ОТВЕТЫ ЧАСТИ В.

Вариант	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10	В11	В12	В13	В14	В15
1	9	8	72	15900	3	0,93	-5	69	0,125	3	3	0,2	128	190	-4
2	21	9	5	440	-8	0,36	1,5	114	-7	96	1	62,5	12	300	4
3	1855	202	20	10100	42	0,14	1	4	20	8	3	25	4	240	1
4	12	90	0,5	1	32	0,93	-12	4	-3	40	2	30	8	10	4
5	9	20	70000	16470	6	0,995	0,5	4,8	-1,25	56	2	5000	12	18	-8
6	12	112	-2	1092	10	0,25	4	2	-2	45	2	15	3,75	13	-2
7	8	400	3	1072,5	40	0,2	12,5	-1	4	288	-0,7	5000	4	120	23
8	11	12190,85	23	22440	88	0,25	0,4	69	-0,5	2	3	4	3	5	-2
9	140	4290	284	3010	44	0,9409	9	45	3	2	22	2	18	9	9
10	43	96,3	11800	600	162	0,125	16	60	3	96	7	1250	24	17	0
11	7	30	12	318	14	0,46	4	15	4	3	0	30	607,5	88	4
12	8	11	5	-46	16	0,11	3	36	3	3,5	2	0,4	0,9025	10	4
13	128	23	14	720	0,5	0,25	4,875	30	5	3	-4	5	36	80	0
14	40	16	3	3160	-2	0,4	-15	36	6	9	12,5	7,6	4,5	800	1
15	29	24	2	75	24	0,512	-33	12	-7	2025	2	15	3	25	0

 

Вариант	С1	С2	С3	С4
1,  6, 11	А) Б)
2,  7,  12	А) Б)
3,  8,  13	А) Б)	4,8		6 или 7,5
4,  9,  14	А) Б)
5,  10,  15	А) Б)

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 1.

 

Часть 1.

В1. В доме, в ко­то­ром живет Петя, один подъ­езд. На каж­дом этаже на­хо­дит­ся по 6 квар­тир. Петя живет в квар­ти­ре № 50. На каком этаже живет Петя??

 

В2. Од­но­го ру­ло­на обоев хва­та­ет для оклей­ки по­ло­сы от пола до по­тол­ка ши­ри­ной 1,6 м. Сколь­ко ру­ло­нов обоев нужно ку­пить для оклей­ки пря­мо­уголь­ной ком­на­ты раз­ме­ра­ми 2,3 м на 4,1 м?

 

В3. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту, на оси ор­ди­нат — кру­тя­щий мо­мент в Н  м. Ско­рость ав­то­мо­би­ля (в км/ч) при­бли­жен­но вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой v = 0,036n, где n — число обо­ро­тов дви­га­те­ля в ми­ну­ту. С какой наи­мень­шей ско­ро­стью дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы кру­тя­щий мо­мент был не мень­ше 120 Н  м? Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час.

В4.  При стро­и­тель­стве сель­ско­го дома можно ис­поль­зо­вать один из двух типов фун­да­мен­та: ка­мен­ный или бе­тон­ный. Для ка­мен­но­го фун­да­мен­та не­об­хо­ди­мо 9 тонн при­род­но­го камня и 13 меш­ков це­мен­та. Для бе­тон­но­го фун­да­мен­та не­об­хо­ди­мо 7 тонн щебня и 50 меш­ков це­мен­та. Тонна камня стоит 1450 руб­лей, ще­бень стоит 700 руб­лей за тонну, а мешок це­мен­та стоит 220 руб­лей. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить ма­те­ри­ал для фун­да­мен­та, если вы­брать наи­бо­лее де­ше­вый ва­ри­ант?

В5. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.                                                  

В6  Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 100 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся во­семь сумок со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

В7. Ре­ши­те урав­не­ние .

 

В8. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 12 и 27, ост­рый угол равен 60⁰. Най­ди­те ее пе­ри­метр.

 

В9. Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те .

 

В10.  Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.                                     

 

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

В12 Для под­дер­жа­ния на­ве­са пла­ни­ру­ет­ся ис­поль­зо­вать ци­лин­дри­че­скую ко­лон­ну. Дав­ле­ние  (в пас­ка­лях), ока­зы­ва­е­мое на­ве­сом и ко­лон­ной на опору, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле , где  кг – общая масса на­ве­са и ко­лон­ны,  – диа­метр ко­лон­ны (в мет­рах). Счи­тая уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния  м/с², а , опре­де­ли­те наи­мень­ший воз­мож­ный диа­метр ко­лон­ны, если дав­ле­ние, ока­зы­ва­е­мое на опору, не долж­но быть боль­ше

400 000 Па. Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

 

В13. Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .                                        

В14. Ви­но­град со­дер­жит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма?

В15. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке [1;7] .

 

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании прямой призмы  лежит прямоугольный треугольник с катетами СА=9 и СВ=12. Точка К – середина ребра . Найдите угол, который образует прямая СК с гранью , если известно, что расстояние между прямыми ВС и  равно 32.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

 

С4. В равнобедренном треугольнике АВС на прямой ВС отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                                 Март 2014

Вариант 2.

 

Часть 1.

В1. В об­ще­жи­тии ин­сти­ту­та в каж­дой ком­на­те можно по­се­лить че­ты­рех че­ло­век. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ком­нат не­об­хо­ди­мо для по­се­ле­ния 83 ино­го­род­них сту­ден­тов?

В2. Од­но­го ру­ло­на обоев хва­та­ет для оклей­ки по­ло­сы от пола до по­тол­ка ши­ри­ной 1,7 м. Сколь­ко ру­ло­нов обоев нужно ку­пить для оклей­ки пря­мо­уголь­ной ком­на­ты раз­ме­ра­ми 2,5 м на 4,4 м?

В3. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки меди в 10 стра­нах мира (в ты­ся­чах тонн) за 2006 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке меди за­ни­ма­ли США, де­ся­тое место — Ка­зах­стан. Какое место за­ни­ма­ла Ин­до­не­зия?

В4.  Для того, чтобы свя­зать сви­тер, хо­зяй­ке нужно 800 грам­мов шер­сти крас­но­го цвета. Можно ку­пить крас­ную пряжу по цене 80 руб­лей за 100 г, а можно ку­пить не­окра­шен­ную пряжу по цене 50 руб­лей за 100 г и окра­сить ее. Один па­ке­тик крас­ки стоит 20 руб­лей и рас­счи­тан на окрас­ку 400 г пряжи. Какой ва­ри­ант по­куп­ки де­шев­ле? В ответ на­пи­ши­те, сколь­ко руб­лей будет сто­ить эта по­куп­ка.

В5. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки, сим­мет­рич­ной точке A(6; 8) от­но­си­тель­но оси Ox.

В6  В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 4 спортс­ме­на из Фин­лян­дии, 7 спортс­ме­нов из Дании, 9 спортс­ме­нов из Шве­ции и 5 — из Нор­ве­гии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Шве­ции.

В7. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: .

В8. Угол ACO  равен24⁰ . Его сто­ро­на CA ка­са­ет­ся окруж­но­сти. Най­ди­те гра­дус­ную ве­ли­чи­ну боль­шей дуги AD окруж­но­сти, за­клю­чен­ной внут­ри этого угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x) , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-8;4) . В какой точке от­рез­ка [-7;-3]  f(x)  при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

В10.   Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).  

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния.

В12 При тем­пе­ра­ту­ре 0⁰ C  рельс имеет длину l₀=10  м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где   — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния,   — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 7,5 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

В13. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

В14. По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям друг нав­стре­чу другу сле­ду­ют ско­рый и пас­са­жир­ский по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна 700 мет­рам. Най­ди­те длину ско­ро­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он про­шел мимо пас­са­жир­ско­го по­ез­да, равно 36 се­кун­дам. Ответ дайте в мет­рах.

В15. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  .

 

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании прямой призмы лежит прямоугольник  со сторонами АВ=16, ВС=12. Расстояние между прямыми АС и  равно 9. Найдите угол между плоскостью  и прямой .

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ=8, СВ=6. На гипотенузе АС отмечена точка К так, что треугольник АВК – равнобедренный. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВК.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                                    Март 2014

Вариант 3.

 

Часть 1.

В1. Вы­пуск­ни­ки 11а по­ку­па­ют бу­ке­ты цве­тов для по­след­не­го звон­ка: из 3 роз каж­до­му учи­те­лю и из 7 роз класс­но­му ру­ко­во­ди­те­лю и ди­рек­то­ру. Они со­би­ра­ют­ся по­да­рить бу­ке­ты 15 учи­те­лям (вклю­чая ди­рек­то­ра и класс­но­го ру­ко­во­ди­те­ля), розы по­ку­па­ют­ся по опто­вой цене 35 руб­лей за штуку. Сколь­ко руб­лей стоят все розы?

В2. На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и залил в бак 28 лит­ров бен­зи­на по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить у кас­си­ра?

В3. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Мин­ске за каж­дый месяц 2003 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в 2003 году. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

В4.  При стро­и­тель­стве сель­ско­го дома можно ис­поль­зо­вать один из двух типов фун­да­мен­та: ка­мен­ный или бе­тон­ный. Для ка­мен­но­го фун­да­мен­та не­об­хо­ди­мо 9 тонн при­род­но­го камня и 13 меш­ков це­мен­та. Для бе­тон­но­го фун­да­мен­та не­об­хо­ди­мо 7 тонн щебня и 50 меш­ков це­мен­та. Тонна камня стоит 1450 руб­лей, ще­бень стоит 700 руб­лей за тонну, а мешок це­мен­та стоит 220 руб­лей. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить ма­те­ри­ал для фун­да­мен­та, если вы­брать наи­бо­лее де­ше­вый ва­ри­ант?

В5 Пло­щадь круга равна . Най­ди­те длину его окруж­но­сти.

В6  В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 8 очков. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

В7. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: . 

В8.  В тре­уголь­ни­ке АВС АС=ВС=8  , sin A=0,5. Най­ди­те вы­со­ту CH. 

В9. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну   (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.

В10.  Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 24. Най­ди­те его объем.                                 

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

В12. При тем­пе­ра­ту­ре 0⁰ C  рельс имеет длину l₀=10  м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где   — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния,   — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 3 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

В13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD  точка O  — центр ос­но­ва­ния, S  вер­ши­на, SC=5, AC=6. Най­ди­те длину от­рез­ка SO .

 

В14.  Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми A  и B  равно 435 км. Из го­ро­да A  в город B  со ско­ро­стью 60 км/ч вы­ехал пер­вый ав­то­мо­биль, а через час после этого нав­стре­чу ему из го­ро­да B  вы­ехал со ско­ро­стью 65 км/ч вто­рой ав­то­мо­биль. На каком рас­сто­я­нии от го­ро­да A  ав­то­мо­би­ли встре­тят­ся? Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

В15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке [3;10] .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В правильной пирамиде РАВСD точка К середина бокового ребра РС. Найдите расстояние от вершины Р пирамиды до плоскости ВDК, если известно, что сторона основания пирамиды равна, а высота пирамиды равна 8.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. В равнобедренный треугольник с основанием 24 и боковой стороной 20 вписана окружность. Найдите длину отрезка, заключенного между двумя сторонами треугольника, параллельного третьей стороне и касающегося окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                                    Март 2014

Вариант 4.

 

Часть 1.

В1. Теп­ло­ход рас­счи­тан на 750 пас­са­жи­ров и 25 чле­нов ко­ман­ды. Каж­дая спа­са­тель­ная шлюп­ка может вме­стить 70 че­ло­век. Какое наи­мень­шее число шлю­пок долж­но быть на теп­ло­хо­де, чтобы в слу­чае не­об­хо­ди­мо­сти в них можно было раз­ме­стить всех пас­са­жи­ров и всех чле­нов ко­ман­ды?

В2. В сен­тяб­ре 1 кг ви­но­гра­да стоил 60 руб­лей, в ок­тяб­ре ви­но­град по­до­ро­жал на 25%, а в но­яб­ре еще на 20%. Сколь­ко руб­лей стоил 1 кг ви­но­гра­да после по­до­ро­жа­ния в но­яб­ре?

В3. Мощ­ность ото­пи­те­ля в ав­то­мо­би­ле ре­гу­ли­ру­ет­ся до­пол­ни­тель­ным со­про­тив­ле­ни­ем, ко­то­рое можно ме­нять, по­во­ра­чи­вая ру­ко­ят­ку в са­ло­не ма­ши­ны. При этом ме­ня­ет­ся сила тока в элек­три­че­ской цепи элек­тро­дви­га­те­ля – чем мень­ше со­про­тив­ле­ние, тем боль­ше сила тока и тем быст­рее вра­ща­ет­ся мотор ото­пи­те­ля. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость силы тока от ве­ли­чи­ны со­про­тив­ле­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся со­про­тив­ле­ние (в омах), на оси ор­ди­нат – сила тока в ам­пе­рах. Ток в цепи элек­тро­дви­га­те­ля умень­шил­ся с 8 до 6 ампер. На сколь­ко омов при этом уве­ли­чи­лось со­про­тив­ле­ние цепи?

В4 Рей­тин­го­вое агент­ство опре­де­ля­ет рей­тинг со­от­но­ше­ния «цена-ка­че­ство» мик­ро­вол­но­вых печей. Рей­тинг вы­чис­ля­ет­ся на ос­но­ве сред­ней цены P и оце­нок функ­ци­о­наль­но­сти F , ка­че­ства Q  и ди­зай­на D . Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся экс­пер­та­ми по 5-балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от 0 до 4. Ито­го­вый рей­тинг вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

                                           

В таб­ли­це даны оцен­ки каж­до­го по­ка­за­те­ля для не­сколь­ких мо­де­лей печей. Опре­де­ли­те, какая мо­дель имеет наи­выс­ший рей­тинг. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние этого рей­тин­га. 

 

В5  В тре­уголь­ни­ке ABC CD   – ме­ди­а­на, угол C  равен 90°, угол B равен 58⁰ . Най­ди­те угол ACD. Ответ дайте в гра­ду­сах.  

В6  Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 100 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся во­семь сумок со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

В7.  Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

В8.  Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са .

В9.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x) . Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку y=f(x)  па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней.

В10.  Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

В12. Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неё про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку, (в Нм) опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой , где  – сила тока в рамке,  Тл – зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля,  м – раз­мер рамки,   – число вит­ков про­во­да в рамке,   – ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла   (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент M был не мень­ше 0,75 Нм?

В13. Куб впи­сан в шар ра­ди­у­са  . Най­ди­те объем куба.

В14.  Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 2 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объ­е­мом 99 лит­ров?

В15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании правильной четырёхугольной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной . На ребре РВ, равном 25, взята точка М так, что РМ : МВ = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями АРС и АМС.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. В треугольнике АВС АВ=8, ВС=7. Точка А₁ симметрична точке А относительно прямой ВС. Найдите площадь треугольника АА₁С, если известно, что площадь треугольника АВС равна .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                                    Март 2014

Вариант 5.

 

Часть 1.

В1. Каж­дый день во время кон­фе­рен­ции рас­хо­ду­ет­ся 70 па­ке­ти­ков чая. Кон­фе­рен­ция длит­ся 6 дней. Чай про­да­ет­ся в пач­ках по 50 па­ке­ти­ков. Сколь­ко пачек нужно ку­пить на все дни кон­фе­рен­ции?

В2. Тет­радь стоит 40 руб­лей. Какое наи­боль­шее число таких тет­ра­дей можно будет ку­пить на 750 руб­лей после по­ни­же­ния цены на 10%?

В3. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти в те­че­ние каж­до­го часа 8 де­каб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся номер часа, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный час. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме раз­ность наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства по­се­ти­те­лей за час в дан­ный день.

В4. При стро­и­тель­стве сель­ско­го дома можно ис­поль­зо­вать один из двух типов фун­да­мен­та: ка­мен­ный или бе­тон­ный. Для ка­мен­но­го фун­да­мен­та не­об­хо­ди­мо 9 тонн при­род­но­го камня и 9 меш­ков це­мен­та. Для бе­тон­но­го фун­да­мен­та не­об­хо­ди­мо 7 тонн щебня и 50 меш­ков це­мен­та. Тонна камня стоит 1 600 руб­лей, ще­бень стоит 780 руб­лей за тонну, а мешок це­мен­та стоит 230 руб­лей. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить ма­те­ри­ал для фун­да­мен­та, если вы­брать наи­бо­лее де­ше­вый ва­ри­ант?

 В5.  Две сто­ро­ны изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке пря­мо­уголь­ни­ка  ABCD равны 6 и 8. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O . Най­ди­те длину суммы век­то­ров  и .

В6   В сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 5 под­те­ка­ют. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля насос не под­те­ка­ет.

В7.   Ре­ши­те урав­не­ние  . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

В8.  В тре­уголь­ни­ке ABC  угол C  равен 90°, синус внеш­не­го угла при вер­ши­не A равен , AB=5. Най­ди­те AC .

 

В9. На рисунке изображены график дифференцируемой функции у=f(x) и касательная к нему в точке . Найдите значение производной функции y=f(x) в точке

 

В10.  Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен . Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

 

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

 

В12. Ско­рость ав­то­мо­би­ля, раз­го­ня­ю­ще­го­ся с места стар­та по пря­мо­ли­ней­но­му от­рез­ку пути дли­ной км с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем  км/ч ², вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Опре­де­ли­те наи­мень­шее уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав один ки­ло­метр, при­об­ре­сти ско­рость не менее 100 км/ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/ч².

 

В13. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­то­рой равна 24, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

 

В14.  Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 210 тонн, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но за де­вя­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 14 дней.

В15. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке [1;9] .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды РABCDEF равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите угол между прямой РА и плоскостью РВD.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. Дана трапеция ABCD с боковым ребром АВ=27, CD=28 и основанием ВС=5. Известно, что . Найдите диагональ АС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 6.

 

Часть 1.

В1. Шо­ко­лад­ка стоит 40 руб­лей. В вос­кре­се­нье в су­пер­мар­ке­те дей­ству­ет спе­ци­аль­ное пред­ло­же­ние: за­пла­тив за две шо­ко­лад­ки, по­ку­па­тель по­лу­ча­ет три (одну в по­да­рок). Сколь­ко шо­ко­ла­док можно по­лу­чить на 320 руб­лей в вос­кре­се­нье?

В2. В школе 800 уче­ни­ков, из них 30% — уче­ни­ки на­чаль­ной школы. Среди уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы 20% изу­ча­ют не­мец­кий язык. Сколь­ко уче­ни­ков в школе изу­ча­ют не­мец­кий язык, если в на­чаль­ной школе не­мец­кий язык не изу­ча­ет­ся?

В3.
На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1999 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

В4 Семья из трех че­ло­век едет из Санкт-Пе­тер­бур­га в Во­лог­ду. Можно ехать по­ез­дом, а можно — на своей ма­ши­не. Билет на поезд на од­но­го че­ло­ве­ка стоит 660 руб­лей. Ав­то­мо­биль рас­хо­ду­ет 8 лит­ров бен­зи­на на 100 ки­ло­мет­ров пути, рас­сто­я­ние по шоссе равно 700 км, а цена бен­зи­на равна 19,5 руб­лей за литр. Сколь­ко руб­лей при­дет­ся за­пла­тить за наи­бо­лее де­ше­вую по­езд­ку на троих? 

В5   Диа­го­на­ли ромба ABCD  равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра  .

В6.   В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

 Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: 

В8.  В тре­уголь­ни­ке ABC  угол C  равен 90°, ко­си­нус внеш­не­го угла при вер­ши­не A равен  , AC=0,5 . Най­ди­те BC .

В9.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−9; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 3].

В10.  В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка L — се­ре­ди­на ребра AC, S — вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 6, а SL = 5. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

В12. Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом  к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ле­та­ет мячик, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле   (м), где   м/с – на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а   – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те   м/с). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) мячик пе­ре­ле­тит реку ши­ри­ной 20 м?

В13. Най­ди­те объем  части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

В14.  Заказ на 156 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

В15. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке  [1;4].

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании прямой призмы  лежит прямоугольный треугольник с катетами СА=9 и СВ=12. Точка К – середина ребра . Найдите угол, который образует прямая СК с гранью , если известно, что расстояние между прямыми ВС и  равно 32.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

 

С4. В равнобедренном треугольнике АВС на прямой ВС отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 7.

 

Часть 1.

В1 Для при­го­тов­ле­ния ма­ри­на­да для огур­цов на 1 литр воды тре­бу­ет­ся 12 г ли­мон­ной кис­ло­ты. Ли­мон­ная кис­ло­та про­да­ет­ся в па­ке­ти­ках по 10 г. Какое наи­мень­шее число пачек нужно ку­пить хо­зяй­ке для при­го­тов­ле­ния 6 лит­ров ма­ри­на­да?

В2. При­зе­ра­ми го­род­ской олим­пи­а­ды по ма­те­ма­ти­ке стало 48 уче­ни­ков, что со­ста­ви­ло 12% от числа участ­ни­ков. Сколь­ко че­ло­век участ­во­ва­ло в олим­пиа­де?

В3. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Том­ске с 8 по 24 ян­ва­ря 2005 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней вы­па­да­ло более 2 мил­ли­мет­ров осад­ков.

В4 Ме­бель­ный салон за­клю­ча­ет до­го­во­ры с про­из­во­ди­те­ля­ми ме­бе­ли. В до­го­во­рах ука­зы­ва­ет­ся, какой про­цент от суммы, вы­ру­чен­ной за про­да­жу ме­бе­ли, по­сту­па­ет в доход ме­бель­но­го са­ло­на.

В прейс­ку­ран­те при­ве­де­ны цены на че­ты­ре крес­ла-ка­чал­ки. Опре­де­ли­те, про­да­жа ка­ко­го крес­ла-ка­чал­ки наи­бо­лее вы­год­на для са­ло­на. В ответ за­пи­ши­те, сколь­ко руб­лей по­сту­пит в доход са­ло­на от про­да­жи этого крес­ла-ка­чал­ки.

В5   Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра .

                             

В6.   В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 55 би­ле­тов, в 11 из них встре­ча­ет­ся во­прос по бо­та­ни­ке. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по бо­та­ни­ке.

В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния  .

В8 В тре­уголь­ни­ке ABC угол C  равен 90°, угол A  равен 30⁰ . Най­ди­те тан­генс угла BAD . В от­ве­те ука­жи­те .

В9.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

В10.  Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, вы­со­та приз­мы равна 10. Най­ди­те пло­щадь ее по­верх­но­сти.

 

Часть 2.

В11. Най­ди­те  , если .

В12. Ско­рость ав­то­мо­би­ля, раз­го­ня­ю­ще­го­ся с места стар­та по пря­мо­ли­ней­но­му от­рез­ку пути дли­ной км с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем   км/ч ², вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  . Опре­де­ли­те наи­мень­шее уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав один ки­ло­метр, при­об­ре­сти ско­рость не менее 100 км/ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/ч².

В13.  Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и 4. Ее объем равен 16. Най­ди­те вы­со­ту этой пи­ра­ми­ды.

В14.  Из пунк­та A кру­го­вой трас­сы вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, а через 10 минут сле­дом за ним от­пра­вил­ся мо­то­цик­лист. Через 2 ми­ну­ты после от­прав­ле­ния он до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста в пер­вый раз, а еще через 3 ми­ну­ты после этого до­гнал его во вто­рой раз. Най­ди­те ско­рость мо­то­цик­ли­ста, если длина трас­сы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

В15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке    [-2;2] .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании прямой призмы лежит прямоугольник  со сторонами АВ=16, ВС=12. Расстояние между прямыми АС и  равно 9. Найдите угол между плоскостью  и прямой .

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ=8, СВ=6. На гипотенузе АС отмечена точка К так, что треугольник АВК – равнобедренный. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВК.

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 8.

 

Часть 1.

В1 Для ремонта квартиры требуется 63 рулона обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

В2. Си­сте­ма на­ви­га­ции, встро­ен­ная в спин­ку са­мо­лет­но­го крес­ла, ин­фор­ми­ру­ет пас­са­жи­ра о том, что полет про­хо­дит на вы­со­те 39970 футов. Вы­ра­зи­те вы­со­ту по­ле­та в мет­рах. Счи­тай­те, что 1 фут равен 30,5 см.

 

В3. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По  горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).

В4 В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.

Салон	Цена телефона  (руб.)	Первоначальный взнос  (в % от цены)	Срок кредита  (мес.)	Сумма ежемесячного  платежа(руб.)
Эпсилон	20000	15	12	1620
Дельта	21000	10	6	3400
Омикрон	19000	20	12	1560

Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом переплаты). В ответ запишите эту сумму в рублях.

В5.  На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 33?

В6.   Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 1, но не дойдя до отметки 4 часа.

 

В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

 

В8 В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол С равен 103⁰, угол CAD равен 4⁰, найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

В9.  Прямая   параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.

В10.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна  , а диаметр основания равен 1. Найдите высоту цилиндра.

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

В12. По за­ко­ну Ома для пол­ной цепи сила тока, из­ме­ря­е­мая в ам­пе­рах, равна  , где  – ЭДС ис­точ­ни­ка (в воль­тах),   Ом – его внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние,   – со­про­тив­ле­ние цепи (в Омах). При каком наи­мень­шем со­про­тив­ле­нии цепи сила тока будет со­став­лять не более  от силы тока ко­рот­ко­го за­мы­ка­ния ? (Ответ вы­ра­зи­те в Омах.)

В13. Най­ди­те вы­со­ту пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 2, а объем равен  .

В14.  Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 200 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде равна 15 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 10 часов, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 40 часов после от­плы­тия из него. Ответ дайте в км/ч.

В15. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции  .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В правильной пирамиде РАВСD точка К середина бокового ребра РС. Найдите расстояние от вершины Р пирамиды до плоскости ВDК, если известно, что сторона основания пирамиды равна, а высота пирамиды равна 8.

С3. Решите систему неравенств:

                             

 

С4. В равнобедренный треугольник с основанием 24 и боковой стороной 20 вписана окружность. Найдите длину отрезка, заключенного между двумя сторонами треугольника, параллельного третьей стороне и касающегося окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 9.

 

Часть 1.

В1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 24 рубля, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 460 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

В2. В ма­га­зи­не «Сде­лай сам» вся ме­бель продаётся в разо­бран­ном виде. По­ку­па­тель может за­ка­зать сбор­ку ме­бе­ли на дому, сто­и­мость ко­то­рой со­став­ля­ет 10% от сто­и­мо­сти куп­лен­ной ме­бе­ли. Шкаф стоит 3900 руб­лей. Во сколь­ко руб­лей обойдётся по­куп­ка этого шкафа вме­сте со сбор­кой?

 

В3. На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 11 по 27 июля 2000 года. По  горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену золота на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за унцию).

В4 Для группы иностранных гостей требуется купить 10 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Условия покупки и доставки даны в таблице.

Интернет-  магазин	Цена одного  путеводителя (руб.)	Стоимость  доставки (руб.)	Дополнительные условия
А	283	200	Нет
Б	271	300	Доставка бесплатно, если  сумма заказа превышает 3000 руб.
В	302	250	Доставка бесплатно, если  сумма заказа превышает 2500 руб.

Определите, в каком из магазинов общая сумма покупки с учётом доставки будет наименьшей. В ответ запишите наименьшую сумму в рублях.

В5   Площадь параллелограмма   равна 176. Точка  – середина стороны . Найдите площадь треугольника .

В6    Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

В8 Ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равны 12 и 4. Ее пло­щадь равна 64. Най­ди­те ост­рый угол этой тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В9.  На рисунке изображен график функции  y=f(x), определенной на интервале (-1;12) . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

В10.  Площадь боковой поверхности цилиндра равна  , а высота равна 1. Найдите диаметр основания.

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  если, .

В12. На верфи ин­же­не­ры про­ек­ти­ру­ют новый ап­па­рат для по­гру­же­ния на не­боль­шие глу­би­ны. Кон­струк­ция имеет ку­би­че­скую форму, а зна­чит, дей­ству­ю­щая на ап­па­рат вы­тал­ки­ва­ю­щая (ар­хи­ме­до­ва) сила, вы­ра­жа­е­мая в нью­то­нах, будет опре­де­лять­ся по фор­му­ле:  , где   – длина ребра куба в мет­рах,   кг/м³ – плот­ность воды, а   – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те   Н/кг). Какой может быть мак­си­маль­ная длина ребра куба, чтобы обес­пе­чить его экс­плу­а­та­цию в усло­ви­ях, когда вы­тал­ки­ва­ю­щая сила при по­гру­же­нии будет не боль­ше, чем 78400 Н? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

В13. Най­ди­те объем приз­мы, в ос­но­ва­ни­ях ко­то­рой лежат пра­виль­ные ше­сти­уголь­ни­ки со сто­ро­на­ми 2, а бо­ко­вые ребра равны   и на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30.

В14.  Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 3 часа 36 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 6 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

В15. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании правильной четырёхугольной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной . На ребре РВ, равном 25, взята точка М так, что РМ : МВ = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями АРС и АМС.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. В треугольнике АВС АВ=8, ВС=7. Точка А₁ симметрична точке А относительно прямой ВС. Найдите площадь треугольника АА₁С, если известно, что площадь треугольника АВС равна .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 10.

 

Часть 1.

В1 По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 рублей. Если на счету осталось меньше 16 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 700 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

В2. В квар­ти­ре, где про­жи­ва­ет Дмит­рий, уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). 1 ап­ре­ля счётчик по­ка­зы­вал рас­ход 121 куб.м воды, а 1 мая — 130 куб.м. Какую сумму дол­жен за­пла­тить Дмит­рий за хо­лод­ную воду за ап­рель, если цена 1 куб.м хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 10 руб. 70 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

 На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и по­про­сил за­лить бен­зин до пол­но­го бака. Цена бен­зи­на 28 руб. 70 коп. Сдачи кли­ент по­лу­чил 139 руб. Сколь­ко лит­ров бен­зи­на было за­ли­то в бак?

В3. На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 10 по 26 ноября 2008 года. По  горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену никеля на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).

В4 Керамическая плитка одной и той же торговой марки выпускается трёх разных размеров. Плитки упакованы в пачки. Пользуясь данными таблицы, определите, в каком случае цена одного квадратного метра плитки будет наименьшей.

В ответ запишите найденную наименьшую цену квадратного метра в рублях.

В5.  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 81. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

В6.   На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

В8.  Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 10 и 20, бо­ко­вая сто­ро­на, рав­ная 8, об­ра­зу­ет с одним из ос­но­ва­ний тра­пе­ции угол 150⁰ . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

В9. На рисунке изображен график функции  и отмечены точки -1, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

В10.  Диаметр основания конуса равен 56, а длина образующей — 100 . Найдите высоту конуса.

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

В12. Рас­сто­я­ние (в км) от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на не­боль­шой вы­со­те h м над землёй, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  , где   км — ра­ди­ус Земли. На какой наи­мень­шей вы­со­те сле­ду­ет рас­по­ла­гать­ся на­блю­да­те­лю, чтобы он видел го­ри­зонт на рас­сто­я­нии не менее 4 ки­ло­мет­ров? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

 В13. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

 

В14.  Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15–про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19–про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

В15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке [-3;3] .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды РABCDEF равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите уголмежду прямой РА и плоскостью РВD.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. Дана трапеция ABCD с боковым ребром АВ=27, CD=28 и основанием ВС=5. Известно, что . Найдите диагональ АС.

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 11.

 

Часть 1.

В1. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки счётчиков Александр платил за воду (холодную и горячую) ежемесячно 800 рублей. После установки счётчиков оказалось, что в среднем за месяц он расходует воды на 300 рублей при тех же тарифах на воду. За какое наименьшее количество месяцев при тех же тарифах на воду установка счётчиков окупится?

В2 На ав­то­за­прав­ке кли­ент отдал кас­си­ру 1000 руб­лей и по­про­сил за­лить бен­зин до пол­но­го бака. Цена бен­зи­на 28 руб. 70 коп. Сдачи кли­ент по­лу­чил 139 руб. Сколь­ко лит­ров бен­зи­на было за­ли­то в бак?

В3. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат – масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три минуты?

В4. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх городах России (по данным на начало 2010 года).

 

 

Наименование продукта	Петрозаводск	Белгород	Новосибирск
Пшеничный хлеб (батон)	13	11	15
Молоко (1 литр)	26	23	25
Картофель (1 кг)	14	10	17
Сыр (1 кг)	230	205	255
Мясо (говядина, 1 кг)	280	240	300
Подсолнечное масло (1 литр)	38	44	50

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов: 3 л молока, 1 кг сыра, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

В5.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В6.  В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные  — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

В8 Най­ди­те впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу, ко­то­рая со­став­ля­ет  окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В9.  На рисунке изображён график функции y=f(x)  и десять точек на оси абсцисс:  x₁,x₂,…,. В скольких из этих точек производная функции  y=f(x) отрицательна?

В10.  Длина окружности основания цилиндра равна 4. Площадь боковой поверхности равна 12. Найдите высоту цилиндра.

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

В12. Для обо­гре­ва по­ме­ще­ния, тем­пе­ра­ту­ра в ко­то­ром равна  , через ра­ди­а­тор отоп­ле­ния, про­пус­ка­ют го­ря­чую воду тем­пе­ра­ту­рой  . Рас­ход про­хо­дя­щей через трубу воды   кг/с. Про­хо­дя по трубе рас­сто­я­ние (м), вода охла­жда­ет­ся до тем­пе­ра­ту­ры  , причём   (м), где   – теплоёмкость воды,   – ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­об­ме­на, а   – по­сто­ян­ная. До какой тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цель­сия) охла­дит­ся вода, если длина трубы 84 м?

В13. Най­ди­те объем V  части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

 

В14. Первую треть трас­сы ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 60 км/ч, вто­рую треть – со ско­ро­стью 120 км/ч, а по­след­нюю – со ско­ро­стью 110 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В15. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании прямой призмы  лежит прямоугольный треугольник с катетами СА=9 и СВ=12. Точка К – середина ребра . Найдите угол, который образует прямая СК с гранью , если известно, что расстояние между прямыми ВС и  равно 32.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

 

С4. В равнобедренном треугольнике АВС на прямой ВС отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 12.

 

Часть 1.

В1. Для ремонта квартиры требуется 59 рулонов обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 8 рулонов?

В2. Ма­га­зин за­ку­па­ет цве­точ­ные горш­ки по опто­вой цене 100 руб­лей за штуку и про­да­ет с на­цен­кой 15%. Какое наи­боль­шее число таких горш­ков можно ку­пить в этом ма­га­зи­не на 1300 руб­лей?

В3. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Индонезия?

В4. Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения «цена-качество» электрических фенов для волос. Рейтинг вычисляется на основе средней цены , а также оценок функциональности , качества  и дизайна , которые эксперты оценивают целыми числами от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей фенов. Определите, какая модель имеет наименьший рейтинг. В ответ запишите значение этого рейтинга.

 

Модель фена	Средняя цена	Функциональность	Качество	Дизайн
А	1200	1	3	1
Б	3200	2	3	4
В	5500	3	0	0
Г	5700	3	2	3

 

В5.   Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В6. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

В8 Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.

В9.  На рисунке изображены график дифференцируемой функции у=f(x) и касательная к нему в точке . Найдите значение производной функции y=f(x) в точке

В10.  Объём прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 343. Найдите радиус сферы.

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

В12. Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг R но­вост­ных из­да­ний на ос­но­ве по­ка­за­те­лей ин­фор­ма­тив­но­сти In, опе­ра­тив­но­сти Op  и объ­ек­тив­но­сти  Tr   пуб­ли­ка­ций. Каж­дый по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся це­лы­ми чис­ла­ми от

 -2 до 2.

            Ана­ли­тик, со­став­ля­ю­щий фор­му­лу, счи­та­ет, что объ­ек­тив­ность пуб­ли­ка­ций це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность. В ре­зуль­та­те, фор­му­ла при­мет вид

Каким долж­но быть число , чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все по­ка­за­те­ли наи­боль­шие, по­лу­чи­ло рей­тинг 30?

 

В13. Се­ре­ди­на ребра куба со сто­ро­ной 1,9 яв­ля­ет­ся цен­тром шара ра­ди­у­са 0,95. Най­ди­те пло­щадь S части по­верх­но­сти шара, ле­жа­щей внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те .

В14На из­го­тов­ле­ние 99 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 2 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 110 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

В15. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании прямой призмы лежит прямоугольник  со сторонами АВ=16, ВС=12. Расстояние между прямыми АС и  равно 9. Найдите угол между плоскостью  и прямой .

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ=8, СВ=6. На гипотенузе АС отмечена точка К так, что треугольник АВК – равнобедренный. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВК.

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 13.

 

Часть 1.

В1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 23 рубль, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 470 рублей. За полгода выходит 26  номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

В2. Опто­вая цена учеб­ни­ка 140 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 15% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 3800 руб­лей?

В3. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 миллиметров осадков.

В4. Керамическая плитка одной и той же торговой марки выпускается трёх разных размеров. Плитки упакованы в пачки. Пользуясь данными таблицы, определите, в каком случае цена одного квадратного метра плитки будет наименьшей.

В ответ запишите найденную наименьшую цену квадратного метра в рублях.

В5.   Найдите тангенс угла АОВ.

В6.   В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

В8 Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.

В9.  На рисунке изображен график   — производной функции  . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой   или совпадает с ней.

В10.  Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Часть 2.

