Сотрудничество с онлайн-школой

Инфоурок › Математика ›Рабочие программы›Методические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы

Методические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы

Скачать материал

Министерство образования и науки Ульяновской области

областное государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Димитровградский технический колледж»

Методические рекомендации

по организации внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся

по учебной дисциплине

ОДП.10. Математика

по профессиям ПКРС:

23.01.03 «Автомеханик»

15.01.25 «Станочник (металлообработка)»

13.01.10 «Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям)

15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным

приборам и автоматики

(базовый образовательный уровень)

г. Димитровград, 2015

Методические рекомендации по организации внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся составлены на основе рабочей программы по учебной дисциплине ОДП .10 Математика

регистрационный номер 151901. ОДП. 10/20 от

организация-разработчик: областное государственное бюджетное учреждение среднего профессионального образования «Димитровградский технический колледж».

Рассмотрена Рекомендовано

на заседании комиссии научно-методическим советом

Математические и общие ОГБОУ СПО «ДТК»

естественнонаучные дисциплины Протокол №____

Председатель комиссии от «___» _________ 20___г.

_______________ /О.В.Русакович/

Протокол заседания

№ ________ от «___» _________ 20___г.

Разработчик:

Ф.В.Сагирова - преподаватель математики высшей категории ОГБОУ СПО «ДТК»

Оглавление …………………………………………………………………………………. 3-5

Пояснительная записка ……….…………………………………………………...……… 6-7

Перечень внеаудиторных самостоятельных работ ...………………………………… 8-10

1 семестр

Тема 1. Обобщение изученного материала за курс основной школы……………. 11 - 13

Самостоятельная работа № 1 ...………………………………………………………………. 11 Самостоятельная работа № 2 ...………………………………………………………………. 12 Самостоятельная работа № 3 ………………………………………………………………… 12 Самостоятельная работа № 4 ………………………………………………………………… 12

Тема 2. Аксиомы стереометрии и следствия из них ……………………………………. 14 Самостоятельная работа № 5 ………………………………………………………………… 14 Самостоятельная работа № 6 ……………………………………………………………….....14

Тема 3. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве …………………. 15 - 16 Самостоятельная работа № 7 ……………………………………………………………….... 15 Самостоятельная работа № 8 ……………………………………………………………….... 16 Самостоятельная работа № 9 ……………………………………………………………….... 16

Тема 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве ……………. 17- 23 Самостоятельная работа № 10 …………………………………………………………….…. 17 Самостоятельная работа № 11 …………………………………………………………….…. 18 Самостоятельная работа № 12 ……………………………………………………………….. 20 Самостоятельная работа № 13 ……………………………………………………………….. 22

Тема 5. Многогранники ……………………………………………………………….. 23 - 29 Самостоятельная работа № 14 ……………………………………………………………….. 23 Самостоятельная работа № 15 ……………………………………………………………….. 26 Самостоятельная работа № 16 ……………………………………………………………….. 27 Самостоятельная работа № 17 ……………………………………………………………….. 28 Самостоятельная работа № 18 ……………………………………………………………….. 29 Самостоятельная работа № 19 ……………………………………………………………….. 30

2 семестр

Тема 6. Объёмы и площади поверхностей многогранников …………………….. 30 - 34 Самостоятельная работа № 20 ……………………………………………………………….. 31 Самостоятельная работа № 21 ……………………………………………………………….. 34

Тема 6. Тела вращения ………………………………………………………………... 35 - 34 Самостоятельная работа № 22 ……………………………………………………………….. 35 Самостоятельная работа № 23 ……………………………………………………………….. 36 Самостоятельная работа № 24 ……………………………………………………………….. 37 Самостоятельная работа № 25 ……………………………………………………………….. 38

Тема 8. Объёмы и площади поверхностей тел вращений ………………………... 39 - 41 Самостоятельная работа № 26 ……………………………………………………………….. 39 Самостоятельная работа № 27 ……………………………………………………………….. 41

Тема 9. Декартовы координаты и векторы в пространстве …………………..…. 41 - 44 Самостоятельная работа № 28 …………………………………………………………….…. 42

Тема 10. Основные формулы тригонометрии .…………………………………….. 44 - 45 Самостоятельная работа № 29 ……………………………………………………………….. 44 Самостоятельная работа № 30 ……………………………………………………………….. 45

Тема 11. Тригонометрические функции ……………………………………….....… 46 - 49 Самостоятельная работа № 31 ……………………………………………………………….. 46 Самостоятельная работа № 32 ……………………………………………………………….. 48 Самостоятельная работа № 33 ……………………………………………………………….. 48

3 семестр

Тема 12. Решение тригонометрических уравнений и неравенств ……………..... 49 - 56 Самостоятельная работа № 34 ……………………………………………………………….. 49 Самостоятельная работа № 35 ……………………………………………………………….. 50 Самостоятельная работа № 36 ……………………………………………………………….. 52 Самостоятельная работа № 37 ……………………………………………………………….. 54 Самостоятельная работа № 38 ……………………………………………………………….. 55

