Методическая разработка по теме "Тригонометрия"

Методическое  пособие

Дисциплина: «Математика»

По разделу: «ТРИГОНОМЕТРИЯ»

Для студента

Разработал преподаватель:

Шелепова И.В.

Иркутск  2015

Содержание

Пояснительная записка	2
Радианное и градусное измерение углов и дуг. Числовая окружность.	3
Синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа. Знаки и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.	6
Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента	8
Функция острого угла и прямоугольный треугольник	10
Примеры для самопроверки	13
Литература	14

Пояснительная записка

Основная задача обучения математике в среднем специальном учебном заведении – обеспечить прочное и сознательное овладение студентами системой математических знаний и умений, необходимых для дальнейшего освоения специальных дисциплин.

Цель: углубление знаний по разделу тригонометрия и отработка практических навыков решения задач.

Задачи:

1.     Восполнить пробелы в знаниях студентов;

2.     Провести взаимосвязь между дисциплинами, изучаемыми в блоках общепрофессиональных (электроника, электротехника) и специальных дисциплин, по специальностям реализуемым в учебном заведении;

3.     Подготовить студентов к участию в олимпиадах и сдаче ЕГЭ.

Каждая тема методического пособия содержит теоретический и практический материал (примеры с алгоритмами решений) и задачи для закрепления (домашнее задание) по изучаемой теме. В результате изучения данного раздела «Тригонометрия» студентам предлагается контрольная работа, которая позволяет проверить полученные знания.

Данное пособие может использоваться как для аудиторной так и внеаудиторной работы студентов.

Тема1. Радианное и градусное измерение углов и дуг. Числовая окружность.

Градусная мера.  Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на  часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение ‘);  одна минута – соответственно из 60 секунд ( обозначаются “ ).

Радианная мера.  Длина дуги  l, радиус  r  и соответствующий центральный угол  α  связаны соотношением:  α=

Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так,  если  l = r ,  то  α = 1,  и мы говорим, что угол    равен 1 радиану, что обозначается: α  = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (AmB = AO, рис.1 ). Итак,  радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

         Следуя этой формуле, длину окружности  C  и её радиус  r  можно выразить следующим образом: .

Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует  2  в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана:  .

Обратно,

Перевод градусной меры в радианную и обратно

1.     Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число градусов на  , число минут – , число секунд – на   и сложить найденные произведения.

     Пример.  Найти радианную меру угла 12°30’ с точностью

                            до четвёртого десятичного знака.

     Решение.  Умножим 12 на  π / 180 : 12 · 0.017453 ≈ 0.2094.

                              Умножим 30 на π / (180 · 60 ) : 30 · 0.000291 ≈ 0.0087.

                              Теперь находим: 12°30’  0.2094 + 0.0087 = 0.2181 рад.

2.  Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной мере, надо умножить число радиан на  .  (относительная погрешность результата составит ~ 0.0004%, что соответствует абсолютной погрешности ~ 5” для полного оборота 360° ).

      Пример.  Найти градусную меру угла 1.4 рад с точностью до 1’. 

       Решение.  Последовательно найдём:  1 рад ≈ 57°17’45”;

                               0.4 рад≈ 0.4 · 57°.296 = 22°.9184;

                               0°.9184 · 60 ≈ 55’.104;  0’.104 · 60≈  6”.

                               Таким образом,  0.4 рад  22°55’6” и тогда:

                                                     1 рад  ≈57°17’45”

                                              +                         

                                                   0.4 рад≈  22°55’6”

                                           _____________________

                                                  1.4 рад  ≈80°12’51”

После округления этого результата до требуемой точности в 1’ окончательно получим: 1.4 рад  » 80°13’.

Задания для решения

Рис. 2

1.     Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DС, КА, ВР, СВ, ВС? Перевести в градусную меру.

2.     Можно ли на единичной окружности найти такую точку Е, для которой задана длина дуги АЕ? Если  точка Е существует, укажите четверть, в которой она расположена:

а) АЕ=2;           в) АЕ=6,2;

б) АЕ=5;           г) АЕ=6,3.

3.     Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу и переведите ее в градусную меру угла:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) 4 е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ; м) ; н) 1;  о) -5; п) 4,5; р) -3.

4.     Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству:

а) ; б) ;

в) ; г) .

5.     Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) .

1.     Какова радианная мера угла:

2.     Определите знаки выражений:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

Домашнее задание

1.     Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: АМ, BD, СК, МР, DM, МК, СР, РС?

2.     Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу, и переведите ее в градусную меру угла:

а) ;  б) ; в) ; г) ; д) 5; е) -5; ж) 8; з) -8.

3.     Вычислите:

 

Тема2.Синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа. Знаки и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов ( не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 ( рис.3 ).

Проведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать углы от точки A ( начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против. Подвижный радиус OC образует угол  α  с неподвижным радиусом OA. Он может быть расположен в первой четверти ( COA ), во второй четверти ( DOA ), в третьей четверти ( EOA ) или в четвертой четверти ( FOA ). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом.

Линия синуса угла  α  ( рис.4 ) - это вертикальный диаметр единичного круга,  линия косинуса угла α   - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла  α  ( рис.4 ) – это отрезок OB на линии синуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла  α - отрезок OA линии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5 и рис.6.

         Линия тангенса (рис.7 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A  горизонтального диаметра.

Линия котангенса ( рис.8 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В  вертикального диаметра.

Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии радиуса.

Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии котангенса и линии радиуса.

Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9.

Секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно косинусу и синусу.

Задания для решения

1)    Расположите в порядке возрастания числа:

а)

б)

в)

2) Найдите все неизвестные стороны  прямоугольного                       треугольника, если:

а) ; б) ;

в) ;   г) ;

д) .

Тема3.Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента

Основные соотношения

1.    

2.     ;

3.     ;

4.     ;

5.    

6.    

Пример1: Известно, что  и . Найти соответствующие значения cost, tgt, ctgt.

Решение. Из соотношения  находим .

По условию, , значит, .

Из уравнения  находим, что    или .

По условию аргумент  принадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней . Значит из двух найденных возможных решений выбираем первое:  .

Зная значения  и , нетрудно вычислить соответствующие значения :

.

Ответ: , .

Пример2: Известно, . Найти соответствующие значения sint, cost, ctgt.

Решение. Воспользуемся соотношением . По условию , значит, .

Отсюда находим, , значит,  или .

По условию аргумент  принадлежит второй четверти числовой окружности, а в ней . Значит из двух указанных выше  возможностей выбираем вторую:  .

Зная значения , нетрудно вычислить соответствующие значения :

.

Ответ: , .

Задания для решения

1. Найдите sint, tgt, ctgt если  (1 четверть)
2. Найдите cost, tgt, ctgt если   (3 четверть)
3. Найдите sint, cost, ctgt если   (2 четверть)
4. Найдите sint, cost, tgt если   (4 четверть)
5. Определите знак числа

а.               ;

б.              

в.              

г.               

д.              

е.                

ж.             

з.                

6.      Какова радианная мера угла:

Тема4.Функция острого угла и прямоугольный треугольник

В системе координат расположим прямоугольный треугольник  так, чтобы вершина  совпала с началом координат, а катет  лежал на оси . Обозначим внутренний угол треугольника при вершине  через , а стороны треугольника – через  (рис. 1). Построим прямоугольный треугольник  - катет  лежит на оси . Отношения сторон прямоугольного треугольника  могут быть выражены с помощью тригонометрических функций угла . Из подобия треугольников   и  следует, что    и  .  Следовательно,

.

Так как   получаем .

Таким образом, в прямоугольном треугольнике  с острым углом :

синус угла  равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе;

косинус угла  равен отношению прилежащего этому углу катета к гипотенузе;

тангенс угла  равен отношению противолежащего катета  к прилежащему катету;

котангенс угла  равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

 Пусть дан прямоугольный треугольник  (угол ). Обозначим его катеты через , а гипотенузу – через . Рассмотрим 4 возможных случая.

1.     Если известны катеты  , то гипотенузу , углы  находим из соотношений:

.

2.     Если известны , то катет , углы  находим из соотношений: .

3.     Если известны катет  и угол , то катет , гипотенузу  и угол  находим из соотношений: .

4.     Если известны  и угол , то катеты  и угол  находим из соотношений: .

Теоремы синусов и косинусов

Пусть  - произвольный треугольник, .

Теорема синусов. Справедливы равенства , где  - радиус описанной окружности.

Теорема косинусов. Справедливо равенство .

Последнее соотношение останется верным, если заменить в нем одну из сторон и противоположный ей угол соответственно другой стороной и противоположным ей углом треугольника.

С помощью теоремы синусов можно определить неизвестные элементы треугольника, когда известны две его стороны и угол, противоположный одной из этих сторон, или когда известны два угла и один из противоположных к этим сторонам углов.

Теорема косинусов используется для нахождения неизвестных элементов, когда даны три стороны треугольника или две стороны и угол между ними.

Например, даны три стороны  Найти углы .

1.     из теоремы косинусов имеем: ;

2.     из теоремы синусов можем записать: ;

из значений  при помощи таблиц тригонометрических функций или калькулятора находим углы .

3.     третий угол .

Задания для решения

1.           Расположите в порядке возрастания числа:

а.     .

б.    

2.           Найдите сторону  прямоугольного треугольника, изображенного  на данном рисунке:

 

3.           В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза и острый угол . Найдите катеты, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если:

а.                 ;

б.                 ;

в.                 ;

г.                  .

4.           В  известно, что см, , . Найдите  и площадь .

5.           Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны  и . Найдите площадь треугольника.

Домашнее задание

Расположите в порядке возрастания числа:

Контрольная работа

1.   По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

а.      ;

б.     ;

в.      .

2.       Упростите выражение:

а.      ;

б.     ;

в.      ;

г.      ;

д.     ;

е.      .

Литература:

1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.
3. Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2006. – 552с.
4. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991.- 480с.
5. Сборник задач по математике для техникумов: Уч. пособие для техникумов/ Под ред. Афанасьевой О.Н., - 2-е изд. переаб.- М.: Наука, 1992.- 208 с.
6. Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.
7. Алгебра и начала анализа. Под редакцией Колмогорова А.Н. М., Просвещение, 2000
8. Алимов Ш.А. и др. Математика 10-11, М., Просвещение, 2001
9. Алтынов П.И. Тесты: алгебра и начала анализа 10-11 классы. М., Дрофа, 2001.
10. Башмаков М.И. Математика 10-11, М Просвещение, 2003
11. Беденко Н.К., Денищева Л.О. Уроки по алгебре и началам анализа. М., Высшая школа, 1988.
12. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы. М., Дрофа, 1998.
13. Крамор B.C. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. М., Просвещение, 1990.
14. http://mathem.by.ru/matr0.html
15. http://arm-math.rkc-74.ru/p58aa1.html