Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме: "Простейшие тригонометрические уравнения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока по теме: "Простейшие тригонометрические уравнения"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Простейшие тригон.уравнения.doc

библиотека
материалов

Урок-лекция по теме «Arccosα, аrcsinα, аrctgα, аrcctgα»

Учебная задача:

Открыть формулы корней простейших тригонометрических уравнений с помощью числовой окружности;

Диагностируемые цели:

Ученик знает:

  • определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа;

  • формулы нахождения корней простейших тригонометрических уравнений;

умеет:

  • находить корни уравнений cosx=a, sinx=a и т.д. по формулам;

  • находить значение arccosα, arcsinα, arctgα и arcctgα для табличного значения а

понимает:

  • происхождение нового обозначения;

  • роль видовых отличий понятий: arccosα, arcsinα, arctgα и arcctgα.


Планирование

урока

Тема урока

Тип урока

Цели

1

Арккосинус. Решение уравнения cost=a

Урок-лекция

Ввести определение понятия арккосинуса и открыть формулу корней простейшего тригонометрического уравнения cost=a с помощью числовой окружности.

2

Арксинус. Решение уравнения sint=a

Урок-лекция

Ввести определение понятия арксинуса по аналогии с определением понятия арккосинуса и открыть формулу корней простейшего тригонометрического уравнения sint=a с помощью числовой окружности.

3

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgt=a, ctgt=a

Урок-лекция

Ввести определения понятий арктангенса и арккотангенса по аналогии с определением понятия арккосинуса и арксинуса, открыть формулу корней простейших тригонометрических уравнений tgt=a, ctgt=a с помощью числовой окружности.

4-5

Решение простейших тригонометрических уравнений

Урок решения задач

Отработать формулы корней простейших тригонометрических уравнений на примерах.


Урок-лекция по теме «Arccosα, аrcsinα, аrctgα, аrcctgα»


Мотивационно-ориентировочная часть:

Актуализация:

- Решим уравнение cost=hello_html_m3d4efe4.gif

- Чтобы решить уравнение cost=hello_html_m3d4efe4.gif , нужно вспомнить, что называется косинусом числа t.

(Косинусом числа t называется абсцисса точки единичной окружности, полученная поворотом точки (1, 0) вокруг начала координат на угол t.)

- Как можно переформулировать данную задачу?

(Найти на числовой окружности точки с абсциссой x=hello_html_m3d4efe4.gif и записать, каким числам t они соответствуют.)

- Значит, мы свели задачу к ранее известной . Решим ее.

(hello_html_mb689f5b.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_m7a155939.gif

M

L

hello_html_353dff75.gifСтроим единичную окружность. Строим прямую x=hello_html_m3d4efe4.gif, она пересекает

hello_html_m31c551c0.gif

hello_html_42c45ef8.gifhello_html_3b8a6ff7.gif

Р

N




числовую окружность в точках M и P . Точка M соответствует числу hello_html_e5bc990.gif, а значит и любым числам вида hello_html_e5bc990.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz. Точка P соответствует числу -hello_html_e5bc990.gif, а значит и любым числам вида -hello_html_e5bc990.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz. Ответ: t=hello_html_m78531b32.gifhello_html_e5bc990.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz.)

- Решим уравнение cost=-hello_html_m3d4efe4.gif. Переформулируйте эту задачу.

(Найти на числовой окружности точки с абсциссой x=-hello_html_m3d4efe4.gif и записать каким числам t они соответствуют.)

-Найдите решение.

(Строим прямую x=-hello_html_m3d4efe4.gif, она пересекает числовую окружность в точках L и N. Точка L соответствует числам вида hello_html_m331055b3.gif, hello_html_mfba543c.gifz. Точка N - числам вида -hello_html_m331055b3.gif, hello_html_mfba543c.gifz. Ответ: t=hello_html_m78531b32.gifhello_html_m331055b3.gif, hello_html_mfba543c.gifz.)

-Решим неравенства cost>hello_html_m3d4efe4.gif и cost<hello_html_m3d4efe4.gif. Рассмотрим первое неравенство.

-Переформулируйте задачу.

(Найти на числовой окружности точки с абсциссой x>hello_html_m3d4efe4.gif и записать, каким числам t они соответствуют.)

-Опять свели задачу к уже известной, решение которой не вызывает затруднений.

(Прямая x=hello_html_m3d4efe4.gif пересекает числовую окружность в точках M и P. Неравенству x>hello_html_m3d4efe4.gif соответствуют точки дуги PM с началом в точке P и концом в точке M при движении против часовой стрелки. Значит точка P соответствует числам вида -hello_html_e5bc990.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz,точка M соответствует числам вида hello_html_e5bc990.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz. Тогда решением является неравенство -hello_html_e5bc990.gif+2πk <t< hello_html_e5bc990.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz.)

-Рассмотрим неравенство cost<hello_html_m3d4efe4.gif. Нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой x<hello_html_m3d4efe4.gif и записать, каким числам t они соответствуют.

