Мастерская "Медиана, биссектриса, высота"

• 1 слайд

  «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии»
  Платон
  

• 2 слайд

• 3 слайд

• 4 слайд

• 5 слайд

  м е д и а н а
  медиана
  Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
  

• 6 слайд

  биссектриса
  б и с с е к т р и с а
  Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
  

• 7 слайд

  Для построения перпендикуляра к прямой используем чертежный угольник.
  Н
  А
  Отрезок АН – перпендикуляр к прямой a.
  Точка Н называется основанием перпендикуляра.
  a
  

• 8 слайд

  1
  В
  Ы
  С
  О
  Т
  А
  
  Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
  высота
  

• 9 слайд

  1
  Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
  В
  Ы
  С
  О
  Т
  А
  
  В
  Ы
  С
  О
  Т
  А
  
  Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, совпадает с катетом.
  Высота в тупоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, проходит во внешней области треугольника.
  В
  Ы
  С
  О
  Т
  А
  
  1
  1
  

• 10 слайд

  м е д и а н а
  Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
  В
  С
  М
  А
  N
  Q
  O
  Медианы треугольника
  пересекаются в одной точке!
  Эта точка называется центр тяжести.
  

• 11 слайд

  
  Треугольник, который опирается на опору по линии медианы, находится в равновесии.
  Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести треугольника.
  

• 12 слайд

  А
  В
  С
  К
  М
  O
  Т
  Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О,
  которая лежит во внешней области треугольника.
  Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С.
  Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О,
  которая лежит во внутренней области треугольника.
  O
  А
  В
  С
  Точка пересечения
  высот называется –
  ортоцентр.
  

• 13 слайд

  Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
  Эта точка тоже замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.
  O
  б и с с е к т р и с а
  

• 14 слайд

• 15 слайд

  Домашнее задание
  Р/т
  Заполнить фишбоун
  Буклет
  

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

«Глубочайшим свойством человеческой природы является страстное стремление людей быть оцененным по достоинству»

У. Джеймс

 

3-2-1

3 самых важных момента, которые я сегодня узнал

2 правила, которые я буду применять

1 комментарий или вопрос, который у меня возник во время урока

"ПОПС-формула" 

Участникам предлагается написать четыре предложения, отражающие следующие четыре момента ПОПС – формулы:

П – позиция

О – объяснение (или обоснование)

П – пример

С – следствие (или суждение)

Первое предложение (позиция) начинается со слов:

«Я считаю, что …».

Второе предложение (объяснение, обоснование своей позиции) начинается со слов:

«Потому что …».

Третье предложение (ориентированное на умение доказать правоту своей позиции на практике) начинается со слов:

«Я могу это доказать на примере …».

Четвертое предложение (следствие, суждение, выводы) начинается со слов:

«Исходя из этого, я делаю вывод о том, что…».

«Вопросы Коломбо»

«Хотелось бы мне знать»

Приём незаконченного предложения

1.     сегодня я узнал…

2.     было интересно…

3.     было трудно…

4.     я выполнял задания…

5.     я понял, что…

6.     теперь я могу…

7.     я почувствовал, что…

8.     я приобрел…

9.     я научился…

10.    у меня получилось …

11.    я смог…

12.    я попробую…

13.    меня удивило…

14.    урок дал мне для жизни…

15.    мне захотелось…

 

МИНИ

Платье или юбка мини обычно длиной максимум до середины бедра.

МИДИ

Миди представляет собой изделия средней длины до колена или чуть ниже колена.

МАКСИ

«Платье в пол», закрывающее вашу щиколотку.

 В 1906 году великий ученый Фрэнсис Гальтон посетил ежегодную выставку достижений животноводства и птицеводства в западной Англии, где совершенно случайно провел интересный эксперимент.

На ярмарке Гальтона заинтересовало одно соревнование, в рамках которого люди должны были угадать вес забитого быка. Назвавший наиболее близкое к истинному число объявлялся победителем.

Гальтон был известен своим презрением к интеллектуальным способностям обычных людей. Он считал, что только настоящие эксперты смогут сделать точные утверждения о весе быка. А 787 участников соревнования не были экспертами.

Ученый собирался доказать некомпетентность толпы, вычислив среднее число из ответов участников. Каково же было его удивление, когда оказалось, что полученный им результат почти в точности соответствовал настоящему весу быка! Гальтон изначально использовал медианное значение как представляющее мнение толпы. Термин «медианное значение» (median) – средний член в ряде чисел, разделяющий этот ряд пополам.

Так, нам постоянно говорят о средней зарплате. Мы удивляемся, что средняя зарплата в Москве  40 тыс. руб., но, конечно, понимаем, что нас «усреднили» с олигархами. 

Вот пример из жизни научных работников: зарплаты сотрудников лаборатории (тыс. руб.) – 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Среднее значение – 17,8, медиана –12. Согласитесь, что это разные числа!

•      Медианой является средняя линия трассы между левым и правым краями асфальта трассы, ограниченного белыми полосами. Синонимы медианы в данном смысле: разделительная, осевая. 

•      Также словом "медиана" назван памятник в Сербии, который находится в городе Ниш. В состав данного археологического памятника входят римская вилла, амбар, термы и водонапорная башня.

 

•      Медианой в планиметрии (разделе геометрии) называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой стороны, противоположной данному углу. Также медианой является прямая, на которой лежит этот отрезок.

Медиана в треугольнике обладает несколькими определенными свойствами.

Часто она необходима для решения различных геометрических задач. 

Угол освещения

 

Угол обзора человеческого глаза

 

Биссектриса угла (произошло от латинского bi - двойное, sectio - разделение, разрезание) – это луч, имеющий начало в вершине угла, который делит этот угол на два равных друг другу угла. Геометрическое место точек, которые равноудалены от сторон угла, являет собой биссектрису. Биссектриса угла треугольника – это биссектриса этого угла, заканчивающаяся в точке пересечения с противоположной углу стороной треугольника, образующая отрезок от точки пересечения до вершины угла. 

Высота — измерение объекта или его местоположения, отмеряемое в вертикальном направлении. В толковом словаре Ушакова определена как «протяжение снизу вверх, вышина».

1.   Протяженность по вертикали снизу вверх; вышина. Высота здания двадцать метров. Высота мачты. Башня большой высоты.   

Расстояние от земной поверхности или какой-либо плоскости до чего-либо, измеряемое по вертикальной линии. 

Аэроплан летал на такой высоте, что казался маленькой птицей. Два аэроплана двигались на разных высотах. Подняться на небольшую высоту. 

 Местоположение какой-либо точки земной поверхности вверх по вертикальной линии от уровня моря. 

В северной части южного острова Новой Земли встречаются высоты свыше 1000 м.

2.   Пространство, находящееся высоко над землей; вышина, высь.  Парить в высоте. Подняться в высоту. 

Полный месяц глядит с заоблачных высот. С высоты птичьего полета.

3.   Возвышенное место, холм; возвышенность.

Горные высоты. Полк занял высоту 47,3. Комданные высоты (господствующие над окружающей местностью; воен.). 

4.   переносное. Высокая степень, высокий уровень развития, расцвета чего-либо; вершина. Быть, оказаться на высоте чего или на высоте положения — удовлетворять самым строгим требованиям чего-нибудь.  

 С высоты своего величия.

Можно без конца смотреть на сокровища этого музея, высоту мирового искусства. 

5.   Величина, сила чего-либо, выражаемая числовыми показателями. 

Высота давления. Высота температуры. Высота напряжения тока. Высота  мысли.

Высота звука. Высота голоса. 

Уровень, степень чего-либо. 

Высота знаний. 

Я уже вижу первые главы повести, но и последние должны быть на такой же высоте. 

6.   Астрономия. Угол стояния светила над горизонтом. 

Высота солнца над горизонтом 

7.   Математика.  Перпендикуляр, опущенный из вершины геометрической фигуры на ее основание, а также длина этого перпендикуляра. Высота треугольника.

 

«Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии»

Платон

Конспект урока математики

Автор	Учитель математики Дианова Лариса Викторовна, МОУ СОШ №12 Г.о. Подольск
Предмет	Геометрия
Класс	7 класс Б
Тип урока	Мастерская – кейс (урок открытия новых знаний)
Технологии построения урока	Технология развития критического мышления, элементы технологии «Система эффективных уроков», АСПО (ассоциативные связи в процессе обучения)
Тема	Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Цель	Знакомство с новыми понятиями, медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Задачи	Образовательные: 1.      Найти практическое применение медианы, биссектрисы, высоты в жизни; изучение понятий медианы, биссектрисы, высоты, проведение исследовательской работы по их изучению в природе, технике, одежде; приобретение навыков самостоятельной работы с большими объемами информации. 2.      Найти новые функции медианы, биссектрисы, высоты, исследовать их, выдвинуть гипотезы, их применение. Развивающие: 1.        Развитие логического мышления, творческой активности, познавательного интереса обучающихся. 2.        Развитие монологической речи обучающихся, поддержание интереса к уроку через межпредметные связи. 3.        Активизация умственной деятельности с помощью использования на уроке АСПО. 4.        Развитие навыков нахождения необходимых сведения в тексте учебной статьи. Воспитательные: 1.          Развитие речевой культуры школьников. 2.          Развитие навыков самостоятельной работы при выполнении различных заданий на уроке, повышение ответственности не только за собственные знания, но и за успехи одноклассников. 3.          Формирование навыков информационной культуры, взаимопомощи при работе в группах. 4.          Воспитание умения сплоченно и дружно работать в коллективе, внимательно слушать речь других. 5.          Формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля и оценки своей деятельности
Планируемый результат	Личностные: формировать внимательность и аккуратность при выполнении построений, требовательное отношение к себе и своей работе. Регулятивные: Познавательные: Коммуникативные: Личностные УУД 1.          Осознание ценности геометрических знаний, как важнейшего компонента научной картины мира. Регулятивные УУД: 1.        Самостоятельное определение новых учебных задач путем задавания вопросов о неизвестном; планирование собственной деятельности, определение средства для ее осуществления. 2.        Высказывание своего предположения на основе учебного материала. 3.          Проговаривание последовательности действий на уроке.  4.          Закрепление навыков работать по плану, инструкции;  осуществление самоконтроля. ПознавательныеУУД 1.        Формирование и развитие по средствам геометрических знаний познавательных интересов,  интеллектуальных и творческих результатов; 2.        Умение вести самостоятельный поиск, анализ, отбор информации, её преобразование, сохранение, передачу и презентацию с помощью технических средств. 3.        Закрепление навыка и умения применять построение элементов треугольника в новых условиях. Коммуникативные УУД: 1.        Умение слушать и вступать в диалог; воспитание чувства взаимопомощи, уважительного отношения к чужому мнению, культуры учебного труда, требовательного отношение к себе и своей работе. 2.        Формулирование и аргументация своего мнения и позиции. 3.        Умение устно и письменно выражать свои мысли, идеи. Метапредметные результаты 1.        Формирование умений планировать неречевое и речевое поведение. 2.        Умение четко устанавливать сферы знаемого и незнаемого. 3.        Анализ полученных результатов (и отрицательные, и положительные), умение делать соответствующие выводы (промежуточные и конечные). 4.        Умение вести самонаблюдение, самооценку, самоконтроль в ходе коммуникативной деятельности. 5.        Формирование навыков смыслового чтения: способность определять тему, выделять ключевую мысль, прогнозировать содержание по заголовку, основным словам, определять главные факты, прослеживать логическую связь между ними.
Основные термины, понятия	Медиана, биссектриса, высота

1. Приветствие

«Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии». Эта надпись была сделана при входе в школу великого древнегреческого философа и геометра Платона.

2. Видеофрагмент «Одним разрезом» без комментария

Получается, нужно провести отрезки в треугольнике, но какие?

6 шляп мышления на доске, шляпа Информация

Кто владеет информацией, тот владеет миром (Натан Ротшильд)

Откройте кейсы, прочитайте первый кейс и заполните таблицу до, (+ согласие, а – отрицание) Приложение 1.

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

Фишбоун – первая проблема – медиана, запишите ее

(приложение 2)

Стол 5. № 2 берет в руки мячик, против часовой стрелки отвечает на мои вопросы

сегодня я узнал…

я понял, что…

я попробую…

меня удивило…

Вопрос Коломбо «Хотелось бы мне знать, что такое медиана в геометрии?»

Кто-то готов мне ответить? Ищи подсказку в кейсе. Сколько сторон в треугольнике? Сколько вершин в треугольнике? Сколько медиан в треугольнике?

Слайд

Напомните, Что называется серединой отрезка? (Серединой отрезка называется точка отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка).

А что такое треугольник и какие 2 условия должны быть в определении?

Какие виды треугольников вы знаете? Вспомните кластер, который вы заполнили на предыдущих уроках.

Как же построить медиану треугольника?

1)  Возьмите в руки, вырезанный из бумаги треугольники  зелёного цвета.

2)  Применив смекалку, с помощью определённых перегибаний получите медиану треугольника,  точку пересечения медиан треугольника.

Сигнализируйте мне, если нужна помощь. ( или )

Наметим середину стороны – точку. Перегнем лист так, что бы вершина соединилась с серединой.

Постройте медиану в остроугольном, прямоугольном, тупоугольном треугольниках. Сделайте вывод.

Заполните таблицу после.

«Зигзаг»: № 1 собираются за столом 5, №2 за столом 3, № 3 – 1, № 4 – 2. Обсудите полученные результаты.

Проверяем ответы, называем № (не читая) и + или -, фиксируем согласие или нет пальцем ( или ). Обсуждают если есть не согласные

Читаем кейс 2. (Приложение 3)

И заполняем таблицу до и после

В фишбоуне записываем после медианы вторую проблему – биссектриса

№ 3 берет в руки мячик, по часовой стрелке отвечаем на вопросы

Стол 3.

1.     я выполнял задания…

2.     я понял, что…

3.     теперь я могу…

4.     я почувствовал, что…

Вопрос Коломбо «Хотелось бы мне знать, что такое биссектриса в геометрии?»

Кто-то готов мне ответить? Ищи подсказку в кейсе. Сколько сторон в треугольнике? Сколько вершин в треугольнике? Сколько биссектрис в треугольнике?

Слайд.

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

Мы умеем строить биссектрису угла. Применив смекалку, с помощью определённых перегибаний получите биссектрису треугольника,  точку пересечения  биссектрис треугольника. (Три вида треугольников) Сделайте вывод. Заполните таблицу после. Обсудите за столом полученные ответы. Стол 2 слушаем вашу версию. Сигнал пальцем согласны – не согласны.

Кейс 3, читаем и заполняем таблицу до. Приложение 4.

ДО	Утверждение	ПОСЛЕ

Фишбоун – после биссектрисе пишем высота.

Как вы считаете какова наша тема урока?

На прошлом уроке у некоторых из вас были затруднения при построении перпедикуляра к прямой.

Слайд, слайд. Постройте высоты в треугольниках. Сигнальте, если не понятно. ( или )

Стол 4

1.     у меня получилось …

2.     я смог…

3.     я попробую…

4.     меня удивило…

Таблица после. Стол 1 №4, ответы – сигналы.

Вернемся к слайду начала урока. Проведем биссектрисы и из точки их пересечения опустим перпендикуляры на стороны треугольника. По этим лучам и будем сгибать лист бумаги. Все границы треугольника — стороны — оказались лежащими на одной прямой. Сделаем вдоль нее прямолинейный разрез. Развернем отрезанный уголок — это наш изначальный треугольник. Если развернуть оставшуюся часть листа, то видно, что ничего лишнего не вырезано — дырка тоже имеет вид изначального треугольника. (Обучающиеся самостоятельно проводят биссектрисы, высоты, и вырезают треугольник на подготовленных листах).

Мы с вами многие приемы и правила запоминаем с помощью ассоциаций: распределительный закон – правило официанта, раскрытие скобок – смена паспорта при поездках за рубеж. Несколько таких ассоциаций вы найдете в кейсе, выбирайте, надеюсь ассоциации вам помогут в очередной раз). Прочтите, составьте синквейн (выполняют группой).

Слайд. Разноцветная осень. Звучит музыка.

У вас на столах лежат листы А3, сделайте постер, напишите синквейн, фломастеры, ножницы, клей у вас также имеются, оформите. Прошу представить команды его и свое название и девиз.

Рефлексия.

3 самых важных момента, которые я сегодня узнал

2 правила, которые я буду применять

1 комментарий или вопрос, который у меня возник во время урока

Выполните само и взаимно оценку по критериям: в кейсе лежит карта для каждого члена группы. (Музыка «разноцветная осень)

 Домашнее задание

1. Рабочая тетрадь по геометрии: 7 класс. УУД.  (Глазков Ю.А., Егупова М.В.) стр. 25, С5, вариант 1 №1-3

2. Учебник п. 16