Муниципальное
бюджетное образовательное учреждение
Никитинская
средняя общеобразовательная школа
Математические
исследования
«Применение
чисел Фибоначчи в решении задач»
Выполнила:
: Корнева Марина Александровна – учитель математики
Адрес:
Россия. 607908, Нижегородская обл., Починковский район,
с.
Никитино, ул. Ленина, дом 105.
Электронный
адрес: nikitinosoch@yandex.ru
Телефон:
8(831)97-33-6-25
2013г.
Цели:
Ввести в
рассмотрение числа Фибоначчи, показать историю их возникновения.
Выяснить некоторые
свойства этих чисел.
Показать
на примере игры «Цзяньшицзы» использование Фибоначчиевой системы счисления.
Содержание:
1. Известная
задача Фибоначчи о размножении кроликов.
2. Последовательность
чисел Фибоначчи и некоторые её свойства.
3. Китайская
игра «Цзяньшицзы» и последовательность Фибоначчи.
1.Школьная программа
алгебры 9 класса включает в себя темы «Арифметическая прогрессия» и
«Геометрическая прогрессия», каждая из которых представляет собой некую
последовательность чисел. Просмотрев дополнительную литературу, я
заинтересовалась ещё одной очень интересной последовательностью чисел Фибоначчи,
а особенно задачей, которая привела к построению последовательности чисел
Фибоначчи.
Древняя
история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней
математической науки до сих пор вызывают восхищение острой ума их авторов. А
имена Евклида, Геррона, Архимеда известны каждому образованному человеку.
Но
если мы обратимся к средневековью, то дело с математикой обстоит там иначе.
Кроме Виеты, жившего, впрочем, уже в 16 веке, и математиков более близких к нам
времён, школьный курс математики не называет ни одного имени, относящегося к
средним векам. Это, конечно, не случайно. Математика в эту пору развивалась
крайне медленно, и крупных математиков тогда было очень мало. Поэтому большой
интерес для нас представляет сочинение «Книга об абаке», написанная знаменитым
итальянским математиком Леонардо из Пизы, который больше известен по своему
прозвищу - Фибоначчи, т.е. сын Боначчи. Эта книга написана в 1202 году и дошла
до нас во втором своём варианте, который относится к 1228 году.
«Книга абака» представляет собой объёмистый труд, содержащий почти все
арифметические и алгебраические сведения того времени. Она сыграла заметную
роль в развитии математики Западной Европы в течение нескольких следующих
столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с
индусскими («арабскими») цифрами. Значительную часть этого трактата составляют
задачи, на которых даётся разъяснение многих сообщаемых в книге фактов.
Рассмотрим задачу, которая помещена в рукописи этой книги и которая открывает
нам путь к числам Фибоначчи. Вопрос задачи очень короткий. «Сколько пар
кроликов в один год от одной пары рождается?»
Итак,
рассмотрим решение, предложенное в «Книге абака». Вот оно. «Некто поместил
пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать,
сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов
такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают
кролики со второго месяца после своего рождения».
Решение: Т.к.
первая пара в первом месяце даёт потомство, удвой и в этом месяце окажутся две
пары. Из них одна пара рождает и в следующее месяце, а именно - первая, так,
что во втором месяце окажутся три пары.
Из
них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так, что в третьем
месяце родятся ещё 2 пары кроликов и число пар кроликов достигнет 5.
Из
них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары кроликов и число пар в 4
месяце достигнет 8.
Из них
5 пар произведут другие 5 пар, которые, сложенные с 8 парами дадут в 5 месяце
13 пар.
Из них
5 пар, рождённые в этом месяце не дают потомство в этом же месяце, а остальные
8 рождают, так что в шестом месяце оказывается 21 пара, …..