(Неравенству x<hello_html_m3d4efe4.gif соответствуют точки дуги MP с началом в точке M и концом в точке P при движении против часовой стрелки. Точка P соответствует числам вида hello_html_24003d37.gifk, khello_html_m289d78ff.gifz. Точка M соответствует числам вида hello_html_e5bc990.gif+2πk. Тогда решением является неравенство hello_html_m3718e2b1.gif)

Оформление тетради:

cost=hello_html_m3d4efe4.gif

cost>hello_html_m3d4efe4.gif

cost<hello_html_m3d4efe4.gif.


Решение

hello_html_dbd4e00.gif

решение

решение


Мотивация:

-Решим уравнение cost=hello_html_m2444681c.gif.

(Строим прямую x=hello_html_m2444681c.gif. Она пересекает окружность в двух точках K и S. Ребята понимают, что корни есть и записывают их t=thello_html_m34745add.gif+2πk,

hello_html_m53d4ecad.gift=thello_html_m4bcd60e4.gif+2πk.

hello_html_27aaffcd.gifhello_html_mb689f5b.gifhello_html_4a499f33.gifНо ученики не знают какого вида числа соответствуют дуге OK, так как решение находили только для «хороших» углов.

-Вспомним как мы решали уравнение xhello_html_4fbf37b8.gif=4. Корнями данного уравнения являются x=hello_html_m78531b32.gif2, и тогда для нас вызывало затруднение решение уравнения xhello_html_4fbf37b8.gif=2, так как мы не могли найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось 2. Тогда мы ввели новое обозначение – арифметический квадратный корень и записали корни в виде x=hello_html_m78531b32.gifhello_html_1caef8ee.gifhello_html_m53d4ecad.gif.

Постановка учебной задачи:

-Значит перед нами стоит следующая задача: ввести новое обозначение чисел, с помощью которых найдем решение уравнения cost=hello_html_m2444681c.gif.

Сhello_html_m31c551c0.gifhello_html_m54e136e9.gifhello_html_353dff75.gifодержательная часть:

-hello_html_m2e8fe607.gifhello_html_3b8a6ff7.gifВернемся к решению уравнения cost=hello_html_m3d4efe4.gif. Заметим,



что одним из корней этого уравнения является hello_html_e5bc990.gif. Что такое hello_html_e5bc990.gif? Это число, которое соответствует длине дуги OM и косинус этого числа равен hello_html_m3d4efe4.gif. Введем новое обозначение. hello_html_e5bc990.gif- это дуга, дуга по латыни «arcus» и косинус hello_html_e5bc990.gif равен hello_html_m3d4efe4.gif. Поэтому появляется запись arccoshello_html_m3d4efe4.gif.

-Какому промежутку числовой окружности принадлежит hello_html_m667a0225.gif . ([0, hello_html_m77fdfc92.gif])

- Значит, arccoshello_html_m3d4efe4.gif находится в промежутке [0,hello_html_m77fdfc92.gif].

-Вернемся к решению уравнения cost=-hello_html_m3d4efe4.gif. Что такое hello_html_m5ada6324.gif?

(Число, которое соответствует длине дуги OL и косинус этого числа равен

(-hello_html_m3d4efe4.gif))

-То есть hello_html_m5ada6324.gif- это arcos(-hello_html_m3d4efe4.gif),

-В каком промежутке числовой окружности находится hello_html_m5ada6324.gif? ([hello_html_m77fdfc92.gif, π])

-Значит arccos(-hello_html_m3d4efe4.gif) находится в промежутке [hello_html_m77fdfc92.gif, π].

-Сформулируем определение arccosα=t в общем виде. Для этого выясним, в каком промежутке числовой окружности находится t, заметим, что это будет зависеть от знака.

Если t>0, то thello_html_m289d78ff.gif[0,hello_html_m77fdfc92.gif];

t<0, то thello_html_m289d78ff.gif[hello_html_m77fdfc92.gif, π]. Значит, thello_html_m289d78ff.gif[0, π ].

- Выяснили, что cost=α. Оцените α.

(Из определения косинуса числа следует, что hello_html_1712d43b.gif≤1)

- Таким образом, если hello_html_1712d43b.gif≤1, то arccosα – это такое число t из отрезка [0, π ], косинус которого равен α.

-Запишем определение кратко:

Если hello_html_1712d43b.gif≤1, то

arccosα=thello_html_39bcdcee.gifhello_html_7b3bc8a1.gif

hello_html_m53d4ecad.gif




-Что такое cost=α? ( Уравнение )

-Что называется косинусом t?

(Абсцисса точки единичной окружности, полученная поворотом точки (1, 0) вокруг начала координат на угол t)

-Попробуйте переформулировать задание: решить уравнение cost=α.

(Найти на числовой окружности точки с абсциссой α и записать каким числам t они соответствуют)

-Данное уравнение решается с помощью числовой окружности.

-Как прямая α может быть расположена относительно числовой окружности?

(Пересекать и не пересекать)

-В каком случае прямая α пересекает единичную окружность в двух точках?

(hello_html_m491a39bf.gifhello_html_m491a39bf.gifhello_html_5d4a3295.gifhello_html_5d4a3295.gifhello_html_m197e212a.gifhello_html_m197e212a.gif при -1< α< 1)

-hello_html_7b6fb9b3.gifВ каком случае в одной точке?

