Методическая разработка урока по теме: "Геометрические преобразования графиков тригонометрических функций."

Тема: Геометрические преобразования графиков тригонометрических функций.

Цели и задачи: 1. Повторить свойства тригонометрических функций.
2. Научиться строить графики сложных тригонометрических функций с помощью преобразований графика исходной функции.
3. Способствовать развитию логического мышления при построении и чтении графиков.
4. Воспитывать аккуратность, четкость и точность при построении и чтении графиков.
5. Развивать умение использовать компьютер при изучении математики.
6. Закрепить умение применять программу Excel при построении графиков функций.

Ход урока.

1. Орг. момент.

2. Проверка домашнего задания.

1. Раздаточный материал по свойствам функций.

2. Фронтальный опрос:

1. Какие тригонометрические функции вы знаете?

2.Назовите область определения и область значений функции y=sinx.

4.Чему равен период данной функции?

5.Назовите нули функции.

6.Назовите координаты точек экстремума данной функции.

Подвести итог, собрать раздаточный материал.

3. Устная работа, с последующим оформлением в тетрадях:

1) Как найти область значений следующих функций:

y= cosx + 5; y = sinx – 2; y = sinx + 8; y = cosx – 1.

Найдите область значений этих функций. Ответы запишите в тетради.

2) Как найти область значений следующих функций:

y= 2sinx; y = 3cosx; y = -0,5sinx; y = 10cosx.

Найдите область значений этих функций. Запишите ответы.

А теперь проверьте себя (слайд 4). У кого не допущено ни одной ошибки? Одна ошибка? Больше двух ошибок? Какой вывод можно сделать из этих преобразований?

Вывод: Если к тригонометрической функции добавить некоторое число, это число следует добавить и к границам ее области значений. Если функция умножается на некоторое число, на это число умножаются и границы ее области значений. (Слайд 5)

Вспомните, как выглядят графики функций y=sinx, y=соsx. (слайды 6 - 8). Как называется график функции y=sinx, y=соsx?

4. Изложение нового материала (слайд 9).

Сегодня мы научимся выполнять геометрические преобразования графиков тригонометрических функций. Их два вида: параллельный перенос и деформация. С параллельным переносом вы уже знакомы. Вспомните, в чем суть параллельного переноса графика функции вдоль оси абсцисс? (слайд 10). Хорошо, мы сейчас построим на ваших заготовках графики функций y=sin(x + ) и y = sin(х - ) (слайд 11, 12).

У вас уже заготовлен график функции y=sin x. При построении графика функции y = sin(х + ) что произойдет с основным графиком? (Наводящие вопросы: 1)Вдоль какой оси он сместится? В каком направлении? На сколько клеток? Как это рассчитать?) Запишите в тетради, в каком направлении и на сколько единичных отрезков смещается график.

Внимание на проектор. Выполняем построение. Соединяем точки. Подписываем график. Запишите в тетрадях вид преобразования.

Аналогичная работа с графиком второй функции, но построение выполняют самостоятельно с одновременным построением на доске (один из студентов). В чем суть параллельного переноса графика функции вдоль оси ординат? (слайд 13).

На заготовках выполним построение графика функции

у = sin x – 2. (слайд 14). Что произойдет с основным графиком при построении графика функции y = sin x – 2? Наводящие вопросы: 1)Вдоль какой оси он сместится?

2)В каком направлении? На сколько единичных отрезков? Как это рассчитать?

3) Как при этом преобразовании изменится область значений основной функции?

Запишите в тетради, в каком направлении и на сколько единичных отрезков смещается график.

Внимание на проектор. Выполняем построение. Соединяем точки. Подписываем график.

Следующий график (слайд 15 – устный разбор, просмотр, выполнение дома).

А теперь посмотрим, как выполнить параллельный перенос графика функции в двух направлениях на примере графика функции y=sin(x - ) + 1.

Кто может описать ход выполнения работы? Последующая проверка хода построения на экране (слайд 16).

Как уже было сказано, этот вид преобразований вам был знаком ранее. Сегодня мы познакомимся с новым видом преобразований графиков – деформацией. Кто может объяснить смысл слова «деформация»? Правильно, это понятие вам знакомо из курса физики. Деформация графиков, т. е. их сжатие и растяжение происходит в двух направлениях: вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс. Остановимся на деформации вдоль оси ординат (слайд 17). Запишите в тетрадях правило.

Построим на заготовках график функции y = 3sin x (слайд 18).

Что произойдет с основным графиком при построении графика функции

y = 3sin x?

Наводящие вопросы: 1)Какой вид преобразования графика произойдет? Вдоль какой оси координат произойдет деформация? Как изменится область значений функции при этом виде деформации?

Запишите в тетради, в чем заключается суть деформации графика данной функции, как изменится в этом случае область значения функции.

Внимание на проектор. Выполняем построение. Соединяем точки. Подписываем график.

Слайд 19. Деформация вдоль оси абсцисс. Записать правило. При этом виде деформации меняется период функции!!!

Построение графиков функции y = sin2x , y = sin0,5x в одной системе координат (слайд 20). Что произойдет с графиком функции y = sin2x. Как изменится ее период? Что произойдет с графиком функции y = sin0,5x. Как изменится ее период? Внимание: при этом виде преобразований построение начинают с точек, лежащих на оси ординат.

Закрепление чтения деформированных графиков с записью ответов в тетради и с последующей проверкой на экране (слайд 21, 22).

Домашнее задание (слайд 23).

А сейчас займите места за компьютерами для выполнения самостоятельной работы.

Самостоятельная работа на компьютерах построение в программе Excel графиков с характеристикой видов преобразований. На карточках с вариантами заданий подпишите фамилии. Далее работа с преподавателем информатики (на мониторах инструкции с пошаговым выполнением задания). Выполняется построение графиков на компьютерах с одновременным заполнением карточек.

Для тех, кто справился с заданием быстрее, индивидуальная работа по карточкам на построение комплексного преобразования графиков.

Подведение итогов работы. Выставление оценок.

• 1 слайд

  Геометрические преобразования графиков тригонометрических функций Интегрированный урок по учебным дисциплинам математика и информатика

• 2 слайд

  Повторим свойства тригонометрических функций: 1. Какие тригонометрические функции вы знаете? 2. Назовите область определения функции y=sin(x) и область её значений. 3. Чему равен период данной функции? 4. Назовите нули функции . 5. Назовите координаты точек экстремума данной функции.

• 3 слайд

  Повторим свойства тригонометрических функций: 1. Найдите область значений следующих функций: y= cosx + 5; y = sinx – 2; y = sinx + 8; y = cosx – 1. Ответы: [4;6] [-3;-1] [7;9] [-2;0] 2. Найдите область значений следующих функций: y= 2sinx; y = 3cosx; y = -0,5sinx; y = 10cosx. Ответы: [-2;2] [-3;3] [-0,5;0,5] [-10;10] Как находится область значений функции в первом случае? Во втором случае?

• 4 слайд

  Вывод: Если к тригонометрической функции добавить некоторое число, это число следует добавить и к границам ее области значений. Если тригонометрическая функция умножается на некоторое число, на это число умножаются и границы ее области значений.

• 5 слайд

  Графики основных тригонометрических функций y=sinx, y=cosx

• 6 слайд

   0 х y - 1 2 3 -1 -2 -3 y = sin x  2  6  3 2 3 5 6 - - - - - - - 7 6 3 2

• 7 слайд

   0 х y - 1 2 3 -1 -2 -3 y = соs x  2  6  3 2 3 5 6 - - - - - - - 7 6 3 2

• 8 слайд

  В чистом виде основные элементарные функции  встречаются довольно редко. Гораздо чаще приходится иметь дело с функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления постоянных и коэффициентов. Графики таких функций можно строить с помощью геометрических преобразований графиков соответствующих основных элементарных функций.

• 9 слайд

  Параллельный перенос графика функции вдоль оси абсцисс. График функции y=f(x + a) получается из графика функции y = f(x) путем параллельного переноса его вдоль оси абсцисс на а единиц. Если a>0, график смещается влево, а если a<0, смещение происходит вправо.

• 10 слайд

  0  - х y 1 2 3 -1 -2 -3 y = sin x № 1 -  6 - 7 6 -  2  3 2 3 5 6 - - - - 3 2 y = sin(x + )

• 11 слайд

  0  - х y 1 2 3 -1 -2 -3 y = sin x №2 -  6 - 7 6 -  2  3 2 3 5 6 - - - - 3 2 y = sin(x  )

• 12 слайд

  Параллельный перенос графика функции вдоль оси ординат. График функции y=f(x) +b получается из графика функции y = f(x) путем параллельного переноса его вдоль оси ординат на b единиц. Если b>0, график смещается вверх, а если b<0, смещение происходит вниз.

• 13 слайд

  0  - х y 1 2 3 -1 -2 -3 y = sin x y = sin x  2 № 3 -  6 - 7 6 -  2  3 2 3 5 6 - - - - 3 2

• 14 слайд

  0  - х y 1 2 3 -1 -2 -3 y = sin x y = sin x + 1 № 4 -  6 - 7 6 -  2  3 2 3 5 6 - - - - 3 2

• 15 слайд

  0  - х y 1 2 3 -1 -2 -3 y = sin x № 5 -  6 - 7 6 -  2  3 2 3 5 6 - - - - 3 2 y = sin(x – ) y = sin(x – ) + 1

• 16 слайд

  Деформация графиков

• 17 слайд

  Деформация графика функции вдоль оси ординат. График функции y=k f(x ) получается из графика функции y = f(x) путем деформации этого графика вдоль оси ординат. Если k>1, график растягивается, а если 0<k<1 – сжимается.

• 18 слайд

  0  - х y 1 2 3 -1 -2 -3 y = 3sin x y = sinx -  6 - 7 6 -  2  3 2 3 5 6 - - - - 3 2

• 19 слайд

  Деформация графика функции вдоль оси абсцисс. График функции y=f(mx ) получается из графика функции y = f(x) путем деформации этого графика вдоль оси абсцисс. Если 0<m<1 , график растягивается, а если m>1– сжимается. При этом наименьший положительный период изменяется в m раз.

• 20 слайд

  0  - х y 1 2 3 -1 -2 -3 y = sin x y = sin 2x y = sin 0,5x -  6 - 7 6 -  2  3 2 3 5 6 - - - - 3 2

• 21 слайд

  1 2 3 4 Проверь себя. Установите соответствие функции y = cos 2x графику :

• 22 слайд

  По заданным графикам определите вид функции и деформации: F(x) =?, g(x) = ?, q(x) = ? Y=F(x) Y=g(x) Y=q(x) F(x)=4sinx g(x)=2sinx q(x)=0,5sinx

• 23 слайд

  Домашнее задание: Контрольные вопросы: В чем заключается суть параллельного переноса? Как изменяется область значений функции при параллельном переносе вдоль оси ординат? В чем заключается суть деформации? Как изменяется область значений функции при деформации вдоль оси ординат? Описать процесс параллельного переноса вдоль оси абсцисс, ординат? Описать процесс деформации вдоль оси абсцисс, ординат? 2. Колмогоров А. Н., №48(г): В одной системе координат постройте графики функций y = sin x, y = sin x + 2, y = sin(x + ). 50 (а): Постройте графики функций: а) y = 1 + 2sin x;

• 24 слайд

  Технология построения преобразований графиков тригонометрических функций в программе «MS Excel»

• 25 слайд

  Построение графика тригонометрической функции с помощью карандаша и линейки процесс достаточно трудоемкий , в наш информационный век на помощь студенту приходят программные средства автоматизации графических построений.

• 26 слайд

  Программа позволяет по формуле вычислить значение функции в заданных точках области определения и по полученным координатам вычертить график заданной функции. Эффективным инструментом для представления числовых данных в наглядной форме является среда электронных таблиц «MS EXCEL».

• 27 слайд

  В диапазон ячеек (А2:А26) введем величины углов от -3600 до 3600 с шагом 300: В ячейку А2 значение -360, в ячейку А3 значение -330. Белым крестом мыши выделяем диапазон (А2;А3). Переводим курсор на маркер автозаполнения (курсор мыши меняет свой вид на черный крест(+)). Протягиваем заполнение ячеек до значения 360 Маркер автозаполнения Сформируем таблицу значений для заданных функций В ячейки А1, В1, С1, D1, E1, F1 введем заголовки столбцов.

• 28 слайд

  Строка формул Кнопка «Вставка функции» В качестве аргумента функции вводим ссылку на ячейку А2 (щелчок мышкой по ячейке А2), протягиваем формулу по диапазону области определения. В ячейку В2 введем функцию для перевода градусной меры угла в радианную =РАДИАНЫ(A2).

• 29 слайд

• 30 слайд

  В ячейку С2 ввести формулу =sin(B2). Выполним автозаполнение диапазона (С2:С26) .

• 31 слайд

  В ячейку D2 ввести формулу =2*sin(B2). Выполним автозаполнение диапазона (D2:D26).

• 32 слайд

  В ячейку E2 ввести формулу =sin(2*B2). Выполним автозаполнение диапазона (E2:E26).

• 33 слайд

  В ячейку F2 ввести формулу =2*sin(0,5*B2). Выполним автозаполнение диапазона (F2:F26) .

• 34 слайд

  Для построения графиков выделяем диапазон ячеек (В1:F26), на Ленте выбираем вкладку "Вставка" в группе "Диаграммы" тип диаграммы "Точечная"-"Гладкие кривые"

• 35 слайд

  Результат построения

• 36 слайд

  «MS Excel» позволят нам быстро построить графики тригонометрических функций демонстрирующие различные виды их преобразования и проанализировав полученный результат вы сможете выполнить самооценку качества усвоения материала темы. Выполните построение графиков Вариант 2, Вариант 3, Вариант 4. Определите вид преобразования графика элементарной функции, запишите в карточку результат, выполните проверку по обобщающей таблице.

• 37 слайд

  Вариант 2 Постройте в одной координатной плоскости графики функций y=sinx, y1=3sinx, y2=sin3x, y3=3sin0,5x . Вариант 3 Постройте в одной координатной плоскости графики функций y=sinx, y1=0,5sinx, y2=sin0,5x, y3=3sin0,5x Вариант 4 Постройте в одной координатной плоскости графики функций y= соsx, y1=2соsx, y2=cos0,5x, y3=2cos0,5x

• 38 слайд

  Основные функции y=sinx, y=cosx. Видпроизводной функции Вид преобразования графика Значение коэффициента или параметра y=f(x )+b Параллельный перенос графика функции вдоль оси ординат(OY). Вверх b>0 Вниз b<0 y=f(x + a) Параллельный перенос графика функции вдоль оси абсцисс(OX). Вправо a<0 Влево a>0 y=kf(x ) Деформация графика функции вдоль оси ординат. Растяжение k>0 Сжатие k<0 y=f(mx) Деформация графика функции вдоль оси абсцисс. Растяжение m<0 Сжатие m>0

• 39 слайд

  Спасибо за работу на уроке. Желаем успеха в построении графиков

Вариант 1

Построить графики тригонометрических функций и описать вид преобразования этих графиков:

1.

2.

3.

4.

Вариант 2

Построить графики тригонометрических функций и описать вид преобразования этих графиков:

1.

2.

3.

4.

Вариант 3

Построить графики тригонометрических функций и описать вид преобразования этих графиков:

1.

2.

3.

4.

Вариант 4

Построить графики тригонометрических функций и описать преобразования этих графиков:

1.

2.

3.

4.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 3sinx, y= 3 sinx +1.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 2sinx, y= 2 sinx -1.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 2sinx, y= 2 sinx -1,5.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 3sinx, y= 3 sinx +1,5.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 3sinx, y= 3 sinx +1.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 4sinx, y= 4 sinx -3.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 4sinx, y= 4 sinx +2.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 3sinx, y= 3 sinx -2.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 2sinx, y= 2sinx +3.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 2sinx, y= 2sinx +4.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 3sinx, y= 3 sinx +2.

Построить в одной системе координат графики функций y = sin x, y = 4sinx, y= 4 sinx -1.

Записать свойства функции y = cosx в таблицу:

Область значений функции

Периодичность функции

Промежутки знакопостоянства

Точки экстремума функции

Записать свойства функции y = sinx в таблицу:

Область значений функции

Периодичность функции

Промежутки знакопостоянства

Точки экстремума функции

Записать свойства функции y = ctgx в таблицу:

Область определения функции

Область значений функции

Четность и нечетность функции

Периодичность функции

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Промежутки монотонности

Записать свойства функции y = tgx в таблицу:

Область определения функции

Область значений функции

Четность и нечетность функции

Периодичность функции

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Промежутки монотонности

Записать свойства функции y = cosx в таблицу:

Область определения функции

Четность и нечетность

Нули функции

Промежутки монотонности

Экстремум функции

Записать свойства функции y = sinx в таблицу:

Область определения функции

Четность и нечетность

Нули функции

Промежутки монотонности

Экстремум функции

Записать свойства функции y = sinx в таблицу:

Область определения функции

Область значений функции

Четность и нечетность

Периодичность функции

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Промежутки монотонности

Точки экстремума функции

Экстремум функции