Методические указания к теме "Случайные события и их вероятности"

Бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Вологодской области

«Кадуйский политехнический техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ  УКАЗАНИЯ

для самостоятельной работы по математике

по теме «Случайные события и их вероятности»

КАДУЙ

2013

ОДОБРЕНЫ

МЦК по ООД  БОУ  СПО ВО «Кадуйский политехнический техникум»

Протокол №   от

Методические указания для  самостоятельной работы по математике по теме «Случайные события и их вероятности»

     Методические указания предназначены для студентов очного отделения 2 курса для всех специальностей СПО. Указания содержат сведения о требованиях к написанию и оформлению контрольных работ, краткую теорию по данной теме, примеры решений и  задания для внеаудиторной самостоятельной работы  по теме «Случайные события и их вероятности».

Составитель: Е.Е.Кормачева, преподаватель математики

Рецензент: В.И. Лукина, методист

Содержание

Введение ………………………………………………………………………….4

1. Требования к выполнению и оформлению контрольных работ ...................5

2. Теоретическая часть …………………………………………………………..5

3. Задания  для самостоятельной работы……………………………………...12

4. Литература……………………………………………………………………15

Введение

     Методические указания предназначены для студентов 2 курса всех специальностей для внеаудиторной самостоятельной работы по математике по теме «Случайные события и их вероятности».

Данные указания содержат требования к выполнению контрольных работ по математике, теоретическую часть изучаемого материала, знание которого необходимо по указанной теме. В теоретической части содержатся  примеры с решениями систем линейных уравнений разными способами.

Для более глубокого изучения элементов линейной алгебры можно воспользоваться литературой, приведенной в методических указаниях, другими учебниками, а также конспектами лекций по курсу «Математика».

4

1. Требования к  выполнению и оформлению контрольных работ

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться следующих требований:

1.         Контрольная работа должна быть выполнена на отдельном двойном

   листе в клетку пастой синего или фиолетового цвета.

2.         Работы, содержащие задачи не своего варианта,  не рецензируются.

3.         Решение каждой задачи начинается с её условия.

4.         Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все

   действия по ходу решения.

5.         Компьютерное оформление работы не рецензируется.

6.         Незачтенная работа переписывается студентом, исправления

        записывается в конце работы. Вносить исправления в текст работы   

        запрещается.

7.         Контрольная работа сдается в установленные сроки.

2. Теоретическая часть по теме «Случайные события и их вероятности»

    Событием называется результат (исход) некоторого испытания (опыта).

    Событие называется случайным, если в результате данного испытания оно может произойти, а может и не произойти.

    Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно непременно произойдёт.

    Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно никогда не может произойти.

    События называют несовместными, если в результате данного испытания они не могут произойти одновременно, иначе события называются совместными.

    Два события называются противоположными, если они являются единственными исходами испытания и несовместны.

    События принято обозначать большими буквами латинского алфавита А,В,С и т.д.

Событие, противоположное событию А,  обозначается  .

    Пример 1. Стрелок производит один выстрел по мишени. Это испытание или опыт.

   В результате этого испытания могут произойти следующие события:

   А - “стрелок не попал в мишень”

   В - “стрелок попал в мишень”

   C - “стрелок выбил 5 очков”

   D - “стрелок выбил 7 очков”

   E - “стрелок выбил менее 6 очков”    и т.д.                                                     5

      Все эти события являются случайными. События А и В являются противоположными. События В и С являются совместными (а также А и Е, B и D, В и Е, С и Е). События А и С - несовместные ( а также А и D, А и С, С и D, D и Е).

Сумма и произведение событий

   Суммой двух событий А и В называется такое событие, которое произойдёт тогда, когда произойдёт хотя бы одно из этих событий (или А, или В).

   Произведением двух событий  А и В называется такое событие, которое произойдёт только тогда, когда   события  А и В произойдут одновременно.

Пример 2.   Из колоды наугад берут одну карту.

Событие А - “карта является “дамой”.

Событие В - “карта имеет пиковую масть”

Событие С, равное сумме событий А и В, произойдет тогда, когда взятая карта окажется или одной из четырёх дам, или одной из девяти карт пиковой масти.

Событие D, равное произведению событий А и В, произойдет только тогда, когда взятая карта окажется  дамой пиковой масти.

Вероятность события

   Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов.

 Обозначается  Р( А ).                              , 

Вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.                           

Пример 3. На  карточках  написаны  числа  от 30 до 40. Наудачу  извлекают одну  карточку.  Найти  вероятность  того,  что  извлекут  карточку  с  числом кратным трем.

Решение.

Введем событие А – число кратно трем.

n= 11 (можно извлечь любую из 11 карточек),

m= 4 (чисел делящихся на три будет всего четыре:  30; 33; 36; 39).

P(A) =4/11.

Пример 4. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Каждый  из  них  с  одинаковой  вероятностью  выходит  на  любом  из  этажей, начиная  со  второго.  Вычислить  вероятность  того,  что: 1) все  пассажиры выйдут на шестом этаже; 2) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже.

Решение.

1.  Введем событие А – все пассажиры выйдут на шестом этаже.

n= 8⁵ (для одного человека возможных исходов 8, для двух -8*8=8²  , …, для

пяти – 8*8*8*8*8=8⁵)

m= 1.       P(A)= 1/8⁵ .

2.  Введем событие В – все пассажиры выйдут на одном этаже.

n= 8⁵,  m=8  ( все могут выйти либо на втором, либо на третьем, либо …,

либо на девятом этаже).

P(A)=  8/8⁵ = 1/8⁴.

    При  нахождении  общего  числа  случаев n ,  и  числа  случаев, благоприятствующих  событию  А - m,  нередко  приходится  использовать понятия комбинаторики.

     Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема

          

Пример 5. Ребенок  не  умеющий  читать  играет  с  буквами  разрезной азбуки к, к, л, л, о, о, о. Какова вероятность того, что переставляя эти буквы наугад, он составит слово «колокол».

Решение.

n=7!= 1*2*3*4*5*6*7=5040  (столько  раз  можно  переставить  семь

карточек).

m₁=2! (столько раз можно переставить букву «к»),

m₂=2!(столько раз можно переставить букву «л»),

m₃=3!(столько раз можно переставить букву «о»).                                              7

m=m₁* m₂* m₃ = 2!*2!*3!=24

Р(А)=24/5040=1/210

Пример 6. Телефонный  номер  состоит  из  шести  цифр.  Найти вероятность того, что все цифры различны.

Решение.

Введем событие А – все цифры различны.

n = 10⁶  (столько  всех  шестизначных  номеров  существует,  считая 000000 – возможным).

m = A₁₀⁶= 10*9*8*7*6*5  (столько будет существовать номеров с различными цифрами).

P(А)= A₁₀⁶/10⁶= 10*9*8*7*6*5/10⁶= 0,1512

Пример 7. Из  колоды  в 52 карты  наугад  выбирают  четыре.  Найти вероятность того, что среди них окажется один туз.

Решение.

Введем событие А – среди извлеченных четырех карт есть один туз.

   n= C₅₂⁴= 52!/4!*48!   ( столькими способами можно извлечь четыре карты из 52);

   m₁= C₄¹= 4!/1!*3!  (столькими  способами  можно  извлечь  одного  туза  из имеющихся четырех);

    Так как извлекают четыре карты, а туз должен быть один, то остальные три карты – не тузы.

m₂= C₄₈³= 48!/3!*45!

m=m₁*m₂*P(А)= C₄¹* C₄₈³/ C₅₂⁴= 4!*48!*4!*48!/1!*3!*3!*45!*52!=0.255

   Рассмотренное  решение  является  важным  применением  классического определения  вероятности.  Общая  схема  возникновения  такого  решения такова:  имеется  N  шаров (под  шаром  будем  понимать  элемент  любой природы), из них M – белых, остальные N-M – небелые. Случайным образом берут  k  шаров.  Следует  вычислить  вероятность  того,  что  среди  взятых  k шаров будет l белых шаров. Общее число исходов n = C_N^k,  l  белых шаров можно  извлечь  C_M^l - способами,  тогда  остальные  k-l  шаров  должны  быть небелыми  и  их  можно  извлечь C_N-M^k-l  - способами.  Общее  число благоприятствующих исходов равно C_M^l* * C_N-M^k-l  .

Вероятность Р(А)= C_M^l* * C_N-M^k-l  / C_N^k.

Основные теоремы теории вероятностей. Алгебра событий.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.                          Р(А+В) = Р(А) +Р(В)

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.                Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Пример 8.

   В ящике 12 белых, 7 черных и 11 синих шаров. Наугад берут один шар.

Какова вероятность того, что взят не белый шар?

      Решение.

     Рассмотрим события:

 А – «взят не белый шар»

 В – «взят черный шар»

 С – «взят синий шар»

   Событие А произойдет тогда, когда произойдет или событие В, или событие С, значит, А = В + С. События В и С несовместны, следовательно,

Р(А) = Р(В) + Р(С).

        Р(В) = ,               Р(С) = ,                 Р(А) =   

       Ответ: P(A) = 0.6

Пример 9.

  В ящике 20 деталей, причем  5 из них – стандартные. Контролер берет наугад 3 детали. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них окажется стандартной?

    Решение.

  Рассмотрим события:

А – «хотя бы одна из взятых деталей стандартная»

Событие А произойдет тогда, когда произойдет одно из следующих событий:

В – «1 стандартная деталь и 2 нестандартные»

  С – «2 стандартные детали и 1 нестандартная»

D – «3 стандартных детали»

         А = В + С + D

В, С и D – несовместные события, следовательно,

                     Р(А) = Р(В) + Р(С) + Р(D).

P(B) =

                                                                                                                 9

P(C) =

P(D) =

P(A) =                          Ответ: Р(А) =

    Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменится в связи  с наступлением или ненаступлением другого, иначе события называются ависимыми.

   Вероятность события В при условии того, что произошло событие А,  называется условной вероятностью и обозначается .

Теорема 3. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.                    

Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

                 

Пример 10. В магазин поступила партия обуви одного фасона, размера, но  разного  цвета.  В  ней 40 пар  черного  цвета, 26 – коричневого , 22 – красного, 12 –синего. Коробки с обувью оказались нерассортированными по цвету.  Найти  вероятность  того,  что  наудачу  взятая  коробка,  окажется  с обувью красного или синего цвета.

Решение.

    Введем  событие  А-  взятая  наудачу  коробка  с  обувью  красного  или синего цвета. Введем дополнительные два события :

В – коробка с обувью красного цвета;

С- коробка с обувью синего цвета.

   Алгебра  события  A = B + C  (или  коробка  с  обувью  красного  цвета  или синего). События В, С несовместные. По теореме сложения имеем

Р(А)= Р(В)+Р(С)= 22/100+12/100+34/100=0,34

Пример 11.  На  каждой  отдельной  карточке  написаны  буквы,  составляющие слово «МАШИНА». Карточки перемешали и положили в пакет. После чего извлекли  одну  за  другой (без  возвращения)  четыре  карточки.  Найти вероятность  того,  что  в  порядке  выхода  карточек  можно  прочитать  слово «ШИНА».

Решение.

Введем событие А – можно прочитать слово «ШИНА».

   Введем дополнительно еще события

A₁  - первая буква «Ш»;  A₂  - вторая буква «И»;  A₃ - третья буква «Н»;

A4₄ - четвертая буква «А».

Алгебра  события  A = A₁ * A₂ * A₃ * A₄ (одновременно  должны  наступить события  и первая буква «Ш» и вторая «И» и третья «Н» и четвертая «А»).

  События  A₁ , A₂  ,A₃ , A₄ - зависимые.

  По теореме умножения для зависимых событий:

Р(А)= Р(А₁)* Р_А1 (А₂)*Р_А1А2 (А₃)*Р_А1А2А3 (А₄)= 1/6*1/5*1/4*2/3=1/180

Пример 12.  Два  студента  решают  одну  задачу.  Вероятность  решить  задачу первому студенту равна 0,9, второму -0,7. Найти вероятность того, что оба студента решат задачу.

Решение.

   Введем событие А – оба студента решат задачу.

Введем дополнительно еще два события

A₁  - задачу решил первый студент;  A₂  - задачу решил второй студент.

Алгебра события А = A₁* A₂  (одновременное наступление событии  и первый решил и второй решил). События  A₁, A₂  - независимые.

По теореме умножения для независимых событий:

P(A)= P (A₁)* P(A₂)= 0,9*0,7 = 0,63.

Пример 13.  Нужная  студенту  формула  может  быть  найдена  в  одном  из четырех справочников  с  вероятностями  соответственно 0,7; 0,8; 0,85; 0,6.

Какова вероятность того, что студент найдет нужную ему формулу.

Решение.

   Введем  событие  А – формула  найдена (формула  найдена,  если  хотя  бы  в одном справочнике он ее найдет).

Введем дополнительные события:

A₁  - найдет формулу в первом справочнике;

A₂  - найдет формулу во втором справочнике;

A₃ - найдет формулу в третьем справочнике;

A₄  - найдет формулу в четвертом справочнике.                                                11

Перейдем к противоположному событию   - формула не найдена.

Алгебра события:  = 1* 2* 3* 4 ( и в пером справочнике не найдена и во втором не найдена и в третьем не найдена и в четвертом не найдена).

P()= P(1)*P (2 )*P(3)* P(4 )= (1− 0,7)*(1− 0,8)*(1− 0,85)*(1− 0,9)= 0,0036

Тогда P(A)=1− P()=1− 0,0036 = 0,9964.

3. Задания для самостоятельной работы

по теме «Случайные события и их вероятности»

1.  Все  буквы  русского  алфавита  написаны  на 33 карточках.  Какова вероятность  того,  что  наудачу  взятая  карточка  окажется  с  гласной буквой?

 2.  Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 5.

 3. Бросаются  две  игральные  кости.  Найти  вероятность  того,  что  сумма очков равна 8, а разность 4.

4.  На  складе  хранится 500 аккумуляторов.  Известно,  что  после  года хранения 20 штук выходят из строя. Требуется найти вероятность того, что наудачу взятый после года хранения аккумулятор окажется годным.

5.  Какова  вероятность  того,  что  четырехзначный  номер  случайно  взятого автомобиля имеет все цифры различные. Замечание: считать номер 0000 возможным.

6.  Абонент  забыл  три  последние  цифры  номера  телефона  и  набирает  их наудачу. Найти вероятность того, что он наберет правильный номер.

7. Участники жеребьевки тянут жетоны из ящика. Номера жетонов от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифру 6.

8.  В лотерее разыгрываются 1000 билетов. Среди них один выигрыш в 50 сомов,  пять – по 20 сомов,  двадцать – по 10 сомов  и  пятьдесят выигрышей  по 5 сомов.  Некто  купил  один  билет.  Найти  вероятность выигрыша не менее 10 сомов.

9. В лотерее разыгрываются 500 билетов. Крупные выигрыши падают на билеты, номера которых содержат три одинаковых цифры. Некто купил один билет. Найти вероятность того, что он выиграет крупный выигрыш.

10. В книге 50 страниц. Найти вероятность того, что номер наугад открытой страницы будет кратен 8.

11. Подброшены  две  игральные  кости.  Найти  вероятность  того,  что произведение выпавших очков будет четным.

12. Из  колоды,  содержащей 36 карт,  наудачу  извлекают  одну.  Найти вероятность того, что будет извлечена фигура любой масти. Замечание: под фигурой понимают даму, валета, короля.

13.  Ребенок не умеющий читать играет с буквами разрезной азбуки: А, Г, Е,  З,  Л,  Ь.  Какова  вероятность  того,  что  переставляя  буквы  наугад,  он составит слово «ГАЗЕЛЬ»?

14.  На  книжной  полке  случайным  образом  расставлены  четыре  книги  по математике  и  три  по  физике.  Найти  вероятность  того,  что  книги  по каждому предмету окажутся рядом.

15.  Десять человек разбились на две команды, по пять человек в каждой, для  игры  в  волейбол.  Найти  вероятность  того,  что  два  брата  попадут  в одну команду.

16.  Из  чисел 1, 2, 3, …30 случайно  отбирают 10 различных.  Найти вероятность того, что ровно 5 чисел делятся на три.

17.  В  вещевой  лотерее  разыгрываются  пять  предметов.  Всего  в  урне 30 билетов.  Первый  подошедший  к  урне  вынимает  четыре  билета.  Найти вероятность того, что два из этих билетов окажутся выигрышными.

18.  Найти  вероятность  того,  что  дни  рождения 12 человек  придутся  на разные месяцы.

19.  Среди  кандидатов  в  студенческий  совет  три  первокурсника,  пять второкурсников  и  семь  третьекурсников.  Из  этого  состава  отбирают 5 человек. Найти вероятность того, что: а) выбраны одни второкурсники; б) выбраны одни третьекурсники.

20.  В  группе 18 девушек  и 12 юношей.  Надо  выбрать  делегацию  из 2 человек.  Найти  вероятность  того,  что  будут  делегированы  юноша  и девушка.

21.  Из  десяти  деталей  две  являются  бракованными.  Наудачу  взяли 5 деталей.  Найти  вероятность  того,  что  три  детали  из  взятых  будут  не бракованными.

22.  Студент знает 20 из 30 вопросов программы. В билете 3 вопроса. Найти вероятность  того,  что  студент,  взявший  билет,  ответит  на  два  вопроса билета.

23.  Из  чисел 1, 2, 3, …30 случайно  отбирают 10 различных.  Найти вероятность того, что все отобранные числа окажутся нечетными.

24.  Колода  из 52 игральных  карт  делится  наугад  на  две  равные  части. Найти вероятность того, что в одной из частей будет ровно один туз.

25.  На  один  ряд,  состоящий  из  семи  мест,  случайным  образом рассаживаются  семь  студентов.  Найти  вероятность  того,  что  два  друга окажутся рядом.

26.  Какова  вероятность  того,  что  при  случайном  расположении  в  ряд кубиков на которых написаны буквы А, А, А, Н, Н, С, получится слово «АНАНАС».

27.  Десять человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что две подруги окажутся рядом.                          

28. В ящике 15 шаров. Из них 3 белые, пять – синие, семь – черные. Наудачу извлекают  два  шара  без  возвращения.  Найти  вероятность  того,  что  шары одного цвета.

29.  Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что  студент ответит на билет, содержащий три вопроса.

30.  В  колоде 36 карт.  Наудачу  извлекают  две  карты  без  возвращения. Найти  вероятность  того,  что  а)  извлеченные  карты  разного  цвета;  б) извлеченные карты одного цвета.

31.  В одном ящике 10 белых и пять черных шаров. Во втором ящике семь белых и три черных шара. Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару.  Найти  вероятность  того,  что  а)  оба  шара  одного  цвета;  б)  оба  шара разного цвета.

32.  На  шести  карточках  написаны  буквы  В,  Д,  З,  О,  Х,  У.  После перетасовки вынимают наугад по одной шесть карточек с последующим их возвращением.  Каждая  из  букв  на  вынутой  карточки  записывается.  Найти вероятность того, что записано слово «ВОЗДУХ».

33.  Телефонный  номер  состоит  из  шести  цифр.  Найти  вероятность  того, что при их случайном наборе номер будет оканчиваться на 240.

34.  Из чисел 1, 2, 3, …20 наудачу выбирают пять чисел. Найти вероятность того, что все числа нечетные.

35. Три охотника одновременно выстрелили по одному волку. Вероятность попадания  каждого  из  охотников  одинакова  и  равна 0,4. Определить вероятность  того,  что  волк  будет  убит,  если  для  этого  достаточно  одного

попадания.

14

Литература

1.         Г.И. Кручкович. Сборник задач по курсу высшей математики. - М.: Высшая школа, 1973.

2.          В.С. Шипачев. Высшая математика. - М.: Высшая школа. 1985.

3.         Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1975.

4.         Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1975.

                                                                                                                                15