(hello_html_343addde.gifпри α=1 и α=-1)

-Прямая α не пересекает окружность при

α>1, α<-1. Значит, при таких значениях α

уравнение cost=α не имеет корней. При -1<α<1 уравнение cost=α имеет корни, запишем их: t=thello_html_m34745add.gif+2πk, t=thello_html_m4bcd60e4.gif+2πk.

-Что такое thello_html_m34745add.gif?

(Число, косинус которого равен α)

-Попробуйте записать корни уравнения cost=α с помощью введенного нами нового обозначения arсcos.

( t=arccosα + 2πk,

t=-arccosα + 2πk или объединим серии корней и запишем их одной формулой t=hello_html_m78531b32.gif arccosα + 2πk , khello_html_m289d78ff.gifz)

-Вспомним, какую мы ставили перед собой учебную задачу?

(Ввести новое обозначение чисел, с помощью которых найдем решение уравнения cost=hello_html_m2444681c.gif)

-Теперь вы можете найти решение уравнения cost=hello_html_m2444681c.gif, запишите его корни.

(t=hello_html_m78531b32.gif arccoshello_html_m2444681c.gif + 2πk , khello_html_m289d78ff.gifz)

-Решим неравенство cost>hello_html_m2444681c.gif. Переформулируйте задачу.

(Найти точки на числовой окружности, удовлетворяющие неравенству x>hello_html_m2444681c.gif)

(hello_html_3efb13cc.gifhello_html_4cbb7abc.gif

K

Учитель с учениками обсуждает решение неравенства, пользуясь решением уравнения cost=hello_html_m2444681c.gif и готовой числовой окружностью)

hello_html_516c6a2b.gif

hello_html_5351c983.gif

S



-Прямая x=hello_html_m2444681c.gif пересекает окружность в двух точках K и S. Неравенству x>hello_html_m2444681c.gif соответствуют точки дуги SK. Точка S соответствует числам вида -arccoshello_html_m2444681c.gif + k, а точка K-числам вида arccoshello_html_m2444681c.gif + 2πk. Решением является неравенство -arccoshello_html_m2444681c.gif + k< t< arccoshello_html_m2444681c.gif + 2πk, khello_html_m289d78ff.gifz.

-Найдите решение неравенства cost<hello_html_m2444681c.gif.

(Неравенству x<hello_html_m2444681c.gif соответствуют точки дуги KS , точка K соответствует числам вида arccoshello_html_m2444681c.gif + 2πk, точка S - 2π- arccoshello_html_m2444681c.gif + 2πk, решением является неравенство arccoshello_html_m2444681c.gif + 2πk< t< 2π- arccoshello_html_m2444681c.gif + 2πk,khello_html_m289d78ff.gifz.)

После этого можно предложить ученикам в качестве домашнего задания решить уравнение cost=-hello_html_m2444681c.gif, неравенства cost<-hello_html_m2444681c.gif и cost>-hello_html_m2444681c.gif по аналогии.

Также на данном уроке целесообразно будет предложить ребятам несколько примеров на вычисление значения арккосинуса:

-Вычислить:

1. arccoshello_html_m3d4efe4.gif=

-Чтобы найти arccoshello_html_m3d4efe4.gif, необходимо сначала проверить выполнимость условия hello_html_m44387b15.gif<1, выполняется, значит, теперь нужно найти такое число hello_html_2e28ff68.gif, что coshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m3d4efe4.gif . Чему равно hello_html_2e28ff68.gif?

(coshello_html_e5bc990.gif=hello_html_m3d4efe4.gif hello_html_1b730b13.gifarccoshello_html_m3d4efe4.gif=hello_html_e5bc990.gif)

-Действительно, hello_html_e5bc990.gifhello_html_m289d78ff.gif [0, hello_html_m77fdfc92.gif] и coshello_html_e5bc990.gif=hello_html_m3d4efe4.gif,значит, arccoshello_html_m3d4efe4.gif=hello_html_m67a6e8a0.gif.

  1. arccos(-hello_html_m3d4efe4.gif)=

(hello_html_m2a173453.gif=hello_html_m3d4efe4.gif<1. Нужно найти hello_html_2e28ff68.gif такое, что coshello_html_2e28ff68.gif= -hello_html_m3d4efe4.gif; coshello_html_38b9cc66.gif= -hello_html_m3d4efe4.gif и hello_html_38b9cc66.gifhello_html_m289d78ff.gif[0,π],

значит arccos(-hello_html_m3d4efe4.gif)=hello_html_38b9cc66.gif.)

  1. arccos π= (hello_html_ca32f9a.gifhello_html_m3132e3c.gif3,14>1)

-Одно из условий не выполняется, значит, arccosπ не существует.

Рефлексивно-оценочная часть:

-Мы получили новую формулу корней уравнения вида cost=α, для этого ввели новое обозначение и записали решение в виде t =hello_html_m78531b32.gif arccosα + 2πk , khello_html_m289d78ff.gifz, где hello_html_1712d43b.gif<1.

-Какие три условия нужно проверить, чтобы найти arccosα?

(hello_html_1712d43b.gif<1, cost=α, 0≤ tπ)

-Заметим, что требуется выполнение всех условий одновременно.

-Что нам помогло решить уравнение cost=α ?