И так
далее. На этом задача не закончена. Текст её ещё очень длинный. Мы дошли только
до 6 месяца, но, по-моему, смысл счёта понятен. Не стоит рассуждать далее,
только посмотрим, что же у нас получилось. Нарисуем табличку, где укажем наши
результаты
|
Месяца
|
Начало
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
…..
|
|
Количество
кроликов
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|
…..
|
Закономерность
такова: 3=2+1, 5=3+2, 8=5+3, 13=8+5, 21=13+8,…
Т.е.
каждое последующее число равно сумме двух предыдущих ему чисел. Этот процесс
счёта не закончится никогда. А, дойдядо12 месяца, мы получим ответ задачи: их
будет 377.
2.Теперь
перейдём от кроликов к числам и рассмотрим следующую последовательность чисел: u1,u2,…,un. Пусть
каждый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих членов этой
последовательности, т.е. un=un-1+un-2 (1). Я
задумалась, можно ли только по одному условию (1) вычислить или найти все члены
последовательности? Оказывается – нет. Можно составить сколько угодно различных
последовательностей чисел, удовлетворяющих условию (1). Например:
2,5,7.12,19,31,… Проверим: 7=5+2, 12=5+7, 19=12+7,… Или 1,3,4,7,11,18,…
Значит,
для того, чтобы построить единственную последовательность чисел, которая
удовлетворяла бы условию (1) этого условия явно недостаточно. Необходимо узнать
дополнительные условия. Можно, например, задать конкретным образом первые члены
последовательности. Вопрос – сколько первых членов мы должны задать? Ведь не
всякий член последовательности имеет два впереди стоящих перед ним члена.
Перед первым членом вообще не стоит ни одного, а перед вторым стоит только один
член. Значит вместе с условием (1) для задания последовательности надо задать
её два первых члена.
Зададим
их по единичке, т.е. u1=1, u2=1. Тогда u3=u2+u1=1+1=2;
u4=u3+u2=2+1=3; u5=u4+u3=3+2=5;….
В
результате мы получили такую последовательность
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…
Все
члены этой последовательности встречались нам в задаче о кроликах. В честь
автора этой задачи вся последовательность называется рядом Фибоначчи, а
её члены – числами Фибоначчи. Просмотрев книгу Н.Н.Воробьёва «Числа
Фибоначчи», я обнаружила, что в ней рассказывается об очень многих красивых
свойствах чисел Фибоначчи. Приведу в пример некоторые из них.
Найду
несколько «признаков делимости» чисел Фибоначчи. Начну с чётности. Число чётно
тогда, когда оно без остатка делится на 2. Выпишем чётные числа Фибоначчи:
2,8,34,144,… (Причём u3=2, u6=8,u9=34,u12=144,…).
Вывод – число Фибоначчи чётно, если его порядковый номер делится на 3.
Установим признак делимости на 3. На 3 делятся: u4=3, u8=21, u12=144,...
Значит, на 3 делятся числа Фибоначчи с порядковыми номерами кратными 4.
Аналогично можно установить, что на 5 делятся числа Фибоначчи с порядковыми
номерами кратными 5, на 7 с порядковыми номерами кратными 8.
Есть
ещё одно очень интересное свойство этих чисел: числа Фибоначчи могут составлять
основу своеобразной «Фибоначчиевой» системы счисления. Пусть числа Фибоначчи
образуют базис. Мы будем записывать числа, пользуясь базисными числами
Фибоначчи. Попытаемся найти закономерность перевода, вспомнив ряд Фибоначчи:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.144.233,377,…
Возьмём число 19 (19= 13+5+1). Значит, для числа 19 базисными будут числа
13,5,1. Т.е. 19=101001фиб.сист.сч. .
58=55+3,
т.е.58=1000001фиб.сист.сч.
90= 89+1,
т.е. 90=1000000001фиб.сист.сч.
3.Но более
всего Фибоначчиева система счисления заинтересовала меня применительно к одной
из китайских игр под названием «Цзяньшицзы». Вот правила игры: на
столе лежат две кучки спичек. Двое играющих поочерёдно берут спички из этих
кучек, причём за один раз играющий может либо взять любое число спичек из одной
кучки, либо поровну, но тоже любое число спичек из каждой кучки. Выигравшим
считается тот, кто заберёт последнюю спичку. Например, в позиции (1,2), мы
имеем четыре возможных исхода: а) можно взять 1 спичку из 1-ой кучки, б) можно
взять 1 спичку из 2-ой кучки, в) можно взять 2 спички из 2-ой кучки, г) можно
взять по 1 спичке из каждой кучки. Очевидно, что при любом ходе начинающего
игрока противник следующим ходом закончит игру, т.е. выиграет.
|
а)
|
2
|
1
|
0
|
|
б)
|
2
|
1
|
0
|
|
в)
|
2
|
1
|
0
|
|
г)
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
1
|
0
|
|
|
2
|
1
|
0
|
|
|
2
|
1
|
0
|
|
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассуждая аналогично, получим, что позиции (3,5), (4,7), (6,10), (8,13) -
проигрышны для начинающего игрока, а, например, позиции (1,3), (4,10) –
выигрышны для него. Приведу ниже таблицы ходов игроков в рассматриваемых
игровых позициях:
|
(3,5)
(4,7)
|
|
|
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6,10)
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8,13)
|
13
|
12
|
11
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
12
|
11
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
12
|
11
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
12
|
11
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,3)
(4,10)
|
|
|
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В
продолжении можно составить таблицу первых пятнадцати начальных положений в
игре, проигрышных для начинающего игру игрока:
|
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
a
|
1
|
3
|
4
|
6
|
8
|
9
|
11
|
12
|
14
|
16
|
17
|
19
|
21
|
22
|
24
|
|
b
|
2
|
5
|
7
|
10
|
13
|
15
|
18
|
20
|
23
|
27
|
28
|
31
|
34
|
36
|
39
|
Возникает
вопрос о закономерности, законе составления данной таблицы. Однако, на первый
взгляд, никакого определённого закона составления этой таблицы заметь нельзя.
Но внимательное изучение таблицы позволяет заметить, что в ней часто фигурируют
числа Фибоначчи (например, в 1-м, 2-м, 5-м,13-м столбцах). Это навело меня на
мысль о целесообразности записи таблицы проигрышных позиций игры « Цзяньшицзы»
в «Фибоначчиевой» системе счисления:
|
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
a
|
1
|
100
|
101
|
1001
|
10000
|
10001
|
10100
|
|
b
|
10
|
1000
|
1010
|
10010
|
100000
|
100010
|
101000
|
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
|
10101
|
100001
|
100100
|
100101
|
101001
|
1000000
|
|
101010
|
1000010
|
1001000
|
1001010
|
1010010
|
10000000
|
|
14
|
15
|
|
1000001
|
1000100
|
|
10000010
|
10001000
|
Вывод:
проигрышными в игре «Цзяньшицзы» являются те позиции (a,b), для
которых числа a, будучи
записанными в «Фибоначчиевой» системе счисления, кончаются чётным числом нулей,
а число b получается
из а приписыванием ещё одного нуля в конце.
Важно
отметить, что игра «Цзяньшицзы» выгодна для начинающего игру игрока,
потому что проигрышных для него позиций довольно мало.
Итак, в
своей работе я попыталась рассказать о задаче, которая привела меня к числам
Фибоначчи, о некоторых простейших свойствах этих чисел, и, наконец, о
применении свойств чисел Фибоначчи для китайской игры «Цзяньшицзы».
Литература:
1. «Две игры
со спичками», Яглом И. Математика в школе 1992г. №1
2. «Системы
счисления», Фомин С.В.Москва, Наука, 1968
г.
3. «Числа
Фибоначчи», Воробьёв Н.Н. Москва, Наука ,1984г.
4. «Приглашение
в теорию чисел», Оре О.Москва, Наука,1980 г.
5. «Системы
счисления» Яглом И. Математика в школе 1991г. №12
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.