Мастер-класс "Изучение стохастики в 5-9 классах"

• 1 слайд

  К вопросу изучения стохастики
  в курсе основной школы
  подготовила
  учитель математики
  МБОУ гимназии №11
  Малечкина Т.К.
  

• 2 слайд

  О ВВЕДЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ
  КОМБИНАТОРИКИ,
  СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ
  ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  В СОДЕРЖАНИЕ
  МАТЕМАТИЧЕСКОГО
  ОБРАЗОВАНИЯ
  ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
  
  Письмо Минобразования
  России от 23.09. 2003 г.
  № 03-93ин/13-03
  9 класс
  8 класс
  7 класс
  6 класс
  5 класс
  Когда целесообразно начинать изучение этого курса?
  

• 3 слайд

  ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
  Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения.
  Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграмма Эйлера. Среднее результатов измерений.
  Понятие и примеры случайных событий. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.
  

• 4 слайд

  ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ
  И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (до 45ч.)
  <…>
  Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.
  Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.
  Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.
  Стандарт основного общего образования по математике (фрагмент)
  

• 5 слайд

  Алгебра. Н. Я. Виленкин и др.
  Учебно-методический комплект для 8, 9 классов по алгебре для углубленного изучения
  

• 6 слайд

• 7 слайд

  7-9 классы. Вкладыши к учебникам
  События.Вероятности. Статистическая обработка данных.
  А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2008 ( к учебникам
  А.Г. Мордковича)
  

• 8 слайд

• 9 слайд

  7-9 классы. Вкладыши к учебникам
  Алгебра, 7-9: Элементы статистики и теории вероятностей.
  Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 2003 ( к учебникам Ю. Н. Макарычева, под ред. С. А. Телякосвкого)
  

• 10 слайд

• 11 слайд

• 12 слайд

  7-9 классы. Вкладыши к учебникам
  Элементы статистики и вероятность.
  М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. – М.: Просвещение, 2005
  ( к учебникам
  Ш.А. Алимова и др.)
  

• 13 слайд

• 14 слайд

  ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
  В результате изучения математики ученик должен уметь
  извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
  Пример. На графиках показано, как во
  время тел. дебатов между кандидатами
  А и В зрители голосовали за каждого из
  них. Сколько всего зрителей
  проголосовало к 40-ой минуте дебатов?
  20 тыс. 2) 30 тыс.
  3) 50 тыс. 4) 45 тыс.
  
  

• 15 слайд

  ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
  В результате изучения математики ученик должен уметь
  решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и/или с использованием правила умножения;
  Пример. В столовой имеется 4 первых блюда и 6 вторых. Сколькими способами можно составить из них обед?
  
  

• 16 слайд

  ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
  В результате изучения математики ученик должен уметь
  вычислять средние значения результатов измерений;
  Пример. В таблице показано число деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады. Найдите среднее арифметическое, размах и моду. Каков смысл каждого из этих показателей?
  Пример. Найдите медиану ряда чисел:
  37, 45, 52, 40,41, 30, 32, 49, 42
  

• 17 слайд

  ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
  В результате изучения математики ученик должен уметь
  находить частоту(относительную частоту) события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
  Пример. Контрольную работу, содержащую 9 заданий, выполняли 40 учащихся. При проверке каждой работы отмечалось число верно выполненных заданий. Получился следующий ряд чисел:
  6,5,4,0,4,5,7,9,1,6,8,7,9,5,8,6,7,2,5,7,6,3,
  4,4,5,6,8,6,7,7,4,3,5,9,6,7,8,6,9,8.
  Найдите наибольшую частоту (относительную частоту) чисел верно выполненных заданий.
  

• 18 слайд

  ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
  В результате изучения математики ученик должен уметь
  находить вероятности случайных событий в простейших случаях.
  Пример. Брошены две игральные кости: одна белого, другая красного цвета. Какова вероятность того, что:
  1) на белой кости выпадет 6 очков, а на красной – нечетное число очков;
  2) на одной кости выпадет 6 очков, а на другой – нечетное число очков?
  
  

• 19 слайд

  ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ
  ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
  Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
  анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
  решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
  понимание статистических утверждений;
  сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;
  понимания статистических утверждений.
  

• 20 слайд

  Общие рекомендации.
  Правило определения типа соединения
  Если порядок не важен, то это - сочетания.
  Если порядок важен и все элементы участвуют в выборе, то это – перестановки.
  Если порядок важен и не все элементы участвуют в выборке, то это – размещение.
  

• 21 слайд

  Примеры случайных событий
  Идеальная монета
  ОПЫТ 1.
  ОПЫТ 2.
  Идеальный кубик
  

• 22 слайд

  Примеры случайных событий
  Урновая схема
  Опыт. В урне находится n белых и m черных шара. …
  Три случая «урновой» схемы
  Выбор с возвращением
  Выбор без возвращения
  Одновременный выбор
  

• 23 слайд

  Задача. Иван и Антон бросают желтый и зеленый игральные кубики и посчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадает 8 очков, то выигрывает Иван, а если в сумме выпадает 7 очков, то выигрывает Антон. Является ли такая игра справедливой?
  Задача о справедливом разделе ставки
  

• 24 слайд

• 25 слайд

• 26 слайд

  Статистические характеристики
  Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
  Важно! Среднее арифметическое находят для однородных величин.
  Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим их этих чисел.
  Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
  

• 27 слайд

  Упорядоченный ряд чисел – ряд, в котором последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.
  Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четными числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанное посередине.
  Статистические характеристики
  

• 28 слайд

  Проблемная ситуация
  На место токаря претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были изготовить одинаковые детали. Результа­ты работы претендентов представлены в таблице:
  Каждый из рабочих за 5 дней изготовил 250 деталей, значит, средняя производительность труда за день у обоих рабочих одинаковая:
  50 дет./день).
  Моды у предложенных совокупностей отсутствуют, а ме­дианы одинаковые (50 и 50).
  Возникает вопрос: «Кого из этих рабочих предпочтительнее взять на работу?»
  

• 29 слайд

  В данном случае в качестве критерия сравнения совокупностей может выступать стабильность производительности труда рабочего. Ее можно оценивать с помощью отклонений от среднего значения элементов со­вокупности.
  Очевидно, отклонение от среднего может быть как поло­жительным, так и отрицательным числом. Нетрудно пока­зать, что сумма отклонений всех значений совокупности от среднего значения равна нулю. Поэтому характеристикой стабильности элементов совокупности может служить сумма квадратов отклонений от среднего.
  На практике это означает, что второй рабочий имеет не­стабильную производительность труда: в какие-то дни рабо­тает не в полную силу, а в какие-то наверстывает упущен­ное, что всегда сказывается на качестве продукции.
  Если бы рабочие работали разное количество дней, произ­водя за день в среднем одинаковое число деталей, то ста­бильность работы каждого можно было бы оценить по вели­чине среднего арифметического суммы квадратов отклонений. Такая величина называется дисперсией (от лат. dispersus — рассеянный, рассыпанный) и обозначается буквой D.
  

• 30 слайд

  Общее правило
  Если площадь S(A) фигуры А разделить на площадь S(X) фигуры Х, которая целиком содержит фигуру А, то получится вероятность того, что случайно выбранная точка фигуры Х окажется в фигуре А:
  

• 31 слайд

  Полный граф
  Задача 1. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
  
  Задача 2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?
  

• 32 слайд

  Дерево возможных вариантов (граф-дерево)
  Сколько двузначных чисел можно составить из цифр: 1, 4, 7.
  *
  1
  4
  7
  1 4 7
  1 4 7
  1 4 7
  Первая цифра
  Вторая цифра
  Полученное число
  11 14 17 41 44 47 71 74 77
  

• 33 слайд

  Сколько можно составить различных букетов из трех роз, если в продаже имеются белые и красные розы?
  
  *
  БББ, ББК, БКБ, КБК, ККБ, ККК
  

• 34 слайд

  Экзамен по алгебре в 9-х классах по новой форме с включением в работу заданий вероятностно-статистической линии проводился в 9-ти классах Саратовской области. Экзамен в режиме эксперимента сдавали 199 учащихся.
  Разработан специальный набор заданий базового уровня, относящихся к трем составляющим этой линии: элементам теории вероятностей, комбинаторике и статистике.
  В первую часть работы дополнительно были включены два задания:
  задания А - статистика
  и задание Б - комбинаторика.
  ЭКСПЕРИМЕНТ
  

• 35 слайд

  Цель эксперимента –
  апробация КИМов для проведения государственной (итоговой) аттестации за курс основной школы, включающих задания по разделу содержания «Элементы статистики, теории вероятностей и комбинаторики».
  

• 36 слайд

  Планируемые результаты эксперимента
  Подготовка к «штатному» режиму проведения экзамена в новой форме по алгебре;
  Накопление опыта по изучению разделу содержания «Элементы статистики, теории вероятностей и комбинаторики»;
  Распространение результатов эксперимента на федеральном уровне (публикация в федеральных изданиях);
  Проведения семинаров и открытых уроков;
  Разработка методических рекомендаций по изучению этой темы.
  

• 37 слайд

  КИМы 2008 г.
  Задание А. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся:
  158, 166, 134, 130, 132.
  На сколько отличается средний рост этих учащихся (среднее арифметическое) от медианы?
  Ответ: __________________
  
  Задание Б. Сколько всего трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 3, 7 и 9?
  1)182) 243) 484) 64
  

• 38 слайд

  С заданием А справились 71 % учащихся (не приступили 17 %),
  С заданием Б – 64 % учащихся (не приступили 3 %).
  

• 39 слайд

  Типичные ошибки при выполнении задания А:
  1) учащиеся не упорядочивали ряд значений роста и брали за медиану значение, стоящее в середине данного ряда − 17 чел. (две трети тех, кто выполнил это задание неверно);
  2) допускали вычислительные ошибки при нахождении среднего арифметического − 8 чел. (треть тех, кто выполнил это задание неверно).
  

• 40 слайд

  Задания для ГИА 9 классов
  Базовый уровень
  №1.Выборка 168; 158; 148; 154; 169; 156; 169; 150; 151; 147 содержит сведения о росте (в сантиметрах) каждого из 10 обследованных школьников. Для каждой статистической характеристики укажите ее значение. В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
  Ответ:
  
  №2. Восемь одноклассников разъехались на новогодние каникулы. Перед новым годом каждый из них послал всем остальным SMS-сообщения с поздравлением. Сколько всего SMS-сообщений было отправлено?
  Ответ:__________ .
  
  

• 41 слайд

  №3. На диаграмме представлены данные (в усл. ед.) Госкомстата России по выбросам твердых веществ наиболее загрязняющих атмосферу, отходящих от стационарных источников, в ряде городов с наиболее неблагоприятной экологической обстановкой (за 2004 г.)
  
  С помощью диаграммы ответьте на вопрос: В каком городе по отношению к г.Липецку наблюдалось наиболее резкое различие по выбросам в атмосферу твердых веществ и на сколько (дайте примерный ответ в усл. ед.)?
  Ответ:__________ .
  

• 42 слайд

  №4. Сколько всего трехзначных чисел можно составить из цифр 0,3,5,7, чтобы число оканчивалось на 5?
  №5. Эксперимент состоит в последовательном бросании двух костей. Пусть событие А={На одной из костей выпала тройка}, событие В={Сумма очков на костях больше 7}. Используя таблицу элементарных событий, определите, какое их двух событий более вероятно: событие А или событие В?
  

• 43 слайд

  6. Мила складывала в шкатулку только двухрублевые монеты. Однажды Даша взяла из шкатулки 15 двухрублевых монет и взамен положила туда 30 монет по одному рублю. После этого вероятность наудачу вынуть из шкатулки двухрублевую монету стала равна . Сколько монет было в шкатулке?
  

• 44 слайд

  МУЛЬТЕМЕДИА-ПОСОБИЕ
  

• 45 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  Спасибо за внимание!