(Умение решать задачи для табличных значений)



Содержательная часть:

- Решим уравнение sint=hello_html_m3d4efe4.gif

- Чтобы решить уравнение sint=hello_html_m3d4efe4.gif , нужно вспомнить, что называется синусом числа t.

(Синусом числа t называется ордината точки единичной окружности, полученная поворотом точки (1, 0) вокруг начала координат на угол t.)

- Как можно переформулировать данную задачу?

(Найти на числовой окружности точки с ординатой y=hello_html_m3d4efe4.gif и записать, каким числам t они соответствуют.)

- Значит, мы опять свели задачу к ранее известной. Решим ее.

(hello_html_mb689f5b.gifСтроим единичную окружность. Строим прямую y=hello_html_m3d4efe4.gif, она пересекает

hello_html_m31c551c0.gifhello_html_m2e8fe607.gif

hello_html_42c45ef8.gif

hello_html_m2e8fe607.gif



числовую окружность в точках M и P . Точка M соответствует числу hello_html_m1e307eb8.gif, а значит и любым числам вида hello_html_m1e307eb8.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz. Точка P соответствует числу hello_html_25869b49.gif, а значит и любым числам вида hello_html_25869b49.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz. Ответ: t=hello_html_m1e307eb8.gif+2πk, t=hello_html_25869b49.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz.)

- Решим уравнение sint=-hello_html_m3d4efe4.gif. Переформулируйте эту задачу.

(Найти на числовой окружности точки с ординатой y=-hello_html_m3d4efe4.gif и записать каким числам t они соответствуют.)

-Найдите решение.

(Строим прямую y=-hello_html_m3d4efe4.gif, она пересекает числовую окружность в точках L и N. Точка L соответствует числам вида -hello_html_m1ba5b732.gif, hello_html_mfba543c.gifz. Точка N - числам вида -hello_html_5685e48a.gif, hello_html_mfba543c.gifz. Ответ: t=-hello_html_m1ba5b732.gif, t=-hello_html_5685e48a.gif, hello_html_mfba543c.gifz.)

-Решим неравенства sint>hello_html_m3d4efe4.gif и sint<hello_html_m3d4efe4.gif. Рассмотрим первое неравенство. Переформулируйте задачу.

(Найти на числовой окружности точки с ординатой y>hello_html_m3d4efe4.gif и записать, каким числам t они соответствуют.)

-Опять свели задачу к уже известной.

(Прямая y=hello_html_m3d4efe4.gif пересекает числовую окружность в точках M и P. Неравенству y>hello_html_m3d4efe4.gif соответствуют точки дуги PM с началом в точке P и концом в точке M при движении против часовой стрелки. Значит, точка P соответствует числам вида hello_html_m1e307eb8.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz,точка M соответствует числам вида hello_html_m47e5340d.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz. Тогда решением является неравенство

hello_html_m1e307eb8.gif+2πk <t< hello_html_m47e5340d.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz.)

-Рассмотрим неравенство sint<hello_html_m3d4efe4.gif. Нужно найти на числовой окружности точки с ординатой y<hello_html_m3d4efe4.gif и записать, каким числам t они соответствуют.

(Неравенству y<hello_html_m3d4efe4.gif соответствуют точки дуги MP с началом в точке M и концом в точке P при движении против часовой стрелки. Точка P соответствует числам вида hello_html_m1fa4851e.gifk, khello_html_m289d78ff.gifz. Точка M соответствует числам вида -hello_html_75d48bde.gif+2πk, khello_html_m289d78ff.gifz. Тогда решением является неравенство -hello_html_75d48bde.gif+2πk< t < hello_html_m1fa4851e.gifk, khello_html_m289d78ff.gifz.)

Мотивация:

-Решим уравнение sint=hello_html_m2444681c.gif.

(Строим прямую y=hello_html_m2444681c.gif. Она пересекает окружность в двух точках K и S. Ребята понимают, что корни есть и записывают их t=thello_html_m34745add.gif+2πk,

hello_html_m53d4ecad.gift=thello_html_m4bcd60e4.gif+2πk.

hello_html_440e2f05.gifhello_html_4a499f33.gifhello_html_m3ded7190.gifУченики не знают какого вида числа соответствуют дуге OK. C подобной ситуацией они уже встречались при решении уравнения cost=hello_html_m2444681c.gif.

Постановка учебной задачи:

-Перед нами стоит задача: ввести новое обозначение чисел, с помощью которых найдем решение уравнения sint=hello_html_m2444681c.gif по аналогии с решением уравнения cost=hello_html_m2444681c.gif.

-Вернемся к решению уравнения sint=hello_html_m3d4efe4.gif. Заметим, что одним из корней этого уравнения является hello_html_m1e307eb8.gif. Что такое hello_html_14a21faf.gif? Это число, которое соответствует длине дуги OM и синус этого числа равен hello_html_m3d4efe4.gif. Введем новое обозначение. hello_html_m1e307eb8.gif- это дуга, и синус этого числа равен hello_html_m3d4efe4.gif. Поэтому появляется запись arcsinhello_html_m3d4efe4.gif.

