Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция по математике для учащихся колледжа 2 го курса, обучающихся по программе ППССЗ "Пределы"

Лекция по математике для учащихся колледжа 2 го курса, обучающихся по программе ППССЗ "Пределы"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Лекция 1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Предел числовой последовательности

Определение. Функция, областью определения которой является множество , а множеством значений называется числовой последовательностью. Сокращенно последовательность

(1.1)

обозначается , числа называются членами последовательности (10.1), число - номером члена последовательности, - общим членом последовательности. Последовательность считается заданной, если задан -й член последовательности, т.е. задана функция .

Примеры числовых последовательностей:

  1. или 1, 4, 9, 16, 25,…,,… (монотонная, неограниченная);

Определение. Число называется пределом числовой последовательности (обозначение ), если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер последовательности , зависящий от , начиная с которого для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство

. (1.2)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся последовательностью, не имеющая предела – расходящейся.

Эквивалентные бесконечно малые функции эффективно используются при вычислении пределов функций в результате чего во многих случаях упрощается вычисление предела.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при :

1.  при . 2.  при .

3.  при . 4.  при .

5.  при . 6.  при .

7.  при . 8.  при .

9.  при . 10.  при .

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел

Вычисление пределов функций

На практике вычисляют значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, при . Если в результате получено некоторое число, то оно и является пределом (это имеет место, когда принадлежит области определения). Если же в результате подстановки вместо получается формальное выражение (неопределенность) вида , , , , , , , то говорят о неопределенности соответствующего вида. В этом случае о пределе ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел, если он существует, или установить, что он не существует. Это более трудная задача для решения которой применяются специальные приемы (включая правило Лопиталя и использование эквивалентных бесконечно малых). Некоторые из них рассмотрим ниже.

Пример 8. Найти .

Решение. Подставим в выражение вместо x =2, получим

.

Пример 9. Найти .

Решение. Подставляя в выражение приходим к неопределенности вида . Для устранения неопределенности разложим многочлены на множители, сократим на множитель, дающий неопределенность и снова перейдем к пределу, подставляя :

.

Пример 10. Найти .

Решение. Формальная подстановка в выражение дает неопределенность . Для ее раскрытия делим числитель и знаменатель дроби на в наибольшей степени входящей в знаменатель (на ) и переходим к пределу, применяя теорему 2.

.

Пример 11. Найти .

Решение. Аналогично пр. 8 получаем

.

Пример 12. Найти .

Решение. Аналогично пр. 8 получаем

.

Пример 13. Найти .

Решение. Имеем неопределенность т.к. . Избавляемся от этой неопределенности, переводя иррациональность из числителя в знаменатель (или наоборот), дополняя иррациональности до формулы разности квадратов (суммы или разности кубов) и сокращая на множитель, дающий неопределенность.





.

Пример 14. Найти .

Решение. Так как , и , то имеет место неопределенность . Для ее раскрытия используем второй замечательный предел.





.

Пример 17. Найти .

Решение. Используя эквивалентные бесконечно малые (см. лекц. 10, п.3).

.

Здесь  при (см. формулу 11.4 табл. э.б.м.),  при (см. формулу 5 табл.),  при .

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 21.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров137
Номер материала ДБ-047091
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх