Курсовая работа по геометрии на тему: Решение задач на построение в стереометрии

Курсовая работа

Решение задач на построение в стереометрии

                                                                 Выполнил:

                                                                 Гиззатуллин М.Ф.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………...….... Глава I. Обзор литературы……………………………………………….. Глава II.  Методические особенности изучения стереометрии…….. … Глава III. Четыре цикла заданий, иллюстрирующих выполнение основных построений в пространстве…………………………………. 3.1 Отыскивание множеств точек, обладающих определенным свойством………………………………………………………………….. 3.2 Построение с параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей……………………………………………………………….. 3.3 Построения, основанные на применение некоторых свойств  точек и прямых ......................................................................................... 3.4  Построения на многогранниках......................................................... Заключение ……………………………………………………………….. Список литературы ……………………………………………………….

3 9 14 21 21 22 28 33 50 53

ВВЕДЕНИЕ

              Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» – эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

        Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

        Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).

          Основной задачей модернизации российского образования является повышение его доступности, качества и эффективности. Это предполагает точный и правильный подход ко всему образовательному процессу, приведение его в соответствие с требованиями времени. В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, ее роль и место в общем образовании пересматриваются и уточняются. Наряду с подготовкой учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, важнейшей задачей обучения становится обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.

         Для продуктивной деятельности в современном информационном мире требуется достаточно прочная базовая математическая подготовка, поэтому изучение темы «Построения в стереометрии» очень актуально, так как они необходимы для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

       Тема «Построения в стереометрии»– одна из центральных тем в курсе стереометрии средней школы. Проблема организации уроков по изучению многогранников одна из самых актуальных, так как она занимает значительную часть в курсе стереометрии. Если педагог не знает методики, особенностей проведения уроков по тому или иному учебнику, то в классе не может идти речи об усвоении программного материала по математике.

        По мнению А.Д. Александрова, вопрос о необходимости любого школьного предмета, о необходимости того или иного его раздела сводится к вопросу о его практической надобности и значении в развитии личности.

       Понимание того, что практически нужно в геометрии и что в данном предмете может служить развитию личности, должно определять и содержание предмета, и постановку его преподавания.

        Ни один предмет ученики так ни готовы воспринимать, как наглядную геометрию, в то же время, ни один предмет не начинают изучать в школе с таким опозданием, как геометрию. Шестилетний провал в геометрическом образовании детей – это трудно восполнимая потеря с точки зрения и общего эмоционального и умственного развития ребенка. Процесс геометрического образования должен быть непрерывным (не допускать периодов бездействия), равномерным (не допускать перегрузок на каких-либо этапах), разнообразным.

       Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет ни одной из двух сторон, нет и подлинной геометрии.

        Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчётливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования – всё это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. План решения любой задачи на построение – цепочку основных построений, приводящих к цели – можно рассматривать как некоторый алгоритм и, следовательно, их можно использовать и в старших классах как содержательный материал курса информатики и вычислительной техники. В процессе решения задач на построение учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры школьников, систематически требуя от них четкой последовательности основных построений. Задачи на построение развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, что очень важно в формировании умений и навыков умственного труда. Посредством задач на построение, даже простейших из них, более глубоко осознаются теоретические сведения об основных геометрических фигурах, так как в процессе решения этих задач ученик создает наглядную модель изучаемых свойств и отношений и работает с этой моделью. Решение задач на построение развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие.

         Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а может быть, невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

       Задачи на построение сечений, многогранников, изучаемые в начале курса стереометрии средней школы, являются важным дополнением к тео­ретическому материалу. Решение этих задач формирует пространственные представления учащихся и развивает конструктивное и логическое мышление. Многократ­ное применение в процессе построе­ния аксиом и теорем способствует их неформальному усвоению.

      Кроме того, простота в постановке задач делает их привлекательными для учащихся. Тем не менее, даже такая не­сложная задача, как построение сечения куба плоскостью, заданной тремя точками на гранях, нередко вызывает у учащихся определенные трудности.

    В этой работе будет рассмотрена методика решения задач на построения в стереометрии, а так же роль и место геометрических построений в школьном курсе.

Основной целью написания данной курсовой работы является разработка общих методических положений, на которые нужно обратить внимание при изложении  темы: «Решение задач на построение в стереометрии» в курсе геометрии.

Актуальность темы заключается в том, что  построения  широко используется  в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники, а в школьном курсе геометрии решение такого типа задач уделяется очень мало времени и в образовательном процессе возникает ряд проблем, связанных с недостаточным количеством часов по теме «Решение задач на построение в стереометрии».

Проблема исследования состоит в обосновании форм и методик приемов обучения учащихся 10 -11 классов решении задач на построение в стереометрии и применение их на практике.

Объектом исследования является учено-воспитательный процесс в общеобразовательной школы.

 Предмет исследования – методика изучения темы «Решение задач на построение в стереометрии» в курсе геометрии в 10 - 11 классах.

Гипотеза исследования состоит в следующем: если в содержание про-граммы обучения геометрии учащихся 10 -11 классов включить больше материалов на решение задач на построение в стереометрии, то это будет способствовать не только повышению качества геометрических знаний учащихся, но и развитию их логического и пространственного мышления, геометрической интуиции, конструктивных умений и навыков, а также расширению их математического кругозора.

Для  решения проблемы исследования, проверки достоверности гипотезы и достижения  цели реализуются следующие задачи:

•        исследование  уже имеющейся научно-методической литературы по этой теме;

•        проведение логико-дидактического анализа изложения данной темы в современных учебных пособиях;

•        обобщение и систематизация полученных сведений.

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения вышепоставленных задач были использованы следующие методы:

•        изучение программ, учебных пособий, методических материалов, касающихся решения задач на построение в стереометрии;

•        сопоставительный анализ школьных учебников различных авторов;

•        опытное преподавание;

•        наблюдение за учащимися во время проведения занятий.

         Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листке бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связанно с темой «Геометрические построения на плоскости». Стереометрические задачи на вычисления и доказательство легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. При изучении тем «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями» и других тем прекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных и метрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигур плоскостями.

ГЛАВА I.  ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.   

АНАЛИЗ УЧЕБНИКОВ ГЕОМЕТРИИ 10-11 КЛАССОВ

Исходя из требований программы, различные авторские коллективы предлагают ряд учебников геометрии 10-11 классов. Рассмотрим некоторые из них.

Учебник  Л.С. Атанасян является продолжением и развитием учебника для 7-9 классов того же авторского коллектива. Изложение теоретического материала болеестрогое, чем на предыдущей ступени обучения. Теоретические тексты кратки и доступны. Система упражнений последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, примеры решения наиболее важных задач, причем данные решения наиболее трудных задач потребуются ученикам как опорные, при доказательстве теорем, следствий из теорем и т.д. Имеются дополнительные задания, которые идут после всей главы. Для решения этих задач необходимо знать не только материал изученной главы («Объемы тел»), но и применить знания, умения и навыки, полученные при изучении других тем. В процессе их решения очень хорошо развивается логика, воображение. Другими словами можно сказать, что при решении дополнительных задач у учащихся развиваются три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.

На изучение темы «Объемы тел» отводится 19 ч. Входят такие разделы, как: объем прямоугольного параллелепипеда, объемы прямой призмы и цилиндра, объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса, объем шара и площадь сферы, объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора.

Основная цель – продолжить систематическое изучение многогранников и тел вращения в ходе решения задач на вычисление их объемов.В курсе стереометрии понятие объема вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры, и формулируются основные свойства объемов. Существование и единственность объема тела в школьном курсе математики приходится принимать без доказательства, так как вопрос об объемах принадлежит, по существу, к трудным разделам высшей математики. Поэтому нужные результаты устанавливаются, руководствуясь больше наглядными соображениями. Учебный материал главы в основном должен усваиваться в процессе решения задач.

Основная теория в начале курса стереометрии изучается с опорой на геометрические тела, что повышает доступность материала, а значит, и результативность обучения.

Учебник  И.Ф.Шарыгина  реализует авторскую наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Его характеризует отказ от аксиоматического метода и акцент на использование наглядных методов в процессе построения теории и решения задач. В учебнике нетрадиционно изложены многие необходимые теоретические факты. Их доказательства оригинальны и, что немаловажно, красивы. Учебные тексты написаны хорошим литературным языком.

Теоремы в учебнике нацелены не столько на «прохождение программы», сколько на создание необходимого запаса сведений для решения задач. Например, весьма интересно изложен раздел «Объемы», в котором имеются теоремы, обычно не рассматриваемые в школе. Доказательства этих теорем поучительны сами по себе, а владение ими дает запас фактов и приемов, позволяющих решать довольно трудные задачи.

Система упражнений в учебнике позволяет реализовать идею уровневой дифференциации. Здесь есть задачи, отмеченные звездочкой, предназначенные для углубленной подготовки; специально выделены полезные (П), важные (В) и трудные (Т) задачи.

Учебник И.М.Смирновой  для естественнонаучного профиля является одним из нескольких учебных пособий, написанных И. М. Смирновой и В.А. Смирновым. Эти учебники объединяет единая концепция авторского подхода к геометрии как науке и учебному предмету, а их отличия связаны с учебными задачами, которые ставятся в том или ином профиле. Так учебник для естественнонаучного профиля позволяет углубить знания учащихся по геометрии, в нем расширен материал о многогранниках, например, имеются теорема Эйлера, учебные пункты, посвященные правильным, полуправильным, звездчатым многогранникам, многогранникам, вписанным в сферу, описанным около сферы и т.п. Больше внимания в учебнике уделено изучению кривых и поверхностей, рассматриваются аналитические способы задания фигур. Наряду с декартовыми координатами в пространстве используются полярные и сферические координаты.

Учебник А. Д. Александрова  написан кратко и просто, в нем реализован аксиоматический подход к построению курса. В теоретической части учебника авторы выделяют основные теоремы, из которых остальные получаются как следствия. Например, в первом параграфе выводится формула объема прямого цилиндра, а затем представление объема интегралом. Но после параграфа идут задачи на объем прямой призмы. Таким образом, ученики сами выводят формулы. В учебнике обращается внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством, архитектурой. Авторы представляют геометрию как живую развивающуюся науку, ведущую свою историю от египетских землемеров и геометров Древней Греции. Изложение теоретического материала строгое. Четкая структура, высокая научность, доступность изложения, простота и краткость – отличительные черты этого учебника. Авторы представляют геометрию, как науку, тесно связанную с окружающим миром. Появлению абстрактного понятия предшествует реальная картина, которая аргументирует необходимость этой абстракции.

К каждому параграфу дается набор задач. Среди них выделены основные задачи, то есть обязательные для всех. Именно в задачах заложен принцип развивающего обучения. Большую помощь учащимся окажут предметный указатель и ответы.

По учебнику А. Д. Александрова на изучение темы «Объемы тел и площади их поверхностей» отводится 20 ч. Входят такие параграфы, как: определение объема, представление объема интегралом, объемы некоторых тел – цилиндра (в том числе призмы), конуса (в том числе пирамиды), шара; площадь поверхности, площадь сферы, площадь поверхности цилиндра и конуса.

Основная цель – продолжить ознакомление учеников с геометрическими величинами.

Аппарат для нахождения этих величин взят из курса начал анализа: интегрирование и вычисление пределов. Тонкие вопросы существования этих величин требуют некоторого комментария со стороны учителя. Например, если мы умеем вычислять объем шара, то из каких соображений находится объем любой его части?

Следует заметить, что только в этом разделе теории в учебнике встречаются утверждения, не имеющие достаточно полного обоснования, опирающиеся на наглядно ясные соображения. Например, постулируется, что любое простое тело имеет объем.

В учебнике И.М.Смирновой  реализован курс, несколько меньший по объему, чем в обычных классах, он рассчитан на 2 часа в неделю в течение полутора лет. В нем сохранены основные вопросы традиционной программы по стереометрии. При этом устранены излишняя детализация и теоремы, играющие вспомогательную роль.

Гуманитарная направленность курса поддерживается за счет вопросов исторического, философского и мировоззренческого характера, рассмотрения приложений геометрии. При этом курс логически связан, содержит необходимые определения, свойства, теоремы и их доказательства. Большую роль играет наглядность.

После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по теории и различные задачи, среди которых выделены важные задачи, используемые при решении других задач. Главы заканчиваются списком задач, с помощью которых можно повторить содержание главы.

Таким образом, в настоящее время действующих учебников по геометрии для 10-11 классов очень много. Каждый авторский коллектив вносит в содержание своих учебников что-то новое, отличающее их от других. Школа и учителя вправе выбирать те из них, которые, по их мнению, дадут оптимальный уровень знаний по геометрии учащимся того или иного класса. В общеобразовательных школах, где нет углубленного изучения отдельных предметов, чаще всего используют учебник Атанасян Л.С.

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

1. Курс стереометрии полностью опирается на курс планиметрии.

     Большинство задач курса сводятся к решению планиметрических задач, соответственно все недочеты, имевшие место при изучении планиметрии, ощущаются и при изучении стереометрии.

     Следовательно,  для успешного изучения стереометрии учитель должен постоянно возвращаться к планиметрическому материалу; перед изучением той или иной теоремы необходимо повторять нужные планиметрические сведения.

2. В стереометрии принципиально другой подход к геометрическим построениям.

     Если при изучении планиметрии учащиеся пользуются чертежами, которые дают явные представления об изучаемом объекте, то в стереометрии нет чертежных инструментов, которые позволяют изобразить пространственные фигуры. Здесь мы имеем дело не с самим объектом, а лишь с его изображением.

   Каждая стереометрическая задача является одновременно задачей на построение изображения фигуры с помощью свойств параллельной проекции. Это требует от учащихся значительно больших усилий, чем их требуется при решении планиметрических задач.

3. В курсе стереометрии уделяется большое внимание логической стороне проводимых умозаключений; приходится обосновывать каждый свой вывод, четко устанавливая предпосылки.

4. Программа по стереометрии предполагает более быстрый темп прохождения материала, чем в планиметрии. При этом времени на решение задач требуется гораздо больше, соответственно более значительное место занимает самостоятельная работа школьников. Необходим тщательный подбор заданий на уроке - включать только самое необходимое.

5. Курс стереометрии строится аксиоматически. При изучении аксиоматики стереометрии необходимо решить две основные методические задачи:

1) переформулируются аксиомы планиметрии для пространства (некоторые должны быть с уточнениями).

   Здесь фактически под видом договоренности между учителем и учащимся вводится, как бы новая аксиома: «В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии».

2) добавляются новые специфические аксиомы пространства, которые на первых этапах изучения иллюстрируются с помощью моделей, стереометрического ящика, рисунка, геометрии классной комнаты.

    При этом появляется возможность более эффективного выявления учащимися сущности аксиоматики и ее роли в построении геометрии.

   Формирование пространственных представлений идет в несколько этапов и включает в себя:

- умение представить по чертежу целостный образ геометрической фигуры, взаимное расположение ее элементов;

- умение мысленно изменить положение фигуры - посмотреть с другой стороны;

- умение мысленно расчленить фигуру, составить из нее новый объект;

- умение изобразить фигуру на чертеже, адекватно отразив имеющиеся отношения;

- умение представить фигуру на основе ее словесного описания и т.д.

     На I этапе на наглядной основе формируются предпосылки для создания целостного образа фигуры с выделением ее существенных признаков. На данном этапе учитель должен широко использовать модели, реальные объекты окружающего мира. После этого строится чертеж, который закрепляет рассмотрение соответствующей геометрической конфигурации.

  В конце I этапа и на II у школьников формируются образы фигур и их комбинаций, которые они могут представить себе в почти неизмененных условиях.

