Метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств. II республиканская научно-практическая конференция школьников «От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»

II республиканская научно-практическая конференция школьников

«От школьного проекта к формированию  интеллектуальной элиты РТ»

Секция:   Математика. Информатика. Физика.

 «Метод мажорант и его применение

    при решении уравнений и неравенств »

Автор: Садыкова Гульназ Рафисовна

Ученица  10  класса

 МБОУ «Кирбинская  средняя

 общеобразовательная школа»

Лаишевского муниципального района

Республики Татарстан 

 Научный руководитель: учитель математики

                                                                                                                         Габдрахманова ФМ.

Содержание:

  Введение …………………………………………………………………….2

 Основная часть

 1. Определение мажоранты функции…………………………………….. 4

 2. Метод мажорант…………………………………………………………. 7

 3. Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант…….. 8

 Заключение…………………………………………………………………15

Список использованной литературы……………………………………...16

Введение

                                « Учимся не для школы, а для жизни»

 (Сенека).

       Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках, которые проявляются в  обобщении, конкретизации, анализе, синтезе. Для реализации этих задач математического образования большую роль играют нестандартные задачи, при решении которых развивается творческое и логическое мышление, формируются способности нестандартно мыслить, проявляется самостоятельность, умение применять способы решения задачи в практической деятельности, использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач.

     Решение уравнений и неравенств  - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения, поэтому я решила взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения  повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.

В данном исследовании, во-первых, я узнала совершенно новый для себя способ решения уравнений-метод мажоранта, который встречается в ЕГЭ и мало изучается в школе. Во-вторых, научилась применять его непосредственно при решении уравнений и неравенств. Для этого я изучила и проанализировала материал по данной теме, на конкретных примерах училась применять метод мажоранта при решении уравнений и неравенств.

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства. Применение метода оценок будет успешным, если знать, как находить экстремумы элементарных функций, область значений, исследовать функцию с помощью производной, а также знать  некоторые «полезные» неравенства.

    Актуальность этой работы определяется успешным применением метода мажоранта в решении олимпиадных задач и заданий части С ЕГЭ, вступительных заданий в ВУЗы. Также работая над проектом я расширила свой кругозор и базу математических знаний.

Объект исследования: уравнения и неравенства в математике.

Цель  исследования:

ü  показать  практически универсальный алгоритм решения многих задач методом мажорант, заинтересовать читателя решением нестандартных задач, стимулировать самостоятельный поиск и создание собственных задач подобного типа.

Гипотеза: решение уравнений и неравенств методом  мажорант.

Для подтверждения выдвинутой гипотезы были поставлены

          следующие задачи  исследования:

ü  сформировать навыки использования нетрадиционных методов решения уравнений и неравенств;

ü   развивать умения самостоятельно приобретать и применять знания;

ü   сформировать  устойчивый интерес к предмету для дальнейшей самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ и к конкурсным экзаменам в вузы

ü  пополнить библиотеку методических пособий в школьном кабинете математики.

Базой моих исследований являются книги и журналы: 1. 3000 конкурсных задач по математике./ Сост. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.; под ред. проф. Н.А. Бобылева. –М.: Айрис Рольф; 1997. 2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука; 1987. 3. Ткачук В.В. «Математика абитуриенту», Москва: МЦНМО, 2008. 4. Электронный научный журнал «Информационно-коммуникационные  технологии в педагогическом  образовании»

При работе над проектом применялись следующие методы:

1) теоретические: изучение и анализ источников информации по методу мажоранта; моделирование приемов использования метода мажоранта в решениях уравнений и неравенств.

2) эмпирические: исследование различных случаев решения уравнений и неравенств.

 Работа «Метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств» имеет практическое значение. Оно заключается в следующем: метод мажорант при решении уравнений и неравенств нам поможет при подготовке к ЕГЭ и к вступительным экзаменам в ВУЗы, получить более высокий конечный результат.

Оборудование – мультимедийный проектор

             Определение мажоранты функции

 Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Работа посвящена одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методу, основанному на свойстве ограниченности функций, который называется метод «мажорант».

      Определение. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р (или множества А чисел) называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ  Р (соответственно, х ≤ М для всех х из А, или х ≥ М для всех х из А).

Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» — объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции. Приведем примеры функций, мажоранты которых  знаем.

Пример 1.  f(x)= sin x.

-1 ≤ sin x ≤ 1.