-Какому промежутку числовой окружности принадлежит hello_html_m1e307eb8.gif . ([0, hello_html_m77fdfc92.gif])

- Значит, arcsinhello_html_m3d4efe4.gif находится в промежутке [0,hello_html_m77fdfc92.gif].

-Вернемся к решению уравнения sint=-hello_html_m3d4efe4.gif. Что такое -hello_html_m1e307eb8.gif?

(Число, которое соответствует длине дуги OL и синус этого числа равен -hello_html_m3d4efe4.gif)

-То есть -hello_html_m1e307eb8.gif- это arcsin(-hello_html_m3d4efe4.gif),

-В каком промежутке числовой окружности находится -hello_html_m1e307eb8.gif? ([-hello_html_m77fdfc92.gif,0])

-Значит, arcsin(-hello_html_m3d4efe4.gif) находится в промежутке [-hello_html_m77fdfc92.gif,hello_html_m77fdfc92.gif].

-Сформулируем определение arcsinα=t в общем виде. Для этого выясним, в каком промежутке числовой окружности находится t, заметим, что это будет зависеть от знака.

Если t>0, то thello_html_m289d78ff.gif[0,hello_html_m77fdfc92.gif];

t<0, то thello_html_m289d78ff.gif[-hello_html_m77fdfc92.gif,hello_html_m77fdfc92.gif]. Значит, thello_html_m289d78ff.gif[-hello_html_m77fdfc92.gif,hello_html_m77fdfc92.gif].

- Выяснили, что sint=α. Оцените α.

(Из определения косинуса числа следует, что hello_html_1712d43b.gifhello_html_m7ceebba.gif1)

- Таким образом, если hello_html_1712d43b.gifhello_html_m7ceebba.gif1, то arcsinα – это такое число t из отрезка

[-hello_html_m77fdfc92.gif,hello_html_m77fdfc92.gif], синус которого равен α.

-Запишем определение кратко:

Если hello_html_1712d43b.gifhello_html_m7ceebba.gif1, то

arcsinα=thello_html_39bcdcee.gifhello_html_21fed30a.gif sint=α,

-hello_html_m77fdfc92.gif< t<hello_html_m77fdfc92.gif .

hello_html_m53d4ecad.gif





-Что такое sint=α? ( Уравнение.)

-Что называется синусом t?

(Ордината точки единичной окружности, полученная поворотом точки (1, 0) вокруг начала координат на угол t)

-Попробуйте переформулировать задание: решить уравнение sint=α.

(Найти на числовой окружности точки с ординатой α и записать каким числам t они соответствуют)

-Данное уравнение решается с помощью числовой окружности.

-Как прямая α может быть расположена относительно числовой окружности? (Пересекать и не пересекать)

-В каком случае прямая α пересекает единичную окружность в двух точках?

( при -1< α< 1)

-В каком случае в одной точке?

(при α=1 и α=-1)

-Прямая α не пересекает окружность при α>1, α<-1. Значит, при таких значениях α уравнение sint=α не имеет корней. При -1<α<1 уравнение sint=α имеет корни, запишем их: t=thello_html_m34745add.gif+2πk, t=thello_html_m4bcd60e4.gif+2πk.

-Что такое thello_html_m34745add.gif?

(Число, синус которого равен α)

-Попробуйте записать корни уравнения sint=α с помощью введенного нами нового обозначения arcsin.

( t=arcsinα + 2πk, t=π- arcsinα + 2πk, khello_html_m289d78ff.gifz)

-Вспомним, какую мы ставили перед собой учебную задачу?

(Ввести новое обозначение чисел, с помощью которых найдем решение уравнения sint=hello_html_m2444681c.gif)

-Теперь вы можете найти решение уравнения sint=hello_html_m2444681c.gif, запишите его корни.

(t=arcsinhello_html_m2444681c.gif + 2πk , t=π- arcsin hello_html_m2444681c.gif + 2πk, khello_html_m289d78ff.gifz)

-Решим неравенство sint>hello_html_m2444681c.gif. Переформулируйте задачу.

(Найти точки на числовой окружности, удовлетворяющие неравенству y>hello_html_m2444681c.gif)

(hello_html_3efb13cc.gifУчитель с учениками обсуждает решение неравенства, пользуясь решением уравнения sint=hello_html_m2444681c.gif и готовой числовой окружностью)

hello_html_516c6a2b.gifhello_html_m59492c59.gif

hello_html_5351c983.gif


-Прямая y=hello_html_m2444681c.gif пересекает окружность в двух точках K и S. Неравенству y>hello_html_m2444681c.gif соответствуют точки дуги SK. Точка S соответствует числам вида arcsinhello_html_m2444681c.gif + 2πk, а точка K-числам вида π-arcsin hello_html_m2444681c.gif+ 2πk. Решением является неравенство arcsinhello_html_m2444681c.gif + 2πk< t< π- arcsinhello_html_m2444681c.gif + 2πk, khello_html_m289d78ff.gifz.

-Найдите решение неравенства sint<hello_html_m2444681c.gif.

(Неравенству y<hello_html_m2444681c.gif соответствуют точки дуги KS , точка K соответствует числам вида arcsinhello_html_m2444681c.gif + 2πk, точка S - 2π- arccosα + 2πk, решением является неравенство arcsinhello_html_m2444681c.gif + 2πk< t< 2π- arcsinhello_html_m2444681c.gif + 2πk,khello_html_m289d78ff.gifz.)

