Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по теме "Тригонометрия"

Методическая разработка по теме "Тригонометрия"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:








Методическое пособие


Дисциплина: «Математика»

По разделу: «ТРИГОНОМЕТРИЯ»

Для студента




Разработал преподаватель:

Шелепова И.В.


















Иркутск 2015


Содержание


Пояснительная записка


2

Радианное и градусное измерение углов и дуг. Числовая окружность.


3

Синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа. Знаки и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.


6

Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента


8

Функция острого угла и прямоугольный треугольник


10

Примеры для самопроверки


13

Литература

14

Пояснительная записка


Основная задача обучения математике в среднем специальном учебном заведении – обеспечить прочное и сознательное овладение студентами системой математических знаний и умений, необходимых для дальнейшего освоения специальных дисциплин.

Цель: углубление знаний по разделу тригонометрия и отработка практических навыков решения задач.

Задачи:

  1. Восполнить пробелы в знаниях студентов;

  2. Провести взаимосвязь между дисциплинами, изучаемыми в блоках общепрофессиональных (электроника, электротехника) и специальных дисциплин, по специальностям реализуемым в учебном заведении;

  3. Подготовить студентов к участию в олимпиадах и сдаче ЕГЭ.


Каждая тема методического пособия содержит теоретический и практический материал (примеры с алгоритмами решений) и задачи для закрепления (домашнее задание) по изучаемой теме. В результате изучения данного раздела «Тригонометрия» студентам предлагается контрольная работа, которая позволяет проверить полученные знания.

Данное пособие может использоваться как для аудиторной так и внеаудиторной работы студентов.

Тема1. Радианное и градусное измерение углов и дуг. Числовая окружность.

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на hello_html_m117c8ab9.gif часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение ‘); одна минута – соответственно из 60 секунд ( обозначаются “ ).

Радианная мера. Длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол α связаны соотношением: α= hello_html_m677ec9cb.gif

Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r , то α = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: α = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (AmB = AO, рис.1 ). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

hello_html_57afd4af.png

Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом: hello_html_m132d828c.gif.

Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана: hello_html_m11dc4cb0.gif.

Обратно, hello_html_m550bb24.gif

Перевод градусной меры в радианную и обратно


  1. Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число градусов на hello_html_624a6dc.gif, число минут – hello_html_m413eeeeb.gif, число секунд – на hello_html_67820066.gif и сложить найденные произведения.

Пример. Найти радианную меру угла 12°30’ с точностью

до четвёртого десятичного знака.

Решение. Умножим 12 на π / 180 : 12 · 0.017453 ≈ 0.2094.

Умножим 30 на π / (180 · 60 ) : 30 · 0.000291 ≈ 0.0087.

Теперь находим: 12°30’ 0.2094 + 0.0087 = 0.2181 рад.

2. Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной мере, надо умножить число радиан на hello_html_m6899a4d3.gif. hello_html_1b5b1d05.gif (относительная погрешность результата составит ~ 0.0004%, что соответствует абсолютной погрешности ~ 5” для полного оборота 360° ).

Пример. Найти градусную меру угла 1.4 рад с точностью до 1’.

Решение. Последовательно найдём: 1 рад ≈ 57°17’45”;

0.4 рад≈ 0.4 · 57°.296 = 22°.9184;

0°.9184 · 60 ≈ 55’.104; 0’.104 · 60≈ 6”.

Таким образом, 0.4 рад 22°55’6” и тогда:


1 рад ≈57°17’45”

+

0.4 рад≈ 22°55’6”

_____________________


1.4 рад ≈80°12’51”

После округления этого результата до требуемой точности в 1’ окончательно получим: 1.4 рад » 80°13’.


Задания для решения

hello_html_m5fca4ff5.png

Рис. 2

  1. Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DС, КА, ВР, СВ, ВС? Перевести в градусную меру.

  2. Можно ли на единичной окружности найти такую точку Е, для которой задана длина дуги АЕ? Если точка Е существует, укажите четверть, в которой она расположена:

а) АЕ=2; в) АЕ=6,2;

б) АЕ=5; г) АЕ=6,3.

  1. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу и переведите ее в градусную меру угла:

а) hello_html_m7a909234.gif; б) hello_html_1bfc1af9.gif; в) hello_html_m102f690.gif; г) hello_html_m1efba63a.gif; д) hello_html_60d48ca5.gif4 е) hello_html_m78edb242.gif; ж) hello_html_mfe32e83.gif; з) hello_html_m18e4fcec.gif;

и) hello_html_m3aebbe86.gif; к) hello_html_m3538cecb.gif; л) hello_html_m291b7be7.gif; м) hello_html_m37584857.gif; н) 1; о) -5; п) 4,5; р) -3.

  1. Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству:

а) hello_html_401b49f4.gif; б) hello_html_m658ea553.gif;

в) hello_html_m4e410bf7.gif; г) hello_html_m22a911e6.gif.

  1. Вычислите:

а) hello_html_64aea847.gif; б) hello_html_75fc52b1.gif; в) hello_html_61980976.gif;

г) hello_html_m74184189.gif.

  1. Какова радианная мера угла:

hello_html_m56c78251.gif

  1. Определите знаки выражений:

а) hello_html_6e556643.gif; б) hello_html_5258daf3.gif; в) hello_html_m674f1959.gif;

г) hello_html_f9c8e93.gif; д) hello_html_m6e15928e.gif;

е) hello_html_a8f56ab.gif.

Домашнее задание

  1. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: АМ, BD, СК, МР, DM, МК, СР, РС?

  2. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу, и переведите ее в градусную меру угла:

а) hello_html_m67e907de.gif; б) hello_html_m13600118.gif; в) hello_html_7cfc823b.gif; г) hello_html_1924c185.gif; д) 5; е) -5; ж) 8; з) -8.

  1. Вычислите:

hello_html_4f047d05.gif


Тема2.Синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа. Знаки и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов ( не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 ( рис.3 ).

hello_html_4c6973f3.png

Проведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать углы от точки A ( начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против. Подвижный радиус OC образует угол α с неподвижным радиусом OA. Он может быть расположен в первой четверти ( COA ), во второй четверти ( DOA ), в третьей четверти ( EOA ) или в четвертой четверти ( FOA ). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом.

Линия синуса угла α ( рис.4 ) - это вертикальный диаметр единичного круга, линия косинуса угла α - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла α ( рис.4 ) – это отрезок OB на линии синуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла α - отрезок OA линии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5 и рис.6.


hello_html_m7c135582.png


Линия тангенса (рис.7 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A горизонтального диаметра.

Линия котангенса ( рис.8 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В вертикального диаметра.

Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии радиуса.

Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии котангенса и линии радиуса.

Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9.

hello_html_mb06d3b1.png


Секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно косинусу и синусу.


Задания для решения

    1. Расположите в порядке возрастания числа:

а) hello_html_m2026733d.gif

б) hello_html_m12412ca6.gif

в) hello_html_m3e794070.gif

2) Найдите все неизвестные стороны прямоугольного треугольника, если:

а) hello_html_5e13bfe0.gif; б) hello_html_m736db90f.gif;

в) hello_html_5ea5391a.gif; г) hello_html_m5f240be7.gif;

д) hello_html_4183378c.gif.

Тема3.Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента

Основные соотношения

  1. hello_html_75599fd5.gif

  2. hello_html_m702a4e66.gif;

  3. hello_html_7698070.gif;

  4. hello_html_m7044d909.gif;

  5. hello_html_4fcf7bf3.gif

  6. hello_html_m232108ff.gif

Пример1: Известно, что hello_html_57049569.gif и hello_html_m49eed306.gif. Найти соответствующие значения cost, tgt, ctgt.

Решение. Из соотношения hello_html_m76a68257.gifнаходим hello_html_m6469489d.gif.

По условию, hello_html_57049569.gif, значит, hello_html_m411debbe.gif.

Из уравнения hello_html_m10eba954.gifнаходим, что hello_html_6419a5a3.gifили hello_html_m74c6aedf.gif.

По условию аргумент hello_html_25ca66e5.gifпринадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней hello_html_m6079a25b.gif. Значит из двух найденных возможных решений выбираем первое: hello_html_6419a5a3.gif.

Зная значения hello_html_m4d6e6688.gif и hello_html_m7e906dc9.gif, нетрудно вычислить соответствующие значения hello_html_58c0a058.gif:

hello_html_147467f0.gif.

Ответ: hello_html_6419a5a3.gif, hello_html_m36ce01d9.gif.

Пример2: Известно, hello_html_m329d9c9.gif. Найти соответствующие значения sint, cost, ctgt.

Решение. Воспользуемся соотношением hello_html_m49dd3d0d.gif. По условию hello_html_3d5481e4.gif, значит, hello_html_m40b94376.gif.

Отсюда находим, hello_html_m60468fd7.gif, значит, hello_html_191712b9.gifили hello_html_50e648f5.gif.

По условию аргумент hello_html_25ca66e5.gifпринадлежит второй четверти числовой окружности, а в ней hello_html_60a82586.gif. Значит из двух указанных выше возможностей выбираем вторую: hello_html_m3032a3c6.gif.

Зная значения hello_html_mc12a06f.gif, нетрудно вычислить соответствующие значения hello_html_m62024af8.gif:

hello_html_268dd0b3.gif.

Ответ: hello_html_m3032a3c6.gif, hello_html_m23845401.gif.


Задания для решения

  1. Найдите sint, tgt, ctgt если hello_html_6bec1e5f.gif (1 четверть)

  2. Найдите cost, tgt, ctgt если hello_html_m7f16dfec.gif (3 четверть)

  3. Найдите sint, cost, ctgt если hello_html_m6c5fe7be.gif (2 четверть)

  4. Найдите sint, cost, tgt если hello_html_3bfa0c19.gif (4 четверть)

  5. Определите знак числа

    1. hello_html_7a0f9842.gif;

    2. hello_html_m27b54811.gif

    3. hello_html_54bd4a53.gif

    4. hello_html_1ecc6a1a.gif

    5. hello_html_40f671d4.gif

    6. hello_html_m750222b0.gif

    7. hello_html_m6f5935aa.gif

    8. hello_html_3cccc19c.gif

  1. Какова радианная мера угла:

hello_html_m56c78251.gif



Тема4.Функция острого угла и прямоугольный треугольник

Вhello_html_m3ba5e099.png системе координат hello_html_31a50c9d.gifрасположим прямоугольный треугольник hello_html_m68c00e95.gif так, чтобы вершина hello_html_m79b7f3cf.gif совпала с началом координат, а катет hello_html_m4c766b7a.gif лежал на оси hello_html_m4e15d8a8.gif. Обозначим внутренний угол треугольника при вершине hello_html_m79b7f3cf.gif через hello_html_467ab85b.gif, а стороны треугольника – через hello_html_16d1f7b9.gif (рис. 1). Построим прямоугольный треугольник hello_html_m767ae548.gif - катет hello_html_152a267d.gif лежит на оси hello_html_m4e15d8a8.gif. Отношения сторон прямоугольного треугольника hello_html_m68c00e95.gif могут быть выражены с помощью тригонометрических функций угла hello_html_467ab85b.gif. Из подобия треугольников hello_html_m68c00e95.gif и hello_html_m767ae548.gif следует, что hello_html_m8f35590.gif и hello_html_420684d9.gif. Следовательно,

hello_html_m137846ca.gif.

Так как hello_html_m21313848.gif получаем hello_html_76695242.gif.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике с острым углом hello_html_467ab85b.gif:

синус угла hello_html_467ab85b.gif равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе;

косинус угла hello_html_467ab85b.gif равен отношению прилежащего этому углу катета к гипотенузе;

тангенс угла hello_html_467ab85b.gif равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету;

котангенс угла hello_html_467ab85b.gif равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

Пусть дан прямоугольный треугольник hello_html_m68c00e95.gif (угол hello_html_m67b92405.gif). Обозначим его катеты через hello_html_15a79627.gif, а гипотенузу – через hello_html_3a32418e.gif. Рассмотрим 4 возможных случая.

  1. Если известны катеты hello_html_15a79627.gif, то гипотенузу hello_html_3a32418e.gif, углы hello_html_16b35bc1.gif находим из соотношений:

hello_html_52397748.gif.

  1. Если известны hello_html_2d7ca05f.gif, то катет hello_html_m719ead41.gif, углы hello_html_16b35bc1.gif находим из соотношений: hello_html_m679f331a.gif.

  2. Если известны катет hello_html_79f953c3.gif и угол hello_html_m79b7f3cf.gif, то катет hello_html_m719ead41.gif, гипотенузу hello_html_3a32418e.gif и угол hello_html_m45e737a8.gif находим из соотношений: hello_html_48cb4178.gif.

  3. Если известны hello_html_3a32418e.gif и угол hello_html_m79b7f3cf.gif, то катеты hello_html_15a79627.gif и угол hello_html_m45e737a8.gif находим из соотношений: hello_html_m7f9fca75.gif.


Теоремы синусов и косинусов

Пусть hello_html_m68c00e95.gif - произвольный треугольник, hello_html_14848052.gif.

Теорема синусов. Справедливы равенства hello_html_m250974b4.gif, где hello_html_m3a5e9122.gif - радиус описанной окружности.

Теорема косинусов. Справедливо равенство hello_html_m7959b35c.gif.

Последнее соотношение останется верным, если заменить в нем одну из сторон и противоположный ей угол соответственно другой стороной и противоположным ей углом треугольника.

С помощью теоремы синусов можно определить неизвестные элементы треугольника, когда известны две его стороны и угол, противоположный одной из этих сторон, или когда известны два угла и один из противоположных к этим сторонам углов.

Теорема косинусов используется для нахождения неизвестных элементов, когда даны три стороны треугольника или две стороны и угол между ними.


Например, даны три стороны hello_html_m71c8c715.gif Найти углы hello_html_m3d88d09.gif.

  1. из теоремы косинусов имеем: hello_html_256a9886.gif;

  2. из теоремы синусов можем записать: hello_html_1a0db7cb.gif;

из значений hello_html_4d1147b8.gif при помощи таблиц тригонометрических функций или калькулятора находим углы hello_html_39b4d2b5.gif.

  1. третий угол hello_html_426a4c1d.gif.

Задания для решения

  1. Расположите в порядке возрастания числа:

    1. hello_html_45157a01.gif.

    2. hello_html_m29ffdebc.gif

  2. Найдите сторону hello_html_533c890b.gif прямоугольного треугольника, изображенного на данном рисунке:

hello_html_2f1c1d95.gif




















  1. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза hello_html_3a32418e.gifи острый угол hello_html_m5d5f1bb9.gif. Найдите катеты, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если:

    1. hello_html_4ba7073a.gif;

    2. hello_html_6c5a1436.gif;

    3. hello_html_m336e163a.gif;

    4. hello_html_m2fa1a032.gif.


  1. В hello_html_70c5fca6.gif известно, что hello_html_m36c3a2b7.gifсм, hello_html_m6fb3888b.gif, hello_html_m5d89af57.gif. Найдите hello_html_6aec866a.gif и площадь hello_html_70c5fca6.gif.

  2. Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны hello_html_m56f40fbb.gif и hello_html_69b2eb23.gif. Найдите площадь треугольника.


Домашнее задание

Расположите в порядке возрастания числа:

hello_html_6646a231.gif

Контрольная работа


  1. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

    1. hello_html_7f8f95b0.gif;

    2. hello_html_m6c3dc27f.gif;

    3. hello_html_m2d12a2c0.gif.

  2. Упростите выражение:

  1. hello_html_516f3afc.gif;

  2. hello_html_51cbb28c.gif;

  3. hello_html_27f894c.gif;

  4. hello_html_67eecf1f.gif;

  5. hello_html_2b9f5d0d.gif;

  6. hello_html_m6ee52c70.gif.




Литература:
  1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.

  3. Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2006. – 552с.

  4. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991.- 480с.

  5. Сборник задач по математике для техникумов: Уч. пособие для техникумов/ Под ред. Афанасьевой О.Н., - 2-е изд. переаб.- М.: Наука, 1992.- 208 с.

  6. Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.

  7. Алгебра и начала анализа. Под редакцией Колмогорова А.Н. М., Просвещение, 2000

  8. Алимов Ш.А. и др. Математика 10-11, М., Просвещение, 2001

  9. Алтынов П.И. Тесты: алгебра и начала анализа 10-11 классы. М., Дрофа, 2001.

  10. Башмаков М.И. Математика 10-11, М Просвещение, 2003

  11. Беденко Н.К., Денищева Л.О. Уроки по алгебре и началам анализа. М., Высшая школа, 1988.

  12. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы. М., Дрофа, 1998.

  13. Крамор B.C. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. М., Просвещение, 1990.

  14. http://mathem.by.ru/matr0.html

  15. http://arm-math.rkc-74.ru/p58aa1.html




11



Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров700
Номер материала ДВ-007153
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх