Оглавление
1. Введение
2 1.1
Актуальность
2 1.2 Проблема
исследования
2 1.3 Цель
работы
2 1.4
Гипотеза 2
1.5 Задачи работы 2
1.6 Объект исследования 2
1.7 Предмет исследования 2
1.8 Методы
исследования
2 1.9 Практическая
значимость
2. Основная часть
2.1 Эксперимент
3 2.2 Теоретическая часть
4-5 2.3
Геометрическое построение
6
3.
Заключение
7 4. Библиографический список 8
5. Приложения
«Поэт
должен видеть то, чего не видят другие,
видеть
глубже других. И это должен быть математик".
С.В.Ковалевская
1. Введение
1.1 Актуальность темы:
Математика
и литература не так далеки друг от друга, как многие думают. Искусство и наука
требуют фантазии, творческой смелости, зоркости в наблюдении различных явлений
жизни.
. Каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии.
Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и
проявляющиеся во всех искусствах. В некоторых художественных
произведениях встречаются математические задачи. Эти задачи ставят перед
читателями авторы некоторых романов, повестей, рассказов, как правило, зачастую
сами не обращая на это внимания. А сами авторы часто рассматривают математическую
задачу как деталь, фон, эпизод своего повествования. Иногда автор бывает
столь любезен, что вместе с условием задачи приводит и решение. Но это явление
редкое. Чаще дается лишь условие. Прочитав поэму А.С. Пушкина « Руслан и
Людмила», задумываешься над следующим отрывком:
У лукоморья дуб
зелёный,
Златая цепь на дубе том.
И днём и ночью кот учёный
Всё ходит по цепи кругом.
1.2 Проблема исследования: какую линию
описывает кот при своем движении по цепи. Действительно ли в этих строчках
скрыт какой то геометрический смысл. 1.3
Цель работы:
1. Выяснить , действительно ли в этих строках А.С. Пушкина скрыт какой
то геометрический
смысл.
2. Какую кривую вычерчивает кот при своем движении вокруг
дуба. 1.4 Гипотеза:
кот при своем движении по цепи, вокруг дуба, вычерчивает кривую, которую никак
нельзя назвать окружностью. 1.
5 Задачи:
1.Провести эксперимент по
вычерчиванию котом кривой при его движении вокруг дуба.
2.Собрать материал о получившейся
кривой.
3. Встречается ли полученная.кривая в природе.
4. Практическое применение свойств кривой в жизни
человека. 5.При
помощи школьных чертежных инструментов построить данную
кривую. 1.6
Объект
исследования:
Отрывок А.С. Пушкина из поэмы « Руслан и Людмила» 1.7
Предмет исследования: Кривая, которую вычерчивает « Пушкинский кот»
при своем движении вокруг
дуба.
1.8 Методы исследования: : -
обще-теоретические : анализ и
синтез; -
теоретические: построение гипотезы мысленного эксперимента, прогнозирование
результатов предполагаемого эксперимента; --эмпирические
методы: эксперимент , геометрическое построение
1.9 Практическая
значимость: материал
работы поможет учителю красочно и доступно продемонстрировать учащимся сведения о
данной кривой, показать практическое применение ее свойств в жизни
человека,
научить строить
данную
кривую
при
помощи несложных инструментов и подсобного материала.
2. Основнавная часть 2.1
Эксперимент Оборудование
для эксперимента: макет
« дуба», небольшой котёнок(мягкая игрушка), маркер, небольшая цепочка,
ватман.
Цель
эксперимента: выяснить, какую линию вычерчивает кот
при своем движении вокруг дуба Ход
эксперимента: 1.
К котенку прикрепить маркер, на макет «дуба» намотать цепочку. ( Приложение
1) 2.
Скрепить ватман. 3.
Поставить макет «дуба»,с намотанным на него цепью внутрь ватмана. (Приложение
2) 4.Передвинуть котенка « по цепи» вокруг дуба..(
Приложение 3)
Результат эксперимента: На ватмане вычерчивается кривая. (Приложение
4) Вывод: Изучив
данную кривую сделать вывод, что ее никак нельзя назвать окружностью.
2.2 Теоретическая часть 2.2.1
Историческая справка
ЭВОЛЬВЕ'НТА
[латин. evolventa] (мат.) - то же, что развертывающая кривая. называют кривую,
которую описывает любая точка прямой, перекатываемой без скольжения по
окружности (прямую называют производящей прямой, окружность эволютой
или основной окружностью). (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).
Эвольвенты
различных линий впервые были изучены X. Гюйгенсом в его
известной работе о часовом маятнике (1673 г.).
(Приложение
5)
Основные свойства эвольвенты круга найдены французским ученым Ла Гиром
(1640—1718) и изложены в его работе 1706 г. Ещё некоторые А.
К. Клеро (1713—1765) в 1740 г., а также кинематическое свойство
натурального уравнения (любой линии) указаны Мангеймом в 1859 г.
2.2.2 Эвольвента
окружности в природе
Удивительными способностями
наделены природой некоторые жуки. Вот, например, жук — "математик" —
березовый трубковерт. Невелик. Всего каких-нибудь три-четыре миллиметра от
хоботка до конца брюшка. ( Приложение 6)
Изготовляя приют для потомства, этот
крошечный "слоник" всякий раз решает трудную геометрическую задачу —
"построение эволюты по данной эвольвенте".( Приложение7) Обходится
без чертежей и сложных расчетов. Инстинкт подсказывает ему, как надо надрезать
лист березы, чтобы свернулся он в трубку, точнее — в конус. Если эвольвента на
зелёном листе построена правильно, конус, выкроенный из него, не развернется.