 М = –1, М =1

Пример 2.  f(x)= cos x

-1 ≤ cos x  ≤ 1.

 М = –1, М.= 1

Пример 3.  f(x)= ах² + bx + с, (m, n) – координаты вершины параболы.   n = f(m). Мажоранта квадратичной функции  - ордината вершины. М = n.

М = (4ас–b²) / 4а.

Пример 4.  f(x)= |x|

По определению |x| ≥ 0

М= 0

Пример 5.  у =

М=0

Мажоранты некоторых функции можно найти, используя следующие полезные  неравенства:

1.      , при а > 0  и , при а < 0, причем равенство достигается, только при  

2.       , , причем равенство достигается при a = b .

 

3.                               

В более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту функции, нужно провести исследование функции с помощью производной, чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение на заданном промежутке.

Метод мажорант

    Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:

Теорема №1.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена  на этом множестве тем же числом А, но снизу.

Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе:

Теорема №2.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:

Теорема №3.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)= А равносильно системе уравнений (при условии, что Аи В:

В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.

Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант

 

Пример 1. Решить уравнение

Решение

    Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию, графиком которой будет являться парабола, ветви параболы направлены вверх.

    Найдём координаты вершины данной параболы. Координаты вершины (5;8).

Тогда область значений этой квадратичной функции           , причём значение 8 она принимает только один раз при х=5.

     В левой части уравнения находится функция                 . Область значение её [-8,8]. Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только  8.

 

 Данное уравнение равносильно системе:

    Второе уравнение  системы имеет единственный корень  5 , но при выполнении проверки первого уравнения, получаем  неверное равенство                        , из чего делаем вывод, что система, а значит, и исходное уравнение, не имеет решений.

                                                                                                       Ответ:  решений нет.

 Пример 2.  

Решить уравнение х²+1 = 2^-Х²

^{Решение.}

1)      Решим данный пример с помощью теоремы.

                        

х²+1=1

1/2^Х²=1

Ответ: х=0

Пример 3.

С3     Решить неравенство:

Решение 1.

Преобразуем неравенство:

Найдем, при каких значениях х левая часть неравенства имеет смысл:

       

Получаем: -3<x<-2 или -2<x<3.

Значит,  при всех допустимых значениях х. Поэтому

           

Сделаем замену:  . Получаем:

               

Таким образом, , откуда   

Корни уравнения: -6 и -1. Условию -3<x<-2  или -2<x<3 удовлетворяет только х = -1.

Ответ:{-1}.

Пример 4. Решить уравнение

Решение

Поскольку дискриминант каждого квадратного трёхчлена, стоящего под знаком арифметического квадратного корня, отрицателен, то при любых значениях переменной  Х они принимают только положительные значения (коэффициент при  Х²  положителен)

        

Сумма неотрицательного числа (х-2)²  и числа  1 не меньше 1, а сумма неотрицательного числа и числа 5 не меньше 5.    Тогда

Причём знак равенства можно будет ставить, только в случае, если Х=2, в остальных случаях сумма дробей в левой части уравнения окажется меньше  числа 7/5, а нам этого не нужно. Математики говорят, что дробь  7/5 является мажорантой для функции

f(x)=    

Ответ: 2.

Пример 5.

Решить уравнение  .

Решение

Значения первого арифметического квадратного корня         больше или равны 1, причём равно 1, только в случае, если верно равенство .             Аналогично, значения второго арифметического квадратного корня не меньше 5 (больше или равны 5).

Следовательно, согласно методу мажорант,  левая часть уравнения имеет минимум, равный 6, а правая часть представляет собой постоянную функцию со значением 6.

Но чтобы значения функций совпали, надо проверить, имеет ли решение система:

      х-2у+1=0,

      3х-у-2=0.   

  Единственное решение этой системы (1;1)        

    Ответ: (1;1)

    На первый взгляд, следующее неравенство,  сложно уже хотя бы тем, что оно с двумя переменными. Но метод мажорант и здесь выручит.

Пример 6.

С3   Решите систему неравенств:

Решение.

1.  Неравенство  запишем в виде:  Относительно новой переменной  неравенство имеет вид:  откуда получаем:   

Значит,   

1.  Второе неравенство системы определено при   то есть при x<-1 и  x>2.

При допустимых значениях переменной получаем:

 

    

С учетом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:

1.  Сравним  и  Так как, , то .

Следовательно,

Решение системы неравенств:

Ответ:

Пример 7.

С5     Найдите все значения а, при каждом из которых система:

 имеет единственное решение.

Решение.

Пусть система имеет решение (х;у). Если , то система имеет второе решение (-х;у). Значит, решение может быть единственным, только при х=0.

Подставим х=0 в первое уравнение: у=а-2. Пара (0;а-2) должна удовлетворять второму уравнению:

откуда а=0 или а=4.

Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение.

Первый случай: а=0. Система принимает вид:

Графиком функции  является угол, который имеет с окружностью  три общие точки (см. рисунок). Значит, при а=0 система имеет три решения.

Второй случай: а=4. Система принимает вид:              

Из первого уравнения следует, что при , y>2, а из второго уравнения при  получаем, что |y|<2. Следовательно, при  система решений не имеет. Значит, при а=4 есть только одно решение х=0, у=2.

Ответ: а=4.

Пример 8. Решить уравнение.

ОДЗ: x>0, y>0.

 

    Тогда , как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит  и , а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений:

 

Ответ: .

Пример 9. Решить уравнение

    Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4.

    Оценим правую часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию , график функции парабола, ветви параболы направлены вниз, вершина: x₀=2 y₀=16.

Значит y≤16, следовательно:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

      Ответ: х=2

Пример 10.

  При каких значениях параметра а система имеет единственное решение.

 х² + 2ах + 4а² -5а + 3 ≤ 4sin y – 3 cos y,

0 ≤ y ≤ 2π

1) Рассмотрим квадратичную функцию

f(х) = х² + 2ах + 4а² -5а + 3, которая достигает своего наименьшего значения при х = - а

М = а² - 2а² + 4а² -5а + 3= 3а² -5а + 3.

2) Чтобы оценить правую часть неравенства, используем неравенство

 

4sin y – 3 cos y ≤ √ 4² + 3²  =5.

3) Для того, чтобы исходная система имела единственное решение, надо чтобы 3а² -5а + 3=5.

3а² - 5а - 2= 0,

а = 1/3, а = 2.               Ответ: а = 1/3, а = 2.

Как мы видите, уравнения решаются довольно несложно, главное в подобных задачах - увидеть наличие мажоранты.

Признаки присутствия мажоранты в задаче

·                     Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов.

·                     Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты.

Для нахождения мажоранты необходимы:

·                     Здравый смысл и нестандартный взгляд на вещи;

·                     Знание свойств функций;

·                     Умение исследовать функции на максимум, минимум, области значений и прочие характеристики;

·                     Умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;

·                     При применении данного метода используется определение ограниченных функций.

Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство .

Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство .

Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

·                     Знать некоторые нестандартные неравенства.
      

Значит, для того чтобы найти мажоранту нужно выполнить одно или несколько действий:

      а) найти  D(f) функции;

      б) найти  E(f) функции;

      в) исследовать функцию на экстремум;

     г) если функция определена на отрезке, найти наибольшее и наименьшее       значения;

      д) применить известные опорные неравенства.

                                                                 Заключение

     Многие известные нам функции имеют мажоранты: тригонометрические функции, квадратичная функция, некоторые дробно-рациональные функции. Если мажоранта функции не задана явно, мы можем найти ее, исследуя функцию с помощью производной, или применяя некоторые «полезные» свойства, неравенства. Чтобы найти мажоранту функции нужно найти ее наибольшее или наименьшее значение на промежутке. Умение оценивать левую и правую части, входящих в уравнения и неравенства, позволяет успешно решать нестандартные задачи и задачи повышенной сложности.

    Во время написания исследовательской работы я научилась пользоваться  дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений.

    Итак, я считаю, что цели, которые  поставила перед собой при выполнении  работы, достигнуты,  а именно:

ü   в  работе я дала определение мажоранты, привела примеры функций, имеющих мажоранту;

ü   изучила метод мажорант и привела примеры его применения при решении олимпиадных задач и задач из части С ЕГЭ;

    Я считаю, что  исследование имеет практическую пользу, так как предложенный в исследовании метод можно использовать при подготовке к олимпиадам и к сдаче Единого Государственного Экзамена.

Список использованной литературы:

1. 3000 конкурсных задач по математике./ Сост. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.; под ред. проф. Н.А. Бобылева. –М.: Айрис Рольф; 1997.

2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука; 1987.

 3. Ткачук В.В. «Математика абитуриенту», Москва: МЦНМО, 2008.

 4. Электронный научный журнал «Информационно-коммуникационные  технологии     в педагогическом  образовании»