Методическая разработка "Определители второго и третьего порядков"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ

КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ХАБАРОВСКИЙ АВТОДОРОЖНЫЙ ТЕХНИКУМ

(КГБ ПОУ ХАДТ)

Методическая разработка

по дисциплине «Математика»

«Определители второго и третьего порядков. Способы решения систем линейных уравнений»

Хабаровск

2016

ББК 22.1я722

О 54

Разработчик: Преподаватель КГБ ПОУ «Хабаровский автодорожный

техникум» – Гребенёва Татьяна Викторовна.

Гребенёва Т.В.

ББК 22.1я722

О 54

В методической разработке изложен материал, который включает в себя основные определения и правила, которые должны знать студенты 1 курса всех специальностей, при решении заданий на указанную тему. А так же предложены задания для самопроверки.

ББК 22.1я722

О 54

© Гребенёва Т.В. 2016

© Хабаровский автодорожный

техникум, 2016

РЕЦЕНЗИЯ

на методическую разработку по дисциплине «Математика»

«Определители второго и третьего порядков. Способы решения систем линейных уравнений»,

разработанную преподавателем

КГБ ПОУ «Хабаровский автодорожный техникум» Гребенёва Т.В.

На рецензию представлена методическая разработка по дисциплине «Математика», составленная в соответствии с общими требованиями предъявляемым к данным видам учебно-методической документации. Методическая разработка содержит: титульный лист; ББК; рецензию; введение, в котором описано, что включает данная работа; понятийный аппарат; описание способов решения с примерами; список литературы.

В целом, данная методическая разработка может быть использована в учебном процессе, как учебное пособие по дисциплине «Математика» среди студентов первого курса, с целью обеспечения усвоения новых знаний, и их закрепления. Пособие можно использовать как материал для более углубленного изучения темы.

Рецензент: Преподаватель дисциплины «Биология», Хабаровского автодорожного техникума: А.В. Гончарова_______________________

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе представлена методическая разработка по дисциплине «Математика» – «Определители второго и третьего порядков. Способы решения систем линейных уравнений»; предназначенная для студентов первого курса, очной и заочной формы обучения, всех специальностей, так как содержит базовый материал по теме.

Данное пособие может быть использовано на практическом занятии, в качестве опорного конспекта, а так же для самостоятельного изучения темы.

Данная работа позволяет обобщать изученный материал и применять, полученные умения и навыки.

1. Матрицы. Определитель матрицы.

   1. Основные понятия

Определение 1.1 Квадратной таблицей размера n на m называется матрица, которая состоит из n- столбцов и m- строк.

Для квадратных матриц можно ввести понятие определителя.

Определение 2.1 Определителем матрицы первого порядка является само число.

= = .

Пусть дана квадратная таблица второго порядка:

А=

Запись элемента – означает, что он стоит в первой строке, в первом столбце, соответственно – означает, что элемент стоит во второй строке, в первом столбце.

Элементы составляют главную диагональ матрицы, а элементы составляют побочную диагональ.

Определение 3.1 Определителем второго порядка, называется число - и записывается в виде:

А = = - .

Другими словами , определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Пример 1.1 Вычислить определитель второго порядка :

= 2*(-4) -5*(-3) = -8+15=7.

1. 2. Свойства определителей второго порядка

1 Определитель не измениться, если в нем строки заменить на столбцы, а столбцы на строки.

= ;

2 Если в определители переставить местами строки, то определитель изменит только свой знак.

= - ;

3 Если в строке элементы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

= α;

Следствие 1. Определитель , у которого элементы одной строки соотвественно равны элементам другой строки, равен 0.

Пример 1.2

= 1*2 – 2*1 = 0.

Следствие 2. Если в определителе элементы одной строки соответсвенно пропорционаьны элементам другой строки, то определитель равен 0.

Пример 1.3

= 2*12 – 4*6 = 24 - 24 = 0

Следствие 3. Если к строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число, то определитель не изменится.

Пример 1.4

= 2*1 – 4*3 = -10

=(умножим 2-строку на число 3и прибавим ко второй) = = = 11*1 – 7*3 = 11 – 21 = -10

Пусть дана квадратная таблица третьего порядка,

А =

Определение 4.1 Определителем третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число

* + *+ * - * - * - *.