При всех других вариантах разрезов развернется быстро. Тёплым майским днем
самка-трубковерт принимается за работу. Отступая немного от черешка листа,
впивается в него острыми челюстями и, пятясь задом, ведет первый дугообразный
надрез. Закончив его, переползает на другую половинку листа и его надрезает, но
по менее изогнутой кривой. Завершив эту кройку, возвращается туда, где начала
работу, и сворачивает отсеченную от выкроенного сектора половинку листа в узкий
конус из пяти-семи крутых витков. Затем точно так же закручивает вокруг конуса
другую надрезанную половинку листа, но вертит её в обратную сторону. Получается
плотный зелёный кулек. Жук в него влезает, откладывает там три-пять желтоватых
яичка, выбирается наружу и сворачивает рулончиком нижний край конуса, запирая
вход в него.Вся математически точная работа закончена за полчаса. Но жучиха
одним конусом не удовлетворяется; скоро принимается за второй, третий лист. И
столько их скрутит, насколько у неё сил хватит. ( Приложение 8) К тому времени,
когда заключенным в конусе личинкам приходит пора окукливаться, ветер и дождь
срывают с веток побуревшие футлярчики. Падают они вниз. Из них вылезают личинки
и зарываются в землю, где и превращаются в куколок, а те, как заведено
природой, дают начало новому поколению жуков — "математиков". Вот
ведь дивное дело — построение эволюты на берёзовом листе! Впрочем, не только на
березе, но порой и на грабе, буке, ольхе, орешнике с бездумной легкостью
решаются те же сложные задачи. Усложненные ещё и тем, что форма листьев у
названных деревьев иная, чем у берёзы. 2.2.3
Эвольвента окружности в технике
Подавляющее большинство зубчатых
передач, применяемых в технике, имеет зубчатые колеса с эвольвентным
профилем. (Приложение 9) Эвольвента
как кривая для формирования профиля зуба была предложена Л. Эйлером в 1754
году. Она обладает значительными преимуществами перед другими кривыми, применяемыми
для этой цели, – удовлетворяет основному закону зацепления, обеспечивает
постоянство передаточного отношения, нечувствительна к неточностям межосевого
расстояния (что облегчает сборку), наиболее проста и технологична в
изготовлении, легко стандартизируется (что особенно важно для такого
распространенного вида механизмов как зубчатые передачи).
Свое практическое применение эвольвента
окружности нашла в ковшовой
гидротурбине Пелтона., наиболее
распространённая разновидность активных гидротурбин, использующих кинетическую
энергию потока воды. ( Приложение 10) В 1889 американский инженер А. Пелтон
получил патент на К. г. Проточная часть К. г. состоит из сопла, рабочего
колеса, отводящего канала. Из напорного трубопровода вода поступает через сопла
на лопасти (ковши) рабочего колеса по касательной к окружности, проходящей
через середину ковша. В отличие от реактивных гидротурбин, К. г. не требуют
отсасывающей трубы, а вода на лопасти рабочего колеса поступает не непрерывно,
а лишь при прохождении ими зоны действия напорной струи. Внутри сопла находится
игла, перемещением которой регулируется площадь выходного сечения сопла, а,
следовательно, и расход потока. Во избежание гидравлического удара в напорном
трубопроводе и разгона агрегата при сбросах с него нагрузки в процессе
эксплуатации в К. г. применяют дефлекторы (отклонители или отсекатели), которые
отжимают всю струю или часть её к периферии рабочего колеса, и струя проходит
мимо лопастей. Число лопастей выбирается наименьшим из условия отсутствия
проскока частиц напорной струи между лопастями. Большинство К. г. имеет от 18
до 26 лопастей. К. г. выполняются как с горизонтальным, так и с вертикальным
валом. Горизонтальные турбины имеют одно, два или три рабочих колеса на одном
валу и по одному или по два сопла на каждое рабочее колесо. Вертикальные
турбины изготавливаются с одним рабочим колесом и несколькими соплами.
2.3
Геометрическое построение Цель
работы: Построение эвольвенты окружности.
Оборудование: Циркуль, угольник, карандаш
Построение
1. Делим окружность на
произвольное число равных частей. ( Приложение 11)
2. Проводим касательные к окружности в точках деления. Направляем их в
одну сторону. ( Приложение 12)
3. На касательной, проведенной через последнюю точку деления,
откладываем отрезок, равный длине окружности (2πR). (Приложение 13)
4. Делим отрезок на то же число равных частей, что и окружность. (
Приложение 14) 5.
На первой касательной откладываем одно деление отрезка.
6. На второй касательной откладываем два деления
отрезка. 7.
На третьей касательной откладываем три деления отрезка и т.
д. (Приложение 15)
Получаем точки I, II, III и т.д. Соединяем эти точки по
лекалу. (Приложение 16) Получаем эвольвенту окружности. ( Приложение 17)
3. Заключение
На основании проведённой работы пришли к следующим выводам:
1. Кот при своем движении вокруг дуба вычерчивает кривую, которую называют
эвольвентой
окружности.
2. Эвольвента
окружности встречается в природе, в
частности
3.Эвольвента окружности нашла широкое применение в технике. 4.
Эвольвенту окружности можно построить с помощью циркуля и
угольника. 5. Значит не
случайно А.С. Пушкин, своего кота назвал ученым и в его строках заложен
определенный геометрический смысл.
Мы
получили интересный математический материал. Данная работа будет интересна
любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно
использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой
работе. Математики
в литературных произведениях предостаточно и если внимательно их
анализировать, можно еще много найти интересного материала для
исследовательских работ.
4.
Библиографический
список
Журнал
«Квант»: № 6-84.
Геометрическая страница. Эвольвенты
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.