Контрольная
работа по теме «Применение производной»
1
ВАРИАНТ
Физический
смысл производной.
1.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где
x — расстояние от точки отсчета в метрах, t —
время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость
(в м/с) в момент времени t = 9с.
Геометрический смысл производной,
касательная
Решение.
Найдем закон изменения скорости:
.
При t = 9 c имеем:
м/с.
Ответ: 60.
Ответ: 60
119975
60
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому
коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой
их угловые
коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из
уравнения :
.
Ответ: 0,5.
Ответ: 0,5
27485
0,5
2. Прямая является
касательной к графику функции . Найдите
абсциссу точки касания.
Решение.
Условие касания графика функции и прямой
задаётся
системой требований:
В нашем случае имеем:
Проверка подстановкой показывает, что первый
корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому
искомая абсцисса точки касания −1.
Ответ: −1.
Ответ: -1
27486
-1
3. На рисунке
1 изображён график функции и восемь
точек на оси абсцисс: , , , , . В
скольких из этих точек производная функции положительна?
4. На рисунке
2 изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x)
в точке x0.
Рис.1
|
Рис.2
|
5. На рисунке изображен график функции y
= f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество
целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной
касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках
A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной
к оси абсцисс будет равен углу ACB:
Ответ: 2.
Ответ: 2
Решение.
Положительным значениям производной соответствует
интервалы, на которых функция возрастает.
На них лежат точки Таких
точек 4.
Ответ:4.
Ответ: 4
6. На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите
количество точек максимума функции f(x) на отрезке
[−6; 9].
Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции
7. Найдите наименьшее значение функции
на
отрезке
8. Найдите наибольшее значение функции
на
отрезке .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном
отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная
функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном
отрезке. Найдем это наибольшее значение:
.
Ответ: 12.
Ответ: 12
77498
12
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном
отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная
функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном
отрезке. Найдем это наименьшее значение:
.
Ответ: −2.
Ответ: -2
9. Найдите точку максимума функции .
10. Найдите точку минимума функции Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим
на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума
Ответ: 4.
Ответ: 4
Контрольная
работа по теме «Применение производной»
2
ВАРИАНТ
Физический
смысл производной
1. Решение.
Найдем закон изменения скорости:
.
При t = 9 c имеем:
м/с.
Ответ: 60.
Ответ: 60
119975
60
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах,
измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент
времени t = 6 с.
Геометрический смысл производной, касательная
Решение.
Условие касания графика функции и прямой
задаётся
системой требований:
В нашем случае имеем:
Проверка подстановкой показывает, что первый
корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому
искомая абсцисса точки касания −1.
Ответ: −1.
Ответ: -1
27486
-1
2. Прямая y = 3x + 1 является
касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите
a.
Решение.
Прямая является
касательной к графику функции в
точке тогда
и только тогда, когда одновременно и . В
нашем случае имеем:
Искомое значение а равно 0,125.
Ответ: 0,125.
Приведем другое решение.
По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график
заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе)
имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно,
чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x
+ 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения
ax2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда .
Ответ: 0,125
119972
0,125
Решение.
Найдем закон изменения скорости:
м/с.
Тогда находим:
м/с.
Ответ: 20.
Ответ: 20
119976
20
3. На рисунке изображён график функции и двенадцать
точек на оси абсцисс: , , , , . В
скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение.
Отрицательным значениям производной соответствуют
интервалы, на которых функция убывает.
В этих интервалах лежат точки Таких
точек 7.
Ответ:7.
Ответ: 7
4. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная
к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной
функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной
касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках
A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной
к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
5.
На рисунке изображен график функции ,
определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна
6. На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите
количество точек минимума функции f(x) на отрезке
[−13;1].
Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции
7. Найдите наибольшее значение функции
на
отрезке .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном
отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная
функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном
отрезке. Найдем это наибольшее значение:
.
Ответ: −3.
Ответ: -3
8. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
9. Найдите точку минимума функции .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим
на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума .
Ответ: 4.
Ответ: 4
26712
4
10. Найдите точку максимума функции Решение. Найдем производную
заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим
на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума .
Ответ: −4.
Ответ: -4
77419
-4
Контрольная
работа по теме «Применение производной»
3
ВАРИАНТ
Физический
смысл производной
1.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где
x — расстояние от точки отсчета в метрах, t —
время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени
(в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Геометрический смысл производной,
касательная
2.
Прямая является
касательной к графику функции .
Найдите .
3.
На рисунке изображен график производной функции .
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна
прямой или
совпадает с ней.
4.
Решение.
5.
Значение производной в точке касания равно угловому
коэффициенту касательной. Поскольку касател
Решение.
Условие касания графика функции и прямой
задаётся
системой требований:
В нашем случае имеем:
Проверка подстановкой показывает, что первый
корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому
искомая абсцисса точки касания −1.
Ответ: −1.
Ответ: -1
27486
-1
Решение.
Прямая является
касательной к графику функции в
точке тогда
и только тогда, когда одновременно и . В
нашем случае имеем:
Искомое значение а равно 0,125.
Ответ: 0,125.
Приведем другое решение.
По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график
заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе)
имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно,
чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x
+ 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения
ax2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда .
Ответ: 0,125
119972
0,125
4. На рисунке изображён график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите
значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной
касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках
A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3).
Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с
углом ACB. Поэтому
.
Ответ: −2.
Ответ: -2
Решение.
Условие касания графика функции и прямой
задаётся
системой требований:
В нашем случае имеем:
Ответ: 7.
Ответ: 7
119974
7
Решение.
Найдем закон изменения скорости:
м/с.
Тогда находим:
м/с.
Ответ: 20.
Ответ: 20
119976
20
5. На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите
промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.
6.
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек
экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Нахождение наибольшего и наименьшего значения
функции
7.
Найдите наибольшее значение функции на
отрезке
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном
отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная
функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном
отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 51.
Ответ: 51
8.
Найдите наибольшее значение функции на
отрезке .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном
отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная
функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном
отрезке. Найдем это наибольшее значение:
.
Ответ: 12.
Ответ: 12
9. Найдите точку максимума функции .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим
на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума .
Ответ: 8.
Ответ: 8
26711
8
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим
на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума .
Ответ: −15.
Ответ: -15
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном
отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная
функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном
отрезке. Найдем это наибольшее значение:
.
Ответ: 12.
Ответ: 12
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном
отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная
функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном
отрезке. Найдем это наименьшее значение:
Ответ: −18.
Ответ: -18
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной
касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках
A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0).
Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с
углом ACB:
.
Ответ: − 0,25.
Ответ: -0,25
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим
на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума
Ответ: 2.
Ответ: 2
77435
2
10. Найдите точку минимума функции Решение. Найдем
нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим
на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума
Ответ: −2.
Ответ: -2
Контрольная
работа по теме «Применение производной»
4
ВАРИАНТ
Физический
смысл производной
Решение.
Найдем закон изменения скорости:
Чтобы найти, в какой момент времени скорость
была равна 3 м/с, решим уравнение:
Ответ: 8.
Ответ: 8
119978
8
1.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где
x — расстояние от точки отсчета в метрах, t —
время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени
(в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Геометрический смысл производной, касательная
Решение.
Условие касания графика функции и прямой
задаётся
системой требований:
В нашем случае имеем:
Ответ: 7.
Ответ: 7
119974
7
2. Прямая является
касательной к графику функции . Найдите
, учитывая,
что абсцисса точки касания больше 0.
3. На рисунке изображен график производной
функции . Найдите
абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна
оси абсцисс или совпадает с ней.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому
коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси
абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид , и
её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой
угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю.
Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает
ось абсцисс. Поэтому искомая точка .
Ответ: -3.
Ответ: -3
4. На рисунке изображён график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите
значение производной функции f(x) в точке x0.
5. На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите
промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.
6.
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек
экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции
7. Найдите
наименьшее значение функции на
отрезке .
8.
Найдите наибольшее значение функции на
отрезке .
9.
Найдите точку минимума функции .
10.
Найдите точку максимума функции .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.