   Схема формирования пространственных представлений на I и II этапе следующая:  Модель ---- чертеж ---- представление

    На II этапе роль моделей несколько уменьшается, т. к. в противном случае у школьников будет тормозиться развитие способностей мысленно представлять себе особенности расположения фигуры и ее элементов.

    При построении чертежа на данных этапах учителю не следует сразу демонстрировать готовый чертеж, а стараться его выполнять постепенно вместе с учащимися с целью поэтапного восприятия или пространственных образов.

    III этап овладение умением оперировать образами в измененных условиях. Школьники сначала работают с основным чертежом, который однако часто не дает возможность увидеть особенности расположения фигуры с разных позиций. Поэтому чертеж, как правило, должен подкрепляться рассмотрением соответствующей модели. Демонстрация сопровождается специально подобранными вопросами.

   Например: Какие фигуры могут получиться при пересечении тетраэдра плоскости? Покажите на модели и чертеже различные случаи. Ответ обоснуйте.

Схема формирования пространственных представлений на III этапе:

чертеж  ---- модель  ----  представление.

IV этап: Учащиеся должны конструировать стереометрические объекты самостоятельно на базе сформулированных ранее представлений. При этом не используется ни чертеж, ни заранее подготовленная модель, а можно лишь учителю задавать вопросы для уточнения расположения фигуры.

Схема на IV этапе: представление чертеж.

    Воображаемые построения (В.п.) - формально-логический метод построения в пространстве с отказом от реальных построений с помощью чертежных инструментов, осуществляются как бы мысленно; рисунок, их сопровождающий, носит чисто иллюстративный характер.

   С математической точки зрения В.п. рассматриваются как задачи на доказательство существования фигур, определенных некоторым известными условиями. Само доказательство заключается в сведении процесса построения фигур (или их комбинаций) к конечному числу основных построений, которые определяются аксиоматически. При этом решение (доказательство) может сопровождаться, а может не сопровождаться рисунком.

   Учитель обращает внимание учащихся на ряд сложностей, возникающих при осуществлении построений в пространстве (нельзя построить плоскость, многогранник и т.д.). Поэтому необходимо точно условиться: что значит выполнить то или иное построение.

    На проекционном чертеже точки и прямые задаются вместе со своими проекциями на некоторую плоскость, которую называют основной.

   Проекционные чертежи позволяют конструктивным средствами строить точки и линии пересечения изображаемых на нем фигур. Они имеют очень важное значение для развития пространственного воображения школьников.

   С проекционными чертежами рекомендуется ознакомить школьников в 10 классе при изучении параллельной проекции ее свойств. Здесь учитель подводит школьников к выводу о том, что фигуры на чертеже могут задаваться ее проекцией на проекционной плоскости.

    Причем, если точка или фигура совпадает со своей проекцией, то данная точка или фигура лежит на проекционной плоскости.

    Проекционный чертеж может быть иллюстрирован моделью параллелепипеда, где проекционная плоскость - это плоскость нижнего основания, направление проектирования определяется боковыми ребрами, а проекция верхнего основания - нижнее основание.

    Основным видом стереометрических задач на построение на проекционном чертеже являются задачи на построение сечений многогранников. В школе рассматриваются два метода построения сечений:

1)метод следов; 2) метод внутреннего проектирования (иногда используют их комбинацию).

    В соответствии с методом следов вначале строится след секущей плоскости на проекционной, а затем последовательно находятся линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

   Основным минусом этого метода является то, что след секущей плоскости может оказаться удаленным от основной части чертежа, следовательно, приходится уменьшать чертеж, что нежелательно.

   Метод внутреннего проектирования основывается на соответствии между точками сечения и точками основания многогранника. Все построения - внутри него, но сложнее объяснить логику построения, да и чертеж загроможден.

    Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листе бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связано с темой «Геометрические построения на плоскости». Стереометрические задачи на вычисления и доказательство легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. При изучении тем «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями» и других тем прекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных и метрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигур плоскостями.

Основными методами построения сечений многогранников являются следующие методы:

1. Метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

2. Метод вспомогательных сечений. Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «скученными». Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

3. Комбинированный метод построения сечений. Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов и методом вспомогательных сечений.

4. Координатный метод построения сечений. Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.

       Из всех перечисленных способов построения сечения наиболее приемлемым является координатный метод, так как он связан с большим объемом вычислений и имеет простой алгоритм реализации, что целесообразно реализовать с помощью ЭВМ. Достаточно знать координаты вершин каждой грани многогранника и три точки задающие плоскость сечения

       Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а может быть, невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

    Задачи на построение сечений, многогранников, изучаемые в начале курса стереометрии средней школы, являются важным дополнением к тео­ретическому материалу. Решение этих задач формирует пространственные представления учащихся и развивает конструктивное и логическое мышление. Многократ­ное применение в процессе построе­ния аксиом и теорем способствует их неформальному усвоению.

ГЛАВА III. ЧЕТЫРЕ ЦИКЛА ЗАДАНИЙ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИХ ВЫПОЛНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОСТРОЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.1. ОТЫСКИВАНИЕ МНОЖЕСТВ ТОЧЕК, ОБЛАДАЮЩИХ ОПРЕДЕЛЕННЫМ СВОЙСТВОМ

В Евклидовой геометрии основные свойства точки, прямой и плоскости, которые относятся к их взаимному расположению, выражены в 20 аксиомах. Сформулируем некоторые из них.

- Через любые две точки можно провести только одну прямую.

- Через любые три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость.

- Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечное множество плоскостей.

- Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости.

Исходя из аксиом стереометрии, можно предположить возможность следующих основных построений в пространстве:

1) Плоскость может быть построена, если заданы следующие элементы, определяющие ее положение в пространстве:

а) прямая и не лежащая на ней точка,

б) две пересекающиеся прямые,

в) две параллельные прямые,

г) три точки, не лежащие на одной прямой.

2) Прямая в пространстве может быть построена как линия пересечения двух плоскостей.

3) Все планиметрические построения выполнимы в пространстве только на некоторой заданной плоскости.

4) Сфера может быть построена, если задано положение ее центра и радиуса R.

3.2. ПОСТРОЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Аксиомы в стереометрии:

- В пространстве существуют различные плоскости. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

- Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости.

- Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение — общая прямая.

- Для любых двух точек А и В и пространства однозначно определено некоторое неотрицательное число |АВ|, называемое расстоянием между ними и обладающее следующими свойствами:

|АВ| = |ВА|

|АВ| = 0 тогда и только тогда, когда  точки А и В совпадают;

|АС| ≤ |АВ| + |BС|, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда точка В принадлежит отрезку АС.

- Любая плоскость разбивает пространство на 2  полупространства.

Задача.

Даны точки A (A’), B (B’), C (C’) и D (D’). Построить плоскость, проходящую через точку D (D’), параллельно плоскости ABC.

3.2.1.  Анализ

   Анализ — это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализ уже не нужен).

    Чтобы облегчить себе поиск связей между искомой фигурой и данными фигурами, обычно оказывается выгодным иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертеж-набросок, изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, которое предусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз – это проект чертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена.

    На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи.

    Если вспомогательный чертеж не подсказывает способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена, и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры.

Учитываются следующие моменты:

1) если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым;

2) если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертеж, то есть следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет на нем;

3) в процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

   Из данного примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру.

   Название этапа “анализ” не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический метод, подобно тому, как и при доказательстве, которое иногда называют “синтезом”, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.

Вернемся к нашей задачи и проведем ее анализ.

Анализ:

   Найдем точку S’1, в которой пересекаются лежащие в проектирующей плоскости AA’B прямые AB и A’B’, точку S’2, в которой пересекаются прямые AC и A’C’, и точку S’3, в которой пересекаются прямые AD и A’D’.

    В плоскости AS’1S’3 построим прямую проходящую через точку D, параллельно прямой AS1 и в плоскости AS’2S’3 проходящую через точку D, параллельно прямой AS’2.

Через полученные прямые строим искомую плоскость.

3.2.2 Построение

Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей:

1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;

2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов — значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи.

Данный этап вводится при решении самой первой задачи на построение, которой обычно является задача о построении отрезка, равного данному, на данном луче с концом в начале этого луча. В беседе, сопровождающей введение этапа, необходимо отметить, в чем состоит решение любой задачи на построение и указать, что осуществление этого этапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построения искомой фигуры.

Построение: AB∩A’B’= S’1

AC∩A’C’= S’2

AD∩A’D’=S’3

DS’4║AS’1

DS’5║AS’2

DS’4S’5

3.2.3 Доказательство

   После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать различными способами, в зависимости от намеченного при анализе плана построения, а поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое. Доказательство представляет собой часть решения задачи, по своему логическому содержанию обратную анализу. Если в анализе устанавливается, что всякая фигура, удовлетворяющая поставленным условиям, может быть найдена таким-то и таким-то путем, то в этой, третьей части решения доказывается обратное положение. Это обратное положение в общем виде может быть сформулировано так: если некоторая фигура получена из данных элементов таким-то построением, то она действительно удовлетворяет поставленным условиям.

     При решении простейших задач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане построения, нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из данных элементов таким построением, является искомой. Например: “Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними”. Здесь доказательство сводится к простой проверке, такие ли взяли стороны, как данные, и будет ли построенный угол равен данному. В подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность решения обеспечивается соответствием построения анализу и данным условия задачи.

    Доказательство не просто зависит от анализа и построения, между ними существует взаимосвязь и взаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному при анализе. Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство являются своеобразным критерием правильности и рациональности составленного плана. Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказывается нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом и доказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выбор плана решения.

    Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое различие.        При доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяют условие и заключение. При решении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтому при решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда специально выделять, что дано, и что требуется доказать. Например, при решении задачи: “Построить ромб по двум его диагоналям” предлагаем ученику записать, что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать (стороны равны). В свою очередь при решении задач дома и в контрольных работах можно не требовать оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения. Нет надобности требовать проведения особого доказательства в задачах, где правильность решения очевидна.

3.2.4 Исследование

    При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.

     Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений. Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, произвольно выбирая те или иные случаи, причем неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. Практически в большинстве случаев удается достигнуть необходимой полноты исследования, если проводить это исследование по ходу построения, что является наиболее доступным и целесообразным способом. Сущность этого приема состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.

3.3. ПОСТРОЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ  ТОЧЕК И ПРЯМЫХ

    Решить задачу на построение - значит свести её к совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми. Перечислим их.

- Если построены две точки А и В, то построена прямая АВ, их соединяющая, а также отрезок АВ и любой из лучей АВ и ВА (аксиома линейки).

- Если построена точка О и отрезок АВ, то построена окружность с центром в точке О и радиусом АВ, а также любая из дуг этой окружности.

- Если построены две прямые, то построена точка их пересечения (если она существует).

- Если построена прямая и окружность, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

- Если построены две окружности, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

    Решить задачу на построение - значит найти все её решения. Последнее определение требует некоторых разъяснений.

    Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, могут различаться как формой так и размерами, так положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое положение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур.

   Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

    Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

    Найти решение задачи на построение - значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

   Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь.

Параллельное проектирование

     Пусть даны плоскость α и прямая l, пересекающая плоскость а (рис. 1). Возьмем произвольную точку пространства A1 и проведем через эту точку прямую l1, параллельную l. Прямая l1 пересечет плоскость α в некоторой точке A. Полученная таким образом точка A называется проекцией точки A на плоскость α при проектировании параллельно прямой l. Обычно кратко говорят, что точка A есть параллельная проекция точки A1.

Параллельной проекцией пространственной фигуры Φ1 называется множество Φ параллельных проекций всех точек данной фигуры.

Свойства параллельного проектирования:
1) Проекция прямой есть прямая.

2) Проекции параллельных прямых параллельны.
3) Отношение проекций двух параллельных отрезков равно отношению проектируемых отрезков.

1. Проекция точки есть точка.

2. Проекция прямой линии на плоскость есть прямая линия.

(Для всех прямых, не параллельных направлению проецирования, проекция прямой есть прямая.)

3. Если в пространстве точка инцидентна (принадлежит) линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии.

Следствие: Если прямые пересекаются в точке K, то проекции прямых пересекаются в проекции точки - K.

4. Проекции взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны.

5. Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков.

6. Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в конгруэнтную фигуру.

При параллельном переносе плоскости проекций величина проекций не изменится, следовательно, мы можем не рисовать положение плоскости проекций.

Cвойства параллельного проектирования:

ü Прямые линии переходят в прямые линии.

ü Параллельные прямые переходят в параллельные.

Сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.

При параллельном проектировании отношение площадей фигур сохраняется.

 В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование.
           Пусть π - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 3). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется параллельной проекцией точки A на плоскость π в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость π считается точка пересечения прямой l с плоскостью π.

Рис.3

   Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость π. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость π в направлении прямой l.
    Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость π образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость π в направлении прямой l.  Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.
    Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.

       Рассмотрим свойства параллельного проектирования.
            Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
            Доказательство. Ясно, что если прямая k параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой на плоскость π будет точка пересечения прямой l и плоскости π. Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l (рис. 4). Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее прямую a, параллельную l. Ее пересечение с плоскостью проектирования π даст точку A', являющуюся проекцией точки A. Через прямые a и k проведем плоскость π . Ее пересечением с плоскостью π будет искомая прямая k', являющаяся проекцией прямой k.

                                     Рис. 4                             Рис. 5

    Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.
    Доказательство. Ясно, что если отрезок лежит на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, то его проекцией будет точка. Пусть точки A, B и C лежат на прямой k, не параллельной и не совпадающей с прямой l; k' – проекция прямой k на плоскость π в направлении прямой l; A', B', C' – проекции точек A, B и C соответственно; a, b, c – соответствующие прямые, проходящие через эти точки и параллельные прямой l (рис. 5). Тогда из теоремы Фалеса планиметрии следует равенство отношений AB : BC = A'B' : B'C'. В частности, если точка B - середина отрезка AC, то B' - середина отрезка A'C'.

    Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.

3.4 ПОСТРОЕНИЯ НА МНОГОГРАННИКАХ

     Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

   Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. "Многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя "полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 6).

     Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла.

         Рис. 6           Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным. углом двугранного угла.

    За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

Трехгранный и многогранный углы

     Рассмотрим три луча а, b, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc)называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аb), (bс) и (ас) (рис. 7). Эти углы называются гранямитрехгранного угла, а их стороны — ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

                          

        Рис. 7                                                                  Рис. 8

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 8).

Многогранник

     В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

    Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских

        Рис. 9   многоугольников (рис. 9). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

        Рис. 10              

 Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 10). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

    Простейшим многогранникам — призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,— мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.

Призма

   Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис. 11). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,— боковыми ребрами призмы.

         Рис.11                          

   Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны.

Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.

    Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.

     Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми ребрами.

    Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

Призма называется n-угольной, если ее основания — n-угольники.

В дальнейшем мы будем рассматривать только призмы, у которых основания — выпуклые многоугольники. Такие призмы являются выпуклыми многогранниками.

На рисунке 11 изображена пятиугольная призма. У нее основаниями являются пятиугольники А1А2...А5, А1’А'2...А'5. XX' — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы—отрезки А1А'2, А1А'2, ..., А5А'5.Боковые грани призмы — параллелограммы А1А2А'2А1 , А2А3А’3А'2, ... .

5) Изображение призмы и построение ее сечений

    В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 12). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы.

              Рис. 12                                            Рис.13

Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани    (рис. 13).

На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямуюg на плоскости одного из оснований призмы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания.

             Рис. 14      

Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (рис. 14).

   Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (рис. 14, а).

    Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 14,б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки  А  и  D.  

   Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой g.

   Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью.

   На рисунке 15 показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

             Рис. 15

Прямая призма

   Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

   У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. При изображении прямой призмы на рисунке боковые ребра обычно проводят вертикально (рис. 16).

  Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

    Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. .на длину бокового ребра.

          Рис. 16

Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S=a₁l+a₂l+...+a_nl = pl,

где a₁,..., a_n — длины ребер основания, р — периметр основания призмы, а l — длина боковых ребер. Теорема доказана.

Параллелепипед

 Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.

    На рисунке 17, а изображен

наклонный параллелепипед, а на рисунке 17, б — прямой параллелепипед.

а)            Рис. 17             б)

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Пирамида

   Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,— вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 18).

   Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

  Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды.

    Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

    Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

У пирамиды, изображенной на рисунке 18, основание — многоугольник А1А2 …An, вершина пирамиды – S, боковые ребра — SА1, S А2, …, S Аn, боковые грани – DSА1А2, DSА2А3, ... .

Правильные многогранники

   Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. )

    Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис.17):

                        Рис. 19

 правильный тетраэдр (1), куб (2), октаэдр (3), додекаэдр (4); икосаэдр (5).

    У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

    У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

    У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

    У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

Построения, основанные на применение некоторых свойств  точек и прямых

Задача 1.

    Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА\ и ВВ\ на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА₁=а, ВВ₁=b, А₁В₁=с и двугранный угол равен а (рис. 20).

                              Рис. 20

 Решение. Проведем прямые A₁C||BB₁ и ВС||А₁В₁. Четырехугольник А₁В₁ВС - параллелограмм, значит АА₁=ВВ₁=b. Прямая А₁В₁ перпендикулярна плоскости треугольника АA₁C, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости АА₁ и СА₁. Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов: AC₂=AA₁²+A₁C²—2AA₁•A₁C•cos a=a²+b² —2abcos a.

Задача 2.

    У трехгранного угла (abc) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен j, а плоский угол (bс) равен g (j, g <p/2). Найдите два других плоских угла: a= Ð (ab), b=Ð (ac).

               Рис. 21

Решение. Опустим из произвольной точки А ребра а перпендикуляр АВ на ребро b и перпендикуляр АС на ребро с (рис. 21). По теореме о трех перпендикулярах СВ — перпендикуляр к ребру b.

Из прямоугольных треугольников ОАВ, ОСВ, АОС и АВС получаем:

tg a =AB/OB=(BC/ cos j)/(BC/tg g)= tg g/ cos j

tg b =AC/OC=BC tg j / (BC/sin g)= tg g sin g

Задача 3.

     В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.

  Рис. 22

Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 22). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.

Задача 4.

  Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см². Найдите площади сечений.

Решение. Сечения подобны основанию пирамиды с коэффициентами подобия ¼, 2/4, и ¾. Площади подобных фигур относятся как квадраты линейных размеров. Поэтому отношения площадей сечений к площади основания пирамиды есть (¼)², (2/4)², и (¾)². Следовательно, площади сечений равны

400 (¼ )² =25 (см²),     400 (2/4)² =100 (см²),        400 (¾)² =225 (см²).

Задача 5.

Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Решение. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции с одним и тем же верхним основанием а, нижним b и высотой (апофемой) l. Поэтому площадь одной грани равна ½ (а + b)l. Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна ½ (аn + bn)l, где n — число вершин у основания пирамиды, an и bn — периметры оснований пирамиды.

3.4. Построения на многогранниках

    Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листе бумаги, классной доске). Основными методами построения сечений многогранников являются следующие методы:

1. Метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

2. Метод вспомогательных сечений. Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «скученными». Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

3. Комбинированный метод построения сечений. Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов и методом вспомогательных сечений.

Примеры построения сечений.

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L (Рис. 23).

                                                                                                          Рис. 23

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D (Рис. 24).

                      Рис. 24

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁ (Рис. 25).

                                Рис. 25

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее с точкой N, лежащей в этой же плоскости (Рис. 26)

X₁N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

                           Рис. 26

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B (Рис. 27).

                                    Рис. 27

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂ (Рис.28);

                        Рис. 28

  Пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃ (Рис. 29);

                                  Рис. 29

   Точки X₂ и X₃ лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃ , которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD (Рис. 30) MKNTPL - искомое сечение.

                                    Рис. 30

Пример 2.

  Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

                   Рис. 31

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D

Рис. 32

         Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML (Рис. 33).  Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

          Рис. 33

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁ (Рис. 34).

               Рис. 34

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости (Рис. 35). X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

                 Рис. 35

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B (Рис. 36).

                    Рис. 36

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM (они лежат в параллельных плоскостях) (Рис. 37)

Соединим точки P и L (они лежат в одной плоскости).

         MKNTPL - искомое сечение.

Пример 3

Постройте сечение куба плоскостью проходящей через точки, указанные на рисунке

Решение:

А) проводим линию пересечения с гранью куба (АВ)

Б) проводим параллельную ей (АВ)на противолежащей грани (ЕС)

В) проводим ЕА

Г) проводим прямую BD||EA

Д) Соединяем D c C

Сечение (ABDCE) построено.

Пример 4

Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, через точки, указанные на рисунке

Решение.

