Курсовая работа по теме:"Методика решения уравнений с параметрами на уроках алгебры в 7 классе"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко»

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

Курсовая работа

К.А. Дмитриева

студентка 4 курса факультета информатики, физики и математики

специальность 032100.01 - «Математика» с дополнительной

специальностью «Информатика»

Методика решения уравнений с параметрами на уроках алгебры

в 7 классе

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент И.Л. Мирошниченко Работа защищена «___»________________2012 г. с оценкой __________________

Глазов 2012

Содержание:

Введение                                                                                    стр. 3

§1. Понятие параметра                                                             стр. 5

§2. Анализ школьных учебников по алгебре за 7 класс.       стр. 7

§3. Методика решения уравнений с параметрами.                стр. 11

     3.1. Линейные уравнения с параметрами                          стр. 12

     3.2. Системы линейных уравнений с параметрами.         стр. 16

Заключение.                                                                               стр. 20

Список литературы.                                                                  стр. 21

Введение.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления, математической культуры учащихся, но их решения вызывают значительные затруднения. Это связано с тем, что их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и глубоко рассматривается в основном на факультативных занятиях.

Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих из них сложными. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении.

Актуальность выбранной темы состоит в том, что в последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются в заданиях ЕГЭ и ГИА. Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач  с параметрами.

Цель данной работы заключается в разработке методики решения уравнений с параметрами в   7-м классе.

Для осуществления данной цели необходимо решить ряд задач:

·        рассмотреть всевозможные введения понятия «параметр» с 7-го класса, для этого необходимо провести анализ действующих учебников;

·        выявить основные типы уравнений с параметрами, встречающиеся в курсе школьной программы за 7 класс;

·        разработать более рациональный метод решения уравнений, содержащих параметр.

Структура разработки наиболее эффективной методики решения уравнений с параметрами, приведенной в данной работе, заключается в следующем: введение общего понятия «параметра», сущность решения уравнений, содержащих параметр, - все это рассмотрено в первом параграфе курсовой работы. Далее представлен анализ действующих школьных учебников по алгебре за 7 класс, таких как: Макарычев Ю.Н. и др., Мордкович А.Г, Шалимов Ш.А. и др. рассмотрено как осуществляется знакомство учеников с понятием «параметр», какие виды заданий встречаются у каждого автора. И уже в §3 представлена методика решения уравнений с параметром. Суть этой методики заключается в исследовательской работе учеников - в проведении анализа уравнений, содержащих параметр.

§1. Понятие параметра.

Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют внимание и память.

В применении к параметрическим уравнениям можно выделить следующие исследовательские умения:

1) Умение выражать через параметр условия принадлежности данного параметрического уравнения к тому или иному классу уравнений;

2) Умение определять вид уравнения и указывать вид коэффициентов в зависимости от параметров;

3) Умение выражать через параметры, условия наличия решений параметрического уравнения;

4) В случае наличия корней уметь выражать условия наличия того или иного количества корней;

Развивающий характер уравнений с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся: умение определить наличие и количество корней, выработка определенных алгоритмов мышления, выражение одной переменной через другую, повторение большого объема формул при решении, знание соответствующих методов решения, широкое применение словесной и графической аргументации, развитие графической культуры учащихся;

Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения уравнений с параметрами в школьном курсе математики.

Параметр - (от греч. parametron - отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Если в уравнении наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами, а уравнение называется параметрическим.

Примеры: ах = 3; 2х – 5р = 8; (2а + 3)х² – ах + 1 =0.

Здесь х — неизвестное, а и р — параметры.

Решить уравнение, содержащее параметр, — это значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.

Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.

Определение: Уравнение вида  ax = b, где x – переменная,  a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Решить уравнение  с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Изучению задач с параметрами в школе отводится незначительное место, хотя неявно с этим понятием учащиеся сталкиваются, например, при изучении функции y=kx, для этой функции в качестве параметра выступает коэффициент k прямой пропорциональности.

Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев:

1)           получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;

2)получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называют допустимым, во втором – недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла.

§ 2. Анализ школьных учебников по алгебре 7 класс.

