Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы по дисциплине "ЕН.01 Математика" для обучающихся 1 курса специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Федеральное государственное автономное

учреждение высшего образования

«Крымский федеральный Университет

имени В.И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»)

Ордена Трудового Красного Знамени

агропромышленный колледж

(филиал)

ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского»

Методические указания

по самостоятельной работе по учебной дисциплине

ЕН.01 Математика

^{(номер и название учебной дисциплины (МДК, ПМ))}

Специальность:  38.02.01  Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

                    ^{(номер и название специальности)}

(1 курс)

с. Маленькое, 2018 г.

Пояснительная записка

1.1. Настоящие рекомендации разработаны в соответствии с пунктом 3 ч. 1 ст. 34 Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации» от 29 декабря 2012 г. №273-ФЗ, Порядком организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным программам среднего профессионального образования, утвержденного Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 14.06.2013 г. № 464, в соответствии с «Рекомендациями по реализации образовательной программы среднего (полного) общего образования в образовательных учреждениях начального профессионального и среднего профессионального образования в соответствии с федеральным базисным учебным планом и примерными учебными планами для образовательных учреждений Российской федерации, реализующих программы общего образования»

1.2. Рекомендации определяют сущность самостоятельной работы обучающихся, ее назначение, планирование, формы организации и виды контроля.

1.3. Самостоятельная работа обучающихся (далее – самостоятельная работа) рассматривается как организационная форма обучения – система педагогических условий, обеспечивающих управление учебной деятельностью обучающихся или деятельность обучающихся по освоению знаний и умений учебной и научной деятельности без посторонней помощи.

1.4. Условиями совершенствования самостоятельной работы является создание в колледже Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского» дидактических условий, оказывающих педагогическую поддержку индивидуальной работы обучающимся, направленных на формирование мотивации к самосовершенствованию путем применения активных методов обучения, методики опережающего обучения, наглядных и технических средств.

1.5. По дисциплине «Математика»  практикуются  следующие виды самостоятельной работы студентов:                                          

- поиск (подбор) и обзор литературы и электронных источников информации по проблеме дисциплины и подготовка докладов, рефератов, презентаций, проектов и т.д.;

- текущая работа с лекционным материалом, предусматривающая проработку конспекта лекций и учебной литературы;

- домашние задания репродуктивного характера, предусматривающие решение задач, выполнение упражнений и т.д., решение задач и упражнений по образцу, решение вариативных задач;

- подготовка к экзамену;

Самостоятельная  работа студентов по дисциплине ЕН.01 Математика направлена на:

·      формирования общих и профессиональных компетенций;

·      систематизацию и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся;

·      углубление и расширение теоретических знаний;

·      формирование умений использовать нормативную, правовую, справочную документацию и специальную литературу;

·      развитие познавательных способностей и активности обучающихся: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

·      формирование самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

·      развитие исследовательских умений.

           Цель самостоятельных работ: углубление и расширение теоретических знаний.

           В результате изучения обязательной части учебного цикла обучающийся должен уметь:

   У.1     Производить операции над матрицами и определителями.

   У.2     Решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики.

   У.3     Решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений.

   У.4     Решать системы линейных уравнений различными методами.    

  В результате изучения обязательной части учебного цикла обучающийся должен знать:

З.1     Роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

З.2     Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

З.3     Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики.

З.4     Основы интегрального и дифференциального исчисления.         

            Результатом освоения программы учебной дисциплины является овладение обучающимися общими компетенциями:

ОК 01. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности применительно к различным контекстам.

Объем времени, отведенный на самостоятельную работу по дисциплине ЕН.01 Математика для студентов 1 курса специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям) составляет 9 часов.

Тематический план самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Математика

№ п/п	Тема	Часы
1	Раздел 1. Основы линейной алгебры.	2
	Самостоятельная работа обучающихся № 1. Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
2	Раздел 2. Математический анализ.	2
	Самостоятельная работа обучающихся № 2 Дифференциальное и интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных. Ряды.
3	Раздел 3. Основы дискретной математики.	2
	Самостоятельная работа обучающихся № 3 Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов.
4	Раздел 4. Основы теории вероятности и математической статистики.	3
	Самостоятельная работа обучающихся № 4 Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайная величина, ее функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Обучающийся  допускается к промежуточной аттестации (экзамену), если он справляется с самостоятельной работой.

Указания к выполнению самостоятельной работы:

1.        Самостоятельную работу нужно выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя.

2.        Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

3.        Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».

4.        После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.

5.        Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения самостоятельной работы производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).

Процент результативности (правильных ответов)	Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
	балл (отметка)	вербальный аналог
90 – 100	5	отлично
80 – 89	4	хорошо
70 – 79	3	удовлетворительно
менее 70	2	неудовлетворительно

Критерии оценок (согласно видам самостоятельной работы) результатов  внеаудиторной  самостоятельной  работы  обучающихся являются:

- уровень освоения учебного материала;

- уровень умения использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- уровень сформированности общеучебных умений;

- уровень умения активно использовать электронные образовательные ресурсы, находить требующуюся информацию, изучать ее и применять на практике;

- обоснованность и четкость изложения материала;

- оформление материала в соответствии с требованиями;

- уровень умения ориентироваться в потоке информации, выделять главное;

- уровень умения четко сформулировать проблему, предложив ее решение, критически оценить решение и его последствия;

- уровень  умения  определить,  проанализировать  альтернативные  возможности,  варианты действий;

- уровень умения сформулировать собственную позицию, оценку и аргументировать ее.

Методические рекомендации по оформлению доклада/реферата.

Доклад и реферат – специально подготовленная аналитическая информация, поданная в форме публичного выступления или предоставленная в письменном виде для изучения, обсуждения или подтверждения каких-либо фактов, чаще всего научного плана. Отличия этих видов исследовательской работы заключаются в способе обработки информации и отражают разные задачи изложения материала.

Реферат представляет собой вид развернутого сообщения по определенной теме с использованием ранее опубликованной информации научного, экономического, содержания. Источников такой информации может быть несколько. Чаще всего это научные работы и специальная литература, посвященная какой-либо проблеме. Их содержание передается в реферате без субъективной оценки составителя. Для реферата выбирают наиболее важные с научной точки зрения и достаточно исследованные факты, позволяющие проиллюстрировать актуальность избранной проблемы и указать способы ее решения.

Доклад представляет собой анализ какой-либо темы, опирающийся на всестороннее исследование проблемы или ее отдельных аспектов. Он строится по принципу демонстрации определенной позиции автора, подкрепленной научно-исследовательскими работами в этой области со ссылками на источники, цитатами и обоснованием авторского мнения. В докладе используются специфические приемы изложения: аналитические справки, сравнительный анализ, научная аргументация, использование проверенного фактического материала.

Требования к реферату/докладу:

1. Тема реферата/доклада может быть предложена преподавателем.

2. При оценке реферата/доклада преподаватель учитывает качество, степень самостоятельности студента и проявленную инициативу, связность, логичность и грамотность составления.

3. Оформление в соответствии с требованиями ГОСТ.

Реферат/доклад выполняется на листах формата А4 в компьютерном варианте. Поля: верхнее, нижнее – 2 см, правое – 3 см, левое – 1,5 см, шрифт Times New Roman, размер шрифта – 14, интервал – 1,5, абзац – 1,25, выравнивание по ширине. Объем реферата/доклада 15-20 листов. Графики, рисунки, таблицы обязательно подписываются (графики и рисунки снизу, таблицы сверху) и располагаются в приложениях в конце работы, в основном тексте на них делается ссылка. Нумерация страниц обязательна. Номер страницы ставится в левом нижнем углу страницы.