После этого можно предложить ученикам в качестве домашнего задания решить уравнение sint=-hello_html_m2444681c.gif, неравенства sint<-hello_html_m2444681c.gif и sint>-hello_html_m2444681c.gif по аналогии.

Также на данном уроке целесообразно будет предложить ребятам несколько примеров на вычисление значения арксинуса:

-Вычислить:

1. arcsinhello_html_m9b24522.gif=

-Чтобы найти arcsinhello_html_m9b24522.gif, необходимо сначала проверить выполнимость условия hello_html_211b580b.gifhello_html_m7ceebba.gif1, выполняется, значит, теперь нужно найти такое число hello_html_2e28ff68.gif, что sinhello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m9b24522.gif . Чему равно hello_html_2e28ff68.gif?

(sinhello_html_e5bc990.gif=hello_html_m9b24522.gif hello_html_1b730b13.gifsinhello_html_e5bc990.gif=hello_html_m9b24522.gif)

-Действительно, hello_html_e5bc990.gifhello_html_m289d78ff.gif [-hello_html_m77fdfc92.gif, hello_html_7ad6e25.gif] и sinhello_html_e5bc990.gif=hello_html_m9b24522.gif,значит, coshello_html_e5bc990.gif=hello_html_m9b24522.gif.

2. arcsinπ=

(hello_html_ca32f9a.gifhello_html_m3132e3c.gif3,14>1)

-Одно из условий не выполняется, значит arcsinπ не существует.

Промежуточная рефлексивно-оценочная часть:

-Мы получили новую формулу корней уравнения вида sint=α, для этого ввели новое понятие и записали решение в виде t = arcsinα + 2πk ,

t = π-arcsinα + 2πk, khello_html_m289d78ff.gifz, где hello_html_1712d43b.gifhello_html_m7ceebba.gif1.

-Какие три условия нужно проверить, чтобы найти arcsinα?

(hello_html_1712d43b.gifhello_html_m7ceebba.gif1, cost=α,- hello_html_7ad6e25.gifhello_html_m7ceebba.gif thello_html_m7ceebba.gifhello_html_7ad6e25.gif )

-Заметим, что требуется выполнение всех условий одновременно.

-Что нам помогло решить уравнение sint=α ?

(Умение решать задачи для табличных значений)



Содержательная часть:

- Мы рассмотрели уравнения вида cost=a и sint=a, получили формулу для нахождения корней данных уравнений, для этого ввели два понятия: арккосинус и арксинус. Осталось рассмотреть решения уравнений вида tgt=a и ctgt=a.

- Как мы получали формулу корней уравнений cost=a и sint=a?

(с помощью числовой окружности).

- Значит, корни уравнений tgt=a и ctgt=a будем находить с помощью числовой окружности.

- Решим уравнение hello_html_6235478f.gif.

- Сведите данную задачу к уже известной.

(Найти на числовой окружности точки, соответствующие точке hello_html_m65139e5d.gif на оси тангенсов и записать, каким числам t они соответствуют.)

Учитель совместно с учениками обсуждает решение задачи.

(hello_html_m59182452.gifhello_html_m37deba2a.gif

А

hello_html_m77fdfc92.gif

hello_html_m65139e5d.gif

Строим единичную окружность. Проводим ось тангенсов, отмечаем на ней точку с координатами hello_html_m65139e5d.gif. Проводим прямую через эту точку и точку, соответствующую началу координат. Она пересекает окружность в двух точках: А и В. Точка А соответствует числу hello_html_m667a0225.gif, а значит и любому числу вида hello_html_m59a6e34e.gif. Точка В соответствует числу hello_html_m3fca649e.gif, а значит и любому числу вида hello_html_28b41bf.gif (рис. 1). Получили две серии корней: hello_html_m5cbf7675.gifи hello_html_28b41bf.gif. Замечаем, что числа hello_html_m667a0225.gif и hello_html_m3fca649e.gif отличаются на π. Поэтому полученные серии корней можно объединить: hello_html_6b442810.gif. Ответ: t=hello_html_6b442810.gif).


0


В



- Решим уравнение hello_html_m3c6cf984.gif.

- Переформулируйте данную задачу.

(Найти на числовой окружности точки, соответствующие точке hello_html_770882af.gif на

оси тангенсов и записать, каким числам t они соответствуют.)

- Решим эту задачу.

(Аналогично как мы решали уравнение hello_html_6235478f.gif, на оси тангенсов отмечаем
точку
с координатами hello_html_770882af.gif. Проводим прямую через эту точку и точку, соответствующую началу координат. Она пересекает окружность в двух точках: С и D. Точка С соответствует числу hello_html_m5ada6324.gif, а значит и любому числу вида hello_html_m10c59e0c.gif. Точка D соответствует числу hello_html_2da171d.gif, а значит и любому числу вида hello_html_m43641057.gif. Получили две серии корней: hello_html_m331055b3.gif и hello_html_m43641057.gif. Замечаем, что числа hello_html_m5ada6324.gif и hello_html_2da171d.gif отличаются на π. Поэтому полученные серии корней можно объединить: hello_html_m426a76b2.gif. Ответ: t=hello_html_m426a76b2.gif).

hello_html_m59182452.gif

hello_html_424583af.gif

С


0



hello_html_770882af.gif

D

hello_html_6f90481b.gif




- Решить уравнение hello_html_1a1f9e2e.gif.

Ученики решают данное уравнение тем же способом, которым решались два предыдущих уравнения.

(Строим единичную окружность. Проводим ось тангенсов, отмечаем на
ней точку с координатами
hello_html_2e960da4.gif. Проводим прямую через эту точку и точку, соответствующую началу координат. Она пересекает окружность в двух точках: М и Р.)



hello_html_4a6ec516.gif

(1,2)

y




M



x


P





В результате ученики записывают две серии корней: hello_html_758145ca.gif и hello_html_m61b7bf53.gif, но не знают каким числам они соответствуют.

-На какую величину отличаются числа t1 и t2?
(На π).

  • Поэтому вторую серию значений t запишем как: hello_html_6329ed31.gif. Тогда решение этого уравнения примет вид: hello_html_6a2cbea.gif.

- Мы уже встречались с подобной ситуацией, когда решали уравнения cost=hello_html_m2444681c.gif и sint=hello_html_m2444681c.gif, для этого вводили новые понятия: арккосинус и арксинус, являющихся «главным» корнем этих уравнений. Значит, чтобы решить данное уравнение, перед нами стоит задача ввести новое понятие числа. Как вы думаете, какое новое понятие можно ввести для числа t1?

(арктангенс).

  • Верно. Число t1 называют арктангенсом числа 2. Итак, t1 = arctg2.

  • Мы нашли обозначение числа t1,. Тогда как можно записать решение
    уравнения tgt = 2?

(hello_html_4043b7bc.gif).

- Определим, какие значения может принимать арктангенс?

- Вернемся к уравнению hello_html_6235478f.gif. Мы нашли, что корнями данного уравнения являются t=hello_html_6b442810.gif. hello_html_m2d975c28.gif, hello_html_m667a0225.gif- это главный корень данного уравнения. В каком промежутке он находится?

(hello_html_m1c543b8a.gif).

- В каком промежутке находится главный корень уравнения hello_html_m3c6cf984.gif?

(hello_html_4f7b4785.gif).

- Можно сделать следующий вывод. Решая уравнение tgt=a, мы замечаем, что если a>0, то hello_html_m519e5e44.gif, если a<0, то hello_html_m653b7702.gif.

- Какие значения может принимать hello_html_66b12097.gif?

(hello_html_47f7cdd1.gif).

- Выяснили, что:

  1. hello_html_66b12097.gif- это число;

  2. hello_html_36b26ad2.gif;

  3. tgt=а.

-Сформулируйте определение арктангенса числа а.

(Арктангенс числа а - это такое число из интервалаhello_html_47f7cdd1.gif, тангенс которого равен а).

  • Теперь мы можем сделать общий вывод о решении уравнения tgt=а: уравнение tgt имеет решения hello_html_m2c27a0fc.gif.

Задание. Вычислить:

1. hello_html_12621b73.gif;

Решение.

hello_html_m5b3405b1.gifт.к. hello_html_736c14d1.gif и hello_html_m5a02776d.gif

2. hello_html_365ff733.gif;

Решение.

hello_html_23e66eec.gifт.к. hello_html_55c1361d.gifи hello_html_2a1e8462.gif

3. hello_html_m2e6167a4.gif.

Решение.

hello_html_m2e6167a4.gifне существует, т.к. hello_html_m34803e01.gif.

- Мы с вами решили уравнение вида tgt=a, нашли его корни с помощью числовой окружности.

- Решим уравнение hello_html_29afe23e.gif.

- Заметим, что любое уравнение вида ctgt=a можно привести к виду hello_html_m6eeff653.gif, кроме ctgt=0. Но в этом случае можно воспользоваться тем, что hello_html_m1d9b60fa.gif и можно перейти к уравнению hello_html_m632d69e3.gif.

- Попробуем найти корни данного уравнения с помощью числовой окружности. Для этого переформулируем данную задачу.

(Найти на числовой окружности точки, соответствующие точке hello_html_m61d37459.gif на оси котангенсов и записать, каким числам t они соответствуют.)

(Строим единичную окружность. Проводим ось котангенсов, отмечаем на ней точку с координатами hello_html_m61d37459.gif. Проводим прямую через эту точку и точку, соответствующую началу координат. Она пересекает окружность в двух точках: А и В. Точка А соответствует числу hello_html_m667a0225.gif, а значит и любому числу вида hello_html_m59a6e34e.gif. Точка В соответствует числу hello_html_m3fca649e.gif, а значит и любому числу вида hello_html_28b41bf.gif (рис. 1). Получили две серии корней: hello_html_m5cbf7675.gifи hello_html_28b41bf.gif. Замечаем, что числа hello_html_m667a0225.gif и hello_html_m3fca649e.gif отличаются на π. Поэтому

полученные серии корней можно объединить: hello_html_6b442810.gif. Ответ: t=.hello_html_m59182452.gif)

hello_html_m59182452.gifhello_html_67abf3a7.gifhello_html_1f7908f7.gif

С

А

hello_html_m61d37459.gif

x

y




-

В


Решим уравнение hello_html_2146f238.gif.

Аналогично ребята находят корни уравнения: t=hello_html_m426a76b2.gif.

- Как вы думаете, какие корни имеет уравнение ctgt=a?

(hello_html_59ec8235.gif)

  • Правильно. А какие значения может принимать число а.
    (Положительные, отрицательные, равное нулю).

  • Определим, какие значения может принимать арккотангенс?

  • В каком промежутке находится «главный» корень уравнения ctgt =а, если а>0.
    (hello_html_m1c543b8a.gif)

  • В каком промежутке находится «главный» корень уравнения ctgt =а, если а<0.
    (hello_html_mfefedbf.gif).

- Тогда какие значения может принимать «главный» корень?

hello_html_m1ecbdec2.gif

  • То есть «главный» корень - это корень t=arcctga уравнения ctgt =а, принадлежащий интервалу от 0 до π.

- Итак, какие же значения может принимать arcctgа ?

hello_html_m1ecbdec2.gif

- Таким образом:

  1. arcctgа - это число;

  2. hello_html_mbd36c00.gif;

  3. ctgt=а.

-Сформулируйте определение арккотангенса числа а.

(Арккотангенс числа а - это такое число из интервала hello_html_m1ecbdec2.gif, котангенс которого равен а).

Задание.

  1. Какие из следующих выражений являются верными?

a)hello_html_m57636585.gif

б) hello_html_m222bfabc.gif

в) hello_html_7afedbbc.gif

Ответ: а), б); в) не является верным, так как hello_html_6edf8887.gif.

Данные задания предназначены для осознания определения арккотангенса числа.

- Когда мы решали уравнения cost=a и sint=a, мы также решали и неравенства cost>a, cost<a и sint>a, sint<a. Посмотрим как решаются уравнения tgt>а, tgt<а.

  • Решить неравенство tgt>2.

  • Чтобы решить данное неравенство, надо найти на числовой окружности точки, расположенные выше точки (1,2) на оси тангенсов и записать каким числам t они соответствуют.

- Видим, что точки расположенные выше точки (1,2) принадлежат дуге MN и LK, т.е. решением данного неравенства является hello_html_ma3b059f.gif.

hello_html_m484bd3f9.gifhello_html_m1e3b1359.gifhello_html_5cb61ad1.gifhello_html_331789a2.gif

hello_html_3d66c6f0.gif

hello_html_3f42770c.gif

hello_html_m15f21a16.gif

(1,2)

hello_html_4d3e7099.gif

hello_html_m697524f9.gif

hello_html_m31c551c0.gif

M

N


hello_html_m48c8535c.gif

L


K



  • Решить неравенство tgt<2.

  • Как решить данное неравенство?

( надо найти на числовой окружности точки, расположенные ниже точки (1,2) на оси тангенсов и записать каким числам t они соответствуют.)

Из рисунка ребята убеждаются, что решением будут являться точки дуг MN и LK, т.е. hello_html_m4e61cd80.gif.

hello_html_353dff75.gif

hello_html_m15f21a16.gifhello_html_m64d92edf.gifhello_html_63a16e9c.gif

y

(1,2)

hello_html_43465062.gif


hello_html_m31c551c0.gifhello_html_m7115a636.gifhello_html_m4c9e27be.gifhello_html_358a293b.gifhello_html_m208702c1.gifhello_html_m433b2385.gif

M

K


hello_html_m48c8535c.gif

х


N

L





  • Решить неравенство сtgt>-2.

  • Как решить это неравенство?

( надо найти на числовой окружности точки, расположенные правее точки (-2,1) на оси котангенсов и записать каким числам t они соответствуют.)

-Где находится решение данного неравенства?

(точки расположенные правее точки (-2,1) принадлежат дуге MN и LK, т.е. решением данного неравенства является hello_html_287dd3e8.gif)




hello_html_m3323cd60.gif

(-2,1)


hello_html_30b05098.gifhello_html_m613ae707.gifhello_html_m17af7735.gifhello_html_7b5cce3d.gifhello_html_48697202.gifhello_html_m48f41c0.gif






  • Решить неравенство сtgt>-2.

  • Чтобы решить данное неравенство, надо найти на числовой окружности точки, расположенные левее точки (-2,1) на оси котангенсов и записать каким числам t они соответствуют.

Рефлексивно-оценочная часть:

- Подведем итог урока.

- Сегодня на уроке мы рассмотрели четыре вида тригонометрических уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, ctgx=a и соответствующие неравенства, для решения которых ввели новые понятия: hello_html_m4572201e.gif. Вывели формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

- Как мы находили корни этих уравнений?

(с помощью числовой окружности)

- По какой формуле находятся корни уравнения cosx=a ( sinx=a, tgx=a, ctgx=a)?

- Какие условия необходимо проверить, чтобы найти arccosα ( arcsinα, arctgα и arcctgα)?

- Какие знания помогли нам решить простейшие тригонометрические уравнения?



28


Автор
Дата добавления 23.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров593
Номер материала ДВ-180858
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх