Методические рекомендации по организации и выполнению практических работ по ЕН.01 Математика для группы СО-20

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по организации и выполнению практических работ

по дисциплине: «ЕН.01 Математика».

                         (код и наименование УД, МДК)

по специальности:02.01 Право и организация социального обеспечения

2020г.

Методические указания по организации и выполнению практических работ по специальности СПО: 02.01 «Право и организация социального обеспечения» разработаны в соответствии с требованиями к результатам обучения ФГОС по специальности: 04.02.01 «Право и организация социального обеспечения»

СОДЕРЖАНИЕ

1.      Введение…………………………………………………………………..................................4

2.      Общие требования для студентов по выполнению практических работ…………………..5

3.      Критерия оценивания………………………………………………………………………….6

4.      Требования к технике безопасности при выполнении практических работ........................6

5.      Литература……………………………………………………………………………………..7

6.      Содержание практических работ……………………………………......................................8

7.       Практическая работа №1 ««Нахождение производных обратной и сложной функций»…………………………………………………………………………………………9

8.      Практическая работа №2-3 «« Нахождение производных второго и высших порядков. Решение прикладных задач»…………………………………………………………………12

9.      Практическая работа №4,5-6 «Вычисление определенного интеграла неопределенного интеграла с помощью метода подстановки и интегрирования по частям»……………….14

10.  Практическая работа №7-8 «Использование методов математического анализа (интегрального            исчисления) при решении прикладных задач»……………………17

11.  Практическая работа № 9 «Использование методов математической статистики, при решении прикладных задач»…………………………………………………………………22

12.  Практическая работа № 10 « Проведение элементарных расчетов по статистической обработке необходимой в документационном обеспечении»…………………………….24

13.  Практическая работа №11 « Использование генеральная средняя, выборочная средняя. оценка генеральной средней при решении прикладных задач»……………………………25

14.  Практическая работа№12 « Обработка результатов наблюдений с применением методов математической статистики»…………………………………………………………………27

15.  Практическая работа №13«Вычисление абсолютной и относительной погрешностей»…28

16.  Практическая работа № 14  «Применение численного дифференцирования при решении прикладных задач»……………………………………………………………………………

17.  Практическая работа № 15 « Вычисления с помощью численного интегрирования и дифференцирования»…………………………………………………………………………30

1. Введение

            Методические указания по выполнению практических работ  адресованы  студентам.

            Методические указания созданы в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим  работам, правильного составления отчетов.

            Приступая к выполнению практической  работы, необходимо внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами (ФГОС), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

            Все задания к практической  работе необходимо выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

            Отчет о практической  работе  необходимо выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

            Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения экзамена по дисциплине «ЕГ.01 Математика»  и допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую необходимо найти время для ее выполнения или пересдачи.

        Цель методических указаний - обеспечить четкую организацию проведения практических занятий со студентами   по специальности СПО: 02.01 «Право и организация социального обеспечения» «ЕН.01 Математика» и предоставить возможность студентам, отсутствовавшим на практическом занятии, самостоятельно выполнить работу.

   Практические работы направлены на освоение следующих результатов обучения:

уметь:

·        решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков;

• применять основные методы интегрирования при решении задач;
• применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности;

 знать: основные понятия и методы математического анализа;

·         основные численные методы решения прикладных задач;

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

2. Общие требования для студентов по выполнению

практических работ:

2.1.Практические   работы   проводятся   после   изучения   теоретического

материала в учебном кабинете математики. Студенты должны иметь методические рекомендации по выполнению практических работ, конспекты лекций, измерительные и чертежные инструменты, средство для вычислений.

2.2.При выполнении практических работ надо придерживаться следующих правил:

1.Практическую работу следует выполнять в тетради чернилами черного или синего цвета, оставляя поля.

2.На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия обучающегося, его инициалы, номер специальности, название дисциплины, номер группы.

2.В заголовке работы должны быть указаны номер практической работы, тема практической работы, номер варианта.

3.В работу должны быть включены задачи, указанные в практической работе, строго по предложенному варианту.

4.Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие.

5.Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки.

6.После получения проверенной работы, студент должен исправить все отмеченные ошибки.

2.3.Требования к обработке результатов расчетов и оформлению отчетов.

Отчет по практической работе должен содержать:

1.Номер и тему практической работы, номер варианта.

2.Номер задачи и ее условие.

3.Подробное решение каждой задачи.

4.Полный ответ к каждой задаче.

5. Сделать вывод.

2.4.Порядок проведения практического занятия

1.  Опрос студентов по теме практической работы в различных формах.

2.      Краткое сообщение преподавателя о целях практического занятия, порядке его проведения и оформления работы.

3.  Выдачу вариантов заданий.

4.  Выполнение практической работы студентами.

5.  Подведение итогов практического занятия преподавателем.

2.5.  Обязательное выполнение условия

Студенты, отсутствовавшие на практических занятиях, при выполнении практических работ самостоятельно, имеют право на получение консультаций у преподавателя.

Неудовлетворительная оценка, полученная студентом при выполнении практической работы, должна быть исправлена и повторно проверена преподавателем.