Определитель третьего порядка записывается так:

А = = * + *+ * - * - * - *.

1. 3. Способы вычисления определителей третьего порядка:

1 способ: Правило Сарруса (Правило треугольников)

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали и элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которой параллельны главной диагонали. Три отрицательных члена есть произведения элементов побочной диагонали и элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.

Проиллюстрируем на схеме:

-

Пример 1.5

В = = 2*1*(-2) + 3*(-1)*6 + 5*(-4)*3 – (- 4)*1*(-1) – 3*5*(-2) – 2*6*3 = -4 -18-60-4+30-36 = - 92.

2 способ: Разложение по элементам первой строки

А = = * - * + *.

Пример 1.6

В = = 2* - 3* + (-4)* = 2*(-2-18) – 3*(-10+6) – 4*(15+1)= - 92.

Важно: Свойства определителей третьего порядка аналогичны свойствам определителей второго порядка (смотри выше).

2. Методы решение систем линейных уравнений.

   1. Теорема Крамера.

Теорема. Система n- уравнений с n- неизвестными, определитель которой отличен от ноля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Пусть дана система из n-линейных уравнений с n- неизвестными

Из коэффициентов при неизвестных составим расширенную матрицу системы , а из свободных членов –матрицу -столбец В:

А=det A= , В= .

Определитель матрицы А обозначим и назовем его определителем системы:

= .

Пусть 0. Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при , на столбец свободных членов, то получим n определителей.

= ; = ; … = .

Тогда формулы Крамера для решения системы n-линейных уравнений с n-неизвестными запишутся так:

= ; = ; …= .

Рассмотрим два случая при условии, что системы равен 0:

Пример 2.1

Из коэффициентов при неизвестных составим расширенную матрицу системы , а из свободных членов –матрицу –столбец:

А = ; В=

Находим определитель матрицы A (способом 1 или способом 2):

A= = -20;

Находим определители матрицы, заменяя столбцы определителя на столбец свободных членов и находим:

= = -100; = =-60; = =-40

Далее, по формулам Крамера находим неизвестные:

х = = 5; y= ; z= = 2.

Ответ: (5;3;2).

2.2. Метод Гаусса или Метод последовательного исключения переменных.

Метод заключается в том, что на месте элементов, стоящих на «ступенях» мы должны получить нули, путем элементарных преобразований.

Рассмотрим пример системы, состоящей из трех линейных уравнений:

Записываем расширенную матрицу системы:

, на месте элементов, стоящих под «ступенями» необходимо получить нули.

Удобнее преобразовывать, если в первой строке на месте где стоит элемент «3», стояла бы строка, у которой первый элемент единица. Поменяем местами строки первую с третьей (решение системы не изменится по свойствам определителей).

(1)(2)(3)(4)

(5).

1. Первая строка остается неизменной, умножаем «мысленно»первую строку на (-2), затем прибавляем ко второй строке поэлементно;

2. Умножаем первую строку на (-3) и прибавляем к третьей;

3. Элементы второй строчки делим на (-5), элементы третьей строчки делим на (-2);

4. К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на (-2);

5. Элементы третьей строки делим на 3.Далее, по полученным элементам матрицы, составим эквивалентную систему линейных уравнений:

Теперь находим неизвестные «снизу вверх»: т.к. , подставим во 2 уравнение: y – 4 = 1 y = 5, затем подставляем в 1 уравнение:

х= 3.

Ответ: х=3, y=5; z=4. Или в виде тройки чисел (3;5;4).

Примечание: Все способы и преобразования, изложенные в материале, рассмотрены на примерах систем, состоящих из трех линейных уравнений, применимы к матрицам с n- стоками и n- столбцами.

Задания для самопроверки:

Вычислить определитель 2 порядка

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

1. Вычислить определитель 3 порядка

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. ;

                     2. ;

                     3. ;

                     4. ;

3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

4. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса

2. Список литературы

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М. Наука, 1974,

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: Москва, - 1974,

3. Лисичкин В.Т. Математика. – М.: Высш. Школа, – 1991,

4. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – М.: Академия, – 2006 г.,

5. Тихомиров С.Р. Сборник задач по линейной алгебре, I-III, СПб. СПбГТУ, 1995.