Методическая разработка урока по алгебре "Решение тригонометрических уравнений"

                                        Методическая разработка урока по алгебре

 «Решение тригонометрических уравнений»

Цель урока: формирование навыков решения тригонометрических уравнений.

Задачи:

1. Классифицировать уравнение по методам решения и уметь их решать, ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени, расширить представления учащихся о методах и приемах решения тригонометрических уравнений.

2. Развить математическое мышление, культуру и логику рассуждений,  умение самостоятельно приобретать новые знания и использовать уже полученные для решения более сложных задач, уметь обобщать и систематизировать изученный материал.

3. Развить навыки самостоятельной  работы, воспитать познавательный интерес к предмету, уметь рационально  распределять время,

Тип урока:  урок изучения нового материала

Оборудование:

мультимедиа-проектор, ноутбук, интерактивная доска, оценочные листы  для каждого учащегося,флипчарты для устной работы

Основные понятия: arcsina ,arccosa ,arctga –обратные тригонометрические функции,простейшие тригонометрические уравнения , однородные тригонометрические уравнения.

План урока

I.Организационный момент.Постановка цели  и задач урока.-1 мин.

II Актуализация  опорных знаний. -7мин .

  1.Фронтальный опрос.

  2.Индивидуальная работа у доски

III.Изучение нового материала.-15 -17мин

IV.Закрепление

    1.Заполнение таблицы(классификация уравнений по методам решения) 5 мин

    2.Самостоятельная работа- решение разноуровневых заданий 10мин

       Взаимопроверка -1-2 мин.

VI.Рефлексия .Подведение итога урока.2 мин.

VII. Домашнее задание -1 мин.

Ход урока

I.Организационный момент.Сообщение темы ,постановка цели и задач  урока.

Решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства мы уже научились. Сегодня мы попробуем научиться решать более сложные тригонометрические уравнения. Для этого требуется знание тригонометрических формул и знание способов решения алгебраических уравнений (например, квадратных уравнений и неполных квадратных уравнений).

II.  Актуализация опорных знаний

1.Фронтальный опрос.

    1) Что называют arcsin α , arccos α, arctg α, arcctg α.

    2) Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

        cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a

    3) В каких случаях уравнения имеют частное решение.

    4) В каких случаях уравнения не имеют решения.

    5) Что общего и в чем различие между функциями sin и cos, tg и ctg.

    2.Работа у доски На доске  1 обучающийся выполняет следующее задание: к данным простейшим уравнениям  найдите правильное соответствующее решение

1   sin x = a                А   x = ± arccos a + 2πn 

2. cos x = a                Й               

3. tg x = a                  С   x = 2πn             

4. ctg x = a                Ж   x = (-1)ⁿarcsin a + πn              

5. sin x = 1                Ы           

6. cos x = 1               P    x = arctg a + πn            

7. sin x = -1              Ң  x = π + 2πn                     

8. cos x = - 1             !  x = πn                    

9. sin x = 0               А  x = arcctg a + πn              

   Зашифрованное слово- ЖАРАЙСЫҢ!

    7) На флипчарте предлагаются уравнения, которые нужно классифицировать  по видам. Выполнить анализ предложенных уравнений и для каждого уравнения определить метод решения. Решить те тригонометрические уравнения, которые умеете решать.  Простейшие тригонометрические уравнения решают в тетради и на доске.

Предложенные уравнения классифицировать по видам и методам решения

а) 5х-15=0

б) х²-5х=6

в) 2sin²x + sin x – 1 = 0

г) sin2x = -1

д) 9х²- 16 = 0

е) 8sin²x + cosx + 1 = 0

ж)

з) 2sin x cos 5x – cos 5x = 0

и) sin x + cos x = 0

к) х² – 8х – 20 = 0

л) 3sin²x + sin x cos x = 2cos²x

м) cos 3x = 0

н)

o) sin 2x – cos x = 0

Решение простейших тригонометрических уравнений

1 балл

Sin 2x = - 1                                        cos 3x = 0

Решение:                                       Решение:

                       

                           

2 балла

                                 

        

                     

                                                         

Проводится взаимопроверка. Ответы спроецированы на доске . Называются критерии оценки.

III. Изучение нового материала

   1) В ходе проверки групповой работы обучающиеся увидели, что не все уравнения умеют решать .Нерешенные тригонометрические уравнения выписаны в таблицу , которую обучающиеся заполнят  после их решения.(см.таблицу )

   2) Выявление проблемы. Организуется работа по выявлению общих методов решения уравнений.

   3) Исследовательская работа. Предлагается решить тригонометрические уравнения, применяя общие методы решения уравнений. Знакомство со специфическими методами – решение однородных уравнений. Дать определение однородных уравнений.

Метод замены переменных:

2sin²x + sin x – 1 = 0

sin x = z

2z² + z – 1 = 0

D = 9

z₁ = - 1;            z₂ = 1/2

8sin²x + cos x + 1 = 0

sin²x = 1 – cos²x

8(1 – cos²x) + cos x + 1 = 0

- 8cos²x + cos x + 9 =0

cos x = z

- 8z² + z + 9 = 0

D = 289

z₁  = - 1;     z₂ = 9/8

cos x = -1;                          cos x = 9/8

x = π + 2πn, nЄZ            нет решения

Метод разложения на множители

2sin x cos5x – cos5x = 0

cos5x (2sin x – 1) = 0

cos5x = 0            2sin x – 1 = 0

               2sin x = 1

              

sin x + cos x = 0

3sin²x + sin x cos x = 2cos²x

Эти уравнения не можем решить методами вынесения общего множителя или заменой переменных. Эти уравнения называются однородными I и II степени.

Записываем определения однородных уравнений

Уравнения вида

a sin x + b cos x = 0 , а≠0, b≠0

a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0

называются однородными уравнениями  I и II степени.

Поделим обе части уравнения на cos x(или на sin x). Предварительно докажем, что cos x≠0 (или sin x≠0). Пусть cos x = 0 тогда sin x = 0. Но этого не может быть, т.к. (sin²x + cos²x=1). Значит можно делить на cos x. Однородное уравнение II степени решаем, соответственно поделив обе части на  cos²x(или на sin²x).

Решаем уравнения:

1) sin x + cos x = 0

  

   tg x + 1 = 0     ,        tg x = - 1

  

2) 3sin²x + sin x cos x = 2cos²x

   

     3tg²x + tg x = 2

     3tg²x + tg x – 2 = 0

     tg x = z

     3z² + z – 2 = 0

     D = 25

     z₁ = -1 ;        z₂ = 2/3

     tg x = -1;       tg x = 2/3

     ;         .

Вопросы для исследования:

- Какой вид примет уравнение, если обе части разделить на sinα (sin²α)?

- Какой вид примет уравнение, если коэффициент а = 0,  с = 0 ?

- Каким способом нужно решать в данных случаях?

Вывод: делают сами обучающиеся , формулируют

алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений первой и второй степени.

Алгоритм решения  однородных  тригонометрических уравнений

1.      Определить, значения х, при которых cosх = 0 или sinх = 0, не являются решением уравнения.

2.     Привести уравнение к одной тригонометрической функции. Разделить обе части уравнения на косинус или синус степени уравнения.

3.     Произвести замену переменной.

4.     Решить равносильное алгебраическое уравнение.

5.     Произвести обратную замену.

   6.Решить простейшее тригонометрическое уравнение

IV Заполнение таблицы. Классифицировать уравнения по методам решения

V. Самостоятельная работа –решение разноуровневых заданий

I вариант

a) 1 балл

    3sin x - 4cos x = 0

б) 2 балла

    2sin²x - 5sin x cos x + 3cos²x = 0

в) 3 балла

    sin 2x = 2cos²x

II вариант

а) 1 балл

    sin x – √3cos x = 0

б) 2 балла

    2sin²x + 3sin x cos x + cos²x = 0

в) 3 балла

    sin 2x = sin²x

Проверка с помощью слайдов. Обучающиеся проводят взамоконтроль, отмечают баллы  в оценочном листе.

VI.а)Рефлексия .Подведение итога урока, оценивание деятельности каждого обучающегося  по оценочным листам.Выставление оценок за заработанные баллы.Обучающиеся высказывают свою оценку деятельности на уроке, определяют свой уровень усвоения  материала

б) Домашнее  задание.

Учебник Абылкасымовой А.-10 класс, №.113(а,в), 115(а,в),117(а.в)

Приложение1

Заполнить таблицу после решения уравнений (этап изучения нового материала)

Тригонометрические уравнения	Метод решения
2sin2x + sin x – 1 = 0
8sin2x + cos x + 1 = 0
2sinxcos5x – cos5x = 0
sin x + cos x = 0
3sin2x + sin x cos x = 2cos2x
sin2x – cos x = 0

Критерии оценок:

10 баллов и более – «5» (Молодец!)

8-9 баллов – «4» (Так держать!)

5-7 баллов – «3» (Подтянись!)

Менее 5 баллов – «2» (Должно быть стыдно!)

Приложение 2

Оценочный лист учащегося   ________________________

Устная работа	Решение простейших тригоном. уравнений	Мозговой штурм (решение триг. уравнений)	Самостоятельная работа	Итого	Оценка

Приложение 3

Самостоятельная работа – решение разноуровневых заданий

I вариант

а) 1 балл

    3sin x + 4cos x = 0

б) 2 балла

    2sin²x – 5sin x cos x + 3cos²x = 0

в) 3 балла

    sin2x = 2cos²x

II вариант

а) 1 балл

    2sin x – 5cos x = 0

б) 2 балла

    2sin²x +3sin x cos x + cos²x = 0

в) 3 балла

    sin2x = sin²x

Краткое описание документа:

Методические рекомендации

к разработке урока по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Данный урок разработан с использованием интерактивной доски на всех этапах урока , что позволяет экономить время урока , так как весь материал для повторения, работы в течение урока, для проведения самостоятельной работы уже не надо готовить на доске или карточках. За счет сэкономленного времени можно разобрать больше материала, решить тригонометрические уравнения различными методами. Материал данной темы (тригонометрия) всегда труден для учащихся, но всегда присутствует на экзаменах. С использованием интерактивной доски можно задействовать и слуховую память и зрительную, и повысить заинтересованность учащихся к предмету, разнообразить формы работы (это и устная работа, и самостоятельная работа , и осуществление взаимопроверки, использование флипчартов) Подготовленный дидактический материал(разноуровневые задания) позволяет осуществить дифференцированный подход . При проведении урока на этапе изучения нового материала рекомендую предложить искать пути решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным, путем вынесения общего множителя самим учащимся. Методы решения ребята фиксируют в таблице (приложение1), которую можно использовать на следующих уроках в качестве опорных схем при повторении и при подготовке к контрольной работе по этому материалу.

В приложении 2 учащиеся отражают баллы, полученные в течении урока, что является еще одним стимулом активной деятельности учеников в течении урока. Активизации деятельности содействует и такой простой прием как зашифрованное слово( в данном случае –поощрительное слово «ЖАРАЙСЫН!»).