В11.  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

В12. К ис­точ­ни­ку с ЭДС   В и внут­рен­ним со­про­тив­ле­ни­ем   Ом, хотят под­клю­чить на­груз­ку с со­про­тив­ле­ни­ем  Ом. На­пря­же­ние на этой на­груз­ке, вы­ра­жа­е­мое в воль­тах, задаётся фор­му­лой  . При каком наи­мень­шем зна­че­нии со­про­тив­ле­ния на­груз­ки на­пря­же­ние на ней будет не менее 50 В? Ответ вы­ра­зи­те в Омах.

В13.  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен , а вы­со­та равна 2.

В14. Из пунк­та A кру­го­вой трас­сы вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, а через 30 минут сле­дом за ним от­пра­вил­ся мо­то­цик­лист. Через 10 минут после от­прав­ле­ния он до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста в пер­вый раз, а еще через 30 минут после этого до­гнал его во вто­рой раз. Най­ди­те ско­рость мо­то­цик­ли­ста, если длина трас­сы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

В15. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В правильной пирамиде РАВСD точка К середина бокового ребра РС. Найдите расстояние от вершины Р пирамиды до плоскости ВDК, если известно, что сторона основания пирамиды равна, а высота пирамиды равна 8.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. В равнобедренный треугольник с основанием 24 и боковой стороной 20 вписана окружность. Найдите длину отрезка, заключенного между двумя сторонами треугольника, параллельного третьей стороне и касающегося окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 14.

 

Часть 1.

В1. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 64 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

В2. Тет­радь стоит 20 руб­лей. Какое наи­боль­шее число таких тет­ра­дей можно будет ку­пить на 250 руб­лей после по­ни­же­ния цены на 25%?

В3. На рисунке изображен график осадков в г. Калининграде с 4 по 10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — осадки в мм. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков.

В4. Для группы иностранных гостей требуется купить 10 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Условия покупки и доставки даны в таблице.

Интернет- магазин	Цена одного  путеводителя (руб.)	Стоимость  доставки (руб.)	Дополнительные условия
А	294	250	Нет
Б	316	300	Доставка бесплатно, если  сумма заказа превышает 3000 р.
В	318	200	Доставка бесплатно, если  сумма заказа превышает 2500 р.

Определите, в каком из магазинов общая сумма покупки с учётом доставки будет наименьшей. В ответ запишите наименьшую сумму в рублях.

В5.   Найдите тангенс угла АОВ .

В6.  В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 – из США, 17 – из Мексики, остальные – из Канады. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.    

 В7.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

В8. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30. Боковая сторона треугольника равна 12. Найдите площадь этого треугольника. 

В9.  На рисунке изображен график   — производной функции , определенной на интервале  (-16;2). Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

В10.  Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

 

Часть 2.

В11.  Най­ди­те  , если .

В12. Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объём и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем  , где   (атм.) — дав­ле­ние в газе,   — объём газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объём газа равен 243,2 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объёма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

В13. Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, об­ра­зу­ю­щая равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

В14.  Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 80 км/ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 36 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

В15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке [0;4].

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  В основании правильной четырёхугольной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной . На ребре РВ, равном 25, взята точка М так, что РМ : МВ = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями АРС и АМС.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. В треугольнике АВС АВ=8, ВС=7. Точка А₁ симметрична точке А относительно прямой ВС. Найдите площадь треугольника АА₁С, если известно, что площадь треугольника АВС равна .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воркута                                                                                                                                Март 2014

Вариант 15.

 

Часть 1.

В1.  По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 24 рубля. Если на счету осталось меньше 24 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 700 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

В2. Фут­бол­ка сто­и­ла 900 руб­лей. После сни­же­ния цены она стала сто­ить 684 рубля. На сколь­ко про­цен­тов была сни­же­на цена на фут­бол­ку?

В3. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.

В4 Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги R новостных сайтов на основе показателей информативности  In, оперативности Op и объективности Tr публикаций, которые эксперты оценивают целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

.

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до целого числа.

Сайт	Информативность	Оперативность	Объективность
VoKak.ru	2	-1	0
NashiNovosti.com	-2	1	-1
Bezvrak.ru	2	2	0
Zhizni.net	-1	-1	-2

В5.   В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

В6.   В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2440 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до тысячных.

В7.  Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

В8 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

В9. На рисунке изображен график   — производной функции , определенной на интервале  (-8;4). В какой точке отрезка  [-7;-3] функция   принимает наименьшее значение.

В10.  Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 45 раз?

Часть 2.

В11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при .

В12 Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом  к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ле­та­ет мячик, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле   (м), где   м/с – на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а   – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те   м/с). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) мячик пе­ре­ле­тит реку ши­ри­ной 20 м?

В13. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль.

В14.   Пер­вый ве­ло­си­пе­дист вы­ехал из по­сел­ка по шоссе со ско­ро­стью 15 км/ч. Через час после него со ско­ро­стью 10 км/ч из того же по­сел­ка в том же на­прав­ле­нии вы­ехал вто­рой ве­ло­си­пе­дист, а еще через час после этого – тре­тий. Най­ди­те ско­рость тре­тье­го ве­ло­си­пе­ди­ста, если сна­ча­ла он до­гнал вто­ро­го, а через 2 часа 20 минут после этого до­гнал пер­во­го. Ответ дайте в км/ч.

В15. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

 

С1.  а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды РABCDEF равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите угол между прямой РА и плоскостью РВD.

С3. Решите систему неравенств:

                            

 

С4. Дана трапеция ABCD с боковым ребром АВ=27, CD=28 и основанием ВС=5. Известно, что . Найдите диагональ АС.