Методическая разработка по математики на тему "Методика изучения площади четырехугольников"

Методика изучения площади четырехугольников

Введение

В школьном курсе геометрии тема «площади четырехугольников» является весьма актуальной, так как является фундаментом при изучении других разделов.

Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т.д.). [8]

Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.

С VII века до н.э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями, выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида «Начала».

«Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень многих математических исследований, в результате которых возникли новые самостоятельные разделы математики.

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования методика изучения площади четырехугольников в курсе планиметрии 8-9 классов.

Методы: теоретический анализ методической литературы, практическая апробация урочных и неурочных авторских разработок.

Цели работы:

1. разработать теоретические карты по теме исследования;

2. выделить методические особенности изучения темы «Площади четырехугольников в курсе планиметрии 8-9 классов»;

3. разработать систему упражнений по данной теме.

§1. Теоретические карты с доказательством.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), последовательно соединяющие вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой и содержит любую из его сторон. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360⁰:

Не существует четырехугольника, у которого все углы острые или все углы тупые. Каждый угол четырехугольника всегда меньше суммы трех остальных углов:

Каждая сторона четырехугольника всегда меньше суммы трех остальных сторон: a b+c+d, b a+c+d, c a+b+d, d a+b+c.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

d₁ = d₂

a и b смежные стороны

S = ab

d – диагональ,

– любой из четырех углов между диагоналями

S = d²

R – радиус описанной окружности,

– любой из четырех углов между диагоналями

S = R² ,

d =2R.

Параллелограмм

а- сторона,

h – высота опущенная на сторону а

S = a h_а= b h_b

a и b смежные стороны,

–угол между ними

S = ab

d₁ и d₂ – диагонали,

– любой из четырех углов между диагоналями

S = d₁ d₂ ,

+ = 2(a²+b²)

Квадрат

а – сторона квадрата

S = a²

d – диагональ квадрата

S = d²

R- радиус описанной окружности

S = R ²,

d =2R.

r-радиус вписанной окружности

S = 4r².

Ромб

а- сторона ,

h- высота опущенная на эту сторону

S = a h_.

а – сторона

– любой из четырех углов

S = а² .

d₁ и d₂ – диагонали,

S = d₁ d_2.

а – сторона

r-радиус вписанной окружности

S =2 a r, h= 2r.

r-радиус вписанной окружности

– любой из четырех углов

S =

Трапеция

а и b- основания

h- высота

S = (а + b) h

d₁ и d₂ – диагонали,

– любой из четырех углов

S = d₁ d₂

m – средняя линия

h – высота

S = m h

а и b – основания,

c и d – боковые стороны

S=

Замечательное свойство трапеции.

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Дельтоид

a и b – неравные стороны,

– угол между ними

S = ab

a и b – неравные стороны,

– угол между сторонами, равными а,

– угол между сторонами, равными b.

S = а²+²

a и b – неравные стороны,

r-радиус вписанной окружности

S = (a+ b )r

a и b – неравные стороны,

d₁ и d₂ – диагонали,

S = d₁ d₂

Произвольный выпуклый четырёхугольник

d₁ и d₂ – диагонали,

– любой из четырех углов

S = d₁ d₂

а , b, c, d –длины сторон четырехугольника,

p – полупериметр,

«Формула Брахмагупты»

- формула Герона.

S=

p = (a+b+c+d)

a , b , c , d – длины сторон,

р – полупериметр,

α и β – противолежащие углы четырёхугольника.

Вывод формул для площадей четырехугольников.

Утверждение 1. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними. [1].

a и b смежные стороны,

–угол между ними

S = ab

Доказательство:

h_а = b

отсюда справедлива формула

S = a h_а = ab

Что и требовалось доказать .

Утверждение 2. Площадь параллелограмма равна половине произведения двух его диагоналей на синус угла между ними.

d₁ и d₂ – диагонали,

– любой из четырех углов между диагоналями

S = d₁ d₂

Доказательство:

S_ABCD= S_AOB+ S_BOC+ S_COD+ S_AOD=

= AO∙OD+OD∙OC+CO∙OB∙+AO∙OB=

= (AO∙OD+ OD∙OC+ CO∙OB+ AO∙OB)=

= (OB(AO+OC)+OD(CO+AO))= ((OB+OD)∙(AO+OC))=

= d₁ d₂

Что и требовалось доказать.

Утверждение 3. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей .

d₁ и d₂ – диагонали,

S = d₁ d₂

Доказательство:

S_ABCD= S_ABD+ S_BCD = d₂ + d₂ =

= d₁ d₂+ d₁ d₂ = d₁ d₂ = d₁ d_2.

Что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь ромба можно найти по формуле:

r-радиус вписанной окружности

– любой из четырех углов

S =

Доказательство:

AD = a = , S_ABCD =a∙2r =

Что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. [1].

Доказательство:

BCF = FDE по двум углам и стороне между ними, отсюда BC = DE

S_ABE = h ∙AE = (а + b) h

Что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь трапеции равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

d₁ и d₂ – диагонали,

– любой из четырех углов

S = d₁ d₂

Доказательство:

S_ABCD= S_AOB+ S _BOC+ S_COD+ S_AOD=

= AO∙OD∙+OD∙OC∙+CO∙OB∙+AO∙OB∙=

= (AO∙OD+ OD∙OC+ CO∙OB+ AO∙OB)=

= (OB (AO+OC)+OD(CO+AO))= ((OB+OD)∙(AO+OC))=

= d₁ d₂

Что и требовалось доказать.

Утверждение 7. Площадь трапеции можно найти по формуле:

а и b – основания,

c и d – боковые стороны

S=

Доказательство:

К данному доказательству применим теорему Пифагора, составим системы уравнений с неизвестными x, y, h.

S= .

Что и требовалось доказать.

Утверждение 8. Площадь дельтоида можно найти по формуле:

a и b – неравные стороны,

r-радиус вписанной окружности

S = (a+ b )r

Доказательство:

ABC = BCD (по трем сторонам), отсюда BD- биссектриса углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в точке О лежащей на диагонали BD.

Точка О- центр вписанной окружности в дельтоид.

S_ABCD= S_AOB+ S _BOC+ S_COD+ S_AOD= a r + a r + b r + b r = (a+ b )r

Что и требовалось доказать.

Утверждение 9. Формула Герона для четырехугольника, около которого можно описать окружность. [5]

а , b, c, d –длины сторон четырехугольника,

p – полупериметр,

«Формула Брахмагупты»

S=

p = (a+b+c+d)

Доказательство:

S_ABCD= S_ABC + S_ADC = ab + cd = ab + cd =

= (ab + cd).

Следовательно:

S²= (ab + cd)²= (ab + cd)².

Применим теорему косинусов к треугольнику ACD, получаем:

AC²= a ² + b² - 2 ab = a ² + b² - 2 ab .

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC, получаем:

AC²= c ² + d² - 2 cd = c ² + d² - 2 cd .

Следовательно,

a ² + b² - 2 ab = c ² + d² - 2 cd a ² + b²- c ² - d² =

= 2(ab- cd) ^.

Поэтому,

S²= (ab + cd)² = (ab + cd)²=

= (ab + cd)² =

= =

==

=()=

= ()()()() =

= ()()()× ()= (p)(p)(p)(p) = =(p)(p)(p)(p).

S=

Что и требовалось доказать

Утверждение 9. Площадь одновременно вписанного и описанного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

a , b , c , d – длины сторон,

р – полупериметр,

α и β – противолежащие углы четырёхугольника.

Доказательство.

Пусть в четырёхугольнике ABCD

АВ = а , ВС = b ,CD = c , DA = d ;

ABC = β , ADC= α

Из  в силу теоремы косинусов: AC² =a² + b² -2ab .

Из :  AC² =c² + d² -2cd

Приравнивая правые части этих выражений, получим:

a² + b² -2ab = c² + d² -2cd ,

или a² + b² - c² - d² = 2ab - 2cd . (1)

Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC : ab + cd ,

Откуда 2ab + 2cd (2)

В равенствах (1) и (2) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:

(a² + b² - c² - d²)²+16²=(2ab - 2cd )² + (2ab + 2cd )²

Выполним равносильные преобразования, получим

Что и требовалось доказать.

Теорема имеет ряд следствий.

Следствие 1 . Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:

S=

Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180⁰ , т. е. 180⁰ ; = = 0, поэтому S=.

Следствие 2 . Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:

Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е. , то

=b.

= = =.

Следствие 3 . Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле: [13]

Доказательство. Так как. и в силу следствия 1

S=.

S===.

Универсальная формула.

Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.

Она имеет вид: S = (b₁+4b₂+b₃)

где b₁- длина нижнего основания, b₂- длина среднего основания, b₃- длина верхнего основания, h- высота фигуры.

Применяя формулу, имеем:

Для параллелограмма :

S = (b₁+4b₁+b₁)= b₁h.

Для трапеции:

S = (b₁+4+b₃)=(b₁+b₃)

Для треугольника:

S = (b₁+4+0)=

§ 2. Методика изучения площади четырехугольников.

Впервые с четырехугольниками школьники встречаются в начальной школе. Вводится понятие четырехугольников, а именно прямоугольника и квадрата. В основном изучается периметр и площадь, так как при решении задач на нахождение площади и периметра отрабатывается умение применять операции сложения, вычитания, умножения и деления. А это одно из основных умений, которые должны выработаться в начальной школе.

В 5 и 6 классах школьники также встречаются с четырехугольниками. Как и в начальной школе. К прямоугольнику и квадрату добавляются параллелограмм и трапеция.

Более подробно тема «Четырехугольники» изучается в курсе геометрии в восьмом классе. Рассмотрим, как предлагается изучение данной темы в учебнике геометрии, рекомендованном Министерством образования РФ «Геометрия, 7-9 класс», автор Л.С. Атанасян. [1].

Тема «четырехугольники» изучается в начале восьмого класса. На её изучение отводится целая глава. Первый параграф данной главы посвящен многоугольникам. Дается определение многоугольника (п. 39), а также что называют вершинами и сторонами многоугольника. Говорится, что называется n-угольником. Приводятся примеры фигур, которые являются многоугольниками и тех, которые не являются многоугольниками. Дается определение соседних вершин и диагоналей многоугольника. В конце данного пункта говорит о том, что любой многоугольник разделяет плоскость на две части (внутренняя и внешняя область многоугольника).

Успешность решения задач во многом зависит от организации учебного процесса. Учителю предоставляется возможность свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, проявления творческой инициативы.

Во всех действующих сегодня учебниках осуществляется одинаковый подход во введение частных параллелограммов: прямоугольников, ромбов и квадратов. [2]. Частные виды четырехугольников рассматриваются в соответствии с условной единой методической схемой:

1. Дается определение (через ранее изученный вид четырехугольников);

2. Указываются элементы;

3. Формулируются и доказываются свойства и признаки;

4. Рассматриваются задачи на построение этого четырехугольника.

Виды четырёхугольников:

Параллелограмм. [9].

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны;

Противоположные углы равны;

Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: d₁²+d₂²=2 (a²+b²).

Признаки параллелограмма:

Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны;

Противоположные стороны попарно равны;

Противоположные углы попарно равны;

Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойство середин сторон четырехугольника.

Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырехугольника.

Прямоугольник.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. [1]

Свойства прямоугольника:

Все свойства параллелограмма;

Диагонали равны.

Признаки прямоугольника:

Параллелограмм является прямоугольником, если один из его углов прямой и его диагонали равны.

Ромб.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Все свойства параллелограмма;

Диагонали перпендикулярны;

Диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба.

Параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны, его диагонали перпендикулярны, а одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Все углы квадрата прямые;

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата.

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Трапеция.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией. [9]

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции:

Ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

Если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

Если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции.

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны.

Таким образом, обучение учащихся самостоятельному решению задач требует определенной методики изучения теоретического материала курса, основанной на системном усвоении понятий.

К содержанию задач предъявляются следующие требования:

1. Предлагаемые задачи должны соответствовать ныне действующим общеобразовательным стандартам;

2. Каждая задача должна адекватно отражать содержания рассматриваемых тем;

3. Задачи по теме должны распределяться по принципу «от простых к более сложным»;

4. Содержание задач должно быть направлено на привитие умений и навыков, необходимых при вычислении площади фигур.

Учащимся можно, например, предложить различные чертежи, по которым им предстоит доказать формулу площади трапеции. [7]

S = S =

S₃

S = S₃ – S₁ + S₂ S = S₃ – S₁ - S₂

S =

При проведении уроков по теме «Площадь» вывод общих формул должен закрепляться на частных примерах. Изложение теоретического материала должно быть максимально сокращено, что позволило бы сэкономить время для решения более сложных задач. Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев.

§3. Система упражнений.

Моя задача как педагога - организовать педагогический процесс таким образом, чтобы у учащегося повышался интерес к знаниям, возрастала потребность в более полном и глубоком их усвоении, развивалась самостоятельность в работе. Чтобы в процессе обучения учащиеся не только овладевали установленной системой научных знаний, получали и отрабатывали учебные умения и навыки, но и развивали свои познавательные способности, накапливали опыт творческой деятельности, развивали творческое воображение.

№1

В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36. [10].

Дано: ABCD – трапеция

AB=CD=BC

BH AC, CE BD

S _ABCD = 36

Найти: S _BCEH = ?

Решение.

AC=BD (по свойству равнобедренной трапеции) ABC = BCD .

Так как AB=CD=BC то ABC и BCD равнобедренные, следовательно, BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит,

AH=HC=BE=ED. HE – отрезок соединяющий середина диагоналей трапеции,   HE= , HE AD BC, поэтому BCEH – трапеция.

Проведем НМ – высоту трапеции BCEH и АN – высоту трапеции ABCD. Прямоугольные треугольники АNС и НМС подобны,

НМ= АN ∙ = АN∙ = .

S _ABCD= (AD+ BC)

S _BCEH = (ВС+НЕ)= (ВС+ )= (AD+ BC)= S _ABCD=9.

Ответ: 9.

№ 2.

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD. [10].

Дано: ABCD – параллелограмм,

O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC,

АО = 5, ОН= 4, ОК = 3.

Найти: S _ABCD = ?

Решение. O- центр окружности, вписанной в треугольник ABC, - это точка пересечения биссектрис, поэтому АО, ВО, СО- биссектрисы. Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора найдем АК:

АК = ==4

OM = OL = OK = 3 (радиусы вписанной окружности)

ALO =  AOK (по двум сторонам и углу между ними)

AL = AK = 4.

Аналогично СOМ =  СOK МС = СК, а ВOL =  ВOМ

ВL = ВМ.

Площадь АВС можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

S _ABC = ∙OK= ∙OK=∙3=

=3(4+BM+MC).

S _ABCD = MH∙BC= (MO+OH)(BM+MC)=7(BM+MC).

  ABC =  ADC (по свойству параллелограмма) S_ABC = S_ABCD

3(4+BM+MC)= ∙7(BM+MC) BM+MC=24BC=24

S_ABCD = MH ∙ BC= 24∙7=168.

Ответ: 168.

№ 3

Диагонали AC и BD трапеции ACBD пересекаются в точке O . Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 см² и 9 см² . Найдите площадь трапеции. [10].

Дано: ABCD –трапеция,

S_AOD =16 см²

S_BOC =9 см²

Найти: S_ABCD = ?

Решение.

По условию S_AOD S_BOC, поэтому AD

и BC являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции.

Тогда AOD BOC (по двум углам), а отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия k. k= =

Так как треугольники АВО и СВО имеют общую высоту, проведенную из вершины В, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е.

= = . Значит, = = ∙9 = 12

S_АBD = S_AOD ( т.к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведенные к этому основанию равны как высоты трапеции),

= S_АBD - S_AOD = S_AСD - S_AOD = S_СOD.

Поэтому и S_СOD = 12; S _ABCD = 9+16+12+12=49 см²

Ответ: 49 см².

№ 4

Диагонали равнобочной трапеции взаимно перпендикулярны, а площадь трапеции равна 4. Найдите высоту трапеции. [10].

Дано: ABCD –трапеция,

AC BD

S_ABCD = 4

Найти: КМ

Решение.

По свойству равнобочной трапеции, если диагонали перпендикулярны то высота равна полусумме оснований, значит КМ =

S _ABCD = ∙ КМ = ∙ = = 4

КМ = = 2

Ответ: 2.

№ 5.

Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK. [4]

Дано: ABC - треугольник,

S_ABC =80

AD- биссектриса

BD:CD=1:3

АК=СК

Найти: S_EDCK = ?

Решение.

Пусть АК=СК=3х, тогда AB= 2х, так как = = по свойству биссектрисы.

Значит, = .

Пусть S – площадь треугольника ABC, тогда

S_ACD=∙ S= ∙80=60

S_{AК E}= ∙ S_AВК = ∙∙ S = ∙ ∙ 80= 24

S_EDCK = S_ACD - S_{AК E}= 60 – 24 = 36.

Ответ: 36.

№ 6.

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKB. [5].

Дано: ABCD- параллелограмм

AK = KC

DK = KB

Доказать: S_AКB =

Решение.

Проведём высоту MN так, чтобы она проходила через точку K. AKM = NKC (как вертикальные). Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, AK = KC. AMK = KCN (они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы), а значит равны отрезки MK = KN = .

S_ABCD = AB∙MN

S_AКB = AB∙KM = AB ∙ MN= .

S_AКB = .

№ 7.

Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма. [10].

Дано: ABCD- параллелограмм

AB = 12

АD= 5

tg⁡α =.

Найти: S_ABCD = ?

Решение.

S = ab . Найдем .

В прямоугольном треугольнике тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему.

Имеем: = = .

Таким образом,

h = x∙, AH = 4x, где х – число.

По теореме Пифагора найдем х; ( x∙)²+ (4x)²= 5² х =

= = =

S_ABCD = 5 ∙ 12 ∙ = 20.

Ответ: 20.

№ 8

Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность. [11].

а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как ;

б) Найдите площадь четырехугольника, если a=2, b=8, c=12, d=4.

Решение.

а) Пусть нам дан четырехугольник

ABCD, в нем AB= а, BC = b,

CD=с и AC= d.

Имеем: S_ABCD = S_ABD + S_BCD ;

S_ABCD = ∙ AB∙ AD ∙ + ∙ BС∙ СD∙ , где

α – угол при вершине А.

Тогда S_ABCD= (аd+bc).

Аналогично S_ABCD= (аb+cd), где

– угол при вершине В.

Отсюда, (аd+bc)= (аb+cd).

Для треугольников ABD и ABC, вписанных в одну и ту же окружность по теореме синусов справедливо = 2R,

= 2R, где R- радиус окружности в которую вписан четырехугольник.

Значит, (аd+bc)= (аb+cd) = .

б) Для нахождения площади вписанного четырехугольника (со сторонами a,

b, c, d) воспользуемся формулой Брахмагупты:

S= , где - полупериметр.

= = = 13.

S= = = 3.

Ответ: 3.

№ 9.

В четырехугольнике ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке М, а биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке К. Известно, что АКСМ – параллелограмм. [11].

а) Докажите, что ABCD– параллелограмм.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если ВК =3, AМ = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60⁰.

Решение.

а) согласно условию 1 = 2 и 4 = 5.

Так как АКСМ – параллелограмм, то

BC AD, а также 2 = 4 (соответственные углы при параллельных прямых АК, СМ). 1 = 2 = 4 = 5 =

КС = АМ, АК = СМ, АВК = СDМ (по второму признаку), тогда ВК = DМ.

Итак, АD = ВС и АD ВС (2 = ), значит ABCD – параллелограмм (по признаку параллелограмма ).

б) S = АС∙ВD

АВ = ВК = 3, АD = 5

Из АВО по т. косинусов:

АВ² = АО²+ ВО²- 2 АО∙ВО∙

9= АО²+ ВО² - АО∙ВО. (1)

Из АDО по т. косинусов: АD² = АО²+ ОD²- 2 АО∙ОD∙

25 = АО²+ ОD²+ АО∙ОD (2)

Из второго уравнения вычтем первое , получим:

16 = 2(АО∙ОD) 32 = АС ∙ВD.

S_ABCD = 32 = 32 = 8.

Ответ: 8.

Заключение

Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы. Площади фигур имели огромное значение много веков назад, но не утратили своего значения в современном мире. Понятия площадей используются во многих профессиях. Они применяются в строительстве, проектирование и во многих других видах деятельности человека. Из этого можно сделать вывод ,что без развития геометрии, в частности понятий о площадях, человечество не смогло бы такой большой прорыв в области наук и технике.

Проведенное исследование позволяет сделать вывод. Поставленные цели достигнуты, задачи решены, а именно сформулирован метод рекомендаций по изучению данной темы в 8 - 11 классах. Разработаны теоретические карты, подобрана система упражнений.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. Геометрия 7-9. учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2010. – 384с.

2. Воропаева Р. Н. Методические советы из опыта преподавания// Математика, 2001, №35, 48с.

3. Литвинова С.А., Куликова Л.В. и др. За страницами учебника математики/ С.А. Литвинова, Л.В. Куликова.- Изд. Панорама , 2006.- 112 с.

4. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2013: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.- Ростов- на- Дону: Легион, 2012.- 288 с.

5. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2015: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов- на- Дону: Легион- М, 2014.- 480 с.

6. Методика преподавания математики в основной школе: учебное пособие / Г. Г. Левитас. – Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет», 2009. – 179с.

7. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. – 80с.

8. Рыбников К. А. История математики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994. — 495 с.

9. Корешкова Т.А., Цукерман В.В. Многоугольники и их площади в

школьном курсе математики.// Математика в школе. № 3 2003.Стр. 70-73.

10. http://sdamgia.ru/

11. http://egemaximum.ru/formula-braxmagupty/

12. http://www.bymath.net

13. http://methmath.chat.ru

14. http://www.sogdar.ru/fgos.html