Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспекты алгебра 3 часть 7класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспекты алгебра 3 часть 7класс

библиотека
материалов

Урок 43
Определение степени
с натуральным показателем

Цели: ввести понятие степени числа а с натуральным показателем п; определить значение степени с натуральным показателем положительного и отрицательного числа в зависимости от четности / нечетности показателя степени; формировать умение вычислять значение степени и представлять число в виде степени с натуральным показателем.

Ход урока

I. Устная работа.

Вычислите.

а) 3 · 45; б) hello_html_5de84e72.gif · 120; в) hello_html_m6b099c2.gif;

г) hello_html_m5b014f58.gif; д) hello_html_22546d0d.gif · 49; е) –3 · (–16);

ж) –(–3) · 12; з) –(2 · (–9)); и) hello_html_m61a08a5a.gif;

к) 18 · hello_html_184716c3.gif + 11; л) hello_html_ff9a798.gif · (11 – 6); м) hello_html_m252bb224.gif.

II. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту 18 учебника. Напоминаем, что вместо длинной записи произведения 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 можно записать выражение 57, где 5 – основание степени (повторяющийся множитель), а 7 – показатель степени (число повторяющихся множителей).

Понятие степени определяем для любого числа а в качестве основания и любого натурального показателя (аналитическая запись).

На доску выносится запись:

Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется выражение ап, равное произведению п множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Проговариваем с учащимися правило чтения степени, приводим примеры.

2. Мини-лабораторная работа.

Найдите значение степени.

33; 34; 35; 36; 01;

hello_html_m2cdaca6a.gif; 02;

(0,1)2; (0,1)3; (0,1)4; (0,1)5; 03;

(–2)2; (–2)3; (–2)4; (–2)5; 04;

hello_html_29164a59.gif; 05;

(–0,1)2; (–0,1)3; (–0,1)4; (–0,1)5; 06.

Задания разбиваем либо по группам, либо раздаем индивидуально. Затем «по цепочке» ученики выходят к доске и записывают результаты.

После анализа полученных результатов на доску выносятся следующие правила:

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении в степень нуля получается нуль.

Степень отрицательного числа с четным показателем – положительное число.

Степень отрицательного числа с нечетным показателем – отрицательное число.

Обособленно выносим правило для квадратов чисел (пропедевтика изучения решения квадратных уравнений):

Квадрат любого числа есть положительное число либо нуль (а2 ≥ 0 при любом а).

3. Рассматриваем примеры 1–3 со с. 88–89 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разбить на группы:

1-я группа. Задания на усвоение понятия степени.

2-я группа. Задания на вычисление значения степени числа с натуральным показателем.

3-я группа. Задания на вычисление значения числового выражения, содержащего степень.

1-я группа

374, № 375 (устно), № 376, № 378, № 380.

При выполнении этих заданий учащиеся должны четко называть степень, можно просить назвать их основание и показатель степени.

2-я группа

1. № 382, № 381 (а, б).

2. Не выполняя вычислений, сравните значение данного выражения с нулем:

а) (–4,1) · (–5,6)6; б) (–3,3)3 : (–5,7);

в) –(4,8)2 · (–1,2)4; г) –(–2,7)4 · (–6,4)5.

3. Сравните значения выражений:

а) (–6,5)4 и (–2,4)3;

б) (–0,2)6 и (–0,2)10;

в) (–1,5)7 и (–1,5)9.

3-я группа

384, 385 (а, в, г), 386 (а, в, д, ж), 387 (а, б, в).

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.

– Чему равна первая степень любого числа?

– Какой знак имеет результат возведения положительного числа в натуральную степень?

– Какой знак имеет значение степени отрицательного числа с четным показателем? С нечетным показателем?

– Каков порядок действий при нахождении значения выражения, содержащего степени с натуральным показателем?

Домашнее задание: № 377; 379; 381 (в, г); 383; 385 (б, г, е); 386 (б, г, е, з).

Урок 44
Решение задач по теме «Определение степени
с натуральным показателем»

Цели: продолжить формировать умение вычислять значение числового выражения, содержащего степень; формировать умение вычислять значение буквенного выражения, содержащего степень, и решать практические задачи с использованием понятия степени с натуральным показателем.

Ход урока

I. Математический диктант.

Вариант 1

1. Запишите в виде произведения третью степень числа 4 и найдите её числовое значение.

2. Чему равна первая степень числа –5?

3. Вычислите значение выражения 23 · 0,5.

4. Чему равна сумма кубов чисел 5 и 3?

5. Вычислите значение выражения (–3)2 + (0,1)3.

Вариант 2

1. Запишите в виде произведения четвертую степень числа 3 и найдите её числовое значение.

2. Чему равна первая степень числа hello_html_m68cafabe.gif?

3. Вычислите значение выражения 32 · 0,7.

4. Чему равен квадрат разности чисел 7 и 5?

5. вычислите значение выражения (–5)3 – (0,2)2.

II. Актуализация знаний.

387 (г, д, е, ж, з, и), № 388.

388.

Решение:

а) –13 + (–2)3 = –1 + (–8) = –9;

б) –62 – (–1)4 = –36 – 1 = –37;

в) –83 + (–3)3 = –512 + (–27) = –539;

г) 10 – 5 · 24 = 10 – 5 · 16 = 10 – 80 = –70;

д) 2 · 34 – 3 · 24 = 2 · 81 – 3 · 16 = 162 – 48 = 114;

е) 2 · 53 + 5 · 23 = 2 · 125 + 5 · 8 = 250 + 40 = 290;

ж) 34hello_html_63ecc19a.gif = 81 – 1 = 80;

з) 0,2 · 32 – 0,4 · 24 = 0,2 · 32 – 0,2 · 2 · 24 = 0,2(32 – 2 · 24) =
= 0,2(9 – 2 · 16) = 0,2 · (9 – 32) = 0,2 · (–23) = –4,6;

и) 8 · 0,53 + 25 · 0,22 = 2 3 · 0,53 + 52 · 0,22 = (2 · 0,5)3 + (5 · 0,2)2 =
= 13 + 12 = 1 + 1 = 2.

При выполнении этого упражнения учащиеся выводят правило:

an · bn = (a · b)n, для любых a и b.

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатывается умение вычислять значение буквенного выражения, содержащего степень.

1-й блок

1. Найдите значения выражений х2; – х2; х2 – 4 для заданных значений х и заполните таблицу (используйте найденные значения выражения х2 для вычисления значений двух других выражений):

х

–5

–2,5

0

0,3

1

12

х2







х2







х2 – 4







2. Найдите значение выражений х3; 0,1х3; х3 + 10 для заданных значений х и заполните таблицу:

х

–4

–0,3

–1

0

9

х3






0,1х3






х3 + 10






3. № 392 (устно).

2-й блок

1. Найдите значение выражения.

а) (ху)2 при х = 12 и у = –0,5; х = –14 и у = –1;

б) hello_html_52519a96.gif при х = –6 и у = 1,5; х = 0 и у = –23;

в) (х + у)4 при х = 0,7 и у = 0,3; х = –11 и у = 6;

г) (ух)3 при х = –14 и у = –10; х = 0,9 и у = 1,1.

2. № 393.

3. Сравните значения выражений.

а) –а2 и (–а)2 при а = 3; –5; 0;

б) –а3 и (–а)3 при а = 10; –2; 0.

4. № 395.

Решение:

а) а3 · а = (а · а · а) · а = а4;

б) а4 · а2 = (а · а · а · а) · (а · а) = а6;

в) а3 · а6 = hello_html_m6375261.gif = а9;

г) а20 · а12 = hello_html_5ddcbc80.gif = а32.

396, № 397.

3-й блок

1. № 389.

2. Сколько биений сделает сердце человека за сутки, если за 1 мин оно делает в среднем 75 биений?

3. Может ли школьник поднять 1 м3 пробки? (Масса 1 см3 пробки 0,2 г.)

Решение:

Рассчитаем, сколько см3 в 1 м3:

1 м3 = 1 · 1 · 1 ( в м) = 100 · 100 · 100 (в см) = 1 000 000 = 106 см3.

Масса 1 м3 пробки равна 0,2 · 106 (г), что составляет 200 000 г или 200 кг. Значит, школьник не сможет поднять такую массу.

Ответ: нет.

4. Если разрезать кубический метр на кубические сантиметры и поставить их один на другой, то какой высоты получится столб?

При решении этой задачи следует использовать результаты предыдущей задачи.

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

– Чему равна любая натуральная степень нуля?

– Каков порядок действий при нахождении числового и буквенного выражения, содержащего степень?

– Чему равно значение выражения 0,28 · 58? Как рационально вычислить? Каким правилом необходимо воспользоваться?

Домашнее задание: № 390; № 391; № 394; № 398.

Урок 45
Умножение и деление степеней
с одинаковыми основаниями

Цели: вывести правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием; дать определение нулевой степени числа, не равного нулю; формировать умение выполнять указанные действия со степенями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Вычислите.

а) 32; б) hello_html_m457636fa.gif; в) (0,1)3; г) hello_html_m51a0fc1d.gif;

д) hello_html_5c534ac1.gif; е) (–0,1)4; ж) hello_html_m3857b173.gif; з) –(–7)2;

и) –(–2)3; к) 016; л) (–1)18; м) –(–1)23.

2. Сравните значение двух выражений:

а) (–8,64)20 и 030; б) (–1)76 и (–1)70;

в) hello_html_m74f85f5b.gif и (–3,82)13; г) hello_html_67723584.gif и hello_html_m2d2a3c39.gif.

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Найдите значение выражения.

а) hello_html_3e942520.gif – (0,5)2; б) 3000 · (0,2)3 – (–2)6; в) hello_html_ma91c3a3.gif– (–3)3.

2. Вычислите значение выражения х3х2 при:

а) х = 0,3; б) х = –6.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения.

а) hello_html_m18783a45.gif + (0,6)2; б) 2000 · (0,3)4 – (–2)4; в) hello_html_m4507aaf6.gif – (–4)3.

2. Вычислите значение выражения х2 + х3 при:

а) х = –0,4; б) х = 10.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке изучаем два важных свойства степени: сложение и умножение степеней с одинаковыми основаниями.

Вывод правил целесообразно осуществлять, работая сразу с числовыми и буквенными выражениями, результаты оформить в виде таблицы.

Свойство 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.


hello_html_3caf3baf.gif

hello_html_m65907d9a.gif

hello_html_m40e89bb2.gif

по сочетательному свойству умножения

hello_html_m3d00ed48.gif

hello_html_m1ff0b564.gif

по определению степени с натуральным показателем

= 25

Итак, 22 · 23 = 22 + 3

= am + n

hello_html_m2462eaa0.gif


Свойство 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.


5 > 3

35 : 33 =

hello_html_m5664d1f1.gif

m > n, a 0

am : an =

hello_html_m532052a5.gif

запишем частное в виде дроби

hello_html_22dd542d.gif

hello_html_m7b004b9.gif


сократим дробь

hello_html_4a62c6c5.gif

hello_html_m70d7cb4a.gif

по определению степени с натуральным показателем

= 32

Итак, 35 : 33 = 35 – 3

= amn

hello_html_6874d8a3.gif

Замечаем, что am : am = am – m = a0 = 1.

Определение. Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом занятии можно отрабатывать только умение находить произведение степеней с одинаковым основанием.

1. № 403.

Решение:

а) x5x8 = x5 + 8 = x13; е) yy12 = y1 + 12 = y13;

ж) 2624 = 26 + 4 + 210; з) 757 = 75 + 1 = 76.

2. № 405.

Решение:

а) a15 = a6 + 9 = a6 a9; б) a15 = a9 + 6 = a9 a6;

в) a15 = a2 + 13 = a2 a13; г) a15 = a14 + 1 = a14 a = a a14.

3. № 407.

Решение:

Представим число 6 в виде суммы двух натуральных чисел всеми возможными способами:

6 = 1 + 5; 6 = 2 + 4; 6 = 3 + 3.

Значит, a6 = a a5; a6 = a2 a4; a6 = a3 a3.

4. № 409.

Решение:

а) m3m2m8 = m3 + 2 + 8 = m13; в) xx4x4x = x1 + 4 + 4 + 1 = x10;

д) 78 7 74 = 78 + 1 + 4 = 713; е) 5 52 53 55 = 51 + 2 + 3 + 4 = 511.

5. № 410.

При выполнении этого упражнения ученики сами определяют основание степени, которое будет являться общим для двух степеней.

Решение:

а) 58 ∙ 25 = 58 ∙ 52 = 58 + 2 = 510;

в) 615 ∙ 36 = 615 ∙ 62 = 615 + 2 = 617;

д) 0,45 ∙ 0,16 = 0,45 ∙ 0,42 = 0,45 + 2 = 0,47;

е) 0,001 ∙ 0,14 = 0,13 ∙ 0,14 = 0,13 + 4 = 0,17.

6. № 411.

Решение:

а) 24 ∙ 2 = 24 + 1 = 25 = 32;

б) 26 ∙ 4 = 26 ∙ 22 = 26 + 2 = 28 = 256;

в) 8 ∙ 27 = 23 ∙ 27 = 23 + 7 = 210 = 1024;

г) 16 ∙ 32 = 24 ∙ 25 = 24 + 5 = 29 = 512.

7. № 413.

Решение:

а) (c4)2 = c4c4 = c4 + 4 = c8;

б) (c2)4 = c2c2c2c2 = c2 + 2 + 2 + 2 = c8.

V. Итоги урока.

– Дайте определение степени с натуральным показателем.

– Сформулируйте основное свойство степени.

– Сформулируйте правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите примеры.

– Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

Домашнее задание: № 404; № 406; № 408; 412; № 533.

Урок 46
Решение задач по теме
«Умножение и деление степеней»

Цели: продолжить формировать умение выполнять действия со степенями с одинаковыми основаниями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Найдите значение выражения.

а) 43; б) (0,7)2; в) hello_html_274c22d4.gif; г) 012;

д) (–6)2; е) (–0,3)4; ж) (–1)8; з) hello_html_m5cf2a498.gif.

2. Сравните с нулем значение выражения.

а) (–25)12 · (–25)9;

б) (–4)19 : (–4)7;

в) (–12)13 · (–12)8.

3. Замените звездочку степенью с основанием а так, чтобы стало верным равенство:

а) а4 · * = а12; б) * · а = а4;

в) а14 : * = а7; г) * : а9 = а10.

II. Формирование умений и навыков.

На этом занятии учащиеся отрабатывают умение делить степени с одинаковыми основаниями и решают комбинированные задачи.

1. № 414.

Решение:

а) x5 : x3 = x5 – 3 = x2;

в) a21 : a = a21 – 1 = a20;

з) 0,79 : 0,74 = 0,79 – 4 = 0,75.

2. № 416.

Решение:

а) 56 : 54 = 56 – 4 = 52 = 25;

б) 1015 : 1012 = 1015 – 12 = 103 = 1000;

в) 0,510 : 0,57 = 0,510 – 7 = 0,53 = 0,125;

г) hello_html_m7dfdeedd.gif;

д) 2,7313 : 2,7312 = 2,7313 – 12 = 2,73;

е) hello_html_m42c5ca6.gif.

3. Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение.

а) x8x3 : x5; б) x20 : x10x;

в) x7 : x3 : x3; г) x14 : x9x5.

Решение:

а) x8x3 : x5 = x8 + 3 : x5 = x11 : x5 = x11 – 5 = x6;

б) x20 : x10x = x20 – 10x = x10x = x10 + 1 = x11;

в) x7 : x3 : x3 = x7 – 3 : x3 = x4 : x3 = x4 – 3 = x;

г) x14 : x9x5 = x14 – 9x5 = x5x5 = x5 + 5 = x10.

4. № 417.

Решение:

а) hello_html_m14d660ae.gif= 86 : 84 = 86 – 4 = 82 = 64;

б) hello_html_m33b59aea.gif= 0,87 : 0,84 = 0,87 – 4 = 0,83 = 0,512;

в) hello_html_2890a0cf.gif= (–0,3)5 : (–0,3)3 = (–0,3)5 – 3 = (–0,3)2 = 0,09;

г) hello_html_m30d4fb41.gif;

д) hello_html_m328b49fb.gif

hello_html_53c30bd1.gif.

5. Найдите значение выражения.

а) hello_html_m2c9b63b9.gif; б) hello_html_m5999a9ba.gif;

в) hello_html_m4d502d6a.gif; г) hello_html_m19be8ed3.gif.

При выполнении этого упражнения уже не обязательно переписывать дробь в виде частного.

Желательно, чтобы учащиеся проговаривали не только правила действий над степенями, но и правила возведения в степень отрицательного числа при четном нечетном показателях.

Решение:

а) hello_html_51c0ce10.gif = 821 – 18 = 83 = 512;

б) hello_html_m1894a282.gif = 1010 – 6 = 104 = 10 000;

в) hello_html_m2af0152f.gif = (–2)11 – 8 = (–2)3 = –8;

г) hello_html_6895c6aa.gif = (0,3)17 – 14 = (0,3)3 = 0,027.

6. № 419 (а, в, д).

Решение:

а) xn x3 = xn + 3;

в) x xn = x1 + n = xn + 1;

д) c9 : cm = c9 – m.

7. Представьте данное выражение сначала в виде произведения степеней, а затем в виде частного степеней.

а) am – 2; б) a4n; в) an.

Решение:

а) am – 2 = am – 4a2; am – 2 = am : a2;

б) a4n = a2na2n; a4n = a5n : an;

в) an = an – 1a; an = a2n : an.

Выполняя это упражнение, учащиеся могут предложить свои варианты разбиения на множители.

8. № 420 (а, в), № 421 (а, б).

420.

Решение:

а) если х = 2,6, то 3х0 = 3 (при любом значении х);

в) 10a2b0 = 10a2, если а = 3, b = –8, то 10a2 = 10 · 32 = 10 · 9 = 90.

421.

Решение:

а) b4 · b0 = b4 · 1 = b4; б) c5 : c0 = c5 : 1 = c5.

При выполнении этого упражнения учащиеся могут воспользоваться правилом умножения и деления степеней.

III. Итоги урока.

– Дайте определение степени с натуральным показателем.

– Сформулируйте правило возведения отрицательного числа в четную степень, в нечетную степень.

– Какой знак имеет результат возведения любого числа в квадрат?

– Сформулируйте правила сложения и умножения степеней с одинаковыми основаниями.

– Чему равно значение выражения 20; (–1)1; hello_html_586478a3.gif?

Домашнее задание: № 415; № 418; № 419 (б, г, е); № 420 (б, г);
№ 421 (в, г); № 422.

Урок 47
Решение практических задач по теме
«Умножение и деление степеней»

Цель: формировать умение использовать правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями при решении практических задач.

Ход урока

I. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Представьте в виде степени произведение.

а) x6 x3 x7; б) (–7)3 (–7)2 (–7)9.

2. Представьте в виде степени частное.

а) x8 : x4; б) (–0,5)6 : (–0,5)8.

3. Найдите значение выражения.

а) hello_html_m3d146580.gif; б) hello_html_m53bc668.gif.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени произведение.

а) y5 y9 y2; б) (–6)8 (–6)2 (–6)3.

2. Представьте в виде степени частное.

а) z10 : z7; б) hello_html_m2aba8f1d.gif.

3. Найдите значение выражения.

а) hello_html_m403a6f85.gif; б) hello_html_376eaa33.gif.

II. Мотивация изучения.

Данная тема предоставляет учителю возможность познакомить детей с числовыми величинами, которыми можно выразить количественные отношения реального мира. В этом плане особенно важны задачи, содержащие реальные величины, например задачи о Солнечной системе, планетах и других космических телах.

Полезно ознакомить учащихся с названиями классов принятой десятичной нумерации:

103 – тысяча

106 – миллион

109 – биллион (миллиард)

1012 – триллион

1015 – квадриллион

1018 – квинтиллион

1021 – секстиллион

1024 – септиллион

1027 – октиллион

1030 – нониллион

1033 – дециллион

1036 – андециллион

1039 – дуодециллион

1042 – тредециллион

1045 – кваттордециллион

hello_html_626d2712.gif

10100 – гугол

Интересно для сравнения привести наименования классов старинной русской нумерации. Л. Магницкий в своей «Арифметике», изданной при Петре I, упоминает такие названия:

103 – тысяча

104 – тьма

105 – легион

106 – леодр

107 – вран

108 – колода.

Операции с числовыми великанами делают актуальными приближенные вычисления. Если исходные данные в задаче получены в результате измерений (например, астрономических) с точностью до 2–3 десятичных знаков, нет никакого смысла в последующих десятках цифр. Поэтому в этой теме уместно познакомить детей с правилами округления чисел.

III. Формирование умений и навыков.

1. Найдите отношение массы каждой из планет Солнечной системы к массе Земли.

Справка.

Планета

Солнце

Меркурий

Венера

Земля

Марс

масса, кг

2 · 1030

3,4 · 1023

4,9 · 1024

6 · 1024

6,4 · 1023


Планета

Юпитер

Сатурн

Уран

Нептун

Плутон

масса, кг

1,9 · 1027

5,7 · 1026

8,8 · 1025

1,0 · 1026

1,1 · 1021

2. В астрономии одной из единиц длины является световой год,
то есть расстояние, которое проходит за год луч света. Скорость света
с = 300 000 км/с. Вычислите:

а) за какое время луч света доходит от Земли до Луны, от Солнца до Земли; б) величину светового года в километрах; в) расстояние от Земли до звезды Сириус в световых годах.

Справка. Среднее расстояние от Земли до Луны 384 000 км, от Земли до звезды Сириус 8,2 · 1013 км.

3. Ежегодно прирост древесины на опытном участке составляет 10 %. Какое количество древесины будет на участке через 10 лет, если сейчас её 105 м3?

4. В сберегательном банке вкладчику начисляется 20 % в год от сданной на хранение суммы. Через сколько лет первоначальная сумма увеличится более чем в 2 раза; в 5 раз?

5. Найдите массу мотка медной проволоки сечением 2 мм и длиной 50 м.

Справка. Масса вычисляется по формуле m = ρ V, где ρ – плотность вещества. В частности, для меди ρ = 8,9 г/см3. А для вычисления объема цилиндра V нужно воспользоваться формулой V = πR2H.

6*. Какое наибольшее число абонентов может быть прикреплено к одной АТС при семизначной записи номеров телефона? Первые три цифры всех номеров данной АТС одинаковы.

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

– В каких областях используются вычисления больших степеней числа 10?

Домашнее задание: 1. Во сколько раз число 4,8 · 1019 больше числа 1,2 · 1019?

2. Найдите расстояние от Солнца до планет Солнечной системы в астрономических единицах.

Справка.

Планета

Меркурий

Венера

Земля

Марс

Юпитер

Сатурн

Уран

Нептун

Плутон

Среднее
расстояние
от Солнца, млн км

58

108

150

228

778

1430

2870

4500

5900

Астрономическая единица (а. е.) – среднее расстояние от Солнца до Земли.

3. № 542; № 543.

Урок 48
Возведение в степень произведения

Цели: вывести правило возведения в степень произведения двух и более сомножителей; формировать умение вычислять степень произведения, а также рационально преобразовывать выражения, содержащие степень произведения либо предполагающие использование данного свойства.

Ход урока

I. Устная работа.

Вычислите.

а) 23 · 53; в) 122; д) 53 · hello_html_43c906ca.gif; ж) (bx)5;

б) 103; г) 32 · 42; е) (2а)3; з) (ab)n.

II. Объяснение нового материала.

Конструкция примеров и их последовательность позволяют сделать обобщение. В результате появится следующая запись:

(ab)n = anbn.

Заготовленный лист с этим свойством закрепить на доску к ранее изученным. Это равенство можно доказать устно с подробной записью доказательства на доске:

Для любых а и b и произвольного натурального п верно равенство (ab)n = anbn.

Доказательство:

(ab)n = (ab) · (ab) · ... · (ab) по определению степени п раз;

(ab) · (ab) · ... · (ab) = (aa...a)(bb...b) по свойствам умножения п раз п раз; (ab)n = anbn.

Ученики пробуют самостоятельно сформулировать алгоритмическое правило возведения в степень произведения. Они приходят к выводу, что необходимо выполнить два шага:

1) каждый множитель возводить в эту степень;

2) результаты перемножить.

Следует записать выводы учащихся в виде алгоритма на доске и подчеркнуть глаголы. Глагол обозначает действие, которое необходимо выполнить. Ребята выясняют, можно ли поменять местами порядок выполнения действий. Далее идёт работа с учебником. Ребята сравнивают формулировку, которая получилась у них, с той, которая находится в учебнике на с. 97.

Такой подход даёт хороший результат быстрого заучивания формулировок свойств степени.

Последним можно предложить следующий пример:

(abсd)4 = ...

Решение:

(abcd)4 = a4b4c4d4.

Учащиеся могут самостоятельно доказать, что данная формула верна не только для двух сомножителей, но и большего их числа.

По окончании объяснения нового материала рассмотреть пример 1 со с. 97 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

При выполнении упражнений на уроке ученики должны проговаривать правило и алгоритм возведения произведения в степень.

Кроме того, задания предполагают применение формулы как слева направо, так и справа налево. Необходимость того или иного способа обусловлена рациональностью преобразования выражения либо вычисления его значения.

1. № 428.

2. Выполните возведение в степень, представив предварительно основание степени в виде произведения множителей –1 и х:

а) (–х)2; б) (–х)8; в) (–х)100; г) (–х)2п;

д) (–х)3; е) (–х)9; ж) (–х)71; з) (–х)2п + 1.

Решение:

а) (–х)2 = ((–1) · х)2 = (–1)2 · х2 = 1 · х2 = х2;

е) (–х)9 = ((–1) · х)9 = (–1)9 · х9 = –1 · х9 = –х9;

г) (–х)2п = ((–1) · х)2п = (–1)2п · х2п = 1 · х2п = х2п;

з) (–х)2п + 1 = ((–1) · х)2п + 1 = (–1)2п + 1 · х2п + 1 = –1 · х2п + 1 = –х2п + 1.

3. № 431.

Решение:

а и –а – противоположные числа.

а2;

(–а)2 = ((–1) · а)2 = (–1)2 · а2 = 1 · а2 = а2,

значит, а2 = (–а2).

4. № 432.

Решение:

hello_html_m2e3ddd5e.png

Пусть а – сторона квадрата, тогда площадь квадрата равна а2.

Если сторона квадрата увеличится в 2 раза, то станет равна 2а, а его площадь будет равна (2а) · (2а) =
= (2а)2 = 22 · а2 = 4а2, то есть увеличится в 4 раза.

Аналогично рассуждаем для остальных случаев.

5. № 433.

Решение:

hello_html_m759b98a7.png

Пусть а – ребро куба, тогда его объем равен а3.

Если ребро увеличить в 3 раза, то объем куба будет вычисляться по формуле (3а) · (3а) · (3а) = (3а)3 =
= 33 · а3 = 27а3, значит, объем увеличится в 27 раз.

6. № 434.

Для решения используем данные задачи № 432.

Решение:

Поверхность куба состоит из 6 квадратов площадью а2, то есть равна 6а2.

Если ребро куба увеличить в 3 раза, то площадь боковой грани составит 9а2, а общая площадь поверхности равна 6 · 9а2 или 54а2.

Новая площадь больше в 9 раз, значит, и краски потребуется в 9 раз больше, то есть 40 · 9 = 360 г. Следовательно, 350 г краски на хватит.

Ответ: не хватит.

7. Представьте произведение в виде степени.

а) x5y5; б) 36a2b2; в) 0,001x3c3;

г) –х3; д) –8х3; е) –32a5b5;

ж) x5y5z5; з) 0,027a3b3c3; и) hello_html_79bbedc4.gifx3a3z3.

8. Вычислите значение выражения, используя свойство степени произведения.

а) 53 · 23; в) (0,5)3 · 603;

б) hello_html_m2b7e807f.gif · 204; г) (1,2)4 · hello_html_m46a54804.gif.

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

– Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

– Сколько сомножителей может стоять в формуле степени произведения?

– Чему равно значение выражения (3 · 5 · 78)0?

Домашнее задание: № 429; № 430; № 435; № 436; № 437.

Урок 49
Возведение степени в степень

Цели: вывести правило возведения степени в степень; формировать умение выполнять преобразование выражений, содержащих степень в степени.

Ход урока

I. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Возведите в степень произведение.

а) (xyz)8; б) hello_html_m3a590290.gif; в) (–2а)3; г) hello_html_m413f4174.gif.

2. Вычислите значение выражения.

а) 252 · 42; б) hello_html_m1453e015.gif · 93; в) (–0,5)3 · 403.

Вариант 2

1. Возведите в степень произведение.

а) (abc)10; б) hello_html_m7e37c3a.gif; в) (–4а)3; г) hello_html_m52dd96b.gif.

2. Вычислите значение выражения.

а) 203 · 53; б) hello_html_m33fe38cc.gif · 252; в) (–0,2)4 · 504.

II. Объяснение нового материала.

1. Устная работа.

Представьте в виде степени.

а) (а5)3 = а5 · а5 · а5 = … ; б) (у2)5 = … ;

в) (ат)7 = … ; г) (ат)п = … .

В результате появится запись:

(ат)п = ат п.

2. Доказательство свойства можно оформить в виде таблицы.

Свойство. При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

(23)2 = 23 · 23 =

hello_html_154b56d6.gif

по первому свойству степени

= 23 + 3 =

hello_html_m1573ac3f.gif

по определению умножения

= 23 · 2

Итак, (23)2 = 23 · 2

= am · n

hello_html_m3ee9fa59.gif

Подчеркиваем, что формулу можно применять в следующем виде:

(am)n = am n = an m = (an)m.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, решаемые на этом уроке, можно разделить условно на две группы:

1-я группа. Закрепление навыков возведения степени в степень.

2-я группа. Решение заданий на правило возведения в степень произведения и степени.

1. № 438 (устно).

Решение:

а) (х3)2 = х3 · 2 = х6;

з) (b5)2 = b5 · 2 = b10.

2. № 440, № 441.

441.

Решение:

а) ап · а3 = ап + 3;

г) (а2)т = а2т.

3. № 443, № 445, № 446.

443.

Решение:

а) 220 = 22 · 10 = (22)10; б) 220 = 24 · 5 = (24)5;

в) 220 = 25 · 4 = (25)4; г) 220 = 210 · 2 = (210)2.

445.

Решение:

12 = 1 · 12; а12 = (а1)12;

12 = 2 · 6; а12 = (а2)6;

12 = 3 · 4; а12 = (а3)4;

12 = 4 · 3; а12 = (а4)3;

12 = 6 · 2; а12 = (а6)2;

12 = 12 · 1; а12 = (а12)1.

446. Решение:

а2 = т;

а6 = а2 · 3 = (а2)3 = т3.

4. Представьте выражение в виде квадрата числа.

а) а4; б) b6; в) d8; г) c10;

д) d20; е) hello_html_m5578cdc5.gif; ж) 1hello_html_m70d7f83a.gif; з) hello_html_521e67b8.gif.

5. № 447, № 449 (а, б), № 450 (а, б).

447.

Решение:

а) x3 · (x2)5 = x3 · x2 · 5 = x3 · x10 = x3 + 10 = x13;

б) (a3)2 · a5 = a3 · 2 · a5 = a6 · a5 = a6 + 5 = a11;

в) (a2)3 · (a4)2 = a2 · 3 · a4 · 2 = a6 · a8 = a6 + 8 = a14;

г) (x2)5 · (x5)2 = x2 · 5 · x5 · 2 = x10 · x10 = (x10)2 = x10 · 2 = x20;

д) (a3a3)2 = (a6)2 = a6 · 2 = a12;

е) (aa6)3 = a3 · (a6)3 = a3 · a6 · 3 = a3 · a18 = a3 + 18 = a21.

449.

Решение:

а) x5 · (x2)3 = x5 · x6 = x11;

б) (x3)4 · x8 = x12 · x8 = x20.

450.

Решение:

а) hello_html_m3df80478.gif = 24 = 16;

б) hello_html_m477394fe.gif = 5.

6. (Устно.) Найдите примеры, в которых допущена ошибка.

1) (ab)3 = a3b3; 5) (–32)3 = 36;

2) (–2bc)2 = –4b2c; 6) (c4)2c3 = c9;

3) (2 · 5)4 = 10000; 7) hello_html_m5fa3487.gif = a24;

4) (–33)2 = 36; 8) hello_html_m54bbf234.gif = 26a6b14.

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

– Сформулируйте правило возведения степени в степень. приведите примеры.

– Каков алгоритм возведения степени в степень?

– Чему равно значение выражения: hello_html_7110c07.gif; (x3)0?

Домашнее задание: № 439; № 442; № 444; № 448; № 449 (в, г);
№ 450 (в, г).

Урок 50
Решение задач по теме «Возведение в степень
произведения и степени»

Цели: обобщить знания по теме «Степень и её свойства»; закрепить умения преобразовывать числовые и буквенные выражения, содержащие степень.

Ход урока

I. Обобщение и систематизация материала.

Повторяем и систематизируем теоретический материал и практическую часть.

Дана таблица. В левом столбце заполнить пропущенные места, в правом – выполнить задания.

Степенью числа а с натуральным
показателем п называется __________
п ________, каждый из которых равен а.

Степень числа а с показателем,
равным 1 ________________

1. Представьте в виде степени
произведение:

а) (–8) · (–8) · (–8) · (–8) · (–8);

б) (ху) · (ху) · (ху) · (ху).

2. Возведите в степень: 34; (–0,2)5; hello_html_m10717456.gif

Назовите основание и показатель записанных степеней

При умножении степеней с одина-
ковыми основаниями ____________
складывают, а ________ оставляют
прежним

Выполните действия:

а4 · а12;

b6 · b9 · b;

32 · 33

При делении степеней с одинаковыми основаниями ________ оставляют
прежним, а из ______ числителя
_________________ знаменателя

Выполните действия:

b8 : b2; n7 : n6;

c9 : c; 57 : 54

При возведении степени в степень
_________ оставляют прежним,
а _________ перемножают

Выполните действия:

(m3)7; (k4)5; (22)3

При возведении в степень произведения возводят в эту степень _______________ и результаты перемножают

Выполните возведение в степень:

(–2a3b)5; hello_html_m256ee735.gif

Степень числа а, не равного нулю,
с нулевым показателем равна _________

Вычислите:

3х0 при х = 2,6

II. Закрепление умений и навыков.

Индивидуальная проверочная работа с кодированным ответом.

Каждый учащийся выполняет задания, к ним прилагается ключ, в котором использован весь алфавит, чтобы исключить угадывание ответов по буквам. В случае правильного решения – правильное слово.

Задания для каждого ряда индивидуальные. Желательно при наличии места разместить задания на доске, чтобы можно было проверить ответы, ход решения. Побеждает команда, набравшая наибольшее число баллов за правильные ответы.

Размещение материала на доске

РОМАШКА


hello_html_m3f44d913.png

hello_html_m36fb3e3a.png


это

У

Н

И

К

А

Л

Ь

Н

О

Г

Л

О

Б

А

Л

Ь

Н

О

Г

Е

Н

И

А

Л

Ь

Н

О





п/п

Задание

I ряд

Ответ


п/п

Задания

II ряд

Ответ


код



код

1

т3 · т2 · т8

т13

У

1

а4 · а3 · а2

а9

Г

2

р20 : р17

р3

Н

2

(24)5 : (27)2

64

Л

3

с5 : с0

с5

И

3

3 · 32 · 30

27

О

4

(3а)3

27а3

К

4

(2у)5

32у5

Б

5

т · т5 · т3 · т0

т9

А

5

(т2)4 · т

т9

А

6

214 : 28

64

Л

6

(23)2

64

Л

7

(–х)3 · х4

х7

Ь

7

(–х3) · (–х)4

х7

Ь

8

(р · р3)2 : р5

р3

Н

8

(р2 · р5) · р0 : р4

р3

Н

9

37 · (32)3 : 310

27

О

9

(35)2 · 37 : 314

27

О


п/п

Задание

III ряд

Ответ


код

1

а4 · а · а3а

а9

Г

2

(7х)2

49х2

Е

3

р · р2 · р0

р3

Н

4

с · с3 · с

с5

И

5

т · т4 · (т2)2 · т0

т9

А

6

(23)7 : (25)3

64

Л

7

х3 · (–х)4

х7

Ь

8

(р2)4 : р5

р3

Н

9

(34)2 · (32)3 : 311

27

О

Ключ

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

К

Л

т9

32у5

81

а9

х3

49х2

т5

р4

с5

27а3

64


М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

34

р3

27

25

х7

р6

т3

т13

а8

81а3

с7


Ч

Ш

Щ

Ъ

Ь

Ы

Э

Ю

Я



16а4

25

10у5

9у7

х7

а2

32х5

49у3

х5



III. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.

– Сформулируйте и докажите основное свойство степени.

– Сформулируйте правило умножения и правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

– Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

– Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени.

Домашнее задание: № 534; № 535; № 539; № 547; № 548.

Урок 51
Понятие одночлена и приведение его
к стандартному виду

Цели: ввести понятие одночлена и его стандартного вида; формировать умение приводить одночлен к стандартному виду путем его упрощения; формировать умение определять коэффициент и степень одночлена.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Упростите выражение.

а) х3 · (–х4); б) х3 · (–х)4; в) (–х)3 · х4;

г) (–х3) · (–х)4; д) (а2)5 · а5; е) (а2 · а5)2.

2. Выполняя задания на преобразование выражений, содержащих степени, ученик допустил следующие ошибки:

а) 5 · 5 · 5 · 5 = 45; б) (–3)2 = –3 · 3 = –9; в) 71 = 1;

г) 00 = 1; д) 23 · 27 = 221; е) 23 · 28 = 410;

ж) 23 + 27 = 210; з) 230 : 210 = 23; и) (2х)3 = 2х3;

к) (а3)2 = а9; л) (а2)3 · (а4)2 = (а6)5 = а30.

Какие определения, свойства, правила не знает ученик?

II. Объяснение нового материала.

1. При решении различных задач часто встречаются алгебраические выражения вида a · b; hello_html_43a7d4d3.gif · a · b · c; 3 · a2 · b. Для сокращения записи этих выражений знак умножения «точка» обычно опускается, то есть пишут просто ab; hello_html_43a7d4d3.gifabc; 3a2b. Каждое из этих произведений называют одночленом.

На доску выносится запись:

Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами или буквами, называют одночленом.

Например, одночленами являются выражения:

abc; (–4)a3ab; hello_html_2562c832.gifa(–0,3)bab; 172; –hello_html_2562c832.gif.

Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем, то степень числа и произведение степеней чисел также называют одночленами.

Например: hello_html_2452ab95.gif; (–7)3; c5; 4a2; hello_html_3d347fb6.gifa2b.

Множители одночлена, записанные с помощью цифр, называют числовыми множителями одночлена, а множители, обозначенные буквами, называют буквенными множителями.

2. Одночлены можно упрощать, пользуясь переместительным и сочетательным законами умножения.

Стандартным видом одночлена называется его запись, когда на первом месте стоит числовой коэффициент, а затем степени различных переменных.

Обращаем внимание учащихся, что коэффициент одночлена может быть равен единице, в этом случае мы его не пишем перед буквенной частью. Переменные принято записывать в алфавитном порядке, то есть не 3x2a4c, а 3a4cx2.

3. Вводим понятие степени одночлена.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

Если одночлен не содержит переменных и является числом, отличным от нуля, то степень этого одночлена считают равной нулю.

Число 0 является одночленом, степень которого не определена.

III. Формирование умений и навыков.

На этом занятии необходимо отработать следующие умения:

1) выявлять одночлен, используя определения;

2) выделять элементы одночлена: числовой коэффициент и буквенную часть;

3) определять, записан ли одночлен в стандартном виде;

4) приводить одночлен к стандартному виду;

5) вычислять значение одночлена в стандартном виде;

6) определять степень одночлена стандартного вида.

1. (Устно). Назовите числовые и буквенные множители одночлена.

а) 6a(0,3)b2c; в) 3p(–0,1)q7r;

б) 0,5ahello_html_2562c832.gifb3c; г) 2,5mhello_html_m45e004c1.gifn4k.

2. № 455 (устно).

3. Вместо словесной формулировки запишите алгебраическое выражение:

а) удвоенное произведение чисел a и b;

б) утроенное произведение чисел b и с;

в) произведение квадратов чисел х и у;

г) произведение числа а и квадрата числа b;

д) произведение куба числа т и числа р;

е) утроенное произведение квадрата числа а и числа b.

4. № 456 (устно).

При выполнении этого упражнения ученики должны мотивировать свой ответ.

5. Среди одночленов 10,2a2b2c; –7,3ab2c; 17a2bca; –2,6ab2c; –m; 3ab; –28a2b2c2; 3aabc; –2ahello_html_43a7d4d3.gifb; –m4m; m ∙ 2; 17a2b2c2:

а) назвать одночлены стандартного вида;

б) указать одночлены, отличающиеся только коэффициентами.

6. № 457.

Решение:

а) 8x2x = 8x2 + 1 = 8x3;

б) 1,2abc ∙ 5a = (1,2 ∙ 5) ∙ (aa) ∙ bc = 6a2bc;

в) 3xy(–1,7)y = 3 ∙ (–1,7) ∙ xyy = –5,1xy2;

г) 6c2(–0,8)c = 6(–0,8)c2c = –4,8c3;

д) hello_html_m525fe9cb.gifm2n ∙ 4,5n3 = hello_html_462d1cf1.gifm2nn3 = 3m2n4;

е) hello_html_m24a6e5ea.gif a2a3xx2 = –a5x3.

7. № 459.

Решение:

а) если у = –2, то –0,125у4 = –0,125 · (–2)4 = –0,125 · 16 = –2;

б) если х = –0,3, у = hello_html_m7c75cf2c.gif, то 12x2y = 12 · (–0,3)2 · hello_html_m7c75cf2c.gif= 2 · 0,09 = 0,18.

Ответ: а) –2; б) 0,18.

8. № 461.

Решение:

hello_html_6108db55.pngS = 5m · m = 5m2 (см2).

Ответ: 5m2 (см2).

9. Запишите одночлен в стандартном виде и определите его степень.

а) ac12c; г) hello_html_170a0e8a.gif · 4;

б) hello_html_m7c75cf2c.gifa8b2hello_html_m1796a8d9.gifba3; д) –hello_html_m525fe9cb.gifm3np;

в) –0,5xy2hello_html_m525fe9cb.gifx3; е) hello_html_556d883f.gifa3d0x.

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение одночлена.

– Приведите пример одночлена стандартного вида и назовите его коэффициент.

– Каким образом можно привести одночлен к стандартному виду?

– Сформулируйте определение степени одночлена. Чему равна степень одночлена, не содержащего переменных? Чему равна степень 0?

Домашнее задание: № 458; № 460; № 462; № 463; № 554; № 555.

Урок 52
Умножение одночленов

Цель: формировать умение умножать одночлен на одночлен, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Назовите коэффициент одночлена.

а) 15a2b2c; б) 18a3b2c; в) –24ab2c3; г) –35ab3c2;

д) nm2; е) n3m; ж) –pqr2; з) –pq2r.

2. Определите степень одночлена.

а) 37a2bx3; б) hello_html_2562c832.gifxyz; в) hello_html_2c1d0aa.gifx2y; г) –862.

II. Актуализация знаний.

Работа в парах с тестами с последующей взаимопроверкой.

Вариант 1

1. Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется произведение _______ множителей, каждый из которых равен _____ : ап = _____.

2. 43 = ________ = _______, здесь 4 – _______ степени, 3 – ______ степени, 64 – ________ степени 43.

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней _________.

4. am : aп = __________? (m > n, a 0).

5. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней ___________________.

6. (ab)п = ___________________________________.

7. При возведении дроби в степень следует в эту степень _______________________________________________.

8. Произведение числовых и буквенных множителей называют __________________________________________.

9. Коэффициент одночлена (–a3b2) равен _______________.

Вариант 2

1. В выражении ап число а называют _______ степени, число п – ___________ степени.

2. 54 = _______ = _______, здесь 5 – _______ степени, 4 – _______ степени, 625 – _______ степени 54.

3. amaп = __________________________________.

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней _____________.

5. (am)п = __________________________________.

6. При возведении в степень произведения, в эту степень возводится _____________________________________.

7. При возведении в степень дроби следует в эту степень _______________________________________________.

8. Числа, переменные и их степени называют ____________.

9. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют ________________.

III. Объяснение нового материала.

1. Решим следующую задачу.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле
V = abc, где а – длина, b – ширина и с – высота этого параллелепипеда.

Каким будет объем нового параллелепипеда, если длину данного увеличить в 5 раз, ширину – в 2п раз, высоту в 3п раз?

Решение:

Найдем измерения нового параллелепипеда:

длина – 5а;

ширина – 2пb;

высота – 3пс.

Тогда его объем равен (5а) · (2пb) · (3пс). Данное выражение является произведением трех одночленов. По правилам умножения можно записать равенство:

(5а) · (2пb) · (3пс) = 5а · 2пb · 3пс = (5 · 2 · 3) · (аппbс) = 30ап2 =
= 30аbсп2.

2. В результате умножения одночленов снова получается одночлен, который можно упростить, записав в стандартном виде:

(3a2b3c) · (4ab2) = (3 · 4) · (a2a) · (b3b2) · c = 12a3b5c.

3. Аналогично находим произведение трех и более одночленов.

IV. Формирование умений и навыков.

На уроке отрабатываются умения перемножать одночлены и раскладывать одночлен в виде произведения двух и более одночленов.

1. Выполните умножение.

1) а) 12у · 0,5у; б) 8x · hello_html_42f29ddf.gif; в) –b3 · 3b2;

2) а) hello_html_m1796a8d9.gifxy2 · 16y; б) 1,6a2c · (–2ac2); в) –x3y4 · 1,4x6y5.

Решение:

1) а) 12у · 0,5у = (12 · 0,5) (у · у) = 6у2;

б) 8x2 · hello_html_677e6477.gif(x2y) = –6x2y;

в) –b3 · 3b2 = (–1 · 3)(b3b2) = –3b5;

2) а) hello_html_m1796a8d9.gifxy2 · 16y = hello_html_m3d83ce87.gif(xy2y) = 12xy3;

б) 1,6a2c · (–2ac2) = (1,6 (–2))(a2cac2) = –3,2a3c3;

в) –x3y4 · 1,4x6y5 = (–1 · 1,4)(x3y4x6y5) = –1,4x9y9.

2. Перемножьте одночлены.

а) (–0,4x5y6z2) · (–1,2xyz3);

б) (–2,5n4m5k2) · (3nm2k5);

в) hello_html_m31cdfd8b.gif;

г) hello_html_7b74c547.gif.

Решение:

а) (–0,4x5y6z2) · (–1,2xyz3) = (–0,4 · (–1,2)) · (x5x) · (y6y) · (z2z3) =
= 0,48x6y7z5;

б) (–2,5n4m5k2) · (3nm2k5) = (–2,5 · 3) · (n4n) · (m5m2) · (k2k5) = 7,5n5m7k7;

в) hello_html_46d366bf.gif · (x2x) · (y3y2) · (zz3) =
= 2
x3y5z4;

г) hello_html_m1cd70c18.gif · (a2a3) · (b5b2) · (c3c4) =
= –7,
5a5b7c7.

3. Перемножьте одночлены.

1) –20х4, 0,5ху2 и –0,3х2у3;

2) 12x2y2z, hello_html_39aaee31.gifxy2z2 и –0,1x2yz2.

Решение:

1) (–20x4) · (0,5xy2) · (–0,3x2y3) = (–20 · 0,5 · (–0,3)) · (x4xx2) · (y2y3) =
= 3x7y5;

2) (12x2y2z) · hello_html_6e16ddbb.gif · (–0,1x2yz2) = hello_html_329c4431.gif · (x2xx2) ×
×
(y2y2y) · (zz2z2) = 0,9x5y5z5.

4. Выполните умножение.

а) (–a) · (3b) · (4a2b) · (5ab2);

б) (5a) · (a2b2) · (–2b) · (–3a);

в) (–1,5ab) · hello_html_m6f8bd64f.gif · (–2ac) · (24ab).

Решение:

а) (–a) · (3b) · (4a2b) · (5ab2) = (–1 · 3 · 4 · 5) · (aa2a) · (bbb2) = –60a4b4;

б) (5a) · (a2b2) · (–2b) · (–3a) = (5 · 1 · (–2) · (–3)) · (aa2a) · (b2b) = 30a4b3;

в) (–1,5ab) · hello_html_m6f8bd64f.gif · (–2ac) · (24ab) = hello_html_4962ec12.gif ×
× (
aaa) · (bbb) · (cc) = 18a3b3c2.

5. Замените значок * одночленом стандартного вида так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

1) * · 4c2 = 30ac3;

2) 8a2b4 · * = –8a5b6.

Решение:

1) 7,5ac · 4c2 = 30ac3;

2) 8a2b4 · (–a3b2) = –8a5b6.

6. Представьте двумя способами в виде произведения двух одночленов стандартного вида следующий одночлен:

а) 18x2y6z; б) hello_html_m1ced2c1f.gifa5b5c; в) –0,24a3b4z.

V. Итоги урока.

– Дайте определение одночлена. Приведите примеры.

– Приведите пример одночлена стандартного вида и назовите его коэффициент.

– Сформулируйте определение степени одночлена.

– Каким образом можно умножить одночлен на одночлен? На какие правила мы опираемся?

Домашнее задание: № 467; № 468; № 469; № 470; № 471.

Урок 53
Возведение одночлена в степень

Цели: формировать умение возводить одночлен в степень и приводить его к стандартному виду.

Ход урока

I. Устная работа.

Разгадайте кроссворд.

По вертикали:

2. Числовой множитель в одночлене стандартного вида.

3. Чему равен коэффициент одночлена a5bc5?

4. Чему равна степень одночлена 85?

5. Чему равна степень одночлена 102xy5z2?

6. Чему равно (–2)2?

7. Какое число получается при возведении отрицательного числа в нечётную степень?

8. Сумма показателей всех переменных одночлена.

9. Вид одночлена, в котором на первом месте числовой множитель, а за ним степени различных переменных.

По горизонтали:

1. Выражение, которое содержит только числа, натуральные степени переменных и их произведения.

hello_html_m492b2381.png

Ответы: 1. одночлен. 2. Коэффициент. 3. Единица. 4. Ноль. 5. Восемь. 6. Четыре. 7. Отрицательное. 8. Степень. 9. Стандартный.

II. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний.

Выполните устно умножение одночленов.

а) a3a4; б) ahello_html_43a7d4d3.gifa2; в) –aa2a4;

г) a ∙ (–x); д) (–x) ∙ (–y); е) (–x) ∙ hello_html_m1c8c3531.gif;

ж) (–2a) ∙ a2; з) b2 ∙ (–3b3); и) hello_html_mb8e2d79.gif ∙ 6y;

к) (0,2a) ∙ (–5b); л) hello_html_m34ef6b29.gif ∙ (–4ab); м) (–8m3) ∙ (–0,5n).

2. Теперь рассмотрим произведение двух или нескольких одинаковых одночленов, то есть степень одночлена. Например, (5a3b2c)2. Так как этот одночлен является произведением чисел 5, a3, b2, c, то по свойству возведения в степень произведения имеем:

(5a3b2c)2 = 52(a3)2(b2)2c2 = 25a6b4c2.

В результате возведения одночлена в натуральную степень снова получается одночлен.

III. Формирование умений и навыков.

1. № 472.

Решение:

а) hello_html_m158de292.gif;

б) hello_html_71e41ad1.gif;

в) hello_html_m200acdc7.gif;

г) hello_html_m52150e05.gif;

д) hello_html_m59b79478.gif;

е) hello_html_m765e4000.gif.

2. Выполните возведение одночлена в степень.

1) а) (6y)2; б) hello_html_m7b71b887.gif; в) (0,1c5)4;

2) а) (5ax)3; б) (4ac4)3; в) (5x5y3)3;

3) а) hello_html_2500c94e.gif; б) (–10x2y6)3; в) (–a2b3c4)7;

4) а) –(3a2b)3; б) –(–2ab4)3; в) –(–a3b2c)4.

Решение:

1) а) hello_html_m9f66efc.gif;

б) hello_html_7ced861f.gif;

в) hello_html_50c6e21a.gif.

2) а) hello_html_m164538e3.gif;

б) hello_html_m3c86268e.gif;

в) hello_html_2f939a66.gif.

3) а) hello_html_ffffcc8.gif;

б) hello_html_472a66ab.gif;

в) hello_html_m17b8d57c.gif.

4) а) hello_html_53b6dec8.gif;

б) hello_html_m3b3105c2.gif;

в) hello_html_m32791752.gif.

При выполнении этих упражнений впоследствии можно не записывать подробно возведение в степень каждого сомножителя. Можно выполнять устно.

Следующие задания направлены на формирование умения раскладывать одночлен на множители либо представлять в виде степени некоторого одночлена.

3. № 475, № 477.

475.

Решение:

а) hello_html_348fac6f.gif;

б) hello_html_m175d0829.gif;

в) hello_html_m691b4546.gif;

г) hello_html_6970c835.gif.

477.

Решение:

а) hello_html_m67c6c23.gif;

hello_html_m4dd7b4d8.gif;

б) hello_html_m68451814.gif;

hello_html_57acef9b.gif.

4. № 479.

Решение:

а) hello_html_m675e7dfa.gif;

hello_html_m369b15ad.gif.

б) hello_html_688b9fe9.gif;

hello_html_4d7f06da.gif.

5. Упростите выражение.

1) а) 35a ∙ (2a)2; б) –4x3 ∙ (5x2)3; в) (–4y2)3y5;

2) а) hello_html_m4a9fc5c9.gif; б) hello_html_m4795fe40.gif.

Решение:

1) а) hello_html_m38ef5359.gif;

б) hello_html_603ba916.gif;

в) hello_html_m5d75bbf6.gif.

2) а) hello_html_m5fc46041.gif;

б) hello_html_m7413a.gif.

IV. Проверочная работа.

Вариант 1

Выполните действия.

1) hello_html_14a74b60.gif ∙ (–24n) ∙ (4mn); 2) hello_html_58513eb8.gif; 3) (0,1a3b3)3.

Вариант 2

Выполните действия.

1) (–18n) ∙ hello_html_4d939e6e.gif ∙ (–5mn); 2) hello_html_31b54cda.gif; 3) (0,4a3b2)2.

V. Итоги урока.

– Дайте определение одночлена.

– В каком случае мы говорим, что одночлен задан в стандартном виде?

– Сформулируйте определение степени одночлена. Приведите пример.

– Каким образом можно умножить одночлен на одночлен? Что получится в результате?

– Как возвести одночлен в степень? На какое правило мы при этом опираемся?

Домашнее задание: № 473; № 474; № 476; № 478; № 480.

Урок 54
Обобщение материала по теме «Умножение
одночленов. Возведение одночленов в степень»

Цели: закрепить навыки действий с одночленами (представление в стандартном виде, умножение одночленов и возведение одночлена в степень, разложение одночлена на множители и представление одночлена в виде степени).

Ход урока

I. Математический диктант.

Вариант 1

1. Запишите выражения: (x + a)(xa); hello_html_m45e004c1.gifx4y ∙ 3xy; x2 + x3 – 1. Подчеркните то, которое является одночленом.

2. Запишите одночлен bc2 ∙ (–0,5b2) ∙ (–8c). Перепишите его в стандартном виде и подчеркните коэффициент.

3. Является ли одночленом выражение 17x2y? Если да, то каков его коэффициент и какова его степень?

4. Является ли одночленом выражение –b? Если да, то каков его коэффициент и какова его степень?

5. Возведите в квадрат одночлен –3xy3.

6. Запишите в виде одночлена стандартного вида произведение одночленов 50a2bx и –7acx2.

Вариант 2

1. Запишите выражения: 3 + a4 + a; (ab)(a + b); 7x3hello_html_m5f8670b2.gifx. Подчеркните то, которое является одночленом.

2. запишите одночлен –2x2 ∙ 3x3y. Перепишите его в стандартном виде и подчеркните коэффициент.

3. Является ли одночленом выражение –х? Если да, то каков его коэффициент и какова степень?

4. Является ли одночленом выражение 12ab2? Если да, то каков его коэффициент и какова его степень?

5. Возведите в куб одночлен –2ab2.

6. Запишите в виде одночлена стандартного вида произведение одночленов 3b2cd и –2b2yd.

II. Закрепление умений и навыков.

Тренажер по вариантам.

Вариант 1

1. Найдите значение одночлена.

1) 3,5х2 для х = 4; 0,2; 0; –1; –10;

2) –4а3 для а = –9; –0,5; 0; 3; 10;

3) 6ху для х = 7 и у = 1,5; x = 1hello_html_m525fe9cb.gif и у = –1,4;

4) –0,02а2с для а = –5 и с = –8; а = –4 и с = 100;

5) 10abc для а = 1, b = –1 и с = 0,4; а = –2, b = –3 и с = 5.

2. Найдите с помощью калькулятора значение одночлена.

1) 0,4abc для а = 1,2, b = 0,6 и с = 2,3;

2) 1,5х3у для х = 12 и у = 1,6.

3. Найдите:

1) значение с, при котором значение одночлена 0,4с равно 0; 1; –1; 10;

2) какую-нибудь пару значений b и с, при которых значение одночлена 6bc равно 12; –60; 0; 3.

4. Верно ли, что одночлен:

1) 70а2 при любом а принимает положительные значения;

2) 0,04с2 при любом с принимает неотрицательные значения;

3) –25х2 при любом х принимает отрицательные значения;

4) 6у3 при любом у принимает положительные значения?

При утвердительном ответе обоснуйте свое заключение, при отрицательном – приведите опровергающий пример.

5. Представьте в виде одночлена стандартного вида.

1) а) (4ac2)3 ∙ (0,5a3c)2; б) hello_html_m3bb66480.gif ∙ (–9x4)2;

2) а) –(–x2y4)4 ∙ (6x4y)2; б) (–10a3b2)5 ∙ (–0,2a2b)5.

6. Можно ли представить в виде квадрата одночлена выражение:

1) а) 81x2y4; 2) а) –5x3y5hello_html_m1352abf4.gif;

б) –100x4y8; б) –(–3xy)3 ∙ 27y6?

Решение заданий 5,6 из варианта 1

5. 1) а) hello_html_4efcd315.gif.

б) hello_html_59e4924.gif;

2) а) hello_html_2bdea507.gif;

б) (–10a3b2)5 ∙ (–0,2a2b)5 = (–10a3b2(–0,2)ab2)5 = (2a4b4)5 = 32a20b20.

6. 1) а) hello_html_m4f6a5db1.gif;

б) нельзя, так как –100x4y8 ≤ 0;

2) а) hello_html_175bf39c.gif;

б) hello_html_m318f6fff.gif – нельзя, так как показатели степени 3 и 9 – нечетные.

Вариант 2

1. Найдите значение одночлена.

1) –1,5а2 для а = 2; 0,8; 0; –1; –20;

2) 5у3 для у = –10; –0,4; 0; 2; 8;

3) hello_html_m7bb51942.gif для а = –2,5 и b = 8; а = 1,75 и b = 1hello_html_m45e004c1.gif;

4) 0,04ху2 для х = 15 и у = –2; х = –8 и у = –10;

5) 0,1хуz для х = –1, у = 1 и z = 20; х = 3, у = –4 и z = –2.

2. Найдите с помощью калькулятора значение одночлена:

1) 1,7хуz х = 2,1, у = 0,8 и z = 5,6;

2) –0,8a2b3 для а = 1,4 и b = 2,5.

3. Найдите:

1) значение а, при котором значение одночлена 0,3а равно 0; 0,6; –0,8; –1;

2) какую-нибудь пару значений а и b, при которых значение одночлена 5ab равно 30; –10; 0; 5.

4. Верно ли, что одночлен:

1) 2а3 при любом а принимает положительные значения;

2) –10х6 при любом х принимает отрицательные значения;

3) –0,03у2 при любом у принимает неположительные значения;

4) 2,7с2 при любом с принимает неотрицательные значения?

При утвердительном ответе обоснуйте свое заключение, при отрицательном приведите опровергающий пример.

5. Представьте в виде одночлена стандартного вида.

1) а) (10a2y)2 ∙ (3ay2)3; б) hello_html_m59e7dcb2.gif ∙ (4y5)2;

2) а) –(3x6y2)3 ∙ (–x2y)4; б) (–5ab6)4 ∙ (0,2a6b)4.

6. Можно ли представить в виде квадрата одночлена выражение:

1) а) 49a6b4; 2) а) –0,1a4b2 ∙ (–10a2b4);

б) –25x2y4; б) –(–2a4)3 ∙ 2b8?

Решение заданий 5, 6 из варианта 2

5. 1) а) hello_html_2e7e0c6.gif;

б) hello_html_m5ebedcb0.gif;

2) а) hello_html_2677ce62.gif;

б) (–5ab6)4 ∙ (0,2a6b)4 = (–5 ∙ 0,2 ∙ ab6a6b)4 = (–a7b7)4 = a28b28.

6. 1) а) hello_html_m76dc925f.gif;

б) нельзя, так как –25x2y4 ≤ 0;

2) а) hello_html_64445ef5.gif;

б) –(–2a4)3 ∙ 2b8 = 8a12 ∙ 2b8 = 16a12b8 = 42(a6)2(b4)2 = (4a6b4)2.

III. Итоги урока.

– Дайте определение одночлена.

– Как найти значение одночлена.

– Сформулируйте правило умножения одночленов и правило возведения одночлена в степень.

Домашнее задание:

1. Составьте таблицу значений одночлена:

1) 8х2 для значений х из промежутка от –0,5 до 0,5 с шагом, равным 0,1;

2) 0,5х3 для значений х из промежутка от –10 до 10 с шагом, равным 2.

2. Представьте в виде:

1) квадрата одночлена выражение hello_html_m298649f0.gifa6; 0,16a4b10;

2) куба одночлена выражение 0,008x9; –27a3b12.

3. № 556; № 559.

Урок 55
Функции
y = x2 и у = х3 и их графики

Цели: изучить функциональные зависимости y = x2 и у = х3; формировать умение строить графики данных функций и работать с ними.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Назовите область определения функции.

а) y = 3x; г) y = 2x2; ж) y = hello_html_m53a79df9.gif;

б) y = hello_html_19598fc8.gif; д) y = hello_html_m45e004c1.gifх3; з) y = hello_html_m4b6e2611.gif;

в) y = –3x2 + 11; е) y = hello_html_209de28b.gif; и) y = (3 – x)(x + 6).

2. Найдите значение функции y = x2 – 11, если:

а) х = 3; в) х = hello_html_43a7d4d3.gif;

б) х = 0; г) х = 0.

II. Объяснение нового материала.

Организуем самостоятельную работу по учебнику в парах.

С помощью учебника (пункт 23, с. 105–108) учащиеся должны ответить на вопросы, описанные в таблице (см. далее), и сравнить две функции: в чем схожи и в чем их отличие.

Для удобства выполнения работы можно заранее заготовить миллиметровую бумагу.

Также следует обсудить такие вопросы, как расположение графика, промежутки знакопостоянства, нули функции.


Вопросы

y = x2

y = x3

Заполните таблицу

x

–2

–1

0

1

2

y








x

–2

–1

0

1

2

y








По данным таблицы построить график

hello_html_691eb19f.png

hello_html_d88662d.png

Свойства функции

1.

2.

3.

1.

2.

3.

Функция
возрастает



Функция
убывает



Название
графика



III. Формирование умений и навыков.

На данном уроке учащиеся строят графики функций и находят значение функции для заданного аргумента и наоборот. Также определяют принадлежность некоторой точки графику.

1. № 484, № 485.

При выполнении этих заданий учащиеся проговаривают пра-вила выполнения действий с графиком.

2. № 487. Решение:

а) А (6; 36) 36 = 62;

36 = 36 – верно, значит, принадлежит;

б) В (–1,5; 2,25) 2, 25 = (–1,5)2;

2,25 = 2,25 – верно, значит, принадлежит;

в) С (4; –2) –2 = 42;

–2 = 16 – неверно, значит, не принадлежит;

г) D (1,2; 1,44) 1,44 = (1,2)2;

1,44 = 1,44 – верно, значит, принадлежит.

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да.

3. № 489.

4. № 490. Решение:

а) А (–0,2; –0,008) –0,008 = (–0,2)3;

–0,008 = –0,008 – верно, значит, принадлежит;

б) B hello_html_38560231.gifhello_html_6ea376a4.gif;

hello_html_23d8ad44.gif;

hello_html_m7e199830.gif – верно, значит, принадлежит;

в) C hello_html_m386982f6.gifhello_html_m4cabf318.gif;

hello_html_7a3faddd.gif – неверно, значит, не принадлежит.

Ответ: а) да; б) да; в) нет.

5. № 491.

6. № 492. Решение:

а) Р (а; 64) 64 = а2;

82 = а2 – возможно в случае а = 8 или а = –8.

б) Р (а; 64) 64 = а3;

43 = а3 возможно в случае а = 4.

Ответ: а) 8; –8; б) 4.

При решении этого упражнения учащиеся часто допускают ошибку: если 82 = а2, то а = 8, то есть забывают второй случай. Следует обратить внимание, что hello_html_455b1bd7.gif. Это тождество им уже знакомо.

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте свойства функции y = x2. Как отражаются эти свойства на графике функции?

– Как называется график функции y = x2?

– Сформулируйте свойства графика функции y = x3. Как отражаются эти свойства на графике функции?

– Как называется график функции y = x3?

Домашнее задание: № 486; № 488; № 562; № 563.

Урок 56
Графическое решение уравнений вида
у = х2и у = х3

Цели: формировать понятие графического решения уравнения как нахождения абсциссы точек пересечения графиков двух функций; формировать умение решать графически уравнения вида у = х2 и у = х3.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Заданы функции:

1) у = 2х; 4) у = 3х + 2; 7) у = hello_html_m45e004c1.gif;

2) у = hello_html_43a7d4d3.gifх; 5) у = –3х + 2; 8) у = х2;

3) у = –3х; 6) у = –3х – 2; 9) у = х3.

На рисунках а) – и) изображены графики этих функций. Заполните таблицу соответствия:

Формула

1

2

3

4

5

6

7

8

9

График











a) hello_html_658973a3.png б) hello_html_m6a5520f5.png в) hello_html_1634960f.png

г) hello_html_m75ccb5a3.png д) hello_html_725ffbdd.png е) hello_html_76d26b70.png

ж) hello_html_m5eaa86cb.png з) hello_html_1bc3878a.png и) hello_html_56620173.png

2. Как называется функция вида y = kx?

3. Как называется функция вида y = kx + b?

4. Как называется график функции y = x2?

5. Как называется график функции вида y = x3?

II. Актуализация знаний.

Решить уравнение.

а) x2 = 16; б) x3 = 8; в) x2 = hello_html_29db20e4.gif;

г) x3 = hello_html_m13b22abb.gif; д) x2 = 0; е) x2 = –4.

III. Объяснение нового материала.

Необходимо разъяснить принцип графического решения уравнения.

Рассматриваем примеры 1, 2 со с. 109 учебника. Показываем, что равенство (аналитическое) x2 = x + 1 можно понимать как равенство значений двух функций y = x2 и y = x + 1. Графически, если графики этих функций пересекаются, то точка пересечения показывает значение х (абсцисса), при котором значения функций (ордината) равны.

Отсюда учащиеся могут сами вывести и сформулировать алгоритм графического решения уравнения:

1-й шаг. Преобразовать уравнение к равенству двух функций известного вида (y = kx; y = kx + b; y = x2; y = x3).

2-й шаг. В одной системе координат построить графики этих функций.

3-й шаг. Определить наличие или отсутствие точки (точек) пересечения.

4-й шаг. Если точки пересечения есть, то найти по графику их абсциссы, которые и будут являться решениями уравнения. Если точек пересечения нет, то, значит, уравнение не имеет решений.

Подчеркиваем учащимся, что решение, полученное графически, может быть как точным, так и приближенным.

Проверить полученное значение можно, подставив в уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 493 (устно).

2. Решите графически уравнение.

а) x2 = 2x; б) x2 = hello_html_m45e004c1.gifx; в) x2 = –2x.

3. № 566.

В следующем упражнении от учащихся требуется сначала преобразовать уравнение к «удобному» виду, а затем решить его графически.

4. № 494.

Решение:

б) x2 + 2x – 3 = 0;

x2 = –2x + 3.

Построим графики функций y = x2 и y = –2x + 3.

Ответ: х = –3; х = 1.

5. № 495 (устно).

6. № 496.

hello_html_m5a34771f.png

V. Итоги урока.

– В каком случае уравнение можно решить графически?

– Назовите алгоритм решения уравнения графическим способом.

– В каком случае уравнение не имеет корней?

– Как можно проверить точность корней уравнения, найденных графическим способом?

Домашнее задание:

1. Решите графически уравнение.

а) х = 3х; б) 2x = hello_html_43a7d4d3.gifx + 2; в) 3x = 3x + 4.

2. Решите графически уравнение.

а) x2 = 9; б) x2 = hello_html_m3f4cc6d.gif; в) x2 = –3; г) x3 = 8.

3. Решите уравнение графически.

а) x2 = 6 – x; б) x2 + 4x = –3; в) x2 – 4x = 0; г) x3 + 2 = 3x.

Урок 57
Обобщающий урок по теме
«Степень с натуральным показателем».
Подготовка к контрольной работе

Цели: обобщить и систематизировать знания по теме «Степень с натуральным показателем»; оценить степень сформированности умений и навыков, провести коррекционную работу.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Представьте в виде степени.

а) c7c4; б) bb2b3; в) (–7)3 ∙ (–7)8 ∙ (–7)9;

г) a10 : a8; д) 214 : 29; е) (x5)2;

ж) (–a3)3; з) hello_html_m413f4174.gif; и) (a2)5a5.

2. Упростите.

а) (a5)2 ∙ (a2a3)2; в) (4xy)2; д) 94 : 37;

б) (y4)5 : (y4)2; г) 20a3 ∙ (5a)2; е) 1012 : (24 ∙ 54).

3. Выполняя задания, ученик допустил ошибки. Какие свойства, правила не знает ученик?

35 ∙ 38 = 340; 81 = 1; 24 + 22 = 26;

(2a)5 = 2a5; (x2)3 = x8.

4. Представьте в виде степени.

(–3)8 ∙ (–3)4; (0,1)20 : (0,1)6; (xn)2.

5. Найдите значение выражения.

(1014 ∙ 107) : 1019; 53 ∙ 23.

6. Представьте произведение в виде степени.

x5y5; 36a2b2; hello_html_8cf0d6b.gifa3b3c3.

II. Теоретический опрос.

1) Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

2) Каким числом является:

а) степень положительного числа;

б) степень отрицательного числа с четным показателем;

в) степень отрицательного числа с нечетным показателем?

3) Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми показателями.

4) Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми показателями.

5) Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

6) Сформулируйте правило возведения степени в степень.

7) Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

III. Математический диктант.

Вариант 1

1. Упростите.

а) x2x8 : x; б) a10 : a6a4.

2. Найдите значение выражения.

94 : 37.

3. Представьте в виде квадрата одночлена.

0,25х4; 49т2п6.

4. Выполните умножение.

hello_html_m1796a8d9.gifx2y3 ∙ 16yx.

5. Вычислите.

(516 · 316) : 1515.

Вариант 2

1. Упростите.

а) b3b7 : b; б) y12 : y5y2.

2. Найдите значение выражения.

44 : 26.

3. Представьте в виде квадрата одночлена.

0,36у6; 100с2а6.

4. Выполните умножение.

hello_html_2cd0fffc.gifa3b4 ∙ 12ab2.

5. Вычислите.

(310 · 710) : 219.

IV. Работа по карточкам.

Карточка № 1

1. Вычислите.

(494 · 75) : 712.

2. Упростите выражения.

а) hello_html_5ffe91d7.gif; б) am + 1 · a · a3 – m.

Карточка № 2

1. Вычислите.

(56 · 125) : 254.

2. Упростите выражения.

а) hello_html_2292ae21.gif; б) x2n : (xn – 1)2.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: 1. Повторить п. 18–23.

2. Ответьте на вопросы теста:

1) Выполните умножение: 0,5х2у · (–ху) =

а) –0,5х3у2; б) 0,5у2х3; в) –0,5х2у3.

2) Упростите: –0,4x4y3 · 2,5x2y7 =

а) x8y6; б) –10x6y7; в) –x6y7.

3) Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:

20а3 · (–5а)2 =

а) 100а5; б) –500а6; в) 500а5.

4) Вычислите: (25 · (23)4) : 213 =

а) 23; б) 16; в) 32.

Урок 58
Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. Найдите значение выражения 1 – 5х2 при х = –4.

2. Выполните действия.

а) y7y12; б) y20 : y5; в) (y2)8; г) (2y)4.

3. Упростите выражение.

а) –2ab3 ∙ 3a2b4; б) (–2a5b2)3.

4. Постройте график функции y = x2. С помощью графика определите значение у при х = 1,5; х = –1,5.

5. Вычислите: hello_html_79e4c06b.gif.

6. Упростите выражение.

а) hello_html_mc6e3340.gif; б) xn – 2x3 – nx.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения –9р3 при p = hello_html_638096c1.gif.

2. Выполните действия.

а) c3c22; б) c18 : c6; в) (c4)6; г) (3c)5.

3. Упростите выражение.

а) –4x5y2 ∙ 3xy4; б) (3x2y3)2.

4. Постройте график функции y = x2. С помощью графика определите, при каких значения х значение у равно 4.

5. Вычислите: hello_html_9d6d220.gif.

6. Упростите выражение.

а) hello_html_2d141bab.gif; б) (an + 1)2 : a2n.

