Конспект урока по математике на тему "Решение задач на смеси и сплавы" (9 класс)

Урок по теме

Решение задач на смеси и сплавы

Цели урока:

- Обобщить решение задач на сплавы, растворы и смеси различными способами.

- Воспитывать интерес к предмету, обращая внимание на аккуратность, - дисциплинированность и самостоятельность.

Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.

Развивать  творческие способности обучающихся.

План урока:

1.     Организационный момент (сообщение необходимости решения задач на смеси и сплавы, связь темы урока с КИМами  ГИА по математике).

2.     Актуализация опорных знаний .

- Что называется процентом?

- Как найти проценты от данного числа?

- В цехе работают 60 человек, из них 30 % женщины. Опре­делите, сколько женщин работает в цехе.

О т в е т: 18 женщин.

-  Как найти  число по его процентам?

- Найдите размер вклада, 25 % которого составляют 150 тыс. руб.

О т в е т: 600 тыс. руб.

- Как найти  процентное отношение двух чисел?

 Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг ру­ды приходится 34, 2 кг меди?

Ответ: 15,2 %.

3.     Закрепление материала (решение задач на смеси, растворы и сплавы разными способами).

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике ГИА.

«Закон сохранения объема или массы»

Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V₁ + V₂ – сохраняется объем; m = m₁+ m₂ – сохраняется масса.

Например,  если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди.

Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.)

Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси. Часто относительное содержание вещества в смеси называют концентрацией или процентным содержанием. Сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1. Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4.

Сегодня на уроке мы решим задачи на смеси и сплавы не только традиционным способом, но и рассмотрим старинные методы решения таких задач.

ЗАДАЧА №1.

Решить алгебраическим способом.

Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение.

Пусть масса первого раствора – х г, тогда масса второго (600 - x). Составим и решим уравнение.

           0,3х+0,1(600-х)=0,15∙600

0,3х+60-0,1х=90

0,2х=30

х=150

150  г- масса 30% - го раствора

600-150=450(г)- масса 15% - го раствора

Ответ: 150г, 450 г.

Рассмотрим  старинный способ решения задач на сплавы и смеси. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л.Ф.Магницкого.

Приведём старинный способ решения задачи №1.

Друг под другом пишутся  содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислот в растворе, который должен получиться после смешивания.  Соединив написанные числа чёрточками, получим такую схему:

Рассмотрим пары 15 и 30; 15 и 10. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получится такая схема:

Из неё делается заключение, что 30 %-ного раствора следует взять 5 частей, а 10 %-ного  _  15 частей,

1)   5+15=20 – всего частей

2)   600:20=30(г) – приходится на 1 часть

3)   5 ∙ 30=150(г)- 30% - го раствора

4)   15*30=450(г) - 10% - го раствора

 т.е. для получения 600г  15%-ного раствора нужно взять30 %-ного раствора 150 г, а 10 %-ного – 450 г.

Нужно отметить, что старинный способ решения задач на смешивание (сплавление) двух веществ всегда позволяет получить правильный ответ.

Данную задачу можно решить, применяя квадрат Пирсона.

Для этого необходимо нарисовать квадрат провести две диагонали.

В левом верхнем углу  ставят больший показатель  крепости исходных веществ а, а в нижнем углу-второй показатель b, на пересечении диагоналей записывают  требуемый показатель  с.

      Затем производят вычитание по первой диагонали а - с и находят количество второй части  у. Из  центра производят вычитание по второй диагонали  c - b  и находят количество  первой части смеси x . Значения x  и y записывают по одной линии с показателями. На x  частей  первого вещества надо взять y частей второго вещества, тогда  получится смесь с показателем с.

a-c=x                  c-b=y

Для нашей задачи:

 y=a – c = 30 – 15 = 15

 x=c – b = 15 - 10 = 5,

 то есть на 5  массовых частей  первого раствора  надо взять 15 частей первой.

      Этот способ основан на специфическом виде количества получаемой смеси, оно равно разности показателей  исходных веществ. Такое допущение  вполне возможно, так как нас интересуют не абсолютные величины, а относительные количества двух частей смеси.

      В самом деле, мы получаем:

x + y = (c – b) + (a + c) = a – b

частей смеси. «Чистого» вещества в ней будет

 частей,

а крепость смеси будет равна %             

ЗАДАЧА №2.

Решить задачу алгебраическим способом , а затем старинным.

   В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65-й кислоты?.

Решение.

      Алгебраический способ.

   Пусть x (г) – масса 50%-й кислоты, тогда y (г) – масса 70%-й кислоты,

             0,5x г – масса чистой кислоты в первом растворе,

             0,7y г – масса чистой кислоты во втором растворе,

            ( x+ y) г – масса смеси,

            0,6 (x+ y) г – масса чистой кислоты в смеси.

  Составим и решим уравнение.

            0,5x + 0,7y = 0,65 (x + y), | : y ≠ 0

            0,5  + 0,7 = 0,65  + 0,65

            0,15 = 0,05,  

             = ,

             = ,

     x : y = 1 : 3.

  Ответ: 1 : 3.

Старинный способ.

Решение.

Нарисуем схему, из которой видно, что

 

  для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении 5 : 15 = 1 : 3.

ЗАДАЧА №3.

Решить задачу с помощью квадрата Пирсона.

Сколько граммов 30 % - го раствора надо добавить к 80 г 12 % раствора этой же соли, чтобы получить 20 % раствор соли?

Решение.

Значит, всего надо взять 30% раствора и 12% раствора.

1 часть составляет 8 г, значит 8 частей  содержат 64 г

Ответ: 64 г.

ЗАДАЧА №4.

Решить задачу старинным способом.

Имеются два раствора 68% и 78%- ной серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 100 г.70% -ного раствора серной кислоты?

Решение.

Составим схему

1)    78-70=8

2)    70-68=2

3)    8+2=10 –всего частей

4)    100:10=10(г) – составляет 1 часть

5)    2 ∙ 10=20(г) - 78%-ного  раствора серной кислоты

6)    8∙ 10=80(г) - 68%-ного  раствора

Ответ: 80 г и 20 г.

ЗАДАЧА №5.

Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Решение.

Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему:

Получаем: (864 – х): (х – 600) = 75: 150

1728 – 2х = х – 600

х = 776.

Ответ: сплав 776-й пробы.

ЗАДАЧА №6

Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

Решение.

Пусть x-количество кислоты, y – концентрация.

Решим задачу с помощью квадрата Пирсона.

12-y=y-20

2y=332

y=16

Ответ: концентрация получившейся соляной кислоты равны 16%.

Самостоятельно решить задачи любым способом.

ЗАДАЧА №1.

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? (140г меди и 60г свинца)

ЗАДАЧА №2.

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля? (100 т и 40 т)

4.     Итоги урока. Домашнее задание.

1.    Решить задачи любым способом.

№1. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы поучить из них новый сплав, содержащий 50% меди? (1:2)

№2. При приготовлении маринада для консервирования смешали 10%- ный и 25%- ный растворы соли и получили 3кг 20% -ного раствора.
Какое количество каждого раствора (в кг) было использовано? (1кг

 и 2кг)

№3. Смешали 8кг 18 % раствора некоторого вещества с 12 кг 8 % раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

2.     Придумать и решить задачу  на смеси и сплавы.