Конспект урока-семинара по геометрии "Правильные многогранники"

Содержание:

1.                 Список литературы

2.                 Историческая справка

3.                 Программа по математике

4.                 Сравнительный анализ содержания темы в школьных учебниках

5.                 Анализ теоретического материала темы

6.                 Анализ задачного материала темы

7.                 Постановка целей изучения темы, тематическое планирование

8.                 Конспект урока

Список литературы:

1.                 Смирнова  И., Смирнов В. «Правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники».М.- 2010. 136 с. - представлены правильные, полупра­вильные и звёздчатые многогранники, рассмот­рены их свойства и предложены задачи для са­мостоятельного решения.

2.                 Гончар В.В. «Модели многогранников».-ООО фирма Аким, 1997.-с.64 – представлены схемы-развертки всех 5 платоновых и 13 архимедовых тел (правильных и полуправильных многогранников). Приведены номограммы для построения этих моделей разной величины, выкройки-развертки звёздчатых форм многогранников. Показано как из многогранников сделать ряд украшений и игрушек.

3.                 Литвиненко В.Н. Многогранники. Задачи и решения:- М.: «Вита-Пресс», 1995. – представлены задачи и их решения по теме.

4.                 Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. – М.: МЦНМО, 2000, с.27-31. - рассказывается об основных теоремах теории выпуклых многогранников. Это - теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с заданными гранями и теорема Александрова о том, из каких разверток можно склеить выпуклый многогранник. В основной части излагаются основные результаты и идеи их доказательства. В Приложении содержатся подробные доказательства нескольких теорем о многогранниках, в том числе доказательство знаменитой теоремы Эйлера.

5.                 http://polyhedron2008.narod.ru/ - история, рассказано о каждом многограннике по отдельности.

6.                 http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA – дано определение правильного многогранника, список правильных многогранников, комбинаторные и геометрические свойства, немного истории.

7.                 http://pravmn.narod.ru/tetr.htm - дано понятие тетраэдра, элементы симметрии, формулы радиуса вписанного и описанного шара, площадь поверхности и объем тетраэдра.

8.                 http://pravmn.narod.ru/kub.htm - дано понятие куба, элементы симметрии, формулы радиуса вписанного и описанного шара, площадь поверхности и объем куба.

9.                 http://pravmn.narod.ru/okto.htm - дано понятие октаэдра, элементы симметрии, формулы радиуса вписанного и описанного шара, площадь поверхности и объем октаэдра.

10.            http://pravmn.narod.ru/icos.htm - дано понятие икосаэдра, элементы симметрии, формулы радиуса вписанного и описанного шара, площадь поверхности и объем икосаэдра.

11.             http://pravmn.narod.ru/dod.htm - дано понятие додекаэдра, элементы симметрии, формулы радиуса вписанной и описанной окружностей, площадь поверхности и объем додекаэдра.

Историческая справка «Многогранники»

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[1]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Список литературы:

1.                 http://mnogograns.narod.ru/history.html

2.                 Смирнова И.М. «В мире многогранников» М.,1990

3.                 Курант Р.,Роббинсон Г. «Что такое математика?»  М.,1967

4.                 Шарыгин И.Ф., Ергажиева Л.Н. «Наглядная геометрия» М.,1992

Программа по математике

Содержание обучения:

Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правильные многогранники.

Основная цель - познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усечённая пирамида), с формулой Эллера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

С двумя видами многогранников – тетраэдром и параллепипедом – учащиеся уже знакомы. Теперь эти представления расширяются. Многогранник определяется как поверхность, составленная из многогранников и ограничивающее некоторое геометрическое тело (его тоже называют многогранником). В связи с этим уточняется само понятие геометрического тела, для чего вводится ряд новых понятий (граничная точка фигуры, внутренняя точка и т.д.). Усвоение их не является обязательным для всех учащихся, можно ограничиться наглядным представлением о многогранниках.