Студент, имеющий к концу семестра более 75% практических работ, написанных на неудовлетворительную оценку, не может быть допущен к экзамену по дисциплине.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим  работам  или при решении задач возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

3.Критерии выставления  оценок

             Оценка «5» ставится, если:

•  работа выполнена полностью;

•  в логических рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов и ошибок;

•      в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Оценка «4» ставится, если:

•     работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

•    допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Оценка «3» ставится, если:

•   допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка «2» ставится, если допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

4.Техника безопасности при выполнении практических работ.

На первом занятии преподаватель проводит первичный инструктаж по технике безопасности и напоминает студентам о бережном отношении к оборудованию и о материальной ответственности каждого из них за сохранность оборудования и обстановки.

При работе в учебном кабинете запрещается:

·  находиться в кабинете в отсутствии преподавателя и на перемене;

·  вставать со своего места и ходить по кабинету без разрешения преподавателя;

·  размещать на рабочем месте посторонние предметы.

Обучающийся обязан:

·  спокойно, не торопясь, не задевая столы, входить в кабинет и занять отведенное ему место,

·  во время перемены покинуть кабинет,

·  работать на одном, закрепленном за ним месте,

·  приступать к работе по указанию преподавателя,

·  по окончанию работы сдать выданные материалы преподавателю,

·  привести свое рабочее место в порядок.

Основные источники:

1. Башмаков М.И. Математика. Учебник для учреждений СПО. М.: Издательский центр «Академия», 2017

2. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности. Учебное пособие для учреждений СПО. М.: Издательский центр «Академия», 2018

Дополнительные источники:

1. В.В.Атурин Высшая математика. Задачи с решением для студентов экономических специальностей.- М.: Академия, 2017

2. И.И. Баврин, В.Л. Матросов Высшая математика.- М.: Владос 2018

3. В.М. Вержбицкий Основы численных методов.- М.: Высшая школа,2017

4. В.Д. Мятлев, Л.А. Панченко, Г.Ю. Ризниченко, А.Т. Терёхин Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели - М.: Академия , 2017

5. М.С.Спирин,                       П.А.      Спирина       Теория       вероятностей         и     математическая статистика.-М.: Академия 2018

Интернет- ресурсы:

1. Газета «Математика» издательского дома «Первое сентября» http://www.mat. september.ru

2. Математика в Открытом колледже http://www.mathematics.ru

Перечень практических работ

№ работы	Тема	Кол-во часов
1.	Практическая работа № 1 «Нахождение производных обратной и сложной функций»	1
2.	Практическая работа №2-3 « Нахождение производных второго и высших порядков. Решение прикладных задач».	2
3.	Практическая работа №4,5-6 « Вычисление определенного интеграла неопределенного интеграла с помощью метода подстановки и интегрирования по частям».	3
4.	Практическая работа №7-8 « Использование методов математического анализа (интегрального     исчисления) при решении прикладных задач».	2
5.	Практическая работа №9Использование методов математической статистики, при решении прикладных задач».	1
6.	Практическая работа №10 « Проведение элементарных расчетов по статистической обработке необходимой в документационном обеспечении».	1
7.	Практическая работа №11 « Использование генеральная средняя, выборочная средняя. оценка генеральной средней при решении прикладных задач».	1
8.	Практическая работа №12 « Обработка результатов наблюдений с применением методов математической статистики».	1
9.	Практическая работа №13 «Вычисление абсолютной и относительной погрешностей».	1
10.	Практическая работа№ 14 «Применение численного дифференцирования при решении прикладных задач».	1
11.	Практическая работа №15  « Вычисления с помощью численного интегрирования и дифференцирования»	1
Итого		15

Практическая работа № 1 «Нахождение производных обратной и сложной функций»

            Цель работы: научиться вычислять производные функций.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в  тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Понятие производной функции

     Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x₀.  Производной функции ƒ (x) в точке x₀ называется отношение приращения функции ∆ƒ (x₀) к  приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ’(x₀).

                                                   (1)

Производную функции y = ƒ (x), x є ( a;b ) в точке x обозначают ƒ’(x),  y’(x), , , причём все эти обозначения равноправны.  Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.   Функция, имеющая производную в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную ƒ’(x) можно рассматривать как функцию на (a ;b).

Таблица производных элементарных функций

                               

 

   

Пример по выполнению практической  работы

Пример 1.  Вычислить , если .

Решение:   

 

Пример 2.  Вычислить   , если

Решение:    

Пример 3. Вычислить , если           

Решение:

1) ;

2) данная функция является суперпозицией трех функций, поэтому имеем

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Вычислить производные следующих функций:

              1) ;      2) ;     3) ;

              4)  ;                 5);                  6) ;

2. Вычислить  ,   если ;

3. Вычислить , если .

Вариант 2

1. Вычислить производные следующих функций:

    1) ;      2) ;     3) ;

              4)          5) ;                  

2. Вычислить , если ;

3. Найти , если  .

Контрольные вопросы

1. Что называется производной функции в точке?

2. Что такое дифференцирование?

3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

4. Перечислите табличные производные.

5. Какие правила дифференцирования вы знаете?

Практическая работа №2-3 « Нахождение производных второго и высших порядков. Решение прикладных задач».

Цель: Формирование навыков вычисления производных и дифференциалов высших порядков

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Производная второго порядка(вторая производная) от функцииесть производная от ее первой производной:.

Производная третьего порядка(третья производная) от функцииесть производная от ее второй производной:.

Производная n – го порядка(n – япроизводная) от функцииесть производная от ее(n – 1) – ойпроизводной:.

Дифференциал второго порядка(второй дифференциал) функцииесть дифференциал от ее первого дифференциала:.

Дифференциалтретьего порядка(третий дифференциал) функцииесть дифференциал от ее второго дифференциала:.

Дифференциал n – го порядка(n – ыйдифференциал) функцииесть дифференциал от ее(n – 1) – огодифференциала:.З

Задания для практической части

1. Найти производные второго порядка:

а) ;      б);     в) ;         г);

д) ;     е);  ж) ; з); и) .

2. Дана функция . Найти,,    .
3. Найти производные третьего порядка:

1) ; 2); 3).

4. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .
5. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функций:

а) ;        б);     в) .

Вопросы для самоконтроля:

1.      Что называется производной второго порядка?

2.      Что называется производной n – гопорядка?

3.      Что называется дифференциалом функции?

Практическая работа №4 « Вычисление определенного интеграла неопределенного интеграла с помощью метода подстановки и интегрирования по частям».

Цель работы:   научиться вычислять неопределенные интегралы.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в  тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Неопределенный интеграл

     Функция F(x) называется первообразной для функции   f(x) в  промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна   f(x):

                                    (1)

Совокупность всех первообразных функций F(x) + c для функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается

                   ,                                                        где    называется подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, а С -произвольной постоянной интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.   

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

1.   +С;                                                         2.   +С;      

3. +С;                                                      4.  +С;

5. +С;                                                   6.  +С;                                                    7. +С;                                               8. +С;                                                                9. +С;                                               10.   

11.                                    12.

13.                                     14.   +С;                                      15. +С;                        16.  +С;

Основные свойства  неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подын­тегральному выражению, а производная неопределенно­го интеграла равна подынтегральной функции:

                             

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функ­ций равен алгебраической сумме неопределенных интег­ралов от этих функций:

4.Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

, .

Метод непосредственного интегрирования

     Под непосредственным интегрированием понимают способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводятся к одному или нескольким табличным интегралам.

Интегрирование способом подстановки

     Сущность интегрирования методом подстановки заключается в преобразовании интеграла  в интеграл , который легко вычисляется  по какой-либо из основных  формул интегрирования. Для нахождения    заменяем переменную х  новой переменной  u   с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получаем .

Подставляя в подынтегральное выражение  вместо х  и  dx  их значения , выраженные через  u    du , имеем:            

                                    (3)

После того, как интеграл  относительно новой переменной  и   будет найден, с помощью подстановки    он приводится к переменной  х.

Задания для практического занятия:

Вариант 1

     1.Методом непосредственного интегрирования вычислить:

      а) ;       б)                    

      2.Методом подстановки вычислить:

а)  ;        б);     

3. Методом интегрирования по частям  вычислить:

а)                              б)

Вариант 2

1.      Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ;     б) ;                 

2.      Методом подстановки вычислить:

      а) ;         б)     

3.Методом интегрирования по частям  вычислить:

       а) ;              б)

Контрольные вопросы

1. Какая  функция называется первообразной для функции ?

2. Что называется неопределенным интегралом функции на некотором промежутке?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные табличные интегралы.

5. Какие методы интегрирования вы знаете?

Практическая работа № 5-6(2 часа)

Тема: « Вычисление определенного интеграла неопределенного интеграла с помощью метода подстановки и интегрирования по частям».

Цель: Закрепить умение определять метод нахождения интеграла, закрепить навыки нахождения интегралов, используя различные методы.

Задания:

              Вариант 1                                                       Вариант 2

1.                                                     1.     

2.                                           2.   

3.                                                        3.     

4.                                                         4.     

5.                                                               5.     

6.                                                               6.     

7.                                                               7.     

8.                                                 8.     

9.                                                            9.     

Контрольные вопросы:

   1. Укажите свойства определённого интеграла.

   2. Назовите формулу Ньютона-Лейбница.

3. Как вычислить определённый интеграл, используя интегрирование по частям?

Практическая работа №7-8 « Использование методов математического анализа (интегрального исчисления) при решении прикладных задач».

Цель работы:   научиться  вычислять определенные интегралы.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в  тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Определённый интеграл

     Приращение F (b) – F (a) любой из первообразных функций F (x) + C  функции   f (x) при изменении аргумента от x = a  до  x = b называется определённым интегралом от a до b функции   f (x):               

                                                                              (1)

     Числа a и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним. Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования. Функция  f (x) называется подынтегральной функцией, а переменная x – переменной интегрирования.  Формула (1)  называется формулой Ньютона -  Лейбница.

Геометрический смысл определенного интеграла

     Если интегрируемая на отрезке [a;b] функция f (x) неотрицательна, то определённый интеграл       численно равен площади S   криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции   f (x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b :

Свойства определённого интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

                                                          

2. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен

алгебраической сумме их интегралов, т.е.      

                                                 

3. Если a<c<b, то          ;

4. Если функция f (x) неотрицательная на отрезке [a;b], где a<b, то   ;

5. Если  f (x)≥ g (x) для всех  x  [a;b], где a<b,  то  

6. Если   m  и  M – наименьшее и наибольшее значения функции  f (x)  на отрезке [a;b], где

    a<b, то  

7. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка  такая, что  

Методы вычисления определенного интеграла

Непосредственное интегрирование предполагает использование основных свойств определенного интеграла и формулы Ньютона – Лейбница. Метод подстановки  сводит определенный интеграл   с помощью подстановки   к  определенному интегралу относительно новой переменной и.   При этом старые пределы интегрирования  а  и  b  заменяются соответственно новыми пределами  интегрирования    и ,  которые находятся из исходной подстановки: .

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле производится по формуле

,

где полагается, что функции u(x)   и    v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке .

Пример по выполнению практической  работы

Пример 1:  Вычислить .

Решение: 

                                                     

Пример 2:  Вычислить

Решение: 

Пример 3.  Вычислить   :

Решение:   

Пример 4.     Вычислить     

 Решение:

 

Пример 5. Вычислить  .

Решение:  Положим . Тогда . Если , если . Поэтому

Пример 6. Вычислить .

Решение: Положим . Отсюда, учитывая формулу интегрирования по частям, получим:

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1.      Вычислить методом непосредственного интегрирования:

1) ;               2) ;

       2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки: 

                        1) ;        2) ;       

3.Вычислить методом интегрирования по частям:

                       1) ;                  2)

Вариант 2

1.      Вычислить методом непосредственного интегрирования:

                           1)             2) ;             

2.  Вычислить следующие интегралы методом подстановки: 

                          1) ;       2) ;        

3.Вычислить методом интегрирования по частям:

                           1)              2)

Контрольные вопросы

1.   Что называется определенным интегралом,  и в чем его геометрический смысл?

2.   Назовите формулу Ньютона-Лейбница.

1.  Перечислите свойства определенного интеграла.

2.   В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

3.  В чем заключается метод замены переменной интегрирования?

Практическая работа №9Использование методов математической статистики, при решении прикладных задач».

Практическая работа №10 « Проведение элементарных расчетов по статистической обработке необходимой в документационном обеспечении».

Цель работы:

Приобретение базовых знаний в области математической статистики. Повторение и систематизация знаний по данной теме.

Ход работы:

1.         Познакомиться с теоретическим материалом.

2.         Выполнить краткий конспект в рабочих тетрадях (основные определения, формулы, примеры).

3.         В тетрадях для практических работ выполнить самостоятельную работу.

4.         Сдать преподавателю тетради для практических работ.

Теория

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Пример 1. Число выпавших «гербов» при пятикратном бросании монеты.

Пример 2. Дальность полета артиллерийского снаряда.

Пример 3. Число мальчиков, родившихся в течении суток

Пример 4. Прирост веса домашнего животного за месяц.

   Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможные значения – малыми буквами x, y, z.

Пример 5. Х – число шахматных партий, окончившихся ничейным результатом, из трех сыгранных. В этом случае величина Х может принять следующие значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3.

   Дискретной случайной величиной  (ДСВ) называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Например, ДСВ – число учащихся, опрошенных на уроке; число солнечных дней в году и т.д.

   Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Например, время безаварийной работы станка; расход ГСМ на единицу расстояния; выпадение осадков в сутки  и т.д.

   Законом распределения ДСВ Х называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероятностями.

Способы задания закона распределения:

1)    для ДСВ – табличный и графический;

например,

X	x1	x2	…	xi	…	xn
P	p1	p2	…	pi	…	pn

Табличный ряд распределения, где  x₁; x₂; …; x_i; …; x_n  образуют полную группу, а

p₁+p₂+…+p_i+…+p_n=1

2)    для НСВ – можно задать так же, как функцию одной переменной, используя табличный, графический или аналитический способ задания.

   В тех случаях, когда закон распределения СВ неизвестен, СВ изучают по ее числовым характеристикам. Их назначение – в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. К числовым характеристикам относится математическое ожидание, дисперсия и т.д.

Математическим ожиданием ДСВ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности и обозначается

М(Х)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n

Практическая работа №9Использование методов математической статистики, при решении прикладных задач».

