799459
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
ИнфоурокАлгебраПрезентацииМетодическая разработка по геометрии «Движения плоскости», 9 класс

Методическая разработка по геометрии «Движения плоскости», 9 класс

библиотека
материалов
МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных пред...
Теорема 1 При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие н...
Теорема 3 При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Сл...
Определение. Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если...
Свойства центральной симметрии 1. Центр симметрии точка О, единственная непод...
Определение. Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой l, есл...
X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в разных полуплоскостях относите...
Определение Если некоторая фигура при симметрии относительно прямой m переход...
Определение. Параллельным переносом на заданный вектор АВ называется преобраз...
Свойства параллельного переноса 1. Параллельный перенос не имеет неподвижных...
Определение. Отметим на плоскости точку О ( центр поворота) и угол ϕ (угол по...
Свойства поворота. 1. Поворот вокруг точки О на 180о является центральной сим...
Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием п...
Определение. Зададим точку О и число k≠0. Точки М и М1 являются соответствующ...
Свойства гомотетии: 1. Гомотетия переводит прямую в прямую, отрезок- в отрезо...
Пусть Рk (F)=F1, где k>0→ Рk (X)=X1 и Рk (Y)=Y1→ X1Y1=k∙ XY (из определения п...
Определение. Пусть на плоскости задана окружность (О;r) с выколотым центром О...
Свойства инверсии: 1.Если при инверсии точка М переходит в М1, то точку М1 эт...
⇒ ОА∙ОА1=ОВ∙ОВ1=r2 ⇒ОА:ОВ=ОВ1:ОА1 и ∠АОВ=∠В1ОА1 ⇒∆ АОВ∾∆ В1ОА1(IIпризнак) ⇒∠О...
Enjoybook

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных пред
Описание слайда:

МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 36» г. о. Саранск, учитель математики Евтухович Ирина Владимировна

2 слайд Теорема 1 При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие н
Описание слайда:

Теорема 1 При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, причем порядок взаимного расположения точек на прямой сохраняется. Докозательство: 1. Пусть точки А, В и С принадлежат прямой d, причем А-В-С →АВ+ВС=АС 2. f(A)=A1, f(В)=В1, f(С)=С1, т.к. f- движение, то А 1В1=АВ, В1С1=ВС, А1С1=АС → А 1В1+ В1С1= =АВ+ВС=АС= А1С1→ А 1В1+ В1С1= А1С1→ A1, В1 и С1 принадлежат некоторой прямой d1 и А 1 -В1- С1. Следствие 1 При движении прямые переходят в прямые , лучи - в лучи, отрезок заданной длины - в отрезок той же длины.

3 слайд Теорема 3 При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Сл
Описание слайда:

Теорема 3 При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Следствие 2 При движении угол переходит в равный ему угол, фигура переходит в равную фигуру. При движении отрезок переходит в отрезок равный данному. Следовательно, треугольник переходит в треугольник равный данному (по третьему признаку). Теорема 2 При движении окружность переходит в окружность того же радиуса. 1. f- некоторое движение, f(O)=O1 2. М- произвольная точка окружности, следовательно f(М)= М1, по определению движения O1 М1=ОМ=r , таким образом при заданном движении окружность с центром О и радиусом r перейдет в окружность с центром O1 и тем же радиусом r.

4 слайд Определение. Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если
Описание слайда:

Определение. Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если точка О принадлежит отрезку АА1 и этой точкой отрезок АА1 делится пополам. Zо(А)=А1 О- центр симметрии А и А1 – центрально симметричные. Т.к. точка А - произвольная точка плоскости, то отображение Zо задано на всей плоскости. Это отображение называется симметрией относительно точки О (центральной симметрией). Теорема Симметрия относительно точки является движением. Доказательство: Точки А, В и О не лежат на одной прямой 1. Zо(А)= А1 , Zо(В)= В1 → АО=А1О, ВО= В1О, ∟АОВ=∟ А1ОВ1- как вертикальные; 2. Следовательно, ∆АОВ=∆ А1ОВ1 по двум сторонам и углу между ними (I признак); 3. Из равенства треугольников следует, что АВ= А1В1. Точки А, В и О лежат на одной прямой А1В1=|ОВ1-О А1|=|ОВ-ОА|=АВ или А1В1= А1О+ОВ1=ОА+ОВ=АВ, а следовательно Zо- движение.

5 слайд Свойства центральной симметрии 1. Центр симметрии точка О, единственная непод
Описание слайда:

Свойства центральной симметрии 1. Центр симметрии точка О, единственная неподвижная точка, т.е. Zо(О)= О 2. Прямая, проходящая через центр симметрии переходит в себя. М Є m → М1 Є m 3. Прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую (следует из равенства накрест лежащих углов при прямых АВ и А1В1, секущей ВВ1) ОЄ АВ; Zо(АВ)= А1В1, АВ|| А1В1 4. Центральная симметрия изменяет направление АВ↑↓ А1В1 Zо(А)= А1, Zо(А1)= А Определение: Если некоторая фигура при симметрии относительно точки О переходит в себя , то точка О называется центром симметрии этой фигуры, а фигура называется симметричной относительно точки О. Zо (Ф)= Ф Zо(А)= C, Zо(В)= D, Zо(С)= А , Zо(D)= В

6 слайд Определение. Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой l, есл
Описание слайда:

Определение. Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой l, если отрезок АА1 перпендикулярен прямой l и делится этой прямой пополам. Sl(A)= А1 А и А1 - симметричные точки. l- ось симметрии Теорема Симметрия относительно прямой является движение X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в одной полуплоскости относительно прямой l. 1. Sl (X)= X1, Sl (Y)= Y1 , XX1∩l=A, YY1∩l=B 2. ∆ABY и ∆АВY1 - прямоугольные (по определению осевой симметрии) ∆ABY = ∆АВY1 - по двум катетам → AY=AY1 и ∠YAB=∠Y1AB 3. Рассмотрим ∆XAY и ∆X1AY1: ХА=Х1А (по определению осевой симметрии) AY=AY1 (по доказанному) ∠ XAY=∠ X1AY1 (как разность прямых и равных углов) Следовательно, ∆XAY = ∆X1AY1 ( по двум сторонам и углу между ними,I признак) 4. Из равенства треугольников следует равенство отрезков XY и X1Y1. Т.к. точка А - произвольная точка плоскости, то отображение Sl задано на всей плоскости. Это отображение называется симметрией относительно прямой l (осевой симметрией).

7 слайд X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в разных полуплоскостях относите
Описание слайда:

X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в разных полуплоскостях относительно прямой l. X и Y -произвольные точки плоскости, одна из точек лежит на прямой l. Равенство отрезков XY и X1Y1 следует из равенства по двум катетам прямоугольных треугольников X1CA и XCA, YCB и Y1CB. Sl (X)= X, Sl (Y)= Y1 → ∆XYB=∆XY1B (по двум катетам) → XY= XY1 Т.о. осевая симметрия - движение Свойства осевой симметрии 1. Sl(l)=l - любая точка оси симметрии - неподвижна (переходит сама в себя); 2. Прямая перпендикулярная оси симметрии переходит сама в себя; 3. Соответствующие прямые пересекаются на оси симметрии или параллельны;

8 слайд Определение Если некоторая фигура при симметрии относительно прямой m переход
Описание слайда:

Определение Если некоторая фигура при симметрии относительно прямой m переходит в себя, то прямая m называется осью симметрии этой фигуры, а фигура называется симметричной относительно прямой m. Sm(Ф)=Ф

9 слайд Определение. Параллельным переносом на заданный вектор АВ называется преобраз
Описание слайда:

Определение. Параллельным переносом на заданный вектор АВ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка плоскости М переходит в М1 так, что ММ1=АВ и обозначается РАВ (М)=М1. Теорема Параллельный перенос является движением 1. РАВ (X)=X1 , РАВ (Y)=Y1 → XX1 ||AB, XX1 =AB; YY1 ||AB, YY1 =AB 2. Следовательно, XX1|| YY1 и XX1= YY1 3. YXX1Y1- параллелограмм по признаку 4. По свойству параллелограмма XY=X1Y1 , значит параллельный перенос - движение.

10 слайд Свойства параллельного переноса 1. Параллельный перенос не имеет неподвижных
Описание слайда:

Свойства параллельного переноса 1. Параллельный перенос не имеет неподвижных точек; 2. Прямые, параллельные направлению переноса, переходят в себя; 3. Параллельный перенос сохраняет направление, т.е. если А→А1 и В→В1,то лучи АВ и А1В1 сонаправлены. Обратно: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом. 4. Композиция (последовательное выполнение) двух параллельных переносов - параллельный перенос, причем параллельные переносы - перестановочны: Ра Рb= Рb Ра =Pa+b Следствие: Любую композицию параллельных переносов можно заменить одним параллельным переносом (по правилу многоугольника) Орнамент. Это узор, который получается, если некоторую фигуру подвергнуть параллельному переносу несколько раз.

11 слайд Определение. Отметим на плоскости точку О ( центр поворота) и угол ϕ (угол по
Описание слайда:

Определение. Отметим на плоскости точку О ( центр поворота) и угол ϕ (угол поворота). Преобразование плоскости, при котором каждая точка М плоскости переходит в точку М1 такую, что угол между лучами ОМ и ОМ1 равен ϕ, а ОМ=ОМ1 , называется поворотом около точки О на угол ϕ. ϕ>0 - если поворот совершается против часовой стрелки ϕ<0 - если поворот совершается по часовой стрелки (M)=M1, ϕ>0 Теорема. Поворот является движением. X 1. (X) = X1, 1 → OX=OX1, OY=OY1 2. ∠ХOY=ϕ-∠X1OY, ∠X1OY1=ϕ-∠X1OY →∠ХOY=∠X1OY1 3. Значит, ∆ ХOY=∆ X1OY1- по двум сторонам и углу между ними, тогда XY= X1Y1 Т.к. точки X и Y произвольные, следовательно, поворот- движение

12 слайд Свойства поворота. 1. Поворот вокруг точки О на 180о является центральной сим
Описание слайда:

Свойства поворота. 1. Поворот вокруг точки О на 180о является центральной симметрией относительно точки О. 2. Центр вращения - единственная неподвижная точка, (O)=O. Окружности с центрами в точке О (центре поворота) - переходят сами в себя. 3. Если (А)=А1 , (В)=В1 , то угол между АВ и А1В1 равен ϕ; 4. Композиция двух вращений с общим центром на углы α и β соответственно является вращением с тем же центром на угол α+β. При этом вращения перестановочны. = = 5. Тождественное преобразование можно рассматривать как поворот на нулевой угол. 6. Композиция двух вращений с центрами О1 и О2 на углы α и β, соответственно, является вращением с новым центром О на угол α+β, если α+β≠360о, и параллельным переносом, если α+β=360о.

13 слайд Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием п
Описание слайда:

Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и тоже число раз. Рk(F)=F1 , Рk - подобие с коэффициентом k f: X X1 f: Y Y1 , X1Y1= k ∙XY, где k>0 -является одним и тем же для всех точек X и Y. k - коэффициент подобия, а фигуры F∾F1 (подобны). Подобие не является движением, т.к. расстояния изменяются. Свойства подобия. 1. Преобразование подобия переводит прямую в прямую, отрезок - в отрезок, луч - в луч. Действительно, если точки А,В,С лежат на одной прямой, то АС=АВ+ВС, тогда А1В1= k∙АВ=K∙(АС+СВ)=k∙АС+k∙СВ=А1С1+С1В1 → А1,С1,В1 -лежат на прямой и порядок расположения точек сохраняется. 2. Преобразование подобия сохраняет углы. 3. Преобразование подобия переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны. 4. Преобразование подобия переводит окружность в окружность. 5. Преобразование, обратное преобразованию подобия с коэффициентом k, есть преобразование подобия с коэффициентом, равным 6. Композиция преобразований подобия с коэффициентами k1 и k2 есть преобразование подобия с коэффициентом k=k1 ∙k2

14 слайд Определение. Зададим точку О и число k≠0. Точки М и М1 являются соответствующ
Описание слайда:

Определение. Зададим точку О и число k≠0. Точки М и М1 являются соответствующими в гомотетии если ОМ1=k∙ОМ. Но,k(М)=М1 , где О- центр гомотетии, k- коэффициент гомотетии. k>0 K<0 Частные случаи гомотетии: k=1 - тождественное преобразование k=-1 - центральная симметрия относительно точки О. Теорема. Гомотетия является подобием. k>0 k<0 1. Но,k(А)=А1, Но,k(В)=В1 →ОА1=k∙ОА , ОВ1=k∙ОВ 2. А1В1= ОВ1- ОА1= k∙ОВ - k∙ОА =k∙(ОВ-ОА)=k∙ АВ Следовательно, гомотетия является подобием Из подобия следует, что расстояние между соответствующими точками не сохранилось, таким образом, гомотетия не является движением.

15 слайд Свойства гомотетии: 1. Гомотетия переводит прямую в прямую, отрезок- в отрезо
Описание слайда:

Свойства гомотетии: 1. Гомотетия переводит прямую в прямую, отрезок- в отрезок; 2. Гомотетия с k>0 переводит луч в себя (в сонаправленный луч), а гомотетия с k<0 переводит луч в противоположно направленный луч; 3. Гомотетия сохраняет углы; 4. Гомотетия переводит окружность в окружность Но,k(О1)=О2, Но,k(Х)=Х1→ОО2=k∙ОО1 , ОХ1=k∙ОХ2 , ∠О- общий →∆ОО1Х подобен ∆ОО2 Х1 по второму признаку→ О2Х1=k∙О1Х ; т.к. Х произвольная точка окружности, следовательно, окружность переходит в окружность; 5.Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k≠0, есть гомотетия с тем же центром гомотетии и коэффициентом, равным 6.При k≠1 гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную прямую, отрезок - в параллельный отрезок. Прямые, проходящие через центр гомотетии, отображаются на себя (Следует из подобия и из определения гомотетии); 7.Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k1 и k2 есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом k=k1 ∙k2; 8.Преобразование подобия с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.

16 слайд Пусть Рk (F)=F1, где k&gt;0→ Рk (X)=X1 и Рk (Y)=Y1→ X1Y1=k∙ XY (из определения п
Описание слайда:

Пусть Рk (F)=F1, где k>0→ Рk (X)=X1 и Рk (Y)=Y1→ X1Y1=k∙ XY (из определения подобия); Ho,k(F)=F* ,k>0 и О- произвольная→ Ho,k(X)=X*, Ho,k(Y)=Y*→ X*Y*=k∙ XY (из определения гомотетии); Таким образом, для любых точек X*;Y* фигуры F*верно равенство X1Y1= X*Y*, которое означает, что фигуры F*и F1 равны, а значит, существует движение, переводящее фигуру F*в фигуру F1.

17 слайд Определение. Пусть на плоскости задана окружность (О;r) с выколотым центром О
Описание слайда:

Определение. Пусть на плоскости задана окружность (О;r) с выколотым центром О. Инверсией Io,k с полюсом О и степенью k=r2 называется взаимно - однозначное преобразование М→М1 такое, что ОМ∙ ОМ1= r2 (точки О,М , М1 -лежат на одной прямой). Точка О выколота, т. к. не имеет образа Построение соответствующих в инверсии точек: 1. Точка М внутри круга инверсии. МА ОМ; ОА- радиус; АМ1 ⊥ ОА (АМ1- касательная); М1 =ОМ∩АМ1 (ОМ∙ ОМ1= r2 ,т.к. катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу); 2. Точка М - вне круга инверсии. Построения выполняются в обратном порядке: проводится касательная к окружности и из точки касания опускается перпендикуляр.

18 слайд Свойства инверсии: 1.Если при инверсии точка М переходит в М1, то точку М1 эт
Описание слайда:

Свойства инверсии: 1.Если при инверсии точка М переходит в М1, то точку М1 эта инверсия переводит в точку М (инверсия - инволютивное преобразование, т.е. =e -тождественное преобразование) Io,k(М)=М1, то Io,k(М1)=М ; 2.При инверсии точки, расположенные внутри круга инверсии, переходят в точки, расположенные вне круга инверсии. Точки, расположенные вне круга инверсии, переходят во внутренние точки круга. Точки окружности инверсии переходят в себя. 3.Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя Полуинтервал (ОК]→луч [Кb), полуинтервал (OE]→луч [Ea), К→К, Е→Е 4. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

19 слайд ⇒ ОА∙ОА1=ОВ∙ОВ1=r2 ⇒ОА:ОВ=ОВ1:ОА1 и ∠АОВ=∠В1ОА1 ⇒∆ АОВ∾∆ В1ОА1(IIпризнак) ⇒∠О
Описание слайда:

⇒ ОА∙ОА1=ОВ∙ОВ1=r2 ⇒ОА:ОВ=ОВ1:ОА1 и ∠АОВ=∠В1ОА1 ⇒∆ АОВ∾∆ В1ОА1(IIпризнак) ⇒∠ОВА=∠ОА1В1 2.Рассмотрим окружность инверсии (О,r) и прямую m, не проходящую через точку О и точку B m, проведем ОА⊥m, построим точку А1 и В1 такие, что Io,k(А)=А1, Io,k(В)=В1 По пункту (1) ∆ АОВ∾∆ В1ОА1 и ∠ОАВ=∠ОВ1 А1=900⇒ В1 лежит на окружности S с диаметром ОА1. 1.Если Io,k(А)=А1,Io,k(В)=В1

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Enjoybook
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Методическая разработка по геометрии предназначена для работы с учениками 9 класса на уроках всех типов изучения и повторения материала. Тема «Движения плоскости» является одной из недостаточно освещенных в традиционных учебниках геометрии, поэтому любой учитель средней школы с помощью этой презентации сможет эффективно дополнить собственный конспект урока и грамотно организовать процесс углубленного изучения темы на уроке. Используемая теоретическая и практическая информация соответствует всем текущим знаниевым требованиям.
Общая информация
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» педагогическая деятельность требует от педагога наличия системы специальных знаний в области обучения и воспитания детей с ОВЗ. Поэтому для всех педагогов является актуальным повышение квалификации по этому направлению!

Дистанционный курс «Обучающиеся с ОВЗ: Особенности организации учебной деятельности в соответствии с ФГОС» от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (72 часа).

Подать заявку на курс

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Enjoybook
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.