Проанализируем действующие учебники курса алгебры, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

1. Макарычев Ю.Н. и др. «Алгебра. 7 класс»

При изучении уравнений представлено два задания с параметром (№№538, 546). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам.

№ 546. При каком значении b корни уравнений 5bx-2(4x+b)-x=16b и 1,6(2+x)-3,2(3x+4)=0 являются противоположными числами?

№ 538. найдите натуральные значения a, при которых является натуральным числом корень уравнения:

а) a(3x-2)+2(3+a)=18

б) 3x(a-1)-2a(x+4)=4(1-2a)

Также в данном учебнике в §15 «Линейная функция» (глава 7 «Функции») рассматривается прямая пропорциональность, где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром.

Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе 8 «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), где необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков.

№ 1214*. При каком значении а прямые 4х + 3у = а  и 2x – 3y = 8 пересекаются в точке, принадлежащей оси у, оси x?

№ 1344 При каком значении а прямая ax + 5y = 9 проходит через точку пересечения прямых 5x + 4y = 6 и 3x – y = 7?

2. Мордкович. А. Г. «Алгебра 7 класс».

Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника.

При изучении линейной функции (глава 2 §7) рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a. При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения.

Номера 10.18-10.20 задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о том, чтобы найти значения параметра, если известно решение уравнения. Также содержится ряд заданий, (например, №7.25-7.29) в которых необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку.

№10.18. Даны две возрастающие линейные функции у=k1x – m1, у=k2x – m2. Подберите такие коэффициенты k1, k2, m1, m2, чтобы их графики были параллельны.

№7.26. Найдите значения коэффициентов а в уравнении ах +8у= 20, если известно, что решением этого уравнения является пара чисел: а) (2;1);           б) (-3;-2).

3. Алимов Ш.А. и др. «Алгебра 7 класс».

Уже при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, которые содержит задачи с параметром (№№ 99-125), где нужно решить простейшие линейные уравнения на нахождение значения параметра, при которых уравнение имеет корни или не имеет корней (№123,124).

№ 99. Решить уравнение, если a и b – заданные числа, отличные от нуля:

а) ax – 3 = b;      б) 4 + bx = a;      в) b = a(x – 3);      г) 4 = a – (bx – 1);

№123. Подобрать число a такое, чтобы уравнение имело корни:

а) 5x – 7 = 5x – a;       б) x – (2 – x) = 2x – a;

 Особенно можно выделить номер 125, который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.

№125* Решить уравнение, принимая за неизвестное х выяснить при каких значениях а это уравнение имеет корни.

a) 2х – 3(х – а) = 3 + а

б) a + 6( x – 1) = 2a + x

в) (ax – 2): 2 = (3 – ax):4

После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений.

№732. Дана функция у = kх + b. При каких значениях k и b график функции проходит через точки (-1; 1) и (2;3). Найдите значение k, если известно, что график функции y = kx – 1 проходит через точку (-3;2).

Вывод:  в рассмотренных учебниках 7 класса встречаются задания с параметрами, но внимания таким заданиям уделяется мало, так как решение уравнений с параметрами является одним из самых трудных, в особенности и для понимания учениками, разделом курса элементарной математики. Такое положение дела представляется определенным недостатком школьного обучения - хотя известно, что такие задания необходимо включать в учебники с точки зрения необходимости логического развития школьников. Содержание материала и требования к учащимся по теме: «задачи с параметрами» должны определяться, конечно, уровнем математической подготовки всего класса в целом и каждого в отдельности. По интересующим учащихся вопросам можно организовать дополнительные занятия, кружки и факультативы.

§3. Методика решения уравнений с параметрами.

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой - он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении - это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.

Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре и предложить задания в которых надо выразить одну переменную через другую.

Выразите х через другие переменные:

а) ;   б) ;   в)

г) ;   д)

Повторив на простых примерах, что значит решить уравнение, обратим внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное через числа.

Исходя из возрастных особенностей учащихся, все задания с параметрами в 7 классе носят пропедевтический характер. Должны встречаться задания с параметрами на решение линейных уравнений, систем линейных уравнений, на выражение одной переменной через другую (в уравнениях с двумя переменными). Учащиеся на этом этапе еще не знакомы с понятием параметра, но в учебниках обязательно должно быть помещено примечание о том, что более подробно такие задания будут рассмотрены в 8 классе.

Основные виды уравнений, содержащих параметр, рассматриваемые в 7 классах:

1)    линейные уравнения с одной переменной;

2)    системы линейных уравнений;

3.1 Линейные уравнения с параметрами.

Семиклассники хорошо решают линейные уравнения с параметрами. Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.

Определение: Уравнение вида ax = b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Алгоритм решения уравнения ax = b.

1)                      Если a ≠ 0, то x=

2)                     Если а = 0, b ≠ 0, то корней нет (0х = b)

3)                     Если a = b, то х – любое (0х = 0)

Пример 1: Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х.

Решение: Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовём параметром.

Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

х + 2 = а + 7

х = 5 + а

Значение х находится по формуле х = 5 + а, подставляя в неё задаваемые значения параметра а. Заметим, что значения параметра а задаём произвольно.

В нашем примере: при а = 3        х = 8

                                 при а = 0        х = 5

                                 при а = - 4      х = 1

Ответ: при любом значении параметра а  х = 5 + а.

Поставим задачу, обратную данной.

Пример 2: При каком значении параметра а    х = 2,5 является корнем уравнения  х + 2 = а + 7?

Решение: т.к.  х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке           х = 2,5 в уравнение получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7

а = -2,5

Ответ: при а = -2,5

Пример 3: Решите уравнение: ax = 1

Решение: ax = 1

1)           если a ≠ 0 то x = ;

2)           если  а = 0, то корней нет;

Ответ: если а = 0, то корней нет, если а ≠ 0, то x = .

Пример 4: Решите уравнение ax + 8 = a (a – параметр)

Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:

1) Коэффициент при х = 0  и уравнение примет вид 0х = 8 – не имеет корней уравнение;

2) Коэффициент при х ≠ 0 и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент:

a ≠ 0,

ax + 8 = a,

x + 8/a = 1,

x =

Ответ: при а = 0 – нет корней, при а ≠0   х =

Пример 5: Решить уравнение 2а∙(а – 2)∙х = а – 2.

Решение: Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются, а=0 и а=2. При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра     а ≠ 0 и а ≠ 2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества:

A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}

и решить данное нам уравнение на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0; 2) а=2; 3) а ≠ 0, а ≠ 2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение принимает вид 0∙х=2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение принимает вид 0∙х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а ≠ 0, а ≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда              х ==.

Ответ: 1) если а=0, то корней нет;

            2) если а=2, то х — любое действительное число;

            3) если а ≠ 0, а ≠ 2 , то х = .

В 7 классе начинаем обращать внимание учеников на запись ответа.

1)           при а ….     х ….

2)           если а …. , то  х ….

Далее продолжаем работу по формированию умений решать линейные уравнения с параметром.

Условия для поиска значения параметра а	Характеристика множества корней
1. k(a) не имеет смысла	корней нет
2. b(a) не имеет смысла	корней нет
3.	корней нет
4.	один корень
5.	х – любое число

Применим этот алгоритм к решению уравнений.

Пример 5: Решите уравнение

Решение: ,

1)           k(a) не имеет смысла при а = 2

2)           b(a) не имеет смысла при а = – 3

3)           , система решений не имеет

4) , , если а ¹ – 2, а ¹ – 3, а ¹ 2, то

,

5) , система имеет единственное решение при а = – 2.

Ответ: если а = 2, а = – 3, то решений нет;   если а ¹ – 2, а ¹ – 3, а ¹ 2, то ; если а = – 2, то х – любое число.

Пример 6: Решите уравнение   (k² – 1)x = k + 1

Решение:

1) k + 1 имеет смысл при любом k.

2) k² – 1 имеет смысл при любом k.

3) ,  при k = 1 исходное уравнение решений не имеет

4) (k² – 1) ¹ 0, (k – 1) (k + 1) ¹ 0; если k ¹ 1, k ¹ – 1, то

, .

5) , если k = – 1, то х – любое число.

Ответ: если k = 1, то решений нет; если k = – 1, то х – любое число; если k ¹ 1, k ¹ – 1, то .

3.2 Система линейных уравнений с параметрами.

Далее рассматриваем решение систем линейных уравнений, содержащих параметры.

 

Говорят, что дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y, если требуется найти пары чисел (x₀,y₀), являющиеся решениями одновременно первого и второго уравнения.

Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы, — методом подстановки или сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений.

Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Это позволяет наглядно продемонстрировать число решений системы. Две прямые могут либо пересекаться — одно решение, либо совпадать — бесконечно много решений, либо не иметь общих точек.

Если    , то система имеет единственное решение,

Если      , то система не имеет решений,

Если     , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 1: При каких значениях параметра а система

а) имеет бесконечно много решений;

б) имеет единственное решение?

Решение:

а)  = ,   а = 4.

б)   ,   а ≠ 4.

Ответ:  а) если а = 4, то система имеет бесконечно много решений;

               б) если а ≠4, то решение единственное.

Пример 2: Решите систему уравнений:  

Решение:

а)

  , т. е. при m ≠ 1 система имеет единственное решение 

1– ym – y = n – 2y

-ym + y = n – 1

 ,

б)   , т. е. при m = 1 и n ≠1 исходная система решений не имеет.

в)    , при m = 1  и n = 1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: если m = 1 и n ≠1, то решений нет;

если m = 1  и n = 1, то решений бесконечное множество,           если  m ≠1 и n – любое, то  .

В учебниках за 7 класс представлены ряд заданий на пересечение графиков функции y=kx, содержащие параметр, решаемые при помощи системы уравнений.

Пример 3: Графики функций y = (4 – a)x + a и y = ax + 2 пересекаются в точке с абсциссой, равной – 2. Найдите ординату точки пересечения.

Решение: , 

3a – 8 = - 2a + 2;

5a = 10

a = 2 => y = - 4 + 2 = - 2

Ответ: y = -2.

Пример 4: Графики функций y = kx – 4 и y = 2x + b симметричны относительно оси абсцисс.

а) найдите b и k

б) найдите точку пересечения этих графиков.

Решение: Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно       b = 4

, ,

В результате y = 2x + 4 и y = - 2x – 4, точка пересечения графиков (- 2; 0).

Ответ: а) b = 4, k = - 2;

  б) (- 2; 0).

Пример 5: Решите уравнение: | x + 2| = a.

Построим в одной системе координат графики функций у = | х + 2| и       у = а.

у = | х + 2|,

 

Если a > 0, то у = - х - 2, или                   

                        у = х + 2,

у = а	у = а
- х - 2 = а	х + 2 = а
х = - а - 2	х = а - 2.

Ответ: если a < 0, то решений нет;

            если а = 0, то х = - 2;

            если a > 0, то х1 = а – 2, х 2 = - а – 2.

Заключение.

Уравнения и неравенства с параметрами – прекрасный материал для настоящей исследовательской работы, но школьной программой задачи с параметрами не предусмотрены как отдельная тема. Это связано с тем, что материал достаточно сложный для всех учеников класса и его освоение требует большого количества времени. Но изучение данной темы не избежать в процессе обучения, так как задания, связанные с параметрами, включены и в задания ЕГЭ, и в задания ГИА.

При выполнении данной работы были решены следующие задачи:

·        Проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре с целью выявления использования параметра и методов решения уравнений с параметрами. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: в основном все задания, связанные с решением уравнений с параметрами, носят повышенный уровень сложности; ни в одном из учебников не дается четкого определения параметра.

·        Разработана методика решения уравнений с параметрами за курс 7 класса. Выделены основные виды уравнений и методы их решения. Рассмотрены все типы заданий, которые встречаются в школьных учебниках. Представлено более рациональное их решение.

Список литературы.

1.  Уравнения и неравенства, содержащие параметры: Пособие для учителей / Г.А. Ястребинецкий.- М.: Просвещение, 1977.- 128 с.

2.  Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. Ю. В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1995. - 191 с: ил.

3.  Алгебра. 7 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 4-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.- 160 с: ил.

4.  Алгебра. 7 кл.: Учебник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 4-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.- 160 с: ил.