4. Защита тематического реферата/доклада может проводиться на выделенном одном занятии в рамках часов учебной дисциплины или конференции или по одному реферату/докладу при изучении соответствующей темы, либо по договоренности с преподавателем.

5. Защита реферата/доклада студентом предусматривает не более 5-7 минут и ответы на вопросы.

6. На защите запрещено чтение текста реферата/доклада.

7. Общая оценка за реферат/доклада выставляется  с учетом оценок за работу, умение вести дискуссию и ответы на вопросы.

Содержание и оформление разделов реферата/доклада

1. Титульный лист

2. Оглавление - в нем приводятся все заголовки работы и указываются страницы, с которых они начинаются.

3. Введение. Здесь обычно обосновывается актуальность выбранной темы, цель и содержание реферата/доклада, указывается объект/предмет рассмотрения, приводится характеристика источников для написания работы и краткий обзор имеющейся по данной теме литературы.

4. Основная часть.

5. Заключительная часть. Предполагает последовательное, логически стройное изложение обобщенных выводов по рассматриваемой теме.

6. Список использованной литературы.

7. Приложение – в этом разделе помещают вспомогательные или дополнительные материалы.

Критерии оценивания реферата/ доклада:

Критерии оценки реферата/доклада	Максим. кол-во баллов	Оценка
Новизна текста		Оценка в баллах 25 - 20 - оценка «5»; 19 - 15 - оценка «4»; 14 - 11 - оценка «3»; 10 и ниже – оценка «2»                              «2»
Актуальность темы исследования	2
Стилевое единство текста	2
Степень раскрытия сути исследуемой проблемы
Соответствие плана теме реферата/доклада	3
Соответствие содержания теме и плану	3
Полнота и глубина раскрытия основных положений	3
Обоснованность способов и методов работы с материалом	1
Умение работать с литературой	2
Умение систематизировать и структурировать	1
Умение обобщать, делать выводы, сопоставлять различные точки зрения	1
Обоснованность выбранных источников
Полнота использования работ по проблеме	1
Привлечение работ известных исследователей, новых статистических данных и т.п.	1
Требования к оформлению
Грамотность и культура оформления	1
Владение терминологией	1
Соблюдение орфографического режима	1
Соблюдение единой стилистики изложения	1
Наличие приложений	1
Средний балл
Окончательная оценка

Методические рекомендации по оформлению конспекта

Конспект - это последовательная фиксация информации, отобранной и обдуманной в процессе чтения.

Конспект:

- подразумевает объединение плана, выписок и тезисов;

- показывает внутреннюю логику изложения;

- содержит основные выводы и положения, факты, доказательства, приемы;

- отражает отношение составителя к материалу;

Основные требования к написанию конспекта: системность и логичность изложения материала, краткость, убедительность и доказательность.

При составлении конспекта необходимо избегать многословия, излишнего цитирования, стремления сохранить систематическую особенность текста в ущерб его логике.

Общий алгоритм конспектирования состоит в следующем:

·     прочитать текст, отметить в нём новые слова, непонятные места, имена, даты; составить перечень основных мыслей, содержащихся в тексте, составить простой план, который поможет группировать материал в соответствии с логикой изложения;

·     выяснить в словаре значение новых непонятных слов, выписать их в тетрадь;

·     вторично прочитать текст, сочетая чтение с записью основных мыслей автора и их иллюстраций. Запись ведется своими словами, не переписывая  текст. Важно стремиться к краткости, пользуясь правилами записи текста;

·     прочитать конспект ещё раз, доработать его.

Этапы работы:

1.        Составь план прочитанного текста или воспользуйся готовым.

2.      Разъясни кратко и доказательно каждый пункт плана, выбери разумную и эффективную форму записи.

3.      Сформулируй и запиши вывод.

Критерии оценивания конспекта:

Критерии оценивания	Максим. кол-во баллов	Оценка
Системность	3	Оценка в баллах 20 - 17 –оценка «5»; 16 - 13 – оценка «4»; 12 - 9 – оценка «3»; 8  и ниже - оценка «2»
Краткость	3
Сохранение логики материала	3
Убедительность	1
Умение  выделять главное	3
Аккуратность	1
Умение моделировать ситуацию	2
Грамотность	2
Общее впечатление	2
Общее кол-во баллов

Методические рекомендации по работе над материалом учебника

-       Найти задание по оглавлению.

-       Обдумать заголовок (т.е. ответить на вопросы: О чём идёт речь? Что мне предстоит узнать? Что я уже знаю об этом?)

-       Прочитать содержание пункта (параграфа)

-       Выделить все непонятные слова и выражения и выяснить их значение (в учебнике, справочнике, у преподавателя)

-       Задать по ходу чтения вопросы и ответить на них (О чём здесь говорится? Что мне уже известно об этом? Что именно об этом сообщается? Чем это можно объяснить? Как это соотносится с тем, что я уже знаю? С чем это нужно не перепутать? Что из этого должно получиться? Для чего это делается? К чему это можно применить? Когда и как применять?)

-       Выделить (выписать, подчеркнуть) основные понятия

-       Выделить основные теоремы или правила

-       Изучить определения понятий

-       Изучить теоремы (правила)

-       Разобрать иллюстрации (чертёж, схему, рисунок)

-       Разобрать примеры в тексте и придумать свои

-       Провести самостоятельно доказательство теоремы

-       Составить схемы, рисунки, таблицы, чертежи, используя свои обозначения

-       Запомнить материал, используя приёмы запоминания (пересказ по плану, чертежу или схеме, мнемонические приёмы, повторение трудных мест и т. п.)

-       Ответить на конкретные вопросы в тексте

Методические рекомендации по решению задач

    К выполнению и оформлению самостоятельной работы (решение задач) следует отнестись серьёзно, т. к. неправильно или небрежно выполненная работа принята не будет.

    Выполнять самостоятельную работу (решение задач)  следует в тетради, от руки, шариковой  ручкой (синими или черными чернилами), четким и аккуратным почерком. Необходимо оставлять поля для замечаний или рекомендаций преподавателя.

    Порядок оформления самостоятельной работы (решение задач) следующий:

1.    Подписывать тетрадь для самостоятельной работы (решение задач)  надо на верхней обложке тетради (а не внутри) на русском языке.

2. Задания каждого раздела выполняются на новой странице в той же последовательности, в какой они даны в самостоятельной работе (решение задач):

2.1 Внимательно прочитайте условие задачи.

2.2 Запишите условие задачи или примера.

2.3 Посередине тетради запишите слово «Решение», и производите все остальные записи и расчёты под ним.

2.4 Запишите ответ.

Показатели оценки результатов решения задачи:

- грамотная запись условия задания и ее решения;

- грамотное использование формул;

- точность и правильность результатов;

- обоснование выполнения задания.

Критерии оценивания решения задачи:

Отметка «5»:

-  в логическом рассуждении и решении нет ошибок, задача решена рациональным способом;

Отметка «4»:

- в логическом рассуждении и решения нет существенных ошибок, но задача решена нерациональным способом, или допущено не более двух несущественных ошибок.

Отметка «3»:

- в логическом рассуждении нет существенных ошибок, но допущена существенная ошибка в математических расчетах.

Отметка «2»:

- имеется существенные ошибки в логическом рассуждении и в решении;

- отсутствие ответа на задание.

Методические рекомендации по оформлению презентации

     Презентация – это представление информации для некоторой целевой аудитории, с использованием разнообразных средств привлечения внимания и изложения материала. На основе учебной литературы отбирается необходимая содержательная часть, формулируются основные тезисы, определяются ключевые моменты и ключевые слова, то есть выстраивается концепция.

1. Не перегружать слайды текстом

2. Наиболее важный материал лучше выделить

3. Не следует использовать много мультимедийных эффектов анимации. Особенно нежелательны такие эффекты, как вылет, вращение, побуквенное появление текста. Оптимальная настройка эффектов анимации – появление, в первую очередь, заголовка слайда, а затем текста по абзацам. При этом если несколько слайдов имеют одинаковое название, то заголовок слайда должен постоянно оставаться на экране.

