Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе "Решение показательных уравнений"

Решение показательных уравнений.

Цель: познакомить учащихся с основными методами решения показательных уравнений; учить применять свойства показательной функции при решении показательных уравнений, познакомить с однородными показательными уравнениями и методом их решения.

1.Устный счёт.

1. Вычислить: =0,4; = ; = ; = 8;

=2; = 27; = 3; = .

2. Представьте в виде степени:

16 125.

2.Объяснение нового материала.

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.

Современные обозначения степени с натуральным показателем ввел в XVII веке Декарт. Первым систематически стал использовать рациональный показатель Ньютон. Немецкий математик М. Штиффель (1487 – 1567) дал определение = 1, при ≠0 и ввёл название «показатель» (буквенный перевод с нем. Exponent).

Показательная функция и показательные уравнения находят важнейшее применение при изучении природных и общественных явлений.

m = −радиоактивный распад (изменение количества вещества в зависимости от t)

Уран-238 =4,5 млрд. лет

Земля – 5-7 млрд. лет. В наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества.

− период полураспада.

Определение: показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени.

Учащиеся работают на заранее подготовленных бланках, заполняют таблицу, записывают решения уравнений.

Основные виды показательных уравнений

=b

(>0, ≠ 1)

Если b>0, то представьте b как , запишите уравнение в виде = и решите уравнение = с.

= 0,5

Если b≤0, то уравнение корней не имеет.

= −1

=

(>0, ≠ 1)

Решите уравнение

= .

=

=

(>0, ≠ 1),

(>0, ≠ 1),

Разделите обе части уравнения на :

= 1

=

Решите уравнение

= 0.

=

Основные методы решения показательных уравнений

Идея решения: сведение данного уравнения к одному или нескольким уравнениям основных видов.

Методы решения:

• Представление обеих частей уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

• Представление обеих частей уравнения в виде степеней с одинаковыми показателями;

• Замена переменной.

Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми основаниями

2.Решите уравнение вида:

=.

+3−1,5=2,5

+3−4=0

=−4

=1

3.Запишите ответ.

Ответ: −4; 1.

Ответ: 2.

Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми показателями

=

=

2.Решите уравнение вида:

=.

= 1

=

1−0,5=0

3.Запишите ответ.

Ответ: 2.

Ответ: 1,5.

Метод замены переменной в показательных уравнениях

31∙∙2−8=0

16∙−62∙−8=0

2.Приведите все степени к одному основанию.

16∙−62∙−8=0

3.Сделайте замену переменной.

Замена: =

16∙−62∙−8=0

4.Решите полученное уравнение.

8−31=0

=4; =−

5.Сделайте обратную замену и решите уравнение =b

1)=4; =2

2)=− ; корней нет.

6.Запишите ответ.

Ответ: 2.

Ответ: 0.

Типовое задание.

−−

−=1

Ответ: 2.

Ответ: 1.

Однородное показательное уравнение.

Однородными показательными уравнениями называются уравнения, которые можно привести к виду:

A+B+C=0 или

А+B+C+D и т.д.

В эти уравнения степени входят с двумя различными основаниями, но с одинаковыми показателями степеней всех входящих в них одночленов.

Метод решения: деление уравнения на одну из наивысших степеней и замена переменной.

4∙−13∙∙+9∙=0

4∙−13∙∙+9∙=0

2.Разделите уравнение на одну из наивысших степеней.

Разделим уравнение на >0 :

4∙− 13∙+9=0

3.Сделайте замену переменной.

Замена:

4.Решите полученное уравнение.

4−13+9=0

=1; =

5.Сделайте обратную замену и решите простейшее показательное уравнение.

1) =1; =0

2) = ; =−2

6.Запишите ответ.

Ответ: −2; 0.

Ответ: −3.

Типовое задание.

Решите уравнение:

3∙+37∙−269∙=0.

Самостоятельная работа.

Обязательная часть. Решить уравнения:

Дополнительная часть:

+16=10∙

+=3

−=0.

Итоги урока. Домашнее задание.

1. Учебник Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень)11 класс, А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов, §12,разобрать решения примеров 4,5,6.

2. Задачник Алгебра и начала математического анализа(профильный уровень)11 класс под редакцией А.Г.Мордковича, решить примеры №12.4(в,г), 12.6(в,г), 12.7(в,г), 12.11(в,г),12.14(в,г).

Краткое описание документа:

Урок «Решение показательных уравнений» в 11 классе рассчитан на 2 академических часа. Используемый учебник «Алгебра и начала математического анализа»11 класс (профильный уровень), авторы А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов; задачник «Алгебра и начала математического анализа» 11 класс (профильный уровень), авторы А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Л.И.Звавич, Т.А.Корешкова, Т.Н.Мишустина, А.Р.Рязановский, П.В.Семёнов. В разработке приведены основные виды показательных уравнений и методы их решения. Учащиеся работают самостоятельно: знакомятся с теорией, разбирают алгоритмы решения показательных уравнений разных видов, затем решают подобные задания по образцу, соблюдая все этапы решения, чётко следуя инструкции. Заканчивается урок самостоятельной работой, в которую включены основные виды показательных уравнений. Сильным ученикам предлагаются дополнительные задания.