Наряду с формулой Эллера в этом разделе содержится также один из вариантов пространственной теоремы Пифагора, связанный с тетраэдром, у которого все плоские углы при одной вершине – прямые. Доказательство основано на формуле площади прямоугольной проекции многогранника, которая предварительно вводиться.

П-ф	Глава 3 Многогранники	12	14
1	Понятие многогранника. Призма.	3	3
2	Пирамида.	3	4
3	Правильные многогранники.	4	5
	Контрольная работа. Зачет.	1,1	1,1

Сравнительный анализ содержания темы в школьных учебниках Александров «Для классов с углублённым изучением математики» и Атанасян «Геометрия 10-11»

Содержание темы  в учебниках:

1.Ананасян «Геометрия 10-11»

Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правильные многогранники.

Основная цель - познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усечённая пирамида), с формулой Эллера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

С двумя видами многогранников – тетраэдром и параллепипедом – учащиеся уже знакомы. Теперь эти представления расширяются. Многогранник определяется как поверхность, составленная из многогранников и ограничивающее некоторое геометрическое тело (его тоже называют многогранником). В связи с этим уточняется само понятие геометрического тела, для чего вводится ряд новых понятий (граничная точка фигуры, внутренняя точка и т.д.). Усвоение их не является обязательным для всех учащихся, можно ограничиться наглядным представлением о многогранниках.

Наряду с формулой Эллера в этом разделе содержится также один из вариантов пространственной теоремы Пифагора, связанный с тетраэдром, у которого все плоские углы при одной вершине – прямые. Доказательство основано на формуле площади прямоугольной проекции многогранника, которая предварительно вводиться.

2. Александров «Для классов с углублённым изучением математики»

Призма как частный случай цилиндра. Правильная призма. Параллелепипед. Пирамида как частный случай конуса. Правильная пирамида. Тела и их поверхности. Многогранники. Многогранная поверхность и развертка. Теорема Эйлера. Многогранные углы. Правильные многогранники. Преобразования симметрии фигур. Поворот. Элементы симметрии. Симметрия правильных многогранников, правильных призм и правильных пирамид.

Основная цель-  определить понятие геометрического тела и дать общее понятие о многограннике как о теле, ограниченном конечным числом многоугольников, рассмотреть наиболее важные частные случаи многогранников и их симметрии.

Что бы конструктивно определить призмы и пирамиды, общего понятия многогранника не требуется. Определение многогранника как тела, ограниченного конечным числом многоугольников, понадобиться лишь для определения правильного многогранника. В свою очередь, определение понятия «тело» требует введения простейших топологических понятий – внутренняя и граничная точка фигуры.

При изучении многогранников большое внимание уделяется симметрии.

Выводы:

1)У Александрова тема «Многогранники изучается в 11 классе – первой. У Атанасяна в 10 классе – третей.

2)Атанасян. Цель - познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усечённая пирамида), с формулой Эллера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

   Александров. Цель - определить понятие геометрического тела и дать общее понятие о многограннике как о теле, ограниченном конечным числом многогранников, рассмотреть наиболее важные частные случаи многогранников и их симметрии.

3)У Александрова раскрыты некоторые темы, о которых не говориться в учебнике Атанасяна. Это: призма как частный случай цилиндра, пирамида как частный случай конуса, многогранная поверхность и развертка, преобразование симметрии фигур, поворот.

4)В обоих учебниках понятие геометрическое тело дается с помощью понятий: внутренняя и граничная точка, но в учебнике Атанасяна усвоение этих понятий не является обязательным.

Анализ теоретического материала

Глава III. §3 п.32, 33

п.32. Понятие правильного многогранника.

В этом параграфе рассматривается понятие правильного многогранника. Определение новое, ранее не рассматривалось. Дано через род и видовые отличия. Видовые отличия описаны конструктивно.

Опр.: Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и, кроме того, к каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Так же рассмотрена теорема-свойство: Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n-угольники при n≥6.

Доказывается с помощью метода от противного.

Так же даны определения куба и правильных тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра. Определения новые. Даются описательно.

п. 33. Элементы симметрии правильных многогранников.

Общее понятие оси симметрии дается в п. 31 через род и видовые отличия. Видовые отличия описаны конструктивно.

Даны определения оси и плоскости симметрии тетраэдра. Определения даются описательно.

Даны утверждения:

1)                Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии

2)                Правильный тетраэдр имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Утверждения даются в учебнике без доказательства, но ученикам следует доказать.

Также даны определения оси, центра и плоскости симметрии куба. Определения даны описательно.

Даны утверждения:

1)                Куб имеет один центр симметрии

2)                Куб имеет 9 осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии.

3)                Куб имеет 9 плоскостей симетрии.

Утверждения даются в учебнике без доказательства, но ученикам следует доказать.

Дана задача посчитать сколько осей и плоскостей симметрии в правильных октаэдре, икосаэдре и додекаэдре.

Анализ задачного материала темы

В этой теме можно выделить следующие группы задач:

1)Дидактические:

-центральная симметрия(276)

-осевая симметрия(277)

-плоскость симметрии(278,319)

-правильный многогранник(281)

2)Задачи на построение правильных многогранников(271-275)

3)Задачи на доказательство(281,315-318,285,284)

4)задачи на построение сечения(284,300,307,280,296,309)

5)задачи на вычисление элементов:

-площадь сечения(283,280)

-площадь боковой поверхности(290,291,294,305,310,313)

-площадь полной поверхности(298,303,306,311)

-угол между прямыми(282,279)

-расстояние между вершинами(гранями) (287)

-выразить одну величину через другую(286)

Из этих задач являются ключевыми: №№279,281,283,287.

Решение ключевых задач:

№279

Дано: АВСDA₁B₁C₁D₁ –куб

Найти:˂DBC₁?

Решение: рассмотрим  треугольник DBC₁ .DB=AB как диагональ квадрата ABCD со с стороной AB.

BC₁=BB₁  и DC₁=DC а так как AB=DC=DB₁ тогда DB=DC₁=BC₁ тогда треугольник DBC₁- равносторонний, ттогда угол DBC₁=60˚

Ответ: 60˚

№281

Дано: ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ –куб, D₁A,D₁C, D₁B₁ –диагонали граней

Доказать: D₁AB₁C-правильный тетраэдр

Найти: отношение площади куба и площади тераэдра

1.Доказательство

Все диагонали граней куба – диагонали квадратов, которые равны между собой, так как имеют одинаковые стороны ,тогда и  их диагонали равны, отсюда все перечисленные отрезки D₁A,D₁C, D₁B₁ , а так же соединяющие их концы AC, AB₁ и B₁C равны, тогда тетраэдр D₁AB₁C –правильный, так как равны все его ребра.

2. Решение

Пусть ребро куба АВ=а, тогда S_куба=6*а²

S_тетр.=4*S_AB1C=4*=2a² (по задаче №280), тогда S_куба/S_тетр==

Ответ:

№ 283

№287

Выводы по задачам:

№279 задача на вычисление элементов(угол между прямыми),требует знания понятий: куб, квадрат их его свойства, равносторонний треугольник.

№281задача дидактическая(правильные многогранники) требует знания понятий: куба, квадрата и их свойства, а так же площадей фигур.

№283задача на вычисление элементов(площадь сечения) требует знания понятий: подобные треугольники, коэффициент подобия, теорема о зх перпендикулярах ,площади фигур, задача сложная требует подробного разбора с учениками.

№287задача на вычисление элементов(расстояние между прямыми(гранями)) требует знания понятий: октаэдр, пирамида, тетраэдр, квадрат,  ромб, центр треугольника, медиана треугольника и т.д. Задача сложная, так как требует различных знаний из планиметрии, а так же стереометрии, лучше подробно разобрать с учениками на уроке.