4. Чтобы обеспечить хорошую читаемость презентации необходимо подобрать темный цвет фона и светлый цвет шрифта.

5. Текст презентации должен быть написан без орфографических и пунктуационных ошибок.

Презентация оформляется файлом в виде компьютерного файла с расширением .ppt или .pptx в режиме «Демонстрация PowerPоint». Объем презентации – не более 20 слайдов (из расчета на 5-7 минут выступления).

Защита работы: выступление с демонстрацией презентации на аудиторном занятии (регламент 5-7 минут).

Презентация должна иметь следующую структуру:

1.  Титульный слайд. На нём указывается название образовательного учреждения, тема презентации, сведения об авторе (авторах), год создания.

2.  Содержание презентации (20 слайдов).

3.  Слайд со списком использованных источников не менее 3-х источников (оформление по ГОСТу) либо слайд, содержащий выводы.

Критерии оценивания презентации:

Критерии	ДА (2 балл)	НЕТ (1 балл)	Оценка в баллах
Лаконичность, ясность			Оценка в баллах 18 - 15 -оценка «5»; 14 - 10 - оценка «4»; 9 - 4 - оценка «3»; 3 и ниже - оценка«2»
Уместность применения
Соответствие содержанию выступления
Содержательность материала презентации
Наглядность материала
Разумное использование эффектов
Название слайдов
Наличие списка источников
Дизайнерские новинки
Итог

Методические рекомендации по оформлению расчетно-графических работ

        К выполнению и оформлению самостоятельной работы (расчетно-графической) следует отнестись серьёзно, т. к. неправильно или небрежно выполненная работа принята не будет.

    Выполнять самостоятельную работу (расчетно-графическую)  следует в тетради для самостоятельной работы, от руки, шариковой  ручкой (синими или черными чернилами), четким и аккуратным почерком. Необходимо оставлять поля для замечаний или рекомендаций преподавателя.

1. Задания каждого раздела выполняются на новой странице в той же последовательности, в какой они даны в самостоятельной работе (расчетно-графической):

1.1 Внимательно прочитайте условие задачи.

1.2 Запишите условие задачи или примера.

1.3 Посередине тетради запишите слово «Решение», и производите все остальные записи и расчёты под ним.

1.4 Выполните график, схему, чертеж с помощью карандаша и линейки.

2. Запишите ответ.

Показатели оценки результатов расчетно-графической работы:

- грамотная запись условия задания и ее решения;

- грамотное использование формул;

- грамотное выполнение графика, схемы, чертежа.

- точность и правильность результатов;

- обоснование выполнения задания.

Критерии оценивания решения задачи:

Отметка «5»:

-  в логическом рассуждении и решении нет ошибок, задача решена рациональным способом и правильно выполнен график, схема, чертеж;

Отметка «4»:

- в логическом рассуждении и решения нет существенных ошибок, но задача решена нерациональным способом, или допущено не более двух несущественных ошибок. Правильно выполнен график, схема, чертеж

Отметка «3»:

- в логическом рассуждении нет существенных ошибок, но допущена существенная ошибка в математических расчетах и графике, схеме, чертеже.

Отметка «2»:

- имеется существенные ошибки в логическом рассуждении и в решении;

- отсутствует график, схема, чертеж, ответ на задание.

Самостоятельная работа обучающихся № 1

Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема № 1: «Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными»

Цель: закрепить навыки выполнения операций над матрицами, вычислению определителей второго, третьего и высших порядков, по решению систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса.

Количество часов: 2 часа

Изучаемые вопросы:

1.      Понятие матрицы. Виды матриц.

2.      Операции над матрицами.

3.      Вычисление обратной матрицы.

4.      Определители второго, третьего и высших порядков.

5.      Понятие системы трех линейных уравнений с тремя переменными.

6.      Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера.

7.      Решение  системы трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса.

8.      Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными методом обратной матрицы.

Рекомендуемая литература:

Название источника	Страницы
1. Высшая математика : учебник и практикум для СПО / под общ. ред. М. Б. Хрипуновой, И. И. Цыганок. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 474 с.
2. Математика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования /  И. Д. Пехлецкий. — 11-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательский центр «Академия», 2014. — 320 с.
3. Попов, А. М. Математика для экономистов. В 2 ч. Часть 1: учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников. — 2-е изд., пер. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 271 с.
4. Попов, А. М. Математика для экономистов. В 2 ч. Часть 2 : учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников. — 2-е изд., пер. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 295 с.

Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы:

1.      Изучить теоретические вопросы по теме.

2.      Выполнить индивидуальное задание по вариантам согласно номеру в журнале.

Виды заданий:

2.1  Вычислить определитель:

–      второго порядка;

–      третьего порядка;

–      высшего порядка.

2.2  Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

–      методом Крамера;

–      методом Гаусса;

–      выполнить проверку.

Краткие теоретические сведения:

1. Вычислить определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов

по следующему правилу: произведение по главной диагонали берется со знаком плюс, по другой диагонали со знаком минус.

 = a₁b₂  – a₂b₁              

Пример: вычислить определитель второго порядка

1)

2)

2. Вычислить определитель третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов по следующему правилу:

 

 Это определение определителя наглядно можно представить следующим образом:

                                

 

Это правила называют еще «Правило треугольника»

Пример: Вычислить определитель третьего порядка

3. Вычислить определитель высшего  порядка

В общем виде определитель n-го порядка может быть представлен следующем виде:

     

где  a_ij – элемент определителя, i – номер строки, j – номер столбца.

Возьмем a_ij в определителе и вычеркнем i строку, j столбец. В результате останется определитель порядка на единицу ниже. Такой определитель называется минором элемента a_ij. Обозначается  минор – M_ij.

Пример: Найти минор элемента а₁₂ определителя

Для этого вычеркнем первую строку, второй столбец.

В результате останется определитель порядка на единицу ниже и минор равен:

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которой расположен элемент, четная и с обратным знаком, если нечетная.

      - алгебраическое дополнение

Теорема:  Определитель n-го порядка равен сумме произведений какой либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

                                                            

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка

По теореме определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения. Найдем алгебраические дополнения элементов первой строки и разложим определитель по первой строке:

4. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

  Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

       

х₁ , х₂ , …, х_n – неизвестные,

b_1,  b₂, …., b_n  -  столбец свободных членов.

Составим главный определитель системы из коэффициентов при  неизвестных

          

Составим вспомогательные определители системы следующим образом:

          …          

Тогда решением системы является:

,   ,     …,       

Отметим следующее:

1.    Если определитель системы D ≠ 0, то система определена, т.е. имеет единственное решение

2.    Если D = Dx₁ = Dx₂ = … =Dx_n = 0, то система имеет бесконечно много решений, т.е. является неопределенной.

3.    Если D = 0, но хотя бы  один из  Dx₁, Dx_{2, … ,} Dx_n не равен нулю, то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Из – за арифметических трудностей формулы Крамера на практике используются для систем не выше третьего, четвертого порядка.

Пример:  Решить по формулам Крамера систему уравнений:

  2х + 3у = 1

   х – у = 0

Вычислим все определители:

               

Отсюда            

Ответ: ,  

Пример:  Решить по формулам Крамера систему уравнений:

  

Вычислим:

 

Тогда:

Ответ: х₁=2/3,    х₂=1,     х₃=0.

5. Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса с примером 3 на 3

Пусть дана система линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на  (в нашем случае на ), к третьей – первую строку, умноженную на  (в нашем случае на ).

Это возможно, так как 

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменную x:

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на  и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на  (в нашем случае на ).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в примере.

Решение найдём "с конца" - это называется "обратный ход метода Гаусса". Для этого из последнего уравнения определим z:  .
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:

Из первого уравнения найдём x:

Итак, решение данной системы - .

Проверить решение системы можно и методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ.

Задания для индивидуальной работы студентов:

Вариант	Задание № 2.1 Вычислить определитель: а) второго порядка; б) третьего порядка; в) высшего порядка.
1	а) D = ; б) D = ; в) D =
2	а) D = ; б) D = ; в) D =
3	а) D = ; б) D = ; в) D =
4	а) D = ; б) D = ;в) D =
5	а) D = ; б) D = ;в) D =
6	а) D = ; б) D = ;в) D =
7	а) D = ; б) D = ;   в) D =
8	а) D = ; б) D = ; в) D =
9	а) D = ; б) D = ;  в) D =
10	а) D = ; б) D = ; в) D =
11	а) D =; б) D =; в) D =
12	а) D =; б) D =; в) D =
13	а) D =; б) D =; в) D =
14	а) D =; б) D =; в) D =
15	а) D =; б) D =; в) D =
16	а) D =; б) D =; в) D =
17	а) D =; б) D =; в) D =
18	а) D =; б) D =; в) D =
19	а) D =; б) D =; в) D =
20	а) D =; б) D =; в) D =

Вариант	Задание № 2.2: решить систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными а) методом Крамера, б) методом Гаусса
1	а)              б)
2	а)             б)
3	а)          б)
4	а)        б)
5	а)         б)
6	а)           б)
7	а)          б)
8	а)              б)
9	а)           б)
10	а)          б)
11	а)          б)
12	а)          б)
13	а)             б)
14	а)          б)
15	а)       б)
16	а)          б)
17	а)         б)
18	а)         б)
19	а)          б)
20	а)        б)

Контрольные вопросы:

1.      Что называется матрицей?

2.      Какая матрица называется единичной?

3.      Что такое алгебраические дополнения к элементам матрицы?

4.      Что такое присоединённая матрица?

5.      Какая матрица называется вырожденной? Невырожденной?

6.      Какая матрица называется обратной к матрице ?

7.      Опишите суть нахождения обратной матрицы методом присоединённой матрицы.

8.      Понятие СЛАУ.

9.      Алгоритм решения систем трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью определителей.

10.  Алгоритм решения систем трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью метода Гаусса.

11.  Алгоритм решения систем трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью матричного метода.

Формы контроля за работой обучающихся:

1. Сплошная проверка наличия записей в тетрадях.

2. Проверка выполнения индивидуального задания.

Критерии оценивания письменной индивидуальной работы:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все задания выполнены верно, выполнена проверка, работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «4» ставится при двух не полностью выполненных заданиях, работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «3» ставится при выполненном верно 1 задании, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если индивидуальная работа выполнена неверно.

    Преподаватель                             ______________         Кублик Г.Е.

Самостоятельная работа обучающихся № 2

Раздел 2. Математический анализ

Тема № 2 «Дифференциальное и интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных. Ряды»

Цель: закрепить навыки по вычислению производных функций первого и  второго порядков, по исследованию функций с помощью производной; закрепить навыки по вычислению интегралов различными способами; совершенствование навыков решения обыкновенных дифференциальных уравнений; закрепление и систематизация знаний по теме «Ряды», совершенствование навыков работы с учебной литературой, с сетью Интернет.

Количество часов: 2 часа

Изучаемые вопросы:

1.        Функция одной переменной. Пределы.

2.        Непрерывность функции.

3.        Производная, геометрический смысл.

4.        Исследование функций с помощью производной.

5.        Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной.

6.        Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.

7.        Функция нескольких переменных. Применение интеграла к решению прикладных задач.

8.        Основные понятия ДУ.

9.        ДУ с разделяющими переменными.

10.    Общие и частные решения ДУ.

11.    Однородные ДУ первого порядка.

12.    Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

13.    Простейшие ДУ в частных производных.

14.    ДУ линейные относительно частных производных.

15.    Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов.

16.     Признак сходимости Даламбера.

17.    Знакопеременные ряды.

18.    Абсолютная и условная сходимость рядов.

19.    Функциональные ряды.

20.    Степенные ряды.

21.    Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Рекомендуемая литература:

Название источника	Страницы
1. Высшая математика : учебник и практикум для СПО / под общ. ред. М. Б. Хрипуновой, И. И. Цыганок. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 474 с.
2. Математика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования /  И. Д. Пехлецкий. — 11-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательский центр «Академия», 2014. — 320 с.
3. Попов, А. М. Математика для экономистов. В 2 ч. Часть 1: учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников. — 2-е изд., пер. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 271 с.
4. Попов, А. М. Математика для экономистов. В 2 ч. Часть 2 : учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников. — 2-е изд., пер. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 295 с.

Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы:

1.    Изучить теоретические вопросы по разделу 2.

2.    Выполнить индивидуальное задание по вариантам согласно номеру в журнале.

Виды заданий:

2.1    Решить ДУ:

a)      с разделенными переменными;

b)      линейное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.2   Пройти тестирование по теме «Ряды»

2.2.1 Изучить теоретические вопросы по теме с помощью лекционного конспекта, учебной литературы, сети Интернет.

-     Числовые ряды: основные понятия и определения.

-     Необходимый и достаточный признаки сходимости числовых рядов.

-     Признаки сходимости Даламбера, Коши, признаки сравнения.

-     Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.

-     Абсолютная и условная сходимость рядов.

-     Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов.

-     Функциональные ряды. Степенные ряды.

-     Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

2.2.2 Тестирование.

Краткие теоретические сведения.

1.      Производная функции и ее применение.

Обозначения: С - постоянная, х-аргумент, u, v, w – функции от х, имеющие производные.

Основные правила дифференцирования

1.    (u+v-w)^’=u’+v’-w’

2.    (u∙v)’=u’v+uv’

3.    (cv)’=c∙v’

4.    ()’=

Примеры:

1.    y’=(3^x-2x⁵+e²)’=(3^x)’- 2∙(x⁵)’+(e²)’= 3^x ln3-10x⁴

2.    y’=( 2^x•x³)’=(2^x)’•(x³)+( 2^x)• (x³)’=2^x ln2•x³+2^x• 3x²

3.  y’==

-          Производная сложной функции.

Пусть дана сложная функция у=g(u), где u=f(x).

Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке х, а функция  у=g(u) определена на множестве значений функции f(x) и дифференцируема в точке u=f(x), то сложная функция у=g(f(x)) в данной точке x имеет производную, которая находится по формуле  y’= g’(u)•f’(x).

Пример: y’= ((1+x²)⁵)’=5•(1+x²)⁴•2x

Приложение производной к исследованию функций.

-          Касательная и нормаль к плоской кривой.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. k = f ' (х0) = tgα Уравнение касательной к графику функции

у = f(x)в точке М(х₀; f(x₀)) имеет вид  у = f(x₀)+ f '(x₀)(х – х₀).

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания М(х0; f(x0)), называется нормалью к кривой.

-          Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Интервалы, на которых функция только возрастает или же только убывает, называются интервалами монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих интервалах.

Максимум.

Функция y=f(x) имеет максимум х=а, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a)>f(x).

Признаки максимума:

1.      f’(a)=0;

2.      f’(x) при переходе аргумента через х=а, меняет знак с «+» на «-».

Минимум.

y=f(x) имеет минимум х=а, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a)<f(x).

Признаки максимума:

3.      f’(a)=0;

4.      f’(x) при переходе аргумента через х=а, меняет знак с «-» на «+».

-          Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а;в]. Тогда она принимает как наибольшее, так и наименьшее значения на этом отрезке.

При решении этой задачи возможны два случая:

1) либо наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка и тогда эти значения окажутся в числе экстремумов функции;

2) либо наибольшее (наименьшее) значение функции достигается на концах отрезка [а;в].

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке [а;в] функции:

1. Найти все критические точки, принадлежащие промежутку [а;в], и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка [а;в], т.е. найти f(а) и f(в).

3. Сравнить полученные результаты; наибольшее из найденных значений является наибольшим значением функции на отрезке [а;в]; аналогично, наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.

Например. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у =х⁵ – 5х⁴ +5х³ + 3 на отрезке [- 1;2].

Решение:

1. Находим критические точки, принадлежащие интервалу (- 1; 2) и значения функции в этих точках:

у' =5 х⁴- 20х³ + 15х²; 5 х⁴- 20х³ + 15х² = 0; 5х²(х² – 4х + 3) = 0;

х¹ = 0, х² = 1, х³ = 3.

Критическая точка х³ = 3 не принадлежит заданному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в двух других критических точках:

у(0) = 3, у(1) = 4.

3. Вычислим значения функции на концах заданного отрезка:

у(- 1) = - 8, у(2) = - 5.

4. Сравнивая полученные результаты, делаем вывод, что

    -  Исследование функций и построение их графиков.

1) найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) исследовать функцию на периодичность;

4) определить точки пересечения с осями координат, если это возможно;

5) найти критические точки функции;

6) определить промежутки монотонности и экстремумы функции;

7) определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой и найти точки перегиба;

8) найти асимптоты графика функции;

9) используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой; иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Например. Исследовать функцию у = х³ – 6х² + 9х - 3 и построить еѐ график.

Решение:

1) функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(у) = R;

2) у(-х) = (-х)³- 6(-х)² + 9(-х) – 3= - х³- 6х²- 9х – 3, функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция не является периодической;

4) найдем точку пересечения графика с осью ОУ: полагая х = 0, получим у = - 3; точки пересечения графика с осью ОХ в данном случае найти затруднительно.

5) найдем производную f '(х)= 3х²- 12х + 9; найдем критические точки

f '(х)=0, 3х²- 12х + 9= 0, получим х = 1 и х = 3 – критические точки.

6) в промежутках (-∞; 1) и (3; +∞) у' >0, функция возрастает; в промежутке (1; 3) у' <0, функция убывает. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 3 – с минуса на плюс. Значит ymax = у(1)= 1, ymin = у(3) = - 3. 7) найдем вторую производную у''= 6х – 12, у''=0, 6х – 12= 0, х = 2; в промежутке (-∞; 2) у'' <0, кривая выпукла вверх, в промежутке (2; +∞) у'' >0, кривая выпукла вниз.

Получаем точку перегиба (2;-1).

8) график функции асимптот не имеет;

9) используя полученные данные, строим искомый график.

2.  Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Пусть у = F(x) имеет производную у' = f (х), тогда ее дифференциал dy = f (x) dx.

Функция F(x) по отношению к ее дифференциалу f(x) dx называется первообразной.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x) = f (x). Дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пусть F(x) - первообразная для дифференциала f (x) dx.

Тогда: (F(x) + С)' = F'(x) + С' = f (x) + 0 = f (x) , где С - постоянная.

Определение: совокупность всех первообразных функций F(x)+С для дифференциала  f (x) dx называется неопределенным интегралом и обозначается .

= F(x)+С, где - подынтегральное выражение.

С- постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.

Формулы интегрирования

-          Непосредственное интегрирование.

При непосредственном интегрировании следует пользоваться таблицей интегралов. Интегрируя функции, содержащие переменную в знаменателе дроби или под знаком радикала, нужно вводить степень с отрицательным или дробным показателем, привести подынтегральное выражение к виду какого-либо табличного интеграла.

При интегрировании произведения в ряде случаев полезно предварительно раскрыть скобки.

-          Интегрирование методом подстановки.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки (методом замены переменной интегрирования).

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2) найти дифференциал от обеих частей замены;

3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) сделать обратную замену.

       -  Определенный интеграл.

Определенный интеграл  от неотрицательной функции  с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых х=а, х=b, снизу отрезком [a; b] Ох

Приложения определенного интеграла

-          Вычисление площадей

Фигура, ограниченная кривой у = f (x), осью абсцисс и двумя прямыми, перпендикулярными к оси абсцисс, называется криволинейной трапецией. Отрезок [a;b] называется основанием криволинейной трапеции. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках а – г.

Площадь фигуры, ограниченной кривой у = f (x), где f (x) > 0, осью ОХ и двумя прямыми

х = а и х = b, выражается определенным интегралом:  

3. Основные понятия дифференциального уравнения

           Дифференциальное уравнение – равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.  - общий вид дифференциального уравнения,  где x – независимая переменная, y – неизвестная функция,  - её производная первого порядка и т.д.

             Решение дифференциального уравнения – функция, подстановка которой в это

уравнение обращает его тождество.

            Общее решение – решение дифференциального уравнения, содержащее столько

произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

           Частное решение – это решение, получающееся из общего решения при конкретных

определенных значениях произвольных постоянных C. Для нахождения частных решений

задают начальные условия .

            Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производных или

дифференциалов, входящих в это уравнение.

            Интегральная кривая -  график функции y=F(x), построенный на плоскости xOy,

являющийся решением дифференциального уравнения.  Общему решению y=F(x,C)

соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от постоянной С.

           Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную, то

решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) при начальном условии f(x₀)=y₀ существует и единственно, т.е. через точку (x₀,у₀) проходит единственная интегральная кривая данного

уравнения.

Виды дифференциальных уравнений

           Различают  обыкновенные дифференциальные уравнения  и дифференциальные уравнения в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения - уравнения, в которых одна независимая переменная. Дифференциальные уравнения в частных производных – уравнения, в которых независимых переменных две и более.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

           Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными  представлены в таблице 1

Таблица 1

Вид уравнения	Способ решения
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, если P(x,y) и Q(x,y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной, т.е. f(x)g(y)dx+(x)q(y)dy=0     (*) или	1   разделить переменные  в уравнении (*) 2   проинтегрировать 3   привести к стандартному виду

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка в таблице 2

Таблица 2

Вид уравнения	Способ решения
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где P(x,y), Q(x,y) – однородные функции одного измерения,  т.е. если в функции заменить  x=tx, y=ty и преобразовать  вернемся исходному уравнению	1   замена ,  , выразить через дифференциалы , тогда 2   решить полученное уравнение с разделяющимися переменными 3   вернуться к замене, подставить 4   привести к стандартному виду

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в таблице 3

Таблица 3

Вид уравнения	Способ решения
	1  замена , тогда  y’=u’v+v’u 2   сгруппировать первое и третье слагаемые, вынести  за скобки   (**) 3   в уравнении (**) приравнять скобку к нулю решить полученное уравнение  c разделяющимися переменными, найти u: 4   значение u подставить в уравнение (**) решить полученное уравнение  c разделяющимися переменными, найти v: 5   вернуться к замене

Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Неполные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения

в таблице 4

Таблица 4

Вид уравнения	Способ решения
	дважды проинтегрировать 1  2

Линейные однородные дифференциальные уравнения  второго порядка с постоянными

коэффициентами в таблице 5

Таблица 5

Вид уравнения	Способ решения
где p, q – заданные числа	1 составить характеристическое уравнение  2 решить его, найти корни   и  3  в зависимости от вида корней, найти общее решение, т.е. если корни -        действительные и различные  , тогда -        действительные и  равные ,  или -        мнимые   -        комплексные

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Решение: используем алгоритм решения  дифференциального уравнения с разделяющимися

переменными

а) разделим переменные 

 - дифференциальное уравнение с разделёнными переменными

 б) проинтегрируем 

Левый интеграл решаем непосредственно: , правый методом подстановки:

,

Получим 

в) т.к. С – произвольная постоянная, для удобства представим её как , тогда

уравнение примет вид , тогда ; используя

свойства логарифмов ; потенцируем последнее равенство ,

,, и окончательно  - общее решение

Пример 2.  Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

, при

Решение: для нахождения общего решения используем алгоритм решения  ЛОДУ второго

порядка с постоянными коэффициентами:

а) составим характеристическое уравнение

б) решим его с помощью дискриминанта:

  - комплексные корни

в)  - общее решение

Для нахождения частного решения найдем значение первой производной

Подставим начальные условия  в систему уравнений

         

Подставим значения С в общее решение

- частное решение (решение задачи Коши)

Пример 3.  Дано ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: Найти общее решение

Решение: составим характеристическое уравнение

D = 0           

 - действительные равные корни, т.е. общее решение запишется в виде:  

Задания для индивидуальной работы студентов:

2. Выполнить индивидуальное задание по вариантам согласно номеру в журнале.

Виды заданий:

2.1    Решить ДУ:

a)      с разделенными переменными;

b)     линейное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

1 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ:  ; б) Найти общее решение ДУ:

.

2 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ:  .

3 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ: ; б) Найти общее решение ДУ: .

4 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ: .

5 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ:  ; б) Найти общее решение ДУ: .

6 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ:  .

7 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ: ; б) Найти общее решение ДУ: .

8 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ:  ; б) Найти общее решение ДУ: .

9 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ: .

10 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ: ; б) Найти общее решение ДУ:

.

11 вариант.

2.1 Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ: .

12 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ: ; б) Найти общее решение ДУ: .

13 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ: .

14 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ:  ; б) Найти общее решение ДУ:

.

15 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ: .

16 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ: .

17 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ:  ; б) Найти общее решение ДУ: .

18 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Найти общее решение ДУ: ; б) Найти общее решение ДУ: .

19 вариант.

2.1  Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ: .

20 вариант.

2.1   Решить ДУ: а) Решить задачу Коши: , ; б) Найти общее решение ДУ: .

2.2  Пройти тестирование по теме «Ряды»

2.2.1 Изучить теоретические вопросы по теме с помощью лекционного конспекта, учебной литературы, сети Интернет:

-        Числовые ряды: основные понятия и определения.

-        Необходимый и достаточный признаки сходимости числовых рядов.

-        Признаки сходимости Даламбера, Коши, признаки сравнения.

-        Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.

-        Абсолютная и условная сходимость рядов.

-        Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов.

-        Функциональные ряды. Степенные ряды.

-        Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

2.2.2 Тестирование.

1.Четвертый член ряда равен:

А.     

Б.       

В.      

Г.       

2. Ряд  является…

А.      Степенным

Б.        Функциональным

В.       Знакочередующимся

Г.        Знакоположительным

3. Дан ряд . Используя необходимое условие сходимости ряда, сделайте вывод

А.      ряд расходится        

Б.        ряд сходится    

В.       нельзя определить сходится или расходится ряд       

Г.        другой ответ

4.Ряд исследовали на сходимость по признаку Коши, вычислили предел . Тогда можно сделать вывод, что …

А.      Данный рад сходится

Б.        Данный ряд расходится

В.       Данный ряд может как сходиться так и расходиться.

Г.        Данный ряд не существует

5. Найдите сумму рада

1.        1

2.        -1

3.        0,5

4.        -0,5

6. Установите между рядом и его названием.

Название	Ряд
1.        Рад с положительными членами 2.        Знакочередующийся ряд 3.        Степенной ряд 4.        Функциональный ряд	А.   Б.     В.    Г.

7. Установите соответствие между числовым рядом и его общим членом

Ряд	Общий член ряда
1.        2.        3.        4.	А.   Б.     В.    Г.

Контрольные вопросы:

1.        Понятие предела функции. Правила вычисления пределов.

2.        Понятие производной функции, ее физический и геометрический смысл.

3.        Правила вычисления производных функций, производной сложных функций, правила вычисления второй, третьей производной.

4.        Применение производной к исследованию функций.

5.        Понятие интеграла, правила вычисления неопределенных интегралов.

6.        Правила вычисления определенных интегралов, площадь криволинейной трапеции.

7.        Понятие обыкновенного дифференциального уравнения

8.        Порядок дифференциального уравнения

9.        Общее и частное решение дифференциального уравне­ния

10.    Дифференци­альные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

11.    Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

12.    Ли­нейные  дифференциальные уравнения первого порядка

13.    Дифференци­альные уравнения второго порядка требующие понижения

14.    Ли­нейные  однородные  дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффици­ентами

Формы контроля за работой обучающихся:

1. Сплошная проверка наличия записей в тетрадях.

2. Проверка выполнения индивидуального задания.

Критерии оценивания письменной индивидуальной работы:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все  задания выполнены верно, работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «4» ставится при 1 верно выполненном задании, работа оформлена подробно и аккуратно

Оценка «3» ставится при выполненных верно 2 заданиях, работа может содержать недочеты, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если индивидуальная работа выполнена неверно.

Критерии оценивания тестирования:

Задания  1,2,4, оцениваются в 1 балл. Задания 3 и 5 по 2 балла.

Задания 6 – 7 по 1 баллу за каждое соответствие.

Максимальное число баллов – 15

8 баллов – «3»

12 баллов – «4»

14 баллов – «5»

Преподаватель                                 ______________         Кублик Г.Е.

Самостоятельная работа обучающихся № 3

Раздел 3. Основы дискретной математики

Тема № 3 «Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Основные понятия теории графов»

Цель задания: закрепление и систематизация знаний по разделу дискретная математика и о его взаимосвязи с другими науками (понятие множества и его элементов; способы задания, изображения и виды множеств; простейшие операции над множествами и их свойства; мощность множества, понятие графа, элементы, виды, операции); закрепить навыки решения простейших задач теории множеств и задач с помощью теории графов.

Количество часов: 2 часа

Изучаемые вопросы:

1.    Элементы и множества. Задания множеств.

2.    Операции над множествами. Свойства операций над множествами.

3.    Отношения. Свойства отношений.

4.    Графы. Основные понятия.

5.    Элементы графов.

6.    Виды графов и операции над графами.

Рекомендуемая литература:

Название источника	Страницы
1. Высшая математика : учебник и практикум для СПО / под общ. ред. М. Б. Хрипуновой, И. И. Цыганок. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 474 с.
2. Математика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования /  И. Д. Пехлецкий. — 11-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательский центр «Академия», 2014. — 320 с.
3. Попов, А. М. Математика для экономистов. В 2 ч. Часть 1: учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников. — 2-е изд., пер. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 271 с.
4. Попов, А. М. Математика для экономистов. В 2 ч. Часть 2 : учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников. — 2-е изд., пер. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 295 с.

Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы:

1.    Изучить теоретические вопросы по разделу 3 с помощью лекционного конспекта, учебной литературы и сети Интернет:

-  Элементы и множества. Задания множеств.

-  Операции над множествами. Свойства операций над множествами.

-  Отношения. Свойства отношений.

-  Графы. Основные понятия.

-  Элементы графов.

-  Виды графов и операции над графами.

2.    Написать доклад/реферат с использованием презентации по одной из предложенных тем по выбору:

-   Бесконечность и множества.

-   Последовательности натуральных чисел на спирали С. Улама.

-   Использование множеств при решении задач.

-   Теория множеств Георга Кантора.

-   Графы в современном мире.

-   Графы и их применение при решении задач по математике и экономике.

-   Задача о мостах. Леонард Эйлер и теория графов.

-   Многообразие графов в нашей жизни. Уникурсальный граф.

-   Характеристики вершин и ребер графа. Хроматическое число одного плоского графа.

Контрольные вопросы:

1.      Понятия множества, пустого и универсального множества. Отношение принадлежности элемента множеству, равенство множеств. Примеры.

2.      Операции над множествами, определения, примеры. Теорема о пяти положениях.

3.      Свойства операций над множествами. Примеры.

4.      Понятие декартово произведение множеств. Примеры.

5.      Способы задания множеств. Примеры.

Формы контроля за работой обучающихся:

1. Сплошная проверка наличия записей в тетрадях.

2. Проверка написания доклада/реферата.

3. Проверка выполнения презентации к докладу/реферату.

Критерии оценивания реферата/доклада:

Критерии оценки реферата/доклада	Максим. кол-во баллов	Оценка
Новизна текста		Оценка в баллах 25 - 20 - оценка «5»; 19 - 15 - оценка «4»; 14 - 11 - оценка «3»; 10 и ниже - оценка «2»
Актуальность темы исследования	2
Стилевое единство текста	2
Степень раскрытия сути исследуемой проблемы
Соответствие плана теме реферата	3
Соответствие содержания теме и плану	3
Полнота и глубина раскрытия основных положений	3
Обоснованность способов и методов работы с материалом	1
Умение работать с литературой	2
Умение систематизировать и структурировать	1
Умение обобщать, делать выводы, сопоставлять различные точки зрения	1
Обоснованность выбранных источников
Полнота использования работ по проблеме	1
Привлечение работ известных исследователей, новых статистических данных и т.п.	1
Требования к оформлению
Грамотность и культура оформления	1
Владение терминологией	1
Соблюдение орфографического режима	1
Соблюдение единой стилистики изложения	1
Наличие приложений	1
Средний балл
Окончательная оценка

Критерии оценивания презентации:

Критерии	ДА (2 балл)	НЕТ (1 балл)	Оценка в баллах
Лаконичность, ясность			Оценка в баллах 18 - 15 -оценка «5»; 14 - 10 - оценка «4»; 9 - 4 - оценка «3»; 3 и ниже-оценка«2»
Уместность применения
Соответствие содержанию выступления
Содержательность материала презентации
Наглядность материала
Разумное использование эффектов
Название слайдов
Наличие списка источников
Дизайнерские новинки
Итого

Преподаватель                                 ______________         Кублик Г.Е.

Самостоятельная работа обучающихся № 4

Раздел 4. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема № 4 «Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Случайная величина, ее функция распределения. Характеристики дискретной случайной величины»

Цель: систематизировать знания о науке «Комбинаторика», о ее целях и задачах, о зарождении теории вероятности, закрепить умения по построению закона распределения дискретной случайной величины, функции распределения и вычислению числовых характеристик  дискретной случайной величины.

Количество часов: 3 часа

Изучаемые вопросы:

1.        Понятие комбинаторики. Элементы комбинаторики.

2.        Типы комбинаторных задач

3.        Понятие события и вероятности события.

4.        Виды событий.

5.        Классическое  и статистическое определения вероятности.

6.        Теоремы сложения и умножения вероятности.

7.        Формула полной вероятности.

8.        Теорема Байеса и теорема Бернулли.

9.        Понятие о случайной величине, дискретных и непрерывных случайных величинах.

10.    Рассмотреть закон распределения случайной величины.

11.    Числовые характеристики случайной дискретной величины.

Рекомендуемая литература:

Название источника	Страницы
1. Высшая математика : учебник и практикум для СПО / под общ. ред. М. Б. Хрипуновой, И. И. Цыганок. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 474 с.
2. Математика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования /  И. Д. Пехлецкий. — 11-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательский центр «Академия», 2014. — 320 с.
3. Попов, А. М. Математика для экономистов. В 2 ч. Часть 1: учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников. — 2-е изд., пер. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 271 с.
4. Попов, А. М. Математика для экономистов. В 2 ч. Часть 2 : учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников. — 2-е изд., пер. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2018. — 295 с.

Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы:

1.    Изучить теоретические вопросы по разделу 4.

2.    Выполнить индивидуальное задание – решение задач по теме (2 задачи по теории вероятностей и 3 задачи по случайной величине и ее функции распределения).

Краткие теоретические сведения

1. Основные понятия теории вероятности

            Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений,  т.е. таких явлений, которые при неоднократном повторении каждый раз протекают по-разному.

            Комбинаторика – это раздел теории вероятностей, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов, удовлетворяющих некоторым условиям и подсчета числа всех возможных комбинаций.

            Существует три типа комбинаторных задач: 1) на составление перестановок, 2) на составление размещений, 3) на составление сочетаний

            Перестановки -  всевозможные упорядоченные комбинации, состоящие из  n различных  элементов. Число перестановок вычисляется по формуле:

            Размещения  -   всевозможные упорядоченные комбинации m элементов, составленные из  n различных  элементов, вычисляется по формуле:  

            Сочетания -  всевозможные неупорядоченные комбинации m элементов, составленные из  n различных  элементов, вычисляется по формуле: 

При решении комбинаторных задач используют следующие правила:

Правило суммы: если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов s способами, а другой объект B может быть выбран t способами, то выбрать объект A либо B можно (s+t) способами.

Правило произведения: если объект A можно выбрать из совокупности объектов s способами и после каждого такого выбора можно выбрать объект B t способами, то объект A и B можно выбрать  способами.

            Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В,С...

Виды событий:

Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно

произойти.

Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти.

Случайное событие – это событие, которое при испытаниях может произойти или не может

произойти.

Несовместные события -  события, если в результате данного испытания появление одного

из них исключает появление другого.

Совместные события -  события, если в результате данного испытания появление одного из

них не исключает появление другого.

Равновозможные события  - события, если нет оснований считать, что одно из них происходит  чаще, чем другое.

События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно

произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Противоположные события  - два несовместных события А и Ā (читается «не А»), если в

результате испытания одно из них должно обязательно произойти.

Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Определение вероятности

            Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.

Вероятность обозначается буквой Р (probability (англ.) – вероятность).

            Классическое определение вероятности: Вероятностью Р(А) события А называется

отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу равновозможных

несовместных исходов n: Р(А)=m/n                                                                                                                         

Свойства вероятности:

-        Вероятность случайного события А находится между 0 и 1, т.е. 0<Р(А)<1                                                                                 

-        Вероятность достоверного события равна 1

-        Вероятность невозможного события равна 0

Условная вероятность – вероятность наступления событий, вычисленная в предположении, что событие уже произошло

Теоремы сложения вероятностей

-        Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих

событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).                                                         

-        Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме

вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В).                                             

Теоремы умножения вероятностей

-          Вероятность произведения 2 независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

-        Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного

из них на условную вероятность второго при условии первого:

P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

Формула полной вероятности

            Пусть событие А  может быть реализовано только при условии появления  одного  из событий H_i, i = 1,..., n. Предположим, что события H_i несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны. Такие события H_i  называются гипотезами. Тогда вероятность события А  можно вычислить  с помощью формулы полной вероятности:

Формула Байеса

           Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Н_k, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Н_k. Эти условные вероятности (т.е. при условии, что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:.

Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.

Формула Бернулли

          Под схемой Бернулли понимают конечную серию n повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления одного исхода при одном испытании обозначают p, а не появления его q, причём q=1-p. Вероятность ровно m успехов в серии из n повторных независимых испытаний вычисляется по формуле: 

Пример 1.  Для контроля качества продукции из партии готовых изделий выбирают для проверки 100 изделий. Проверку не выдерживают 5 изделий. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным?

Решение:  

n=100 - число всех исходов – количество всех изделий

m=100-5 - число благоприятных исходов  – количество качественных изделий

Ответ: 0,95 – вероятность того, что наугад взятое изделие качественное.

Пример 2.  Из 500 деталей, среди которых 100 бракованных, наугад берутся 2 детали. Какова вероятность того, что из двух взятых деталей одна бракованная?

Решение:

n - число всех исходов (взяли 2 детали из 500)

m - число благоприятных исходов (взяли 1 деталь из 100 бракованных и 1 деталь из 400 годных)               

, т.е. 32%

Ответ: 0,321 – вероятность того, что из двух взятых деталей одна бракованная.

Пример 3. Мастер обслуживает 5 станков. 30% рабочего времени он проводит у первого станка, 20 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого и, наконец, 10 % – у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится у второго или пятого станка

Решение: пусть A,B,C,D,E - события, которые состоятся, если в наугад выбранный момент времени мастер находится соответственно у 1,2,3,4-го или 5 станка. Из условия задачи следует что A,B,C,D,E попарно несовместные события.

Р(А)=0,20, Р(В)=0,10, Р(С)=0,15, Р(D)=0,25, Р(Е)=0,30.

В+Е-событие, которое состоится, если мастер находится у 2-го или 5-го станка.

По теореме сложения вероятностей

Р(В+Е)=Р(В)+Р(Е)=0,10+0,30=0,40, т.е. 40%

Ответ: 0,4 – вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у второго или пятого станка.

2. Случайная величина. Ее функция распределения. Характеристики случайной величины.

            Случайная величина - величина, которая принимает в результате испытания то или иное возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает счётное

множество значений

            Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любые значения в определённом интервале. Занумеровать все значения величины, попадающие даже в узкий интервал принципиально невозможно.

Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможное значение – соответствующими строчными буквами x, y, z.

При многократных испытаниях определённые значения случайной величины могут встречаться несколько раз. Поэтому, для задания случайной величины недостаточно перечислить лишь все её возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появляться те или иные значения в результате испытания при одних и тех же условиях, т.е. нужно задать вероятности их появления.

Случайная величина считается заданной, если известен закон распределения случайной величины. Распределением (законом распределения) случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Распределение дискретной случайной величины может быть задано в виде таблицы, в графическом и аналитическом виде.

Пусть дискретная величина X принимает значения Х=х₁, Х=х₂,…, Х=х_n. Обозначим вероятности этих событий соответственно: Р(Х = х₁) = р₁, Р(Х = х₂) = р₂,…, Р(Х = х_n) = р_n.

Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания распределения дискретной случайной величины:

Значение случайной величины х1	х1	х2	…	хn
Вероятности значений р1	р1	р2	…	рn

Так как в результате испытания случайная величина Х всегда примет одно из своих возможных значений х1, х2, … хn, то эти случайные события образуют полную группу событий и

                              _n

р₁ + р₂ + …+ р_n = ∑ p_i = 1.

                          ^{i =1}

Табличную формулу задания называют также рядом распределения.

Для наглядности ряд распределения можно представить в графическом виде, где по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений.

Функция распределения

            В ряде практических случаев вместо вероятности того, что случайная величина Х принимает некоторое определённое значение х_{i ,}необходимо знать, что случайная величина Х меньше х_i. Эта вероятность задаётся интегральной функцией распределения.

            Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F(x) = P(X < x).

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функцию F(x) можно получить, суммируя значения вероятностей по тем значениям случайной величины, которые меньше x_i, т. е. F(x_i) = P (X < x_i) = ∑ P(x_i), где неравенство x < x_i под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на все значения х меньше x_i.

Для дискретной случайной величины график функции распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию. Когда переменная х принимает какое-нибудь из своих возможных значений, функция распределения увеличивается скачкообразно на величину вероятности этого значения. Причём при переходе слева к точкам разрыва функция сохраняет своё значение. На графике это отмечено чёрной точкой. Сумма величин всех скачков функции F(x) равна 1.

Числовые характеристики случайных величин

            Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в сжатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются: математические ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

             Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности:  

             Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания. Дисперсия случайной величины Х  - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания М (Х), обозначают D(X), т.е. D(X) = M(X – M(X))²                                               

Для дискретных случайных величин эту формулу можно записать в следующем виде:

Для вычислений удобно использовать формулу: D(Х) = М(Х²) –М²(Х)

              Размерность дисперсии равна квадрату случайной величины и её неудобно использовать для характеристики разброса, поэтому удобнее применять корень квадратный из дисперсии – среднее квадратическое отклонение. Эта величина даёт представлять о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания: (Х) =

Задание.  Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики

хi	-1	2	6
pi	0,5	р	0,2

Решение: Сначала найдём неизвестное  р₂ =1– р₁ – р₃ =1–0,5–0,2=0,3

Для нахождения функции распределения воспользуемся схемой:

Получим

Построим график функции распределения

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой:   

Получим   M(X)=(-1)^.0,5+2^.0,3+6^.0,2=1,3

Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.

По определению:

В примере получим: D(X)=(-1-1,3)^{2 .} 0,5+(2-1,3)^{2 .}  0,3+(6-1,3)^{2 .} 0,2=7,21

По формуле: D(Х) = М(Х²) –М²(Х)

M(X²) = (-1)^{2 .} 0,5+2^{2 .} 0,3+6^{2 .} 0,2=8,9

М²(Х) = 1,3² = 1,69

D(X) = 8,9 – 1,69 =7,21

Проверяем: значения D(X) совпадают

Среднее квадратическое отклонение находим по формуле

(Х) =

(Х) =

Задания для индивидуальной работы студентов.

2. Решение задач по теме (2 задачи по теории вероятностей и 3 задачи по случайной величине и ее функции распределения).

1.    Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

2.    В первой и в третьей группах одинаковое число студентов, а во второй – в 1,5 раза меньше, чем в первой. Количество отличников составляет 9% в первой, 4% во второй и 6% в третьей группе. 
а) Найти вероятность того, что случайно вызванный студент – отличник.
б) Случайно вызванный студент оказался отличником. Найти вероятность того, что студент учится в третьей группе.

3.    Выход из строя коробки передач происходит по трем основным причинам: поломка зубьев шестерен, недопустимо большие контактные напряжения и излишняя жесткость конструкции. Каждая из причин приводит к поломке коробки передач с одной и той же вероятностью, равной 0,1. СВ X – число причин, приведших к поломке в одном испытании.  Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) X  и её функцию распределения F(x).  Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(Х). Построить график функции распределения.

4.    В  цехе  имеется три  резервных  электродвигателя. Для каждого  из  них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. (СВ) X – число включенных электродвигателей. Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) X  и её функцию распределения F(x).  Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(Х). Построить график функции распределения.

5.    Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики.

Х	3,2	5,2	8,1	4.5
Р	р	0,3	0,2	0.1

Контрольные вопросы:

1.        Задачи теории вероятностей.

2.        Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

3.        Понятие испытания и события.  Виды событий.

4.        Сумма и произведение событий.

5.        Определение вероятности события.

6.        Теоремы сложения и умножения вероятностей.

7.        Формула полной вероятности. Формула Байеса.

8.        Формула Бернулли.

9.         Случайная величина. Способы задания случайной величины.

10.    Определения непрерывной и дискретной случайных величин

11.    Закон распределения случайной величины

12.    Функция распределения случайной величины и её график

13.    Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение

Формы контроля за работой обучающихся:

1. Сплошная проверка наличия записей в тетрадях.

2. Проверка выполнения индивидуального задания.

Критерии оценивания письменной индивидуальной работы:

Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все 5 заданий выполнены верно, работа оформлена подробно и аккуратно;

Оценка «4» ставится при 3-4 верно выполненных заданиях, работа оформлена подробно и аккуратно

Оценка «3» ставится при выполненных 3 заданиях с недочетами или одним заданием с недочетами, работа может быть сдана не в срок.

Оценка «2» ставится, если индивидуальная работа выполнена неверно.

Преподаватель                                 ______________         Кублик Г.Е.