Задания практической части

Вариант1

1.      Для проверки усвоения некоторой темы учащимся был предложен тест из десяти заданий. При проверки отмечалось число верно выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел: 4,5,7,5,6,4,7,4,8,6,5,4,8,5,7,6,4,5,8,7,5,4,9,7,5,7,4,6,8,6,3,4,8,5,4,9,3,10,5,8,4,4,6,5,4,9,7,5,7,5,4,9,4,7,5,4,6,4,6,4,7,4.                                                    

  а) выпишите и сгруппированный ряд данных; б) составьте таблицу распределения кратностей, частот, частот в процентах; в) постройте многоугольник частот; г)гистограмму частот в процентах; д) диаграмму кратностей; е) найдите объём, размах, моду, среднее значение, медиану; ж)вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Вариант2

1.      Для определения соотношений размеров рабочей одежды для женщин, работающих на предприятиях города, выявили размеры у случайным образом выбранных женщин крупнейшего комбината и получили следующие результаты:

48,48,50,54,8,48,54,50,46,50,50,50,48,52,52,48,48,52,54,46,58,48,52,56,50,52,50,50,52,50,48,50,50,44,52,48,42,54,46,56,56,48,44,48,46,48,54,54,46.

  а) выпишите и сгруппированный ряд данных; б) составьте таблицу распределения кратностей, частот, частот в процентах; в) постройте многоугольник частот; г)гистограмму частот в процентах; д) диаграмму кратностей; е) найдите объём, размах, моду, среднее значение, медиану; ж)вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Практическая работа №10 « Проведение элементарных расчетов по статистической обработке необходимой в документационном обеспечении».

Задания практической части:

1.      Возможные значения ДСВ таковы:  Известны вероятности первых двух возможных значений:  Написать закон распределения и построить многоугольник распределения.

2.      Игральная кость брошена три раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки. Построить многоугольник распределения.

3.      Составить закон распределения вероятностей числа А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.

4.      Бросаются две монеты. Написать закон распределения возможного выпадения гербов.

5.  Случайная величина X задана законом распределения:

	2	3	10
	0,1	0,4	0,5

Найти математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Литература

1.Алгебра и начала анализа 10-11классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]-16-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 2011.-464с.

2.Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. - СПб,: Издательство "Лань", 2011. - 464 с.

Практическая работа №11 « Использование генеральная средняя, выборочная средняя. Оценка генеральной средней при решении прикладных задач».

 Практическая работа №12 «Обработка результатов наблюдений с применением методов математической статистики».

Цель работы:

Приобретение базовых знаний в области математической статистики. Повторение и систематизация знаний по данной теме.

Ход работы:

5. Познакомиться с теоретическим материалом.

6.         Выполнить краткий конспект в рабочих тетрадях (основные определения, формулы, примеры).

7.         В тетрадях для практических работ выполнить самостоятельную работу.

8.         Сдать преподавателю тетради для практических работ.

Теория

В завершение немного теории для решения данных задач по абсолютным и относительным величинам.

Абсолютные величины - всегда величины именованные.

Относительные величины выражаются в коэффициентах, процентах, промили и т.д.

Относительная величина показывает, во сколько раз, или на сколько процентов сравниваемая величина больше или меньше базы сравнения.

В статистике различают 8 видов относительных величин:

1. Относительная величина выполнения плана (ОВВП) показывает во сколько раз или на сколько процентов выполнено данное задание.

ОВВП= фактические данные отчетного периода

плановые данные отчетного периода

2. Относительная величина планового задания (ОВПЗ) показывает во сколько раз или на сколько процентов плановое задание отчетного периода больше или меньше уровня базисного периода.

ОВПЗ= плановое число отчетного периода

фактич. данные базисного периода

3. Относительная величина динамики (ОВД) показывает во сколько раз или на сколько процентов уровень отчетного периода больше или меньше уровня базисного периода.

ОВД= фактич. данные отчетного периода

фактич. данные базисного периода

4. Относительная величина сравнения (ОВС) показывает во сколько раз или на сколько процентов явление на территории А больше или меньше явления на территории В.

ОВСр.= фактич. уровень явления на территории А за определенный период времени

фактич. уровень того же явления за тот же период времени на территории В

5. Относительная величина интенсивности (ОВИ). Коэффициент рождаемости и т.д., число родившихся в определенной местности за определенный период времени.

ОВИ= фактич. уровень явления за опред. период времени

размер среды в которой данное явление развивалось

6. Относительная величина координации (ОВК) рассчитывается только для сгруппированных данных и показывает отношение между частями совокупности.

ОВК= число единиц определенной группы

число единиц группы, принятой за базу сравнения

7. Относительная величина структуры (ОВС).

ОВСт.= часть совокупности

вся совокупность

8. Относительная величина уровня экономического развития (ОВУЭР)

ОВУЭР= годовой объем производства продукции

среднегодовая численность населения

Единицы измерения абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели.

В международной практике используются такие натуральные единицы измерения, как тонны, килограммы, унции, квадратные, кубические и простые метры, мили, километры, галлоны, литры, штуки и т.д.

В условиях рыночной экономики наибольшее значение и применение имеют стоимостные единицы измерения, дающие денежную оценку социально-экономическим явлениям и процессам, например ВНП.

К трудовым единицам измерения, позволяющим учитывать как общие затраты труда на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций технологического процесса, относятся человеко-дни и человеко-часы.

Относительные показатели.

Относительные показатели могут выражаться в коэффициентах, процентах, промилле, продецимилле или быть именованными числами. Если база сравнения принимается за 100, 1000 или 10 000, то относительный показатель выражается в процентах (%), промилле (‰) и продецимилле (‰).

Практическая работа №11 « Использование генеральная средняя, выборочная средняя. Оценка генеральной средней при решении прикладных задач».

Задания практической части

Задача по статистике №1.

В апреле 2004 г. в РФ было добыто 23,8 млн. т нефти. Ее теплота сгорания 45 мДж/кг. Перевести в У.Т.

Решение. Зная теплоту сгорания нефти, рассчитаем коэффициент перевода: 45,0 / 29,3 = 1 536. Добытый объем нефти эквивалентен 23,8*1,536 = 36,6 млн. т У.Т.

Относительные величины.

Задача с решением №2. Прогноз внешней торговли пшеницей РФ в 2004-2008 гг.(млн. тонн)

	2004	2005	2006	2007	2008
экспорт	6.7	7.2	7.6	7.9	8.3
импорт	0.7	0.6	0.5	0.5	0.4

Рассчитать ОВД с переменной и постоянной базой сравнения. Определить взаимосвязь между цепными и базисными ОВД. Сделать выводы по прогнозу.

За базу сравнения выбрать показатели 2004 г.

Решение(экспорт)

ОВД с переменной базой:

7.2/6.7=1.07; 7.6/7.2=1.05; 7.9/7.6=1.04;8.3/7.9=1.05

ОВД с постоянной базой:

7.2/6.7=1.07; 7.6/6.7=1.13; 7.9/6.7=1.18; 8.3/6.7=1.24

Взаимосвязь между цепными и базисными ОВД: Произведение цепных показателей динамики равно последнему базисному.

1.07*1.05*1.04*1.05=1.24

Задача по статистике №3. Оборот торговой фирмы в 2005 г. составил 2,0 млн. руб. Запланировано увеличение ТО в 2006 г. до 2,8 млн. руб. Фактический оборот фирмы составил в 2006г. 2,6 млн. руб. Определить ОВПЗ, ОВВПЗ, индекс динамики.

Решение: ОВПЗ=2,8\ 2*100 %=1,4 или 140 %, (140 %-100%=40%)

ОВВПЗ=2,6\2,8*100%=92,9% (92,9-100 %= -7,1%)

Индекс динамики=1,4* 0,929=1,3 или 2,6\2,8=1,3

Задача №3а. По плану на 2005 г. предполагалось увеличить производство стиральных машин на 12,5 % по сравнению с производством 2004 г. 6 103 тыс. шт. Определить запланированный выпуск машин.

Решение: 6 103* 1,125= 6865,8 тыс. шт.

Задача №3б. В 2005 г. было произведено стиральных машин 6 103 тыс. шт. при плане 6481 тыс. шт.

Решение: ОВВПЗ= 6103:6481= 0,942 или 94,2%, плановое задание недовыполнено на 5,8 %.

Задача №3в. Если планировалось снизить себестоимость единицы продукции на 24,2 руб., а фактическое снижение составило 27,5 руб., то плановое задание по снижению себестоимости выполнено с ростом в 27,5 : 24,2 = 1,136 раза, т.е. план перевыполнен на 13,6 %. Если фактическая себестоимость изделия равнялась 805,8 руб. при плановой 809,1 руб., то ОВВПЗ= 805,8: 809,1=0,996 или 99,6 %. Фактический уровень затрат на одно изделие оказался на 0,4 % ниже планового.

 Практическая работа №12 «Обработка результатов наблюдений с применением методов математической статистики».

Задача №4. Рассчитать показатели структуры по следующим данным:

Структура валового внутреннего продукта РФ в 2004 г.

	Объем
	Млрд. руб.	% к итогу
ВВП- всего В том числе: Производство товаров Производство услуг Чистые налоги на продукты	16 779 6 376 8 725 1 678	100 37,9 51,9 10.2

ОВС = Показатель, характеризующий часть совокупности \ Показатель по всей совокупности.

Выражается в долях единицы или процентах. Показывает, какой долей обладает или какой удельный вес имеет та или иная часть в общем итоге.

Задача по статистике №5. По данным задачи 4 рассчитать ОВК.

ОВК= Показатель, характеризующий I-ю часть совокупности \ Показатель, характеризующий часть совокупности, выбранной в качестве базы сравнения.

В качестве базы сравнения выбирается часть с наибольшим удельным весом или приоритетная с экономической, социальной точки зрения.

8 725\6 376= на каждый млрд. руб. произведенных товаров приходится 1,36 млрд. руб. услуг

1 678\6 376= 0,263 млрд. руб.

Задача №6. На начало мая 1996г. численность граждан, состоящих на учете в службе занятости составила 3064 тыс. чел., а число заявленных предприятием вакансий 309 тыс. Рассчитать ОВИ.

Решение:309\3064*100%=10. На каждых 100 незанятых приходится 10 свободных мест.

Задача №7. ВВП РФ в 2004 г. составил16 779 млрд. руб. Численность населения страны-145,0 млн. чел. Определить ОВУЭР.

Решение: 16 779 млрд. руб. \ 0,145 млрд. чел.= 0,11 млн. руб. ВВП приходится на 1 чел.

Задача № 8. Определить относительные показатели сравнения ОВС _р по следующим данным по РФ на 2002 г.:

Город	Москва	С-Петербург	Н-Новгород	Краснодар	Новосибирск
Сброс сточных вод,млн.м3	3326	1263	689	650	649

Решение: 1263\3326=0,34; 689\3326= 0,21; 650\3326 = 0,20; 649\3326 = 0,19

Практическая работа №13Тема: «Вычисление абсолютной и относительной погрешностей»

Цели:

                                      Формировать навыков работы с приближёнными числами.

                                      Формировать навыков вычисления погрешностей.

      Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Теоретическая часть.

При вычислениях с приближенными числами следует руководствоваться следующими правилами:

а)  Необходимо различать записи чисел.

Например, числа 12,3; 12,30; 12,300 отличаются друг от друга тем, что в записи верны цифры целых и десятых долей; во второй - верны также сотые доли; в третьей - верны и тысячные доли.

б)  При при6лиженных вычислениях полученные числа округляют до определенного числа значащих цифр.

Обычно среднее арифметическое округляется до ближайшего возможного отсчета по шкале прибора. Например, при многократном измерении длины штангенциркулем получим среднее значение 3,37 мм, но ближайший отсчет, какой можно сделать по штангенциркулю, будет 3,4 мм. Следовательно, вместо полученного числа 3,37 мм, надо записать среднее значение 3,4 мм.

в)  Численное значение средней абсолютной погрешности округляют до тех ж разрядов, что и среднее значение измеряемой величины.

Так, если среднее значение измеренной штангенциркулем длины взяли 3,4 мм, а полученная при расчетах абсолютная погрешность составляет 0,182 мм, то это число округляется до 0,2 мм, т.е. до разряда, как и у числа 3,4 мм.

г)  Если расчетные формулы содержат физические константы, табличные данные, то эти значения при расчете погрешностей берутся с такой точностью, чтобы число значащих цифр в них было на единицу больше, чем число значащих цифр в значениях измеренных величин. За абсолютную погрешность постоянных величин принимают половину единицы наименьшего разряда числа, необходимого при расчетах.

Например, если среднее арифметическое значение длины составляет 3,4 мм, то табличное значение числа π следует взять 3,14. При этом абсолютная погрешность для числа π будет π = 0,005.

д) При косвенных измерениях следует учитывать, что конечная точность измерения будет определяться самым неточным измерением какой-либо величины состоящей в функциональной связи с измеряемой величиной. Поэтому точность измерений всех величин должна быть более или менее одного разряда.

Практическая часть.

1. Найти истинную абсолютную погрешность числа а₀

1.1 а0=347, а=346,289	1.6 а0=64,28, а=64,39	1.11 а0=0,211, а=0,212
1.2 а0=13,262, а=13,2619	1.7 а0=0,143, а=0,14312	1.12 а0=3,45, а=3,45289
1.3 а0=15,23, а=15,2258	1.8 а0=3,47, а=3,479	1.13 а0=10,7, а=10,765
1.4 а0=2,12, а=2,11356	1.9 а0=7,12, а=7,22	1.14 а0=2,34, а=2,2433
1.5 а0=4,5, а=4,46	1.10 а0=3012, а=3013	1.15 а0=1,78, а=2

2. Записать числа в виде двойного неравенства.

а0=547,06,  Δа=0,005	а0=0,5478 , Δа=0,0001
а0=8,4589 , Δа=0,0001	а0=21457 , Δа=50
а0=457000 , Δа=200	а0= 5,4782, Δа=0,124
а0=0,1245 , Δа=0,0002	а0=44,558 , Δа=0,24

3. Округлить с точностью до 0,01 следующие числа.

0,4558	3,54628	6,54987
15,254	26,4782	3,54628
11,6987	64,2498	2,5487
13,89214	3,9987	9,01124
25,3698	6548,1254	45,6982

4. Найти границу относительной погрешности числа а.

а=6,96 , Δа=0,02	а= 12,79, Δа=2
а= 648,5, Δа=0,05	а= 792,3, Δа=0,05
а=2,372 , Δа=0,004	а=4,25 , Δа=0,02
а=34,27 , Δа=0,005	а= 1,9345, Δа=0,0005

Практическая работа №14«Применение численного дифференцирования при решении прикладных задач».

Практическая работа №15 . «Вычисление с помощью численного интегрирования и дифференцирования».

Цель: Формирование навыков вычисления определенных интегралов методами прямоугольников, трапеций, вычисления производной функции с помощью формул: первого порядка точности, второго порядка точности для первой производной

На выполнение практической работы отводится 1 час

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Численное интегрирование

Требуется вычислить определенный интеграл:

   (1.1)

Если интеграл вычисляется, тогда можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

   (1.2)

Когда f(x) сложная можно её аппроксимировать простыми формулами, например, построить интерполяционные полиномы по нескольким точкам.

Такая аппроксимация позволяет приближенно заменить определенный интеграл конечной суммой

                                (1.3)

где  - значения функции в узлах интерполяции,  - числовые коэф­фициенты. Соотношение (1.3) называется квадратурной формулой, а его правая часть - квадратурной суммой. В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования (квадратурные формулы) - методы прямоугольников, трапеций, па­рабол.

 

Пример: Требуется вычислить определенный интеграл методом трапеций:

 

Решение: Выберем на отрезке  интегрирования [0,1]   n=8 различных узлов

0=x₀<x₁<x₂<...< x₈ =1

Шаг разбиения для равноотстоящих узлов h = x_i+1-x _i   определяем по формуле

h = (b-a)/n = (1-0)/8 =0,125

     Тогда определенный интеграл приближенно можно вычислять по формуле трапеций

Определенный интеграл вычислим по формуле трапеций

Таким образом, ответ:       

Практическая работа №14«Применение численного дифференцирования при решении прикладных задач».

Задания для практической части

 На оценку «5» выполнить любые 10 заданий

На оценку «4» выполнить любые 7 заданий

На оценку «3» выполнить любые 5 заданий

(варианты заданий)

1.               

2.           

3.       

4.         

5.               

6.       

7.              

8.         

9.     

Практическая работа №15 . « Вычисление с помощью численного интегрирования и дифференцирования»

Цель:  научиться вести расчеты.

2. Численное дифференцирование

 Производной функции  называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  при стремлении  к нулю:

        (2.1)

Компьютер не может работать с бесконечно малыми величинами, поэтому от бесконечно малой величины  перейдем к бесконечно малому , тогда:

, где - погрешность         (2.2)

Существует два подхода к численному дифференцированию:

конечноразностные формулы;

дифференцирование с помощью интерполяционных полиномов.

Рассмотрим разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке:

       (2.3)

с помощью левых разностей;

      (2.4)

с помощью правых разностей;

                (2.5)

с помощью центральных разностей.

Можно найти также выражения для старших производных.

           (2.6)

Таким образом, используя формулу (2.2), можно найти приближенные значения производных любого порядка. Однако при этом остается открытым вопрос о точности полученных значений.

Задания для практической части работы

(варианты заданий)

	x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
1	y	1.3694	1.2661	1.1593	1.0472	0.9273
2	y	0.3948	0.5830	0.7610	0.9272	1.0808
3	y	0.5482	0.5974	0.6248	0.6703	0.7340
4	y	1.9852	1.8264	1.7187	1.6056	1.4517
5	y	2.1622	2.3115	2.3647	2.4401	2.5124
6	y	1.4812	1.5519	1.6781	1.8385	1.9615
7	y	1.6452	1.5760	1.4573	1.3689	1.2108
8	y	2.8845	2.7214	2.6541	2.5168	2.4289
9	y	1.0654	1.1342	1.2074	1.2613	1.3317
10	y	0.2881	0.3506	0.4112	0.5049	0.6138
11	y	1.6485	1.5747	1.4209	1.3738	1.2564
12	y	2.8845	2.7315	2.6642	2.5702	2.4863
13	y	0.1751	0.2378	0.3416	0.4723	0.5206
14	y	1.5478	1.5976	1.6305	1.7205	1.8057
15	y	2.5170	2.4615	2.3843	2.2844	2.2063
16	y	0.9868	0.8546	0.7402	0.6241	0.5614
17	y	1.5578	1.4726	1.3620	1.2477	1.1623
18	y	0.4523	0.5148	0.6489	0.6920	0.8045
19	y	2.4385	2.5747	2.6302	2.7055	2.7605
20	y	1.9758	1.8373	1.7485	1.7103	1.6478
21	y	1.2678	1.3302	1.3974	1.4823	1.5648
22	y	0.3714	0.5280	0.6954	0.7783	0.8661
23	y	2.6553	2.5247	2.4175	2.2846	2.2016
24	y	1.7841	1.7175	1.6255	1.5469	1.3980
25	y	1.1754	1.2362	1.2981	1.3521	1.4167

Вопросы для самоконтроля:

1.В чем сходство и различия между методами прямоугольников, трапеций,

2.Симпсона? Чем эти методы отличаются от метода Монте-Карло?

3.Как влияет на точность интегрирования величина шага ?

4.Как можно прогнозировать примерную величину шага для достижения заданной

точности интегрирования?

Краткое описание документа:

Методические указания по выполнению практических работ адресованыстудентам.

Методические указания созданы в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическимработам, правильного составления отчетов.

Приступая к выполнению практическойработы, необходимо внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами (ФГОС), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

Все задания к практическойработе необходимо выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

Отчет о практическойработенеобходимо выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения экзамена по дисциплине «ЕГ.01 Математика» и допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую необходимо найти время для ее выполнения или пересдачи.

Цель методических указаний - обеспечить четкую организацию проведения практических занятий со студентамипо специальности СПО:02.01 «Право и организация социального обеспечения» «ЕН.01 Математика» и предоставить возможность студентам, отсутствовавшим на практическом занятии, самостоятельно выполнить работу.