А) проецируем на плоскость основания, путем центрального проецирования из вершины, точки В и С, получая точки: B’ и C’.

Б) пересекаем прямые B’C’ и BC, находим точку P’

В) пересекаем AP’ и D’C’, находим точку D”.

Г) пересекаем D”C и SD’, находим D

ABDC – сечение.

Пример 5

Дано:          Построить сечение призмы  ABCDA₁B₁C₁D₁ – призма, M ϵ A₁B₁,   N ϵ AD, P ϵ DC

Найти:        Сечение ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью проходящей через точки M, N, P

Решение:    Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Пример 6

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁-параллепипед, P CC₁D₁D, Q AA₁D₁D, R  BB₁. Построить: сечение ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью PQR.

Решение:

Пример 7

Дано: Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка P лежит на грани CC₁D₁D, точка Q - на ребре B₁C₁, а точка R - на ребре AA₁. Построить: сечение параллелепипеда плоскостью (PQR).

Решение:

Пример 8

Дано: На рёбрах A₁B₁ и DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки P и S, а в гранях DD₁C₁C и AA₁D₁D соответственно точки Q и R.

Построить: сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку S параллельно плоскости PQR.

Решение:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умение и навыки решать задачи на построения в стереометрии в школьном курсе геометрии являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.

       Прежде всего, педагогический работник сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков параллельного проектирования с применением его свойств.

      Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по геометрии выстраивается линия возможностей изучения различных методов решения задач.

      Тема «Построения в стереометрии» одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Она составляет, можно сказать, центральный предмет стереометрии. В дальнейшем построения широко используется  в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. Однако в школьном курсе геометрии решение задач на построения уделяется очень мало времени.

   Таким образом, в данной работе были рассмотрены основные, общие моменты изучения построения в школьном курсе стереометрии. В связи с чем были выполнены следующие задачи:

-   исследование  уже имеющейся научно-методической литературы по этой теме;

-   проведение логико-дидактического анализа изложения этой темы в современных учебных пособиях;

-   обобщение и систематизация полученных сведений;

-   экспериментальная проверка эффективности использования разработанной  методики.

На основе исследования сделаны следующие выводы:

1. Методы построений в стереометрии используется в задачах на построение.

2. Данный материал характеризуется следующим особенностями:

 - Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

- В задачах используются в основном простейшие многогранники.

- Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Указанные особенности должны быть учтены педагогическим работником при разработке методики обучения школьников решению задач на построения в стереометрии.

3. Чтобы решить задачу построения в стереометрии обучающийся должен знать:

- что значит построить многогранники;

- как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;

- как задается плоскость;

- когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

- Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листке бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связанно с темой «Геометрические построения на плоскости». Стереометрические задачи на вычисления и доказательство легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. При изучении тем «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями» и других тем прекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных и метрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигур плоскостями.

Таким образом, тема «Построения в стереометрии»  занимает достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни   – М.: Просвещение, 2009. – 384 с.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни   – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

3. Атанасян Л.А. Сборник задач по элементарной геометрии/Л.А. Атанасян  2-е издание. Переработанное М.: Просвещение, 1964.

4. Александров, А.Д Геометрия для 10-11 классов: учебное пособие для учащихся общеобразоват. школы и классов с углубленным изучением математики/А.Д. Александров  - М.: Просвещение, 1991. - 127 с.

5.Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии (Стереометрии) / И.Ф. Шарыгин. - М.: Наука, 2009.

6. Геометрия. 7-9 классы. Смирнова И.М., Смирнов В.А. 2007, 376 с

7. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов.  Геометрия : 10-11-й классы : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)

8. Василевский А.Б. Параллельные проекции и решение задач по стереометрии/А.Б. Василевский - Минск, 1978.

9. Глейзер Г.И. История математики в школе – М.: Просвещение, 1964. – 376

10. Гусев, В.А. Практикум по элементарной математике. Геометрия/В.А. Гусев - М., 1992.

11. Демьянов В.П.  Геометрия и  Марсельеза. - М.:  Знание,  1986.- с.254.

12. Дорофеев, Г.В. Примерные билеты и ответы по геометрии для подготовки к устной итоговой аттестации выпускников 11 классов общеобразовательных учреждений в 2002/2003 учебном году/Г.В. Дорофеев - М.: Дрофа, 2003. - 128с.

13. Жафяров, А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников/ А.Ж. Жафяров - Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2003. - 468 с.

14. Костицын В.Н. Моделирование на уроках геометрии. – М.: Владос, 2000.

15. Лащенов М.П. Полные и неполные изображения и их применение в педагогическом процессе/М.П. Лащенов - М.: 1963.

16. Литвиненко, В.Н. Задачи на развитие пространственных представлений: Книга для учителя/ В.Н. Литвиненко - М.: Просвещение, 1991. - 127 с.

17. Лойд С.В. Математическая мозаика/книга для учителя/С.В. Лойд - М.: Просвещение, 1997.

18. Монж Г. Начертательная геометрия./  Комментарии  и  редакция Д.И. Каргина. -  М.: Изд-во АН СССР, 1974. - с.291.

19. Мочалов Л.П. Головоломки: книга для учащихся/ Л.Н. Мочалов - М.: Просвещение, 1991.

20. Панкратов А.А. Начертательная геометрия/А.А. Панкратов - М.: Просвещение,  1963.

21. http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=511902