Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Исследование функций и построение графиков
Теоретический материал
2 слайд
Содержание
1) Область определения функции
2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность)
4) Точки пересечения функции с осями координат
5) Непрерывность функции. Характер точек разрыва
6) Асимптоты
7) Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность
8) Выпуклость функции. Точки перегиба
3 слайд
Область определения функции
Определение. Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, при которых функция определена.
Примеры.
У= ln(x+1)
4 слайд
Четные и нечетные функции
Функция y=f(x) называется четной, если
Функция y=f(x) называется нечетной, если
5 слайд
Периодичные функции
Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, что если х принадлежит Df , то х±Т также принадлежит Df и f(x+T)=f(T).
6 слайд
Точки пересечения с осями координат
При исследовании функции необходимо найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох находятся из системы уравнений у=f(x) и у=0, а ординаты точек пересечения графика функции с осью Оу находятся из системы уравнений у=f(x) и х=0.
7 слайд
Непрерывность
Характер точек разрыва
Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х0, если функция определена в точке х0 и предел функции в точке х0 равен значению функции в точке х0.
Функции, непрерывные в каждой точке из области определения функции, называются непрерывными функциями.
Примеры непрерывных функций: y=cosx, y=sinx, y=ex , y=Pn(x) (многочлен степени n).
8 слайд
Точки разрыва функции
Определение. Точкой разрыва функции называется точка из области определения функции, в которой функция не является непрерывной.
Пример. Функция
разрывна в 0, так как
9 слайд
Классификация точек разрыва
Точки устранимого разрыва
Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, равные между собой, но не равные значению функции в точке х0, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.
10 слайд
Классификация точек разрыва
Точки скачка
Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между собой, то точка х0 называется точкой скачка (точкой разрыва I рода).
11 слайд
Классификация точек разрыва
Точки разрыва II рода
Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х0 не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва II рода.
12 слайд
Вертикальные асимптоты
Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции при , если
или
.
13 слайд
Наклонные асимптоты
Если существует прямая y=kx+b такая, что
, то эта прямая называется
асимптотой графика функции f при
.
Для того чтобы прямая y=kx+b была асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
,
.
14 слайд
Экстремумы функции
Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале (а, b). Точка х0 интервала (а, b) называется точкой строгого максимума (минимума) функции f (x), если в некоторой проколотой окрестности точки х0 f (x)< f (x0) ( f (x) > f (x0) ).
Точки минимума и точки максимума функции называются точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума. Пусть точка х0 - точка экстремума функции. Тогда либо производная функции в этой точке равна 0, либо не существует.
15 слайд
Исследование функции на монотонность
Критические точки функции х=±1. f '(x)>0 при х<-1 и при х>1; f '(x)<0 при -1<x<0 и при 0<x<1.
функция возрастает
функция убывает
Известно, что если f '(x)>0 (f '(x)>0) в (а, b), то функция f (x) строго возрастает (строго убывает) в (а, b).
Рассмотрим функцию f(x) = x + 1|x
16 слайд
Выпуклость функции
Функция у=f(х), определенная на интервале (а, b), называется выпуклой вверх (вниз) в интервале (а, b), если для любых х1и х2 из интервала (а, b) из того, что х1<х2, следует, что часть графика функции между точками (х1,f(х1)) и (х2,f(х2)) лежит выше (ниже) хорды, соединяющей эти точки.
17 слайд
Выпуклость функции.
Точки перегиба
Если график функции в точке (х0, f(x0)) переходит с одной стороны касательной на другую, то точка х0 называется точкой перегиба функции f(x).
Также говорят, что график функции f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a, b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.
18 слайд
Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба
Достаточное условие строгой выпуклости функции
Если на интервале (а,b) f ''(x)>0, то на интервале (а,b) функция выпукла вниз, и если на интервале f ''(x)<0, то
на интервале (а,b) функция выпукла вверх.
Достаточное условие строгой выпуклости функции
Если в левой и правой полуокрестностях некоторой точки х0 f ''(x) имеет противоположные знаки, то точка х0 – точка перегиба функции.
19 слайд
Спасибо за внимание
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Описание материала:
Данная презентация представляет собой блок теоретического материала, раскрывающего сущность и порядок исследования функции с использованием производной. В четком изложении даны пункты исследования: область определения, непрерывность и характер точек, в которых функция разрывна (если таковые имеются), четность и нечетность функции, нули функции, монотонность (возрастание и убывание функции), экстремумы функции (максимум и минимум), выпуклость, вогнутость и точки перегиба, рассматривается вопрос нахождения асимптот (вертикальных, горизонтальных и наклонных)
6 609 590 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Тетеркина-Чамина Лариса Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.