Лекция по математике для учащихся колледжа 2 го курса, обучающихся по программе ППССЗ "Пределы"

Лекция 1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Предел числовой последовательности

Определение. Функция, областью определения которой является множество , а множеством значений  называется числовой последовательностью. Сокращенно последовательность

                                                                                                                  (1.1)

обозначается , числа  называются членами последовательности (10.1), число - номером члена последовательности, - общим членом последовательности. Последовательность  считается заданной, если задан -й член последовательности, т.е. задана функция .

Примеры числовых последовательностей:

1)      или 1, 4, 9, 16, 25,…,,… (монотонная, неограниченная);

Определение. Число  называется пределом числовой последовательности (обозначение ), если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер  последовательности , зависящий от , начиная с которого для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство

                                                             .                                                              (1.2)

Последовательность, имеющая предел, называется  сходящейся последовательностью, не имеющая предела – расходящейся.

Эквивалентные бесконечно малые функции эффективно используются при вычислении пределов функций в результате чего во многих случаях упрощается вычисление предела.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при :

1.         ~ при .                                      2.     ~ при .

3.          ~ при .                                 4.     ~  при .

5.          ~  при .                               6.     ~ при .

7.           ~ при .                                   8.     ~ при .

9.           ~  при .                           10.   ~   при .

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел

Вычисление пределов функций

На практике вычисляют значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, при . Если в результате получено некоторое число, то оно и является пределом (это имеет место, когда  принадлежит области определения). Если же в результате подстановки  вместо  получается формальное выражение (неопределенность) вида , , , , , , , то говорят о неопределенности соответствующего вида. В этом случае о пределе ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел, если он существует, или установить, что он не существует. Это более трудная задача для решения которой применяются специальные приемы (включая правило Лопиталя и использование эквивалентных бесконечно малых). Некоторые из них рассмотрим ниже.

Пример 8. Найти .

Решение. Подставим в выражение вместо x =2, получим

.

Пример 9. Найти .

Решение. Подставляя  в выражение  приходим к неопределенности вида . Для устранения неопределенности разложим многочлены на множители, сократим на множитель, дающий неопределенность и снова перейдем к пределу, подставляя :

.

Пример 10. Найти .

Решение. Формальная подстановка в выражение  дает неопределенность . Для ее раскрытия делим числитель и знаменатель дроби на  в наибольшей степени входящей в знаменатель (на ) и переходим к пределу, применяя теорему 2.

.

Пример 11. Найти  .

Решение. Аналогично пр. 8 получаем

.

Пример 12. Найти  .

Решение. Аналогично пр. 8 получаем

.

Пример 13. Найти .

Решение. Имеем неопределенность  т.к. . Избавляемся от этой неопределенности, переводя иррациональность из числителя в знаменатель (или наоборот), дополняя иррациональности до формулы разности квадратов (суммы или разности кубов) и сокращая на множитель, дающий неопределенность.

.

Пример 14. Найти .

Решение. Так как , и , то имеет место неопределенность . Для ее раскрытия используем второй замечательный предел.

.

Пример 17. Найти .

Решение. Используя эквивалентные бесконечно малые (см. лекц. 10, п.3).

.

Здесь ~ при  (см. формулу 11.4 табл. э.б.м.), ~ при  (см. формулу 5 табл.), ~ при .