Квадратный корень из степени

Квадратный корень из степени

Цели: рассмотреть извлечение квадратного корня из степени числа

Ход урока

I Сообщение темы и цели урока

II Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию ( разбор нерешенных задач)

2. Контроль усвоения материала

- Сформулируйте теорему о квадратном корне из произведения чисел

- Сформулируйте теорему о квадратном корне из частного

Вычислите значение выражения:

III Изучение нового материала

Сначала рассмотрим числовые примеры. Найдем значение выражения √х² при х = 8 и при х = - 7. Получаем: √8² = √64 = 8 и √(-7)² = √49 = 7

В каждом из этих примеров квадратный корень из квадрата числа равнялся модулю этого числа: √8² = │8│ = 8 и √(-7)² = │-7│ = 7. Обобщим результаты этих примеров и докажем теорему.

Теорема: при любом значении х верно равенство √х² = │х│. (1)

Рассмотрим два случая.

а) Если х ≥ 0, то по определению арифметического корня √х² = х. Так как

х ≥ 0, то х = │х│ и равенство может быть записано в виде √х² = │х│.

б) Если х < 0, то величина – х > 0 и получаем √х² = √(- х) = - х. Так как х < 0, то – х = │х│ и равенство можно записать в виде √х² = │х│.

Значит, при любом значении х выполнено равенство √х² = │х│

Такое тождество очень часто применяется при извлечении квадратного корня из степени с четным показателем. При этом, чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, надо представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и использовать рассмотренное тождество.

Пример 1.

Извлечем корень из √а⁸

Представим степень а⁸ в виде квадрата степени а⁴, т.е. а⁸ = (а⁴ )² и используем тождество (1): √а⁸ = √(а⁴ )² = │а⁴│= а⁴. Учтено, что при всех значениях а величина а⁴ ≥ 0 и │а⁴│= а⁴.

Пример 2.

Извлечем корень из √с⁶ при с < 0.

Представим с⁶ в виде с⁶ = ( с³)² и используем тождество (1). Получаем √с⁶ =√(с³)² = │с³│ = - с³. Учтено, что с < 0, тогда с³ < 0 и │с³│= -с³ (по определению модуля).

Пример 3

Найдем значение выражения √63504.

Разложим число 63504 на произведение простых множителей и получим: 63504 = 16*81*49=2⁴ 3⁴ 7². Теперь найдем √63504 = √2⁴ 3⁴ 7² =√2⁴ √3⁴ √7² = √(2²)² √(3²)² √7² =2² 3² 7 = 252

Полученное тождество позволяет решать и более сложные задачи.

Пример 4.

Найдем значение выражения √(7-√13)*√(7+√13).

Учтем теорему о корне из произведения и формулу разности квадратов. Получаем: √(7-√13)*√(7+√13)= √(7-√13)*(7+√13)=√7²-(√13)² = √49-13 = √36 = 6.

IV Формирование умений и навыков

№ 393(а, б, в, г), № 401(а, б, е, ж), № 404

V Итоги урока

1. Сформулируйте теорему о корне из квадрата числа (выражения).

2. Как извлечь корень из степени с четным показателем?

VI Домашнее задание

№ 393, № 402, № 403