Вариант 3

1. Найдите значение выражения –3х2 + 7 при х = –5.

2. Выполните действия.

а) a8a16; б) a16 : a4; в) (a3)5; г) (2a)3.

3. Упростите выражение.

а) 3a2b ∙ (–2a3b4); б) (–3a3b2)3.

4. Постройте график функции y = x2. С помощью графика определите значение у при х = 2,5; х = –2,5.

5. Вычислите: hello_html_3b8b20e5.gif.

6. Упростите выражение.

а) hello_html_5ffe91d7.gif; б) am + 1aa3 – m.

Вариант 4

1. Найдите значение выражения –12с3 при c = hello_html_7cf0a0b8.gif.

2. Выполните действия.

а) x7x12; б) x12 : x3; в) (x6)3; г) (3x)4.

3. Упростите выражение.

а) 5x4y ∙ (–3x2y3); б) (–2xy4)4.

4. Постройте график функции y = x2. С помощью графика функции определите, при каких значения х значение у равно 9.

5. Вычислите: hello_html_65e55fcb.gif.

6. Упростите выражение.

а) hello_html_2292ae21.gif; б) x2n : (xn – 1)2.

Рекомендации по оцениванию.

Задания 1–4 обязательного уровня. Их необходимо решить для получения отметки «3». Для получения отметки «5» необходимо решить все 6 заданий.

В более слабом классе необходимо решить любые три задания для получения отметки «3» и любые пять для получения отметки «5».

Решение заданий контрольной работы

Вариант 1

1. Если х = –4, то 1 – 5х2 = 1 – 5 · (–4)2 = 1 – 5 · 16 = 1 – 80 = –79.

Ответ: –79.

2. а) y7y12 = y7 + 12 = y19; б) y20 : y5 = y20 – 5 = y15;

в) (y2)8 = y2 ∙ 8 = y16; г) (2y)4 = 24y4 = 16y4.

Ответ: а) у19; б) у15; в) у16; г) 16у4.

3. а) –2ab3 ∙ 3a2b4 = (–2 ∙ 3)(aa2)(b3b4) = –6a3b7;

б) (–2a5b2)3 = (–2)3(a5)3(b2)3 = –8a15b6.

Ответ: а) –6a3b7; б) –8a15b6.

4.

hello_html_m3628bfed.png

Ответ: 2,25; 2,25.

5. hello_html_66ccfe74.gif = 52 = 25.

Ответ: 25.

6. а) hello_html_m6d5d2375.gif

hello_html_m4ec22aa.gif;

б) xn – 2x3 – nx = xn – 2 + (3 – n) + 1 = xn – 2 + 3 – n + 1 = x2.

Ответ: а) 13,5x6y20; б) х2.

Вариант 2

1. Если p = hello_html_638096c1.gif, то hello_html_m40107b3.gif.

Ответ: hello_html_m45e004c1.gif.

2. а) c3c22 = c3 + 22 = c25; в) (c4)6 = c4 ∙ 6 = c24;

б) c18 : c6 = c18 – 6 = c12; г) (3c)5 = 35c5 = 243c5.

Ответ: а) с25; б) с12; в) с24; г) 243с5.

3. а) hello_html_m16307542.gif;

б) hello_html_294e2be1.gif.

Ответ: а) –12x6y6; б) 9x4y6.

4.

hello_html_m76c67e02.png

Ответ: –2; 2.

5. hello_html_706b3230.gif = 3.

Ответ: 3.

6. а) hello_html_m7e713337.gif

hello_html_695a944d.gif;

б) hello_html_27447daa.gif.

Ответ: а) hello_html_m2255de1b.gif; б) а2.

Вариант 3

1. Если х = –5, то –3х2 + 7 = –3 · (–5)2 + 7 = –3 · 25 + 7 = –75 + 7 = –68.

Ответ: –68.

2. а) a8a16 = a8 + 16 = a24; б) a16 : a4 = a16 – 4 = a12;

в) (a3)5 = a3 ∙ 5 = a15; г) (2a)3 = 23a3 = 8a3.

Ответ: а) а24; б) а12; в) а15; г) 8а3.

3. а) hello_html_m306c2534.gif;

б) hello_html_m21c5ed7e.gif.

Ответ: а) –6a5b5; б) –27a9b6.

4.

hello_html_m682c0b7a.png

Ответ: 6,25; 6,25.

5. hello_html_m39673872.gif = 7.

Ответ: 7.

6. а) hello_html_m4f2048a3.gif

hello_html_75fb026.gif;

б) am + 1aa3 – m = am + 1 + 1 + 3 – m = a5 .

Ответ: а) –7,2a23b8; б) а5.

Вариант 4

1. Если c = hello_html_7cf0a0b8.gif, то hello_html_1ab1b687.gif = 1,5.

Ответ: 1,5.

2. а) x7x12 = x7 + 12 = x19; б) x12 : x3 = x12 – 3 = x9;

в) (x6)3 = x6 ∙ 3 = x18; г) (3x)4 = 34x4 = 81x4.

Ответ: а) х19; б) х9; в) х18; г) 81х4.

3. а) hello_html_484b714b.gif;

б) hello_html_m2e204a49.gif.

Ответ: а) –15x6y4; б) 16x4y16.

4.

hello_html_6b5e33ad.png

Ответ: –3; 3.

5. hello_html_m529fa7dd.gif = 5.

Ответ: 5.

6. а) hello_html_m52c9acb6.gif

hello_html_m4393a18d.gif;

б) x2n : (xn – 1)2 = x2n : x2 (n – 1) = x2n : x2n – 2 = x2n – (2n – 2) = x2n – 2n + 2 = x2.

Ответ: а) 125a20b9; б) х2.

Урок 59
Анализ результатов контрольной работы

Цели: проанализировать результаты контрольной работы, выявить типичные ошибки, допущенные учащимися; провести коррекционную работу.

Ход урока

I. Анализ результатов контрольной работы.

II. Работа над ошибками.

Учащиеся в тетрадях выполняют работу над ошибками. Примеры, вызвавшие наибольшие затруднения, выносятся на доску.

III. Решение заданий повышенной трудности.

Учащиеся, получившие отметки «5» и «4», могут приступить к выполнению дополнительных заданий и заданий повышенной трудности.

1. № 549*, 550*, 551*, 552*.

2. № 560, 561, 564*, 565*, 566.

IV. Итоги урока.

– Какие типичные ошибки допущены во время выполнения контрольной работы?

– Какие основные понятия и правила необходимо знать для выполнения контрольной работы?

Домашнее задание: закончить решение упражнений из 4-го блока.

Урок 60
О простых и составных числах

Цели: рассмотреть разложение любого числа на простые множители для нахождения НОД и НОК двух и более чисел; научиться представлять любое число в виде произведения степеней простых чисел.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

1. Выберите из чисел простые. Объясните свой выбор.

а) 11; б) hello_html_43a7d4d3.gif; в) 1; г) 27;

д) 3; е) 29; ж) hello_html_1e101b7d.gif; з) 0;

и) hello_html_m5578cdc5.gif; к) 37; л) 43; м) 121.

2. Найдите НОД (наибольший общий делитель) чисел.

а) 11 и 121; б) 8 и 20; в) 37 и 45; г) 35 и 65.

3. Найдите НОК (наименьшее общее кратное) чисел.

а) 15 и 45; б) 17 и 21; в) 1 и 20; г) 60 и 90.

II. Изучение нового материала.

1. Напоминаем определения простого и составного числа. Рассматриваем возможное доказательство утверждения, что простых чисел – бесконечное множество.

2. Рассматриваем разложение любого составного числа на простые множители. Удобен способ разложения «в столбик». Берем простые делители не наугад, а начиная с самого маленького – 2, затем, если необходимо, – 3, 5, 7, 11 и т. д.

Например:

360

180

90

45

15

5

1

2

2

2

3

3

5

504

252

126

63

21

7

1

2

2

2

3

3

7

Запишем числа в виде произведения:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5;

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 7.

3. Формулируем правила.

hello_html_6c075a17.png Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, надо:

1) разложить каждое число на простые множители;

2) записать числа в виде произведения степеней простых чисел;

3) взять каждый из множителей в степени с наименьшим показателем, с каким он входит в эти числа.

Пример со с. 112–113 учебника.

hello_html_718092d0.png Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, поступают аналогично, но берут степени с наибольшим показателем.

III. Закрепление изученного материала.

500.

Решение:

а2 + а должно быть кратно 17.

При а = 16: а2 + а = 162 + 16 = 16 (16 + 1) = 16 · 17, значит, делится
на 17.

Ответ: а = 16.

502*.

Решение:

10х + у – двузначное число, где х и у – числа 1, 2, 3,… , 9.

Если х = 7 (наибольшее простое из перечня), то удобно взять у = 7: 10 · 7 + 7 = 7 (10 + 1) = 7 · 11 – произведение двух простых чисел. Значит, это число 77.

Ответ: 77.

506*.

Решение:

а = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 1 · 2 · 3 · 2 · 2 · 5 · 2 · 3 · 7 ×
×
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 5 = 28 · 34 · 52 · 7.

Ответ: а = 28 · 34 · 52 · 7.

507.

Решение:



а) 765

153

51

17

1

5 765 = 32 · 5 · 17

3

3

17

2315

63

21

7

1

5 315 = 32 · 5 · 7.

3

3

7

НОД (765; 315) = 32 · 5 = 45.

б) 792

396

198

99

33

11

1

2 792 = 23 · 32 · 11

2

2

3

3

11

1936

968

484

242

121

11

1

2 1936 = 24 · 112.

2

2

2

11

11


НОД (792; 1936) = 23 · 11 = 88.

Ответ: а) 45; б) 88.

508.

Решение:

а) 294

147

49

7

1

2 294 = 2 · 3 · 72

3

7

7

756

378

189

63

21

7

1

2 756 = 22 · 33 · 7.

2

3

3

3

7

НОК (294; 756) = 22 · 33 · 72 = 4 · 27 · 49 = 5292;

б) 693

231

77

11

1

3 693 = 32 · 7 · 11

3

7

11

1617

539

77

11

1

3 1617 = 3 · 72 · 11.

7

7

11

НОК (693; 1617) = 32 · 72 · 11 = 4851.

Ответ: а) 5292; б) 4851.

510*.

Решение:

НОК (15; а) = 90.

15

5

1

3 15 = 3 · 5

5

90

30

10

5

1

3 90 = 2 · 32 · 5.

3

2

5

Очевидно, что в разложение искомого числа на простые множители должны входить двойка, две тройки и не более одной пятерки, значит, это число либо 2 · 32 = 18, либо 2 · 32 · 5 = 90.

Ответ: 18 или 90.

IV. Итоги урока.


Автор
Дата добавления 11.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров478
Номер материала ДВ-328094
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх