Методическая разработка по геометрии «Движения плоскости», 9 класс

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Движения плоскости, геометрия,
  9 класс
  МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 36» г. о. Саранск,
  учитель математики Евтухович Ирина Владимировна
  Методическая разработка
  

• 

  2 слайд

  I. Свойства движения
  А1
  B1
  C1
  A
  B
  C
  d
  d1
  Теорема 1
  При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, причем порядок взаимного расположения точек на прямой сохраняется.
  Докозательство:
  1. Пусть точки А, В и С принадлежат прямой d, причем
  А-В-С →АВ+ВС=АС
  2. f(A)=A1, f(В)=В1, f(С)=С1, т.к. f- движение, то А 1В1=АВ,
  В1С1=ВС, А1С1=АС → А 1В1+ В1С1= =АВ+ВС=АС= А1С1→
  А 1В1+ В1С1= А1С1→ A1, В1 и С1 принадлежат некоторой прямой d1 и А 1 -В1- С1.
  Следствие 1
  При движении прямые переходят в прямые , лучи - в лучи, отрезок заданной длины - в отрезок той же длины.
  

• 

  3 слайд

  Теорема 3
  При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.
  
  Следствие 2
  При движении угол переходит в равный ему угол, фигура переходит в равную фигуру.
  В
  А
  В1
  С1
  f
  С
  А1
  При движении отрезок переходит в отрезок равный данному. Следовательно, треугольник переходит в треугольник равный данному (по третьему признаку).
  Теорема 2
  При движении окружность переходит в окружность того же радиуса.
  О
  о
  М
  М1
  f
  r
  r1
  1. f- некоторое движение, f(O)=O1
  2. М- произвольная точка окружности, следовательно f(М)= М1, по определению движения
  O1 М1=ОМ=r , таким образом при заданном движении окружность с центром О и радиусом r перейдет в окружность с центром O1 и тем же радиусом r.
  

• 

  4 слайд

  II. Центральная симметрия
  Определение.
  Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если точка О принадлежит отрезку АА1 и этой точкой отрезок АА1 делится пополам.
  А
  О
  А1
  Zо(А)=А1
  О- центр симметрии
  А и А1 – центрально симметричные.
  Т.к. точка А - произвольная точка плоскости, то отображение Zо задано на всей плоскости. Это отображение называется симметрией относительно точки О (центральной симметрией).
  Теорема
  Симметрия относительно точки является движением.
  А1
  В1
  А
  В
  О
  Доказательство:
  Точки А, В и О не лежат на одной прямой
  1. Zо(А)= А1 , Zо(В)= В1 → АО=А1О, ВО= В1О, ∟АОВ=∟ А1ОВ1- как вертикальные;
  2. Следовательно, ∆АОВ=∆ А1ОВ1 по двум сторонам и углу между ними (I признак);
  3. Из равенства треугольников следует, что АВ= А1В1.
  Точки А, В и О лежат на одной прямой
  А
  О
  А1
  m
  В
  В1
  А1В1=|ОВ1-О А1|=|ОВ-ОА|=АВ или
  А
  О
  А1
  m
  А1В1= А1О+ОВ1=ОА+ОВ=АВ, а следовательно Zо- движение.
  

• 

  5 слайд

  Свойства центральной симметрии
  1. Центр симметрии точка О, единственная неподвижная точка, т.е. Zо(О)= О
  2. Прямая, проходящая через центр симметрии переходит в себя.
  М
  О
  М1
  m
  М Є m → М1 Є m
  А
  А1
  В1
  В
  О
  3. Прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую (следует из равенства накрест лежащих углов при прямых АВ и А1В1, секущей ВВ1)
  
  
  ОЄ АВ; Zо(АВ)= А1В1, АВ|| А1В1
  4. Центральная симметрия изменяет направление АВ↑↓ А1В1
  D
  А
  В
  С
  О
  А1
  А
  О
  Zо(А)= А1, Zо(А1)= А
  Определение:
  Если некоторая фигура при симметрии относительно точки О переходит в себя , то точка О называется центром симметрии этой фигуры, а фигура называется симметричной относительно точки О.
  Zо (Ф)= Ф
  Zо(А)= C, Zо(В)= D, Zо(С)= А , Zо(D)= В
  

• 

  6 слайд

  III. Осевая симметрия.
  Определение.
  Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой l, если отрезок АА1 перпендикулярен прямой l и делится этой прямой пополам.
  А
  А1
  l
  Sl(A)= А1
  А и А1 - симметричные точки.
  l- ось симметрии
  Теорема
  Симметрия относительно прямой является движение
  X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в одной полуплоскости относительно прямой l.
  A
  X
  X1
  Y
  Y1
  l
  B
  1. Sl (X)= X1, Sl (Y)= Y1 , XX1∩l=A, YY1∩l=B
  2. ∆ABY и ∆АВY1 - прямоугольные (по определению осевой симметрии)
  ∆ABY = ∆АВY1 - по двум катетам → AY=AY1 и ∠YAB=∠Y1AB
  3. Рассмотрим ∆XAY и ∆X1AY1:
  ХА=Х1А (по определению осевой симметрии)
  AY=AY1 (по доказанному)
  ∠ XAY=∠ X1AY1 (как разность прямых и равных углов)
  Следовательно, ∆XAY = ∆X1AY1 ( по двум сторонам и углу между ними,I признак)
  4. Из равенства треугольников следует равенство отрезков XY и X1Y1.
  Т.к. точка А - произвольная точка плоскости, то отображение Sl задано на всей плоскости. Это отображение называется симметрией относительно прямой l (осевой симметрией).
  

• 

  7 слайд

  X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в разных полуплоскостях относительно прямой l.
  С
  X
  X
  Y
  Y1
  l
  B
  А
  X и Y -произвольные точки плоскости, одна из точек лежит на прямой l.
  X
  l
  Y
  Y1
  B
  Равенство отрезков XY и X1Y1 следует из равенства по двум катетам прямоугольных треугольников X1CA и XCA, YCB и Y1CB.
  Sl (X)= X, Sl (Y)= Y1 → ∆XYB=∆XY1B (по двум катетам) → XY= XY1
  Т.о. осевая симметрия - движение
  Свойства осевой симметрии
  1. Sl(l)=l - любая точка оси симметрии - неподвижна (переходит сама в себя);
  2. Прямая перпендикулярная оси симметрии переходит сама в себя;
  3. Соответствующие прямые пересекаются на оси симметрии или параллельны;
  

• 

  8 слайд

  Определение
  Если некоторая фигура при симметрии относительно прямой m переходит в себя, то прямая m называется осью симметрии этой фигуры, а фигура называется симметричной относительно прямой m.
  Sm(Ф)=Ф
  

• 

  9 слайд

  Определение.
  Параллельным переносом на заданный вектор АВ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка плоскости М переходит в М1 так, что ММ1=АВ и обозначается РАВ (М)=М1.
  IV. Параллельный перенос.
  А
  В
  М
  М1
  Теорема
  
  Х
  X1
  Y1
  Y
  A
  B
  
  Параллельный перенос является движением
  1. РАВ (X)=X1 , РАВ (Y)=Y1 → XX1 ||AB, XX1 =AB; YY1 ||AB, YY1 =AB
  2. Следовательно, XX1|| YY1 и XX1= YY1
  3. YXX1Y1- параллелограмм по признаку
  4. По свойству параллелограмма XY=X1Y1 , значит параллельный перенос - движение.
  

• 

  10 слайд

  Свойства параллельного переноса
  1. Параллельный перенос не имеет неподвижных точек;
  2. Прямые, параллельные направлению переноса, переходят в себя;
  3. Параллельный перенос сохраняет направление, т.е. если А→А1 и В→В1,то лучи АВ и А1В1 сонаправлены. Обратно: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом.
  4. Композиция (последовательное выполнение) двух параллельных переносов - параллельный перенос, причем параллельные переносы - перестановочны: Ра Рb= Рb Ра =Pa+b
  Следствие: Любую композицию параллельных переносов можно заменить одним параллельным переносом (по правилу многоугольника)
  А1
  А2
  А
  А3
  А4
  В
  Орнамент. Это узор, который получается, если некоторую фигуру подвергнуть параллельному переносу несколько раз.
  

• 

  11 слайд

  V. Поворот.
  Определение.
  Отметим на плоскости точку О ( центр поворота) и угол ϕ (угол поворота).
  
  Преобразование плоскости, при котором каждая точка М плоскости переходит в точку М1 такую, что угол между лучами ОМ и ОМ1 равен ϕ, а ОМ=ОМ1 , называется поворотом около точки О на угол ϕ.
  ϕ>0 - если поворот совершается против часовой стрелки
  ϕ<0 - если поворот совершается по часовой стрелки
  
  М1
  ϕ
  О
  М
  (M)=M1, ϕ>0
  Теорема.
  Поворот является движением.
  O
  Y1
  Y
  X1
  X
  1. (X) = X1, 1 → OX=OX1, OY=OY1
  2. ∠ХOY=ϕ-∠X1OY, ∠X1OY1=ϕ-∠X1OY →∠ХOY=∠X1OY1
  3. Значит, ∆ ХOY=∆ X1OY1- по двум сторонам и углу между ними, тогда XY= X1Y1
  Т.к. точки X и Y произвольные, следовательно, поворот- движение
  

• 

  12 слайд

  А
  А1
  ϕ
  Свойства поворота.
  1. Поворот вокруг точки О на 180о является центральной симметрией относительно точки О.
  2. Центр вращения - единственная неподвижная точка,
  (O)=O.
  Окружности с центрами в точке О (центре поворота) - переходят сами в себя.
  3. Если
  (А)=А1 ,
  (В)=В1 , то угол между АВ и А1В1 равен ϕ;
  4. Композиция двух вращений с общим центром на углы α и β соответственно является вращением с тем же центром на угол α+β. При этом вращения перестановочны.
  
  
  
  =
  
  =
  5. Тождественное преобразование можно рассматривать как поворот на нулевой угол.
  6. Композиция двух вращений с центрами О1 и О2 на углы α и β, соответственно, является вращением с новым центром О на угол α+β, если α+β≠360о, и параллельным переносом, если α+β=360о.
  

• 

  13 слайд

  VI. Подобие.
  X
  Y
  X1
  Y1
  Определение.
  Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и тоже число раз.
  Рk(F)=F1 , Рk - подобие с коэффициентом k
  f: X X1
  
  f: Y Y1 , X1Y1= k ∙XY, где k>0 -является одним и тем же для всех точек X и Y.
  k - коэффициент подобия, а фигуры F∾F1 (подобны).
  Подобие не является движением, т.к. расстояния изменяются.
  Свойства подобия.
  1. Преобразование подобия переводит прямую в прямую, отрезок - в отрезок, луч - в луч.
  Действительно, если точки А,В,С лежат на одной прямой, то АС=АВ+ВС, тогда А1В1= k∙АВ=K∙(АС+СВ)=k∙АС+k∙СВ=А1С1+С1В1 → А1,С1,В1 -лежат на прямой и порядок расположения точек сохраняется.
  2. Преобразование подобия сохраняет углы.
  3. Преобразование подобия переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.
  4. Преобразование подобия переводит окружность в окружность.
  5. Преобразование, обратное преобразованию подобия с коэффициентом k, есть преобразование подобия с коэффициентом, равным
  6. Композиция преобразований подобия с коэффициентами k1 и k2 есть преобразование подобия с коэффициентом k=k1 ∙k2
  

• 

  14 слайд

  VII. Гeомотетия.
  О
  М
  М1
  М1
  М
  О
  Определение.
  Зададим точку О и число k≠0. Точки М и М1 являются соответствующими в гомотетии если ОМ1=k∙ОМ.
  Но,k(М)=М1 , где О- центр гомотетии, k- коэффициент гомотетии.
  
  k>0 K<0
  О
  В
  В1
  А
  А1
  Частные случаи гомотетии:
  k=1 - тождественное преобразование
  k=-1 - центральная симметрия относительно точки О.
  Теорема.
  Гомотетия является подобием.
  О
  В
  В1
  А
  А1
  k>0k<0
  1. Но,k(А)=А1, Но,k(В)=В1 →ОА1=k∙ОА , ОВ1=k∙ОВ
  
  2. А1В1= ОВ1- ОА1= k∙ОВ - k∙ОА =k∙(ОВ-ОА)=k∙ АВ
  Следовательно, гомотетия является подобием
  Из подобия следует, что расстояние между соответствующими точками не сохранилось, таким образом, гомотетия не является движением.
  

• 

  15 слайд

  Свойства гомотетии:
  1. Гомотетия переводит прямую в прямую, отрезок- в отрезок;
  2. Гомотетия с k>0 переводит луч в себя (в сонаправленный луч), а гомотетия с k<0 переводит луч в противоположно направленный луч;
  3. Гомотетия сохраняет углы;
  
  О
  Х
  Х1
  О1
  О2
  
  4. Гомотетия переводит окружность в окружность
  Но,k(О1)=О2, Но,k(Х)=Х1→ОО2=k∙ОО1 , ОХ1=k∙ОХ2 , ∠О- общий →∆ОО1Х подобен ∆ОО2 Х1 по второму признаку→ О2Х1=k∙О1Х ;
  т.к. Х произвольная точка окружности, следовательно, окружность переходит в окружность;
  5.Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k≠0, есть гомотетия с тем же центром гомотетии и коэффициентом, равным
  6.При k≠1 гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную прямую, отрезок - в параллельный отрезок. Прямые, проходящие через центр гомотетии, отображаются на себя (Следует из подобия и из определения гомотетии);
  7.Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k1 и k2 есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом k=k1 ∙k2;
  8.Преобразование подобия с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.
  

• 

  16 слайд

  O
  X
  Y
  X*
  Y*
  F
  F*
  X1
  Y1
  F1
  Пусть Рk (F)=F1, где k>0→ Рk (X)=X1 и Рk (Y)=Y1→ X1Y1=k∙ XY (из определения подобия);
  Ho,k(F)=F* ,k>0 и О- произвольная→ Ho,k(X)=X*, Ho,k(Y)=Y*→ X*Y*=k∙ XY (из определения гомотетии);
  Таким образом, для любых точек X*;Y* фигуры F*верно равенство X1Y1= X*Y*,
  которое означает, что фигуры F*и F1 равны, а значит, существует движение, переводящее фигуру F*в фигуру F1.
  

• 

  17 слайд

  VIII. Инверсия.
  Определение.
  Пусть на плоскости задана окружность (О;r) с выколотым центром О. Инверсией Io,k с полюсом О и степенью k=r2 называется взаимно - однозначное преобразование М→М1 такое, что ОМ∙ ОМ1= r2 (точки О,М , М1 -лежат на одной прямой).
  Точка О выколота, т. к. не имеет образа
  О
  М
  r
  М1
  О
  М
  М1
  А
  Построение соответствующих в инверсии точек:
  1. Точка М внутри круга инверсии. МА ОМ; ОА- радиус; АМ1 ⊥ ОА (АМ1- касательная); М1 =ОМ∩АМ1 (ОМ∙ ОМ1= r2 ,т.к. катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу);
  2. Точка М - вне круга инверсии. Построения выполняются в обратном порядке: проводится касательная к окружности и из точки касания опускается перпендикуляр.
  

• 

  18 слайд

  О
  М
  М1
  А
  М
  О
  N
  N1
  K
  a
  b
  E
  Свойства инверсии:
  1.Если при инверсии точка М переходит в М1, то точку М1 эта инверсия переводит в точку М (инверсия - инволютивное преобразование, т.е. =e -тождественное преобразование)
  
  Io,k(М)=М1, то Io,k(М1)=М ;
  
  2.При инверсии точки, расположенные внутри круга инверсии, переходят в точки, расположенные вне круга инверсии.
  Точки, расположенные вне круга инверсии, переходят во внутренние точки круга.
  Точки окружности инверсии переходят в себя.
  3.Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя
  
  
  Полуинтервал (ОК]→луч [Кb), полуинтервал (OE]→луч [Ea), К→К, Е→Е
  
  4. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
  

• 

  19 слайд

  ⇒ ОА∙ОА1=ОВ∙ОВ1=r2
  ⇒ОА:ОВ=ОВ1:ОА1 и ∠АОВ=∠В1ОА1
  ⇒∆ АОВ∾∆ В1ОА1(IIпризнак)
  ⇒∠ОВА=∠ОА1В1
  
  2.Рассмотрим окружность инверсии
  (О,r) и прямую m, не проходящую через точку О и точку B m,
  проведем ОА⊥m,
  построим точку А1 и В1
  такие, что Io,k(А)=А1, Io,k(В)=В1
  По пункту (1) ∆ АОВ∾∆ В1ОА1 и ∠ОАВ=∠ОВ1 А1=900⇒ В1 лежит на окружности S с диаметром ОА1.
  
  О
  А
  В
  В1
  А1
  А1
  В1
  В
  А
  О
  m
  1.Если Io,k(А)=А1,Io,k(В)=В1