Рисунок 8. Гипербола.
Вопрос. Опишите
свойства возрастания или убывания функции, пользуясь понятиями «подниматься в
горку», «спускаться с горки».
Ответ. На
луче (–∞;0] функция у=1/х убывает, при этих значениях х, двигаясь по гиперболе
слева направо, мы «спускаемся с горки», на луче [0;+∞) функция у=1/х убывает,
при этих значениях х, двигаясь по гиперболе слева направо, мы «спускаемся с
горки».
На луче (–∞;0] функция у= –2/х возрастает, при этих
значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «поднимаемся в горку», на
луче [0;+∞) функция у= –2/х возрастает, при этих значениях х, двигаясь по
параболе слева направо, мы «поднимаемся в горку».
Итак, график функции у=к/х является примером
разбиения области определения на два промежутка (открытых луча) на каждом из
которых функция возрастает (убывает).
Вопрос. С
какими особенностями графиков возрастающих (убывающих) функций относительно
разбиения области определения мы познакомились?
Ответ.
Мы познакомились с графиками функций, которые:
ü возрастают
или убывают на всей области определения,
ü когда
область определения делится на два промежутка, в одном из которых функция
возрастает, а в другом убывает,
ü когда
область определения делится на два промежутка, на каждом из которых функция
возрастает (убывает).
Возникают вопросы, существуют ли функции, у которых
область определения разбивается на разное количество промежутков, и на всех
этих промежутках функция ведет себя по–разному, может ли функция ни
возрастать и ни убывать на всей области определения. Ответить на них поможет
график кусочной функции (рис. 9).
Вопрос.
На какие промежутки разбит график функции?
Ответ. (–∞;–2),
[–2;0), [0;2), [2;+∞)
Вопрос.
Как ведет себя функция на этих промежутках, она
возрастает или убывает?
Ответ. На
(–∞;–2) функция не возрастает и не убывает, она постоянна,
на [–2;0) функция убывает,
на [0;2) функция возрастает,
на
[2;+∞) функция не возрастает и не убывает, она постоянна,
Вопрос.
До сих пор при выявлении свойств возрастания или убывания функции мы
пользовались только признаками «подниматься в горку» и «спускаться с горки».
Однако математики не очень жалуют способ исследования свойств функции с
помощью рассуждений «движение в горку», «движение с горки». Они считают, что
определения понятий не должны опираться на рисунок, – чертеж должен лишь
иллюстрировать то или иное свойство функции на ее графике. Попробуйте дать
строгие определения понятий возрастания и убывания функции.
Определение.
Функцию y=f(x)
называют возрастающей на промежутке Х, если из неравенства х1<x2,
где х1 и x2
– любые две точки промежутка Х, следует
неравенство f(x1)<f(x2)
(рис.10).
Определение.
Функцию y=f(x)
называют убывающей на промежутке Х, если из неравенства х1<x2,
где х1 и x2
– любые две точки промежутка Х, следует
неравенство f(x1)>f(x2)
(рис.11).
На
практике удобнее пользоваться следующими формулировками.
Функция возрастает,
если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Например,
большему дереву соответствует большая крона (рис. 12).
Функция убывает,
если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Например,
большей глубине соответствует меньшая освещенность (рис. 13).
Обычно
термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим
названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание
или убывание называют исследованием функции на монотонность.
Отметим
еще одно обстоятельство: если функция возрастает в своей естественной области
определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (убывающая) – без
указания числового промежутка Х.
Согласно
введенным определениям составим алгоритм, по которому мы сможем выяснить
характер монотонности функции.
Алгоритм определения монотонности
функции на промежутке Х.
1.
Выбрать любые две точки х1 и
х2 из промежутка Х.
2.
Сравнить х1и х2.
3.
Вычислить значение f(x1)
и f(x2).
4.
Составить разность f(x1)
– f(x2).
5.
Сравнить разность (f(x1)
– f(x2))
с нулем.
6.
Если х1< х2 и
разность (f(x1)–f(x2))>0
, то функция возрастает на промежутке Х,
если разность (f(x1)–f(x2))<0,
то функция убывает на промежутке Х,
если
разность (f(x1)–f(x2))=0,
то функция ни убывает и ни возрастает на промежутке Х.
Формирование практических умений
1.
Функция –
возрастающая на области определения.
Доказать это.
Доказательство.
Выражение имеет смысл лишь при х>
0. Поэтому D(f) = [0; +∞), значит мы будем рассматривать заданную
функцию на промежутке Х=[0; +∞).
1.
Выберем произвольные х1 и х2
принадлежащие промежутку Х.
2.
Пусть х2>х1>
0.
3.
При х1 функция примет значение f (х1)=, прих2 функция примет
значение f (х2)=.
4.
Рассмотрим разность f(х2)–f(х1)
и преобразуем ее: .Числитель
и
знаменатель дроби – положительные числа. Это следует
из того, что .
5. Значит, при х2>х1
выполняется f(х2) – f(х1)>
0, а это значит, что выполняются все условия в определении возрастающей
функции и по определению функция –
возрастающая на области определения. Ч.т.д.
2.
Функция –
убывающая на области определения.
Доказать это.
Доказательство.
Выражение имеет смысл при любом значении х.
Поэтому D(f)=(–∞; +∞), значит, мы будем
рассматривать заданную функцию на промежутке Х=(–∞; +∞).
1. Выберем произвольные х1 и х2
принадлежащие промежутку Х.
2. Пусть х2> х1>
0.
3. При х1 функция примет значение
f (х1)=5–2х1 , при х2 функция примет
значение f (х2)= 5–2х2
4. Рассмотрим разность (f(х2) –
f(х1)) и преобразуем ее:
f(х2) – f(х1)= 5–2х2–5+2х1=2(х1
– х2).
Разность (х1 – х2) –
отрицательное число. Это следует из того, что х2>х1>0.
5. Значит, при х2>х1
выполняется f(х2) – f(х1)<0, а это значит, что
выполняются все условия в определении убывающей функции и по определению
функция убывающая
на области определения. Ч.т.д.
3. Сравнить
и .
Решение.
Введем функцию у=2х. Она возрастает,
значит для любых двух чисел х1 и х2 таких, что х1<x2
выполняется f(x1)<f(x2).
Тогда, возвращаясь к условию задачи, так как 2010<2011, то и < по
определению возрастающей функции.
Ответ.
<
4.
Решить уравнение
Легко видеть, что х =1 – корень уравнения.
Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Действительно, область
определения функции множество
положительных чисел. На этом множестве функция возрастает, так как каждая из
функций , ,
на промежутке(0; +∞) возрастает.
Следовательно, данное уравнение других корней, кроме х=1, не имеет.
Ответ.
1.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.