пространстве.
Чем
будет точка О?
-
А как формулируется определение точек симметричных относительно прямой в
пространстве?
Чем
будет являться прямая а?
-
В пространстве существует понятие точек симметричных относительно плоскости.
Попытайтесь дать определение.
Значит,
плоскость- плоскость симметрии.
Итак,
точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии
фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке
той же фигуры.
Таким
образом, в пространстве помимо центральной и осевой симметрии, которые есть
на плоскости, добавляется зеркальная симметрия.
-Оказывается
у некоторых многогранников тоже есть центр, ось и плоскость симметрии,
которые называют элементами симметрии этого многогранника.
-Рассмотрим
два многогранника: куб и параллелепипед. Куб называют правильным
многогранником. Давайте выясним почему?
Давайте
подсчитаем, сколько ребер сходиться в каждой вершине куба, параллелепипеда.
Чем
являются грани этих многогранников?
Особо
важно, что все грани куба равны между собой, а у параллелепипеда не все грани
равны между собой.
Таким
образом, куб будем относить к правильным многогранникам.
-
Посмотри на следующий рисунок. Давайте попробуем определить является ли одна
из этих пирамид правильным многогранником. Действуем по той же схеме
(определяем число ребер сходящихся в каждой вершине, вид граней и их
равенство).
Попробуйте
дать определение правильного многогранника.
Определение.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные
многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и тоже число ребер.
-
Возникает вопрос, сколько граней, являющихся правильными многоугольниками,
может сходиться в одной вершине, чтобы в результате получился правильный
многогранник.
Давайте
подсчитаем, а полученные результаты будет сравнивать с , так как по теореме, которую мы
вспоминали в начале урока сумма всех плоских углов при каждой вершине
выпуклого многогранника меньше .
1.
Рассмотрим правильный треугольник. Сколько градусов равен каждый угол? Подсчитаем
сумму плоских углов при вершине треугольника, если:
а)
в каждой вершине сходится три грани;
Сумма
меньше , значит, такой правильный многогранник
может быть.
б)
в каждой вершине сходится четыре грани;
Сумма
меньше , значит, такой правильный многогранник
может быть.
в)
в каждой вершине сходится пять граней;
Сумма
меньше , значит, такой правильный многогранник
может быть.
г)
в каждой вершине сходится шесть граней;
Сумма
равна , противоречит теореме. Следовательно,
такого многогранника не может быть.
2.
Рассмотрим правильный четырехугольник – квадрат. Сколько градусов равен
каждый угол? Подсчитаем сумму плоских углов при вершине квадрата, если:
а)
в каждой вершине сходится три грани;
Сумма
меньше , значит, такой правильный многогранник
может быть.
б)
в каждой вершине сходится четыре грани;
Сумма
равна , противоречит теореме. Следовательно,
такого многогранника не может быть.
3.
Рассмотрим правильный пятиугольник. Сколько градусов равен каждый угол?
Подсчитаем сумму плоских углов при вершине квадрата, если:
а)
в каждой вершине сходится три грани;
Сумма
меньше , значит, такой правильный многогранник
может быть.
б)
в каждой вершине сходится четыре грани, очевидно, что сумма равна , противоречит теореме. Следовательно,
такого многогранника не может быть.
Если
будем рассматривать правильный шестиугольник, то сумма плоских углов при
каждой вершине, в которой сходится три грани, будет равна . Это тоже противоречит теореме.
Исходя
из наших расчетов, можно сделать предположение, что не существует
многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники. Верно ли
это предположение?
-Ответ
на этот вопрос дает следующая теорема. Сформулируем и докажем ее.
Теорема. Не
существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные
шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6.
Доказательство:
1. Угол
правильного n-угольника
при n6 не меньше . Почему? (обратить внимание учеников на
подсчеты в начале урока).
2. При
каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов.
Поэтому
если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники
при n6, то сумма плоских углов при каждой
вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Это невозможно. Почему? (так как
сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .
Из
этого условия сделаем следующий важный вывод: каждая вершина
правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти
равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных
пятиугольников. Других возможностей нет.
В
соответствии с этим выводом получаем следующие виды правильных
многогранников:
1. правильный
тетраэдр;
2. правильный
октаэдр;
3. правильный
икосаэдр;
4. куб;
5. правильный
додекаэдр;
Немного
из истории.
Одно
из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате
Платона «Тимаус» (427 -347 до н.э.). Поэтому правильные многогранники также
называют «платоновыми телами». Каждый из правильных многогранников, а их
всего пять, Платон ассоциировал с четырьмя «земными» элементами: земля (куб),
вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «неземным»
элементом – небом (додекаэдр).
Рассмотрим
виды правильных многогранников и их элементы симметрии, заполняя следующую
канву-таблицу (см. приложение). Эту таблицу мы заполним не полностью, продолжим
заполнение на уроке – семинаре.
|
Точки и называются симметричными
относительно точки О, если О - середина отрезка .
Точка О
– центр симметрии.
Точки называются симметричными относительно
прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.
Прямая а
– ось симметрии.
Точки называются симметричными относительно плоскости
, если плоскости проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.
По три
ребра в каждой вершине.
Грани
куба – квадраты (правильные многоугольники), грани параллелепипеда –
прямоугольники (неправильные многоугольники).
Обсуждение
предложенных вариантов.
Каждый
угол в правильном треугольнике равен .
Если в
каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна .
Если в
каждой вершине сходится четыре грани, то сумма плоских углов при вершине
равна .
Если в
каждой вершине сходится пять граней, то сумма плоских углов при вершине равна
.
Если в
каждой вершине сходится шесть граней, то сумма плоских углов при вершине
равна .
Каждый
угол в квадрате равен .
Если в
каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна .
Если в
каждой вершине сходится четыре грани, то сумма плоских углов при вершине
равна .
Каждый
угол в правильном пятиугольнике равен .
Если в
каждой вершине сходится три грани, то сумма плоских углов при вершине равна .
Так как
угол в правильном шестиугольнике равен , следовательно, меньше угол правильного n-угольника
при n6 быть не может.
Сумма
всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше
|
Симметрия
|
На
плоскости
|
В
пространстве
|
|
|
|
|
(слайд
14)
Заполненная
канва – таблица:
Симметрия
|
На
плоскости
|
В
пространстве
|
Две
точки называются симметричными относительно данной точки (центра
симметрии), если данная точка является серединой соединяющего их отрезка.
|
Точки
А и А1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если
прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.
|
|
Точки
А и А1 называются симметричными относительно плоскости α (плоскость
симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и
перпендикулярна к этому отрезку.
|
(слайд 15)
(слайд 16)
(слайд 17)
(слайд
18)
(слайд
19)
(слайд
20)
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.