Постановка целей изучения темы, тематическое планирование

№	Урок	Часы
1	Урок-лекция «Правильные многогранники»	1
2	Урок-лекция «Симметрия правильных многогранников»	1
3	Урок решения задач	1
4	Урок-семинар «Правильные многогранники»	2
5	Урок проверки знаний. Самостоятельная работа	1

Учебные задачи:

- определить на основе аналогии понятие точки симметричной относительно центра симметрии

- определить на основе аналогии понятие точки симметричной относительно оси симметрии

- определить на основе аналогии понятие точкт симметричной относительно плоскости симметрии

- определить понятие центра, оси, плоскости симметрии фигуры

- определить понятие правильного многогранника

- выявить условия существования правильного многогранника и его некоторые свойства

- определить частные виды правильных многогранников (тетраэдр, октаэдр и др.) и их свойства (сумма углов равна…)

- определить элементы симметрии правильных многогранников

Диагностируемые цели:

Знает:

- определение точки симметричной относительно центра симметрии

- определение точки симметричной относительно оси симметрии

- определение точки симметричной относительно плоскости симметрии

- определение правильного многогранника

- формулировки теоремы существования, свойства правильных многогранников и доказательство этих теорем

- определение элементов симметрии

Умеет:

- строить сечение многогранников, графические модели правильных многогранников

- находить элементы многогранников (ребра, высота, сторона…)

- вычислять соответствующие расстояния и углы

- решать ключевые задачи темы

Понимает:

- практическую значимость данной темы

- роль аналогии и обобщение в получение новых знаний

Урок семинар по теме правильные многогранники

Тип урока: урок семинар

Учебник: Атанасян Геометрия 10-11  Гл. 3 параграф 3

Учебная задача: обнаружить связи геометрии в целом и данной темы в частности с другими науками и с окружающей действительностью.

Структура урока:

Мотивационно-ориентировочный 10 мин.

Содержательный 60 мин.

Рефлексивно-оценочный 7 мин.

Методы обучения: репродуктивный, УДЕ

Средства обучения: презентация, модели многогранников

Диагностируемые цели:

В результате урока ученик: -знает понятие звездчатых, неправильных  многогранников, историю многогранников, гипотезы Кеплера и Макарова;

-умеет находить материал по нужной теме, анализировать его и объяснять его другим;

-понимает значение темы и роль ее в окружающей действительности;

Форма работы: фронтальная, групповая.

Подготовка к семинару начинается за месяц до его проведения. Ученики делятся на группы докладчиков по желанию, в зависимости от того какая тема их больше интересуют. Учитель выдает темы и список литературы, который можно использовать. Так же каждая группа к своему докладу подготовить презентацию. Встречи с учителем по вопросам учащихся проводиться раз в неделю. Учитель контролирует выполнение докладов.

Список литературы, рекомендованный к использованию учащимися:

1.                 Энциклопедический словарь юного математика

2.                 Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир.

3.                 Кордемский Б.А. Великие жизни в математике

4.                 Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976

5.                 Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.

6.                 Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М., 1981.

План семинара:

1. Вступительное слово учителя

2. Доклад1: История правильных многогранников

3. Доклад2: Полуправильные многогранники

4. Доклад3: Звездчатые многогранники.

5. Доклпд4: Гипотезы Кеплера и Макарова

6. Доклад5: Применение многогранников. Кристаллы – природные многогранники

7. Решение задач

8.Подведение итогов семинара.

Ход урока:

Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим знакомство с миром многогранников, заглянем в прошлое, вспомним имена ученых, сделавших большой вклад в теорию многогранников и посмотрим, где еще, кроме геометрии, можно встретиться с этими пространственными телами. К сегодняшнему занятию в качестве эпиграфа я взяла бы изречения двух известных людей:

“В геометрии нет царских дорог”. Евклид и “Можно с уверенностью сказать, что жители самой отдаленной Галактики не смогут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного многогранника”. М. Гарднер

Начнем с Евклида, ибо с него начинается геометрия. Примерно 2000 лет назад жил этот великий ученый и мыслитель. В Древней Греции появился знаменитый трактат “Начала”, где отдельные осмысленные факты были объединены в общую логическую систему. “Начала” Евклида не потеряли своей ценности и поныне. Примечателен такой разговор Евклида с царем Птолемеем. Когда царь спросил: “А нет ли пути более быстрого, чем “Начала”?”, Евклид ответил: “В геометрии нет царских дорог”.

Последняя, XIII книга “Начал”, посвященная правильным многогранникам, стала венцом творения Евклида. С ними мы и познакомимся сегодня на уроке.

Доклад №1: История правильных многогранников(приведем пример доклада)

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

·        Вселенная – додекаэдр

·        Земля - куб

·        Огонь - тетраэдр

·        Вода - икосаэдр

·        Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Учитель: Молодцы, ребята. Кроме правильных многогранников существуют еще и полуправильные многогранники, часть из которых открыл Архимед. С этими материалами вас познакомят ученики следующей группы.

Записи в тетрадях: Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами. Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал.

Вопросы учителя:

-Вы говорили о великих математиках (Пифагоре, Платоне, Аристотеле и т.д.) знаете ли вы их годы жизни?

-Какой факт из истории многогранников вам показался самым интересным?

Доклад №2 Полуправильные многогранники. (пример доклада учащихся)

Так называемые полуправильные многогранники связывают с именем Архимеда. Это 13 тел, полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных ряда правильных призм и антипризм с равными ребрами.

  В эпоху Возрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связать правильные многогранники со строением Вселенной. С большей или меньшей точностью он разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую.

Полуправильные многогранники или Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник);

2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Существует 13 полуправильных многогранников:

-Кубооктаэдр

-Икосододекаэдр

-Усеченный тетраэдр

-Усечённый куб

-Усечённый октаэдр

-Усечённый додекаэдр

-Усечённый икосаэдр

-Ромбокубооктаэдр

-Ромбоусечённый кубоктаэдр

-Ромбоикосододекаэдр

-Ромбоусечённый икосододекаэдр

-Курносый куб

-Курносый додекаэдр

Многогранник — архимедово тело	Грани	Вершины	Рёбра
Кубооктаэдр	8 треугольников 6 квадратов	12	24
Икосододекаэдр	20 треугольников 12 пятиугольников	30	60
Усечённый тетраэдр	4 треугольника 4 шестиугольника	12	18
Усечённый октаэдр	6 квадратов 8 шестиугольников	24	36
Усечённый икосаэдр	12 пятиугольников 20 шестиугольников	60	90
Усечённый куб	8 треугольников 6 восьмиугольников	24	36
Усечённый додекаэдр	20 треугольников 12 десятиугольников	60	90
Ромбокубооктаэдр	8 треугольников 18 квадратов (6 — в кубическом положении, 12 — в ромбическом)	24	48
Ромбоикосододекаэдр	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников	60	120
Ромбоусечённый кубооктаэдр	12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников	48	72
Ромбоусечённый икосододекаэдр	30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников	120	180
Курносый куб	32 треугольника 6 квадратов	24	60
Курносый додекаэдр	80 треугольников 12 пятиугольников	60	150

Учитель: Вы хорошо справились, садитесь. Интересна еще одна группа многогранников – звездчатые, которые были открыты И. Кеплером и Л. Пуансо. О них вам расскажут ученики третей группы.

Записи в тетрадях: Полуправильные многогранники или Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник);

2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Существует 13 полуправильных многогранников

Вопросы учителя:

-Почему полуправильные многогранники называют Архимедовыми телами?

-Как вы думаете можно ли склеить самому модели многогранников?

Доклад №3: Звездчатые многогранники. (пример доклада учащихся)

Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в ребрах, при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами.

Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.

Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Коши установил, что существует всего 4 правильных звёздчатых тела, не являющиеся соединениями платоновых и звёздчатых тел, называемые телами Кепплера — Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и одна из звёздчатых форм икосаэдра. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кепплера — Пуансо.

На данных рисунках каждая грань для красоты и наглядности окрашена собственным цветом.

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.

Полуправильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Коксетер и другие к 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже удалось доказать, что полученный ими список многогранников действительно полон.

Однородные многогранники — правильные и полуправильные выпуклые многогранники (Платоновы и Архимедовы тела), правильные и полуправильные звёздчатые многогранники вместе называются однородными многогранниками. У этих тел все грани являются правильными многоугольниками (выпуклыми или звездчатыми), а все вершины одинаковы (т.е. существуют ортогональные преобразования многогранника в себя, переводящие любую вершину в любую другую). Существует ровно 75 однородных многогранников.

Звёздчатый октаэдр

Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера». По сути она является соединением двух тетраэдров.

Звёздчатые формы додекаэдра

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.

Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Звёздчатые формы икосаэдра

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром (см. рис), является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров. Первая звёздчатая форма — малый триамбический икосаэдр.

Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 = 472 отсека десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. Следующая звёздчатая форма - завершающая.

Звёздчатые формы кубооктаэдра

Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.

Звёздчатые формы икосододекаэдра

Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо.

Учитель: Молодцы, ребята, садитесь. А теперь давайте послушаем теории, которые связывают многогранники с астрономией.

Записи в тетрадях: Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.

Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники.

Вопросы учителя:

-Почему эти многогранники называют звездчатыми?

-Кто первый задумался о их существовании?

-Существуют ли в природе объекты формой звездчатых многогранников?

Доклад №4: Гипотеза Кеплера.

Ученые древности во всех сферах деятельности и в окружающей действительности искали гармонию. Пять красивых тел – правильных многогранников казались им удивительно гармоничными.

Замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер Иоганн Кеплер (1571–1630) выдвинул очень интересную гипотезу. Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего пять правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.

Согласно предположениям Кеплера в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Кеплер выполнил огромную вычислительную работу, чтобы подтвердить свои предположения. Космическая теория платоновых тел оказалась неверна.

Однако на основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом – вектором планеты, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.

Это были только гипотезы, пока их не обосновал на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643–1727).

Но и в наши дни правильные многогранники не дают ученым покоя Они выдвигают новые гипотезы, создают свои научные фантазии.

Гипотеза Макарова, Морозова и Гончарова

Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х годов высказали московские инженеры В.Макаров, В.Морозов и Н.Гончарова.

Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Учитель: Спасибо, садитесь. Следующий раздел нашего семинара и последняя группа докладчиков расскажет нам о многогранниках в природе.

Записи в тетради:

Замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер Иоганн Кеплер (1571–1630) выдвинул очень интересную гипотезу: сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.

На основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, Кеплер установил три закона движения планет относительно Солнца.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом – вектором планеты, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.

В.Макаров, В.Морозов и Н.Гончарова считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете.

Вопросы учителя:

- Кто обосновал три гипотезы Кеплера?

- В каких годах была выдвинута гипотеза Макарова, Морозова и Гончарова?

Доклад №5: Многогранники в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Алмаз (октаэдр)

Шеелит (пирамида)

Хрусталь (призма)

Поваренная соль (куб)

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Учитель: Молодцы ребята, сегодня мы узнали много нового и теперь подведем итоги.

Записи в тетради: Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Учитель:

1.    Какова была цель урока?

2.    Интересно ли было вам на уроке?

3.    Узнал ли ты что-либо новое для себя?

Домашнее задание: Повторить весь пройденный материал. Подготовиться к контрольной работе