Тема 13. Производная …………………………………………………………….…… 56 - 63 Самостоятельная работа № 39 ……………………………………………………………….. 56 Самостоятельная работа № 40 ……………………………………………………………….. 57 Самостоятельная работа № 41 ……………………………………………………………….. 58 Самостоятельная работа № 42 ……………………………………………………………….. 60 Самостоятельная работа № 43 ………………………………………….……………………. 61 Самостоятельная работа № 44 ……………………………………………………………….. 62

Самостоятельная работа № 45 ……………………………………………………………….. 63

Тема 14. Производная и её применение ……………………………..…………….. 64 - 70 Самостоятельная работа № 46 ……………………………………………………………….. 64 Самостоятельная работа № 47 ……………………………………………………………….. 65 Самостоятельная работа № 48 ……………………………………………………………….. 67 Самостоятельная работа № 49 ……………………………………………………………….. 68 Самостоятельная работа № 50 ……………………………………………………………….. 69 Самостоятельная работа № 51 ……………………………………………………………….. 70

Тема15. Первообразная ………………………………………………………………. 70 - 78 Самостоятельная работа № 52 ……………………………………………………………….. 71 Самостоятельная работа № 53 ……………………………………………………………….. 72 Самостоятельная работа № 54 ……………………………………………………………….. 73 Самостоятельная работа № 55 ……………………………………………………………….. 74 Самостоятельная работа № 56 ……………………………………………………………….. 75

Самостоятельная работа № 57 ……………………………………………………………… 77

Тема 16. Обобщение понятия степени ………………………………………...…….. 78 - 81 Самостоятельная работа № 58 ……………………………………………………………….. 79 Самостоятельная работа № 59 ……………………………………………………………….. 81 Самостоятельная работа № 59 ……………………………………………………………….. 81

4 семестр

Тема 17. Показательная, логарифмическая, степенная функции ………………. 82 - 89 Самостоятельная работа № 61 ……………………………………………………………….. 82 Самостоятельная работа № 62 ……………………………………………………………….. 83 Самостоятельная работа № 63 ……………………………………………………………….. 84 Самостоятельная работа № 64 ……………………………………………………………….. 84 Самостоятельная работа № 65 ……………………………………………………………….. 85 Самостоятельная работа № 66 ……………………………………………………………….. 86 Самостоятельная работа № 67 ……………………………………………………………….. 88

Тема 18. Элементы теории вероятностей ………………………………………..… 89 - 94 Самостоятельная работа № 68 ……………………………………………………………….. 89 Самостоятельная работа № 69 ……………………………………………………………….. 93

Тема 19. Итоговое повторение. Подготовка к экзамену …………………..…….. 94 - 102 Самостоятельная работа № 70 ……………………………………………………………….. 94 Самостоятельная работа № 71 …………………………………………………………….…. 95 Самостоятельная работа № 72 ……………………………………………………………….. 96 Самостоятельная работа № 73 …………………………………………………………….…. 96 Самостоятельная работа № 74 ……………………………………………………………….. 97 Самостоятельная работа № 75 ……………………………………………………………….. 99

Самостоятельная работа № 77 ……………………………………………………………… 100 Самостоятельная работа № 78 ……………………………………………………………… 101

Литература ………………………………………………………………………………….. 103

Пояснительная записка

Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся (далее - ВСР) – это планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа обучающихся, выполняемая во внеаудиторное время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия.

Целью самостоятельной работы обучающихся является:

· обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО/НПО;

· формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО / НПО;

· формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.

Задачами, реализуемые в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся, в образовательной среде колледжа являются:

· систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся;

· развитие познавательных способностей и активности обучающихся: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

· формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

· овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;

· развитие исследовательских умений.

Объем времени, отведенный на внеаудиторную самостоятельную работу, находит свое отражение:

· в рабочем учебном плане – в целом по циклам основной профессиональной образовательной программы, отдельно по каждому из учебных циклов, по каждой дисциплине, междисциплинарному курсу и профессиональному модулю;

· в рабочих программах учебных дисциплин и профессиональных модулей с ориентировочным распределением по разделам и темам.

Контроль результатов самостоятельной работы обучающихся может осуществляться в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия и самостоятельную работу по дисциплине Математика и, может проходить в письменной, устной или смешанной форме с предоставлением изделия или продукта творческой деятельности.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающегося являются:

· уровень освоения учебного материала;

· умение использовать теоретические знания и умения при выполнении практических задач;

· уровень сформированности общих и профессиональных компетенций.

Выполнение ВСР способствует формированию общих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

Указания к выполнению ВСР

1. ВСР нужно выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя.

2. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

3. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».

4. После получения проверенной преподавателем работы обучающийся должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.

5. Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения ВСР производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).

Процент результативности (правильных ответов)	Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
Процент результативности (правильных ответов)	балл (отметка)	вербальный аналог
90 ÷ 100	5	отлично
80 ÷ 89	4	хорошо
70 ÷ 79	3	удовлетворительно
менее 70	2	неудовлетворительно

Учебники:

1. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)-16-е изд.-М.: Просвещение, 2007г.- 256 с.:ил.

2. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / (Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.)- 15-е изд. М.: Просвещение, 2007 г. 384с.

Максимальная учебная нагрузка – 423 ч.

Обязательная аудиторная учебная нагрузка – 285ч.

Внеаудиторная самостоятельная работа – 138ч.

Перечень внеаудиторных самостоятельных работ по математике

№ п/п	Наименование тем	Вид работы
1 семестр
Тема 1. Обобщение изученного материала по алгебре и геометрии за курс основной школы.
1	Развитие понятия о числе	подготовить сообщения, рефераты об истории чисел
2	Решение квадратных уравнений	подготовить презентацию «Алгоритм решения квадратных уравнений»
3	Жизнь и деятельность математиков-ученых	подготовить сообщения, рефераты об ученых- математиках
4	Функции и их графики	построить графики функций
Тема 2: Аксиомы стереометрии и следствия из них.
5	Аксиомы стереометрии.	выучить теорию, КВ
6	Аксиомы стереометрии. Решение задач.	решить задачи
Тема 3: Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
7	Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве	КВ заполнить таблицу
8	Признак параллельности прямых. Решение задач.	решение задач подготовиться к терминологическому диктанту
9	Домашняя контрольная работа.	КВ, выполнить работу
Тема 4: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.
10	Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве	разгадать кроссворд
11	Перпендикуляр и наклонная	разобрать образцы задач, решить задачу
12	Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями	теоретический материал выполнение работы (по вариантам)
13	Теорема о трех перпендикулярах	КВ, решение задач
Тема 5: Многогранники.
14	Многогранники и их элементы.	работа с конспектом
15	Многогранники и их элементы.	разобрать образцы решения задач, решить задачи
16	Пирамида и их элементы.	теоретический материал, КВ
17	Пирамида и их элементы. Решение задач.	разобрать образцы решения задач, решить задачи
18	Многогранники.	заполнить таблицу
19	Изготовление моделей правильных многогранников.	практическое задание
2 семестр
Тема 6: Объёмы и площади поверхностей многогранников.
20	Определение объема и площади поверхности многогранников.	решение задач
21	Многогранники.	сообщение реферат
Тема 7: Тела вращения.
22	Цилиндр, сечение цилиндра	теоретический материал, образцы решения задач, решить задачи
23	Конус, сечение конуса	теоретический материал, образцы решения задач, решить задачи
24	Шар, сфера	теоретический материал, образцы решения задач, решить задачи
25	Тела вращения. Творческая работа	разгадать кроссворд
Тема 8: Объёмы и площади поверхностей тел вращения.
26	Площади поверхности и объем фигур вращения.	теоретический материал, решить задачи
27	Тела вращения. Творческая работа.	подготовить сообщение, реферат на тему «Тела вращения в моей профессии».
Тема 9: Декартовы координаты и векторы в пространстве - 7ч.
28	Действие над векторами в координатной форме.	теоретический материал, образцы решения задач, решить задачи
Тема 10: Основные формулы тригонометрии.
29	Основные формулы тригонометрии	выучить основные формулы тригонометрии
30	Использование тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений.	выполнить задания
Тема 11: Тригонометрические функции - 5ч.
31	Тригонометрические функциии , их свойства и графики	теоретический материал, выполнить практическое задание
32	Тригонометрические функции у=tg x, y=ctg x и их свойства и графики	теоретический материал, выполнить практическое задание
33	ДКР	практическое задание
3 семестр
Тема 12: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
34	Обратные тригонометрические функции	теоретический материал, образцы решения примеров, выполнить задание
35	Решение простейших тригонометрических уравнений	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
36	Методы решения тригонометрических неравенств	теоретический материал, образцы решения неравенств выполнить задание
37	Решение тригонометрических уравнений приведением к квадратному.	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
38	Решение тригонометрических уравнений	образцы решения уравнений, выполнить задание
Тема 13: Производная.
39	Геометрический смысл производной.	теоретический материал выполнить задание
40	Правила вычисления производных.	таблицу знать, выполнить задание
41	Вычисление производной многочлена.	выполнить тест
42	Производная сложной функции.	образцы примеров разобрать, выполнить примеры
43	Производной тригонометрических функций.	теоретический материал выполнить задание
44	Уравнение касательной .	образцы примеров разобрать, выполнить примеры
45	ДКР	выполнить задание по вариантам
Тема 14: Производная и её применение.
46	Признаки возрастания и убывания функции.	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
47	Нахождение точек экстремума.	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
48	Схема исследования функции.	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
49	Наибольшее и наименьшее значения функции	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
50	Применение производной в физике	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
51	Творческое задание	подготовить сообщение, реферат по теме
Тема15: Первообразная.
52	Понятие первообразной.	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
53	Таблица первообразных.	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание (разноуровневое)
54	Три правила вычисления первообразной	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
55	Вычисление площадей плоских фигур	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
56	Вычисление определенного и неопределенного интеграла	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
57	ДКР	выполнить задание по вариантам
Тема 16: Обобщение понятия степени.
58	Понятие степени	теоретический материал, выполнить задание
59	Решение иррациональных уравнений	теоретический материал, выполнить задание
60	Творческая работа	составить кроссворд по теме
4 семестр
Тема 17: Показательная, логарифмическая, степенная функции.
61	Решение показательных уравнений методом выноса общего множителя за скобки	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
62	Решение показательных уравнений приведением к квадратному уравнению	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
63	Решение показательных неравенств	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
64	Преобразование выражений, содержащие логарифмы	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
65	Решение логарифмических уравнений	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание
66	Решение логарифмических неравенств	теоретический материал, образцы решения уравнений, выполнить задание по вариантам
67	Творческая работа	подготовить сообщение, реферат, кроссворд
Тема 18: Элементы теории вероятностей.
68	Область применения понятия теории вероятностей	ознакомиться с информацией
69	Творческая работа	подготовить сообщение, реферат, кроссворд
Тема 19: Итоговое повторение. Подготовка к экзамену.
70	Повторение основных формул тригонометрии.	выполнить задание
71	Тригонометрические уравнения и неравенства.	выполнить задание
72	Производная. Правила вычисления производных.	выполнить задание
73	Исследование графиков функций.	выполнить задание
74	Первообразная. Интеграл.	выполнить задание
75	Решение показательных уравнений и неравенств.	выполнить задание
76	Решение логарифмических уравнений и неравенств.	выполнить задание
77	Решение иррациональных уравнений и неравенств.	выполнить задание
78	Домашняя контрольная работа	выполнить задание

1 семестр

Тема 1. Обобщение изученного материала по алгебре и геометрии за курс основной школы.

Должен уметь: применять знания на практике; выполнять арифметические операции над числами; решать простейшие линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств; строить графики простейших функций; применять формулы сокращенного умножения для преобразования выражений.

Должен знать: понятия числовых множеств, обыкновенных и десятичных дробей, положительных и отрицательных чисел; виды, свойства и графики простейших функций; формулы сокращенного умножения.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 1 на тему: «Развитие понятия о числе».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Задание для учащихся.

1. Написать сообщение или реферат на заданную тему.

Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.

Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.

Этапы подготовки сообщения:

1. Прочитайте текст.

2. Составьте его развернутый план.

3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.

4. Объедините близкие по смыслу части.

5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.

6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.

Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.

Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.

Задание: написать сообщения, рефераты на темы: «История развития счета», «Как возникли цифры», «Математика в современном мире».

Самостоятельная работа № 2 на тему: «Решение квадратных уравнений».

Цель: знать методы решения линейных, квадратных уравнений и неравенств. Применять их при решении упражнений.

Решение квадратных уравнений:

Если то

Если то корней нет

Задание: подготовить презентацию на тему: Алгоритм решения квадратных уравнений.

Самостоятельная работа № 3 на тему:

«Жизнь и деятельность математиков-ученых».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Задание: написать сообщения, рефераты на тему:

Математики - известные ученые:

1. Николай Лобачевский;

2. Софья Ковалевская;

3. Николай Боголюбов;

4. Григорий Перельман;

5. Пафнутий Чебышев;

6. Виктор Садовничий;

7. Леонтий Магницкий;

8. Владимир Брадис;

9. Константин Поссе;

10. Андрей Колмогоров;

11. Рене Декарт;

12. Эварист Галуа;

13. Карл Вейерштрасс;

14. Пьер Ферма;

15. Джон Нейман;

16. Жан Даламбер;

17. Клаус Мёбиус;

18. Евклид;

19. Пифогор;

20. Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц.

Самостоятельная работа № 4 на тему: «Функции и их графики».

Цель: проверить знания и умения обучающихся, полученные при изучении функций.

Теоретический материал (школьный):

Назва-ние функции	Фор-мула функции	График функции	Название графи-ка	Комментарий
Линейная	y = kx		Прямая	Cамый простой частный случай линейной зависимости - прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная	y = kx + b		Прямая	Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b - любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.
Квадратичная	y = x²		Парабола	Простейший случай квадратичной зависимости - симметричная парабола с вершиной в начале координат.
Квадратичная	y = ax² + bx + c		Парабола	Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a - произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c - любые действительные числа
Степенная	y = x³		Кубическая парабола	Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".

Задание: повторить виды функций по схеме и построить графики функций: у=4х; у=х²+2.

Тема 2. Аксиомы стереометрии и следствия из них.

Должен уметь: представлять плоскость на чертеже; обозначать плоскость, прямую, точку в пространстве; применять ранее полученные знания при решении задач.

Должен знать: основные элементы планиметрии и стереометрии; формулировку аксиом и следствий; основные аксиомы планиметрии.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 5 на тему: «Аксиомы стереометрии».

Цель: знать аксиомы стереометрии.

Теоретические сведения

Аксиома 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиома 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Вопросы для закрепления.

1. Что такое стереометрия? 2. Сформулируйте три аксиомы стереометрии.

3. Приведите на примерах аксиомы стереометрии.

Самостоятельная работа № 6 на тему: «Аксиомы стереометрии. Решение задач».

Цель: уметь применять аксиомы стереометрии при решении задач.

Решить самостоятельно.

1. Какое минимальное число точек определяет: а) прямую; б) плоскость? 2. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки? 3. Как расположены две плоскости, если в них содержится один и тот же треугольник? 4. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. 5. Докажите, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости. 6. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. 7. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. 8. Изобразите плоскость и лежащую в ней прямую и точку так, чтобы данная точка не принадлежала этой прямой. 9. Изобразите плоскость и лежащие в ней две пересекающиеся прямые. 10. Изобразите плоскость и пересекающую ее прямую.

Тема 3. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

Должен уметь: распознавать на чертежах и моделях параллельные прямые, плоскости; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; применять для решения задач.

Должен знать: понятия параллельности прямых на плоскости и в пространстве; понятие параллельности прямой и плоскости в пространстве; понятие параллельности плоскостей в пространстве; признаки параллельности прямых на плоскости.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 7 на тему:

«Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве».

Цель: знать теоретический материал.

Теоретические сведения

Прямые в пространстве: - пересекаются, если лежат в одной плоскости и имеют общую точку; - параллельны, если лежат в одной плоскости и не имеют общих точек; - скрещивающиеся, если не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Теорема 1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Теорема 2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Прямая - имеют одну общую точку, то пересекаются;

и - имеют более одной точки, то прямая лежит на плоскости;

плоскость - не имеют общих точек, то прямая и плоскость параллельны.

Теорема 1. (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь в этой плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости.

Задание: заполнить таблицу

Виды прямых	Общие признаки	Отличия
параллельные
пересекающиеся
скрещивающиеся

Самостоятельная работа № 8 на тему:

«Признак параллельности прямых. Решение задач».

Цель: уметь применять при решении задач.

Решить самостоятельно.

1. Используя признак параллельности прямой и плоскости, укажите прямые, параллельные плоскостям: а) в параллелепипеде; б) в призме.

2. Верно ли утверждение: прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Покажите, что в кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ диагональ АВ₁ грани АА₁В₁В параллельна грани DD₁C₁C.

4. Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку, взятую на плоскости, проведите в этой плоскости прямую, параллельную данной прямой.

5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, проведите прямую, параллельную этой плоскости.

Самостоятельная работа № 9 на тему: «Домашняя контрольная работа».

Цель: систематизировать знания, повторить и закрепить материал.

При выполнении ДКР обучающиеся не ограничены во времени, могут использовать любые учебные пособия, консультации с преподавателем.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте аксиомы А₁ — А₃, разъясните их смысл. 2. Сформулируйте и докажите признак параллельности прямой и плоскости. 3. Опишите все случаи взаимного расположения прямой и плоскости. 4. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. 5 Сформулируйте и докажите признак параллельности двух плоскостей. 7. Перечислите все случаи взаимного расположения двух прямых.

Контрольная работа (домашняя).

I вариант На сторонах АВ и АС треугольника AВС взяты соответственно точки Р и T; РТ = 4 см, АР : РВ =1 : 3. Плоскость проходит через точки Р и T и параллельна отрезку ВС. а) Докажите, что отрезки РТ и ВС параллельны, б) Найдите отрезок ВС.

II вариант Вершины B и С треугольника AВС лежат в плоскости , а вершина А не лежит в этой плоскости. Прямая а параллельна прямой АС и пересекает сторону АВ в точке М так, что AM : MB =3 : 4. а) Докажите, что прямая а пересекает плоскость . б) Найдите сторону AC, если длина отрезка прямой а от точки М до плоскости равна 7 см.

Тема 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

Должен уметь: распознавать на чертежах и моделях перпендикулярность прямых и плоскостей; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; применять для решения задач.

Должен знать: понятия перпендикулярности прямых на плоскости и в пространстве; понятие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве; понятие перпендикулярности плоскостей в пространстве; признаки перпендикулярности; понятие прямоугольного треугольника, формулировка теоремы Пифагора; понятия простейших тригонометрических функций.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 10 на тему:

«Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

1. Составить кроссворд.

Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.

Правила составления кроссвордов

1. В общем случае определение должно состоять из одного предложения.

2. Определения должны быть по возможности краткими. Следует избегать перечислений, не злоупотреблять причастными и деепричастными оборотами, не перегружать текст прилагательными. Определение кроссворда - своего рода компромисс между краткостью и содержательностью.

3. Запрещается использование в одной сетке двух и более одинаковых слов, даже с различными определениями.

4. В вопросах следует избегать энциклопедических определений. В целом работа должна быть авторской, а не перепечаткой статей из словаря.

5. Нежелательно начинать формулировку вопроса с цифры, глагола, деепричастия.

6. Запрещается использование однокоренных слов в вопросах и ответах.

7. В работе должна быть изюминка, то есть нечто, отличающее ее от миллионов других.

8. Запрещается помещать слова без пересечений (встречается и такое).

9. Не используются слова, пишущиеся через тире и имеющие уменьшительно-ласкательную окраску.

Образец оформления и составления кроссвордов:

По горизонтали:

1. Сторона прямоугольного треугольника.

4. Он есть у функции и последовательности.

8. Его штаны равны во все стороны.

10. Полный круг вращения.

13. Французский математик, специалист теории вероятностей.

14. Арифметическое действие.

16. Гектар — ... площади.

17. Часть матрицы.

18. Свойство углов.

19. Полупрямая.

22. Нейтральный элемент относительно умножения.

23. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби.

24. Наибольший общий ...

По вертикали:

2. Бублик как математический объект.

3. Положение, нуждающееся в доказательстве.

4. Поверхность, имеющая 2 измерения.

5. Линейное алгебраическое уравнение.

6. Тригонометрическая функция.

7. Один из двух экстремумов.

9. Функция по своей сути.

11. Часть прямой.

12. Линия.

15. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами.

17. Полный квадрат первого двузначного числа.

18. Для него необходимы натуральные числа.

20. В теории графов: маршрут, все ребра которого различны.

21. В теории графов: замкнутый маршрут, все ребра которого различны.

Ответы:

По горизонтали:

1-катет;

4-предел;

8-пифагор;

10-оборот;

13-пуассон;

14-умножение;

16-мера;

17-строка;

18-смежность;

19-луч;

22-единица;

23-период;

24-делитель;

По вертикали:

2-тор;

3-теорема;

4-плоскость;

5-лау;

8-синус;

7-максимум;

9-отображение;

11-отрезок;

12-кривая;

15-угол;

17-сто;

18-счёт;

20-цепь;

21-цикл.

Самостоятельная работа № 11 на тему: «Перпендикуляр и наклонная».

Цель: знать теоретический материал, уметь применять при решении задач.

Теоретические сведения

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости α.;
AC – наклонная, CB – проекция наклонной АС на плоскость α; С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Решение задач. Задача №1. Опустим перпендикуляр. Можете ли Вы опустить из данной точки A вне прямой l опустить перпендикуляр на эту прямую, проводя не более трех линий? (Третьей прямой должен быть перпендикуляр). Решение: Выбираем любую точку на заданной прямой l, задаемся радиусом к точке А и проводим окружность. Повторяем те же действия для второй окружности, пересечение окружностей друг с другом дает нам перпендикуляр к заданной прямой. Действительно проведено три линии: две окружности и вертикальная прямая AA₁. Задача №2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, равным 37, внешний угол при вершине B равен 60^o. Найдите расстояние от вершины C до прямой AB. Подсказка: Катет, лежащий против угла в 30^o, равен половине гипотенузы. Решение: Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Поскольку: ∠А + ∠С = 60^о , ∠А = ∠С, ∠А = 30^о

Ответ: 18,5.

Решите самостоятельно.

Задача №3. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12.

Подказка: Теорема Пифагора . Ответ: 13.

Самостоятельная работа № 12 на тему:

«Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями».

Цель: знать теоретический материал; уметь решать задачи.

Теоретические сведения

Угол между прямой и плоскостью.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Определим понятие угла между плоскостями.

Определение: Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.

Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями .

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.

Решить самостоятельно. Ответы обосновать.

Вариант 1

1. В кубе A…D₁ найдите угол между прямой AA₁ и плоскостью AB₁C₁.

2. В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ABC и CDD₁.

3. В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ACC₁ и BDD₁.

4. В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ABC и BC₁D.

Вариант 2

1. В кубе A…D₁ найдите угол между прямой AB₁ и плоскостью BCC₁.

2. В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ABC и CDA₁.

3. В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями ABC и BDD₁.

4. В кубе A…D₁ найдите угол между плоскостями BC₁D и BA₁D.

Самостоятельная работа № 13 на тему: «Теорема о трех перпендикулярах».

Цель: знать теорему о трех перпендикулярах, уметь применять теорему о трех перпендикулярах к решению задач.

Теоретические сведения

Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Теорема (обратная): Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Определение: Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость

Вопросы для закрепления.

1. Как найти расстояние от точки до плоскости?

2. Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же плоскости?

3. Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то, что можно сказать об их проекциях?

4. Как формулируется обратное утверждение? Справедливо ли оно?

5. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах

6. Как формулируется теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах?

7. Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проектируется?

8. Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то во что она проектируется?

9. Что называется углом между прямой и плоскостью?

Решить самостоятельно.

1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее второй. Проекция наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из

них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.

Тема 5. Многогранники.

Должен уметь: изображать основные многогранники, выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды.

Должен знать: понятия основных многогранников, основные элементы многогранников (высота, диагональ, боковое ребро); понятие прямоугольного треугольника, формулировка теоремы Пифагора; понятия простейших тригонометрических функций.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 14 на тему: «Многогранники и их элементы».

Цель: знать виды многогранников, их элементы.

Теоретический материал

Многогранник – тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов ...

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Свойства призмы

1. Основания призмы являются равными многоугольниками.

2. Боковые грани призмы являются параллелограммами.

3. Боковые ребра призмы параллельны и равны.

Различают призмы прямые, наклонные и правильные.

Диагональным сечением призмы называется ее сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, которые не лежат в одной грани.

Если секущая плоскость пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна им, то получающееся при этом сечение называется перпендикулярным сечением призмы.

Параллелепипед – это призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Свойства параллелепипеда

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называют его линейными размерами (измерениями).

У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Самостоятельная работа № 15 на тему: «Многогранники и их элементы».

Цель: уметь решать задачи.

Решение задач.

1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2. Чему будет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в 3 раза.

Решение. Пусть ребра данного параллелепипеда равны a, b и c. Тогда имеем: V=abc=2. После увеличения каждого ребра в 3 раза его объём будет равен

V=3a*3b*3c =27 abc=27*2=54.

Ответ: 54.

2. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда высотой 30 см. Если в него налить 30 л. воды, то до верхнего края останется 5 см. Сколько литров воды нужно, чтобы наполнить пустой аквариум доверху?

Решение. Пусть V и H соответственно объем и высота параллелепипеда.

V=SH . По условию V=30,H=25, тогда 25*S=30.

После заполнения пустого аквариума доверху H=30. Значит, 30*S=V.

Найдем отношение =, V=36 л. Ответ: 36.

3. Кубик весит 10 гр. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала.

Решение. Пусть V- объём данного параллелепипеда. После увеличения каждого ребра в 3 раза, его объём будет равен 27 V.

, x=270 гр. Ответ: 270.

Решите самостоятельно.

1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 32. Чему будет равен объём

параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в 2 раза. (4)

2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 36 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд той же формы, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого. Ответ выразите в сантиметрах. (4)

3. Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40 и 45 см. стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд поставить на наибольшую грань? Ответ дайте в сантиметрах. ( 24 )

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AA₁ и плоскостью BC₁D. ().

Самостоятельная работа № 16 на тему: «Пирамиды и их элементы».

Цель: знать виды пирамид, их элементы.

Пирамида – многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Свойства правильной пирамиды: 1. Боковые грани - равные равнобедренные треугольники. 2. Sбок =1/2pd, где p - периметр основания, d - апофема

Вопросы для закрепления: (по рисунку ответить на вопросы):

Как называется этот многогранник?
Как называется многоугольник А₁А₂А₃:Аn?
Как называются треугольники, из которых составлена пирамида?
Как называются стороны граней?
Что называют высотой пирамиды?
Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?
Из чего состоит площадь боковой поверхности пирамиды?
Какая пирамида называется правильной?
Что называют центром правильного многоугольника?

Самостоятельная работа № 17 на тему: «Пирамиды и их элементы. Решение задач».

Цель: уметь применять при решении задач.

Решение задач.

Решение. 1. Чем является точка пересечения диагоналей ромба АВСД? (центром) 2. Как называется такая пирамида? (правильная) 3. Какие свойства ромба вы знаете? (диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам) 4. Как найти АО? 5. Как найти АS? SД? 6. Почему наклонные SА и SС, SВ и SД равны? (имеют одинаковые проекции).

Решить самостоятельно: 1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6см и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды. 2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60?. Найдите боковое ребро пирамиды. 3. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 10см и 18 см. Высота пирамиды равна проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см Найдите боковое ребро пирамиды. 4. Основанием пирамиды – ДАВС является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС=21 см. Ребро ДА перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 5. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 30?. Чему равны боковые ребра пирамиды?

Самостоятельная работа № 18 на тему: «Многогранники и их элементы».

Цель: систематизировать знания, повторить и закрепить материал.

При выполнении ДСР обучающиеся не ограничены во времени, могут использовать любые учебные пособия, консультации с преподавателем.

Домашняя самостоятельная работа. Укажите сколько граней, ребер и вершин имеют тригонометрические многогранники:

	параллелепипед	оценка ответа	тетраэдр	оценка ответа	октаэдр	оценка ответа
Грани
Ребра
Вершины

Самостоятельная работа № 19 на тему: «Изготовление моделей многогранников».

Цель: закрепить понятие правильных многогранников, при изготовлении моделей, используя развертки.

Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.

Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. П.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.

2 семестр

Тема 6. Объем и площадь поверхности многогранника.

Должен уметь: вычислять объемы и площади поверхностей многогранников; изображать основные многогранники, выполнять чертежи по условиям задач.

Должен знать: понятия многогранников; формулы объемов и площадей поверхностей многогранников; формулы площадей выпуклых многоугольников.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 3. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 20 на тему:

«Определение объемов и площадей поверхностей многогранников».

Цель: знать формулы для вычисления площадей поверхности многогранников и уметь применять их при решении задач.

Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.

Основные формулы &Fcy;&ocy;&rcy;&mcy;&ucy;&lcy;&ycy; &ocy;&bcy;&hardcy;&iecy;&mcy;&acy; &icy; &pcy;&lcy;&ocy;&shchcy;&acy;&dcy;&icy; &pcy;&ocy;&vcy;&iecy;&rcy;&khcy;&ncy;&ocy;&scy;&tcy;&icy;: &pcy;&icy;&rcy;&acy;&mcy;&icy;&dcy;&acy; &pcy;&rcy;&icy;&zcy;&mcy;&acy; &tcy;&iecy;&tcy;&rcy;&acy;&ecy;&dcy;&rcy; &kcy;&ucy;&bcy;

Решить самостоятельно.

Вариант 1

1. Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?

2. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.

3. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

4. Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?

5. Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

6. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

Вариант 2

1. Объем куба равен 8 м³. Найдите площадь его поверхности.

2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

3. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

4. Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

5. Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?

6. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

Самостоятельная работа № 21 на тему: «Многогранники».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Задание: подготовить сообщение, реферат на тему «Многогранники в моей профессии».

Тема 7. Тела вращения.

Должен уметь: изображать основные тела вращения, выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения цилиндра, конуса, шара.

Должен знать: понятия тел вращения, основные элементы тел вращения (высота, радиус, диаметр, образующая); понятие прямоугольного треугольника, формулировка теоремы Пифагора.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 22 на тему: «Цилиндр, сечение цилиндра».

Цель: знать виды цилиндров, их элементы и уметь применять при решении задач.

Теоретический материал

Цилиндр – тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг стороны.

1. прямая OO - ось цилиндра,

2. отрезок OO- высота,

3. отрезок АА= ВВ - образующая

4. круг (О,ОВ) =кругу (O, OВ) – основание цилиндра 5. а) осевое сечение (проходит через ось) есть прямоугольник; б) сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник; в) сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, представляет собой круг.

Решите самостоятельно:

1. (задача с практическим содержанием).
Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) S_oсн цилиндра.
3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м², а площадь основания – 5 м². Найдите высоту цилиндра.

Самостоятельная работа № 23 на темуе: «Конус, сечение конуса».

Цель: знать виды конусов, их элементы и уметь применять при решении задач.

Конус – тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета. т. S – вершина конуса круг(О,ОА) – основание конуса SA=SB – образующие конуса

отрезок SO – высота конуса; прямая SO – ось конуса

Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник: а) сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину – равнобедренный треугольник; б) сечение конуса плоскостью, перпендикулярно оси симметрии – круг. Решите самостоятельно:

Самостоятельная работа № 24 по тему: «Шар, сфера».

Цель: знать шар и сферу, их элементы и уметь применять при решении задач.

Шар – тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки.

Сфера – граница шара.

Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. т. О – центр шара ОА=ОВ – радиус шара АВ – диаметр

а) Всякое сечение шара плоскостью – круг, центром которого является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

б) плоскость, проходящая через центр шара – диаметральная плоскость. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

4. Плоскость проходящая через точку А поверхности шара и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью, точка А – плоскостью касания.

Решите самостоятельно:

1. Плоскость α пересекает шар на расстоянии 8 см от его центра О. Радиус шара равен

10 см. Найдите радиус круга, полученного в сечении.

2. В шаре радиуса 6 см найдите площадь сечения, проходящего через середину радиуса.

3. В шаре радиуса 10 см проведено сечение, диаметр которого 12 см. Найдите

расстояние от центра шара до плоскости сечения.

4. Восемь металлических шаров радиуса 1 см переплавили в один. Найдите радиус полученного шара.

5. Три шарика массой по 2, 5 и 7 граммов переплавили в один. Чему равен радиус

получившегося шара.

Самостоятельная работа № 25 на тему: «Тела вращения».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Разгадать кроссворд по теме «Тела вращения».

Вопросы к кроссворду – 1. По горизонтали. 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его. По вертикали. 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

Вопросы к кроссворду – 2. По горизонтали. 1. Фигура, полученная вращением параболы вокруг её оси. 2. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой. 3. Круг, являющийся элементом конуса, плоскость которого перпендикулярна оси конуса. 4. Музыкальный инструмент, часть которого напоминает Псевдосферу Лобачевского. 5. Отрезок, соединяющий две точки окружности. По вертикали. 1. Фигура, полученная вращением гиперболы вокруг её оси. 2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 3. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его. 4. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 5. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 6. Тело вращения, принцип движения которого описала великая русская женщина-математик. 7. Фигура, полученная вращением эллипса вокруг её оси.

Ответы к кроссворду - 1. По горизонтали. 1. Круг. 2. Образующая. 3. Цилиндр. 4. Прямой. 5. Тор. По вертикали. 1. Конус. 2. Трапеция. 3. Купол. 4. Диаметр. . 6. Сфера. 7. Юла.

Ответы к кроссворду - 2. По горизонтали. 1. Параболоид. 2. Радиус. 3. Основание. 4. Труба. 5. Хорда. По вертикали. 1. Гиперболоид. 2. Высота. 3. Тор. 4. Шар. 5. Сфера. 6. Юла. 7. Эллипсоид.

Тема 8. Объем и площадь поверхностей тел вращения.

Должен уметь: вычислять объемы и площади поверхностей тел вращения; изображать тела вращения, выполнять чертежи по условиям задач.

Должен знать: понятия тел вращения; формулы объемов и площадей поверхностей тел вращения; понятия радиуса, диаметра окружности; формула площади круга.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 3. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 26 на тему:

«Площади поверхности и объем фигур вращения».

Цель: знать формулы для вычисления площадей поверхности фигур вращения и уметь применять их при решении задач.

Теоретический материал

№п/п	Наименование фигуры	Изображение	Формула площадей полной и боковой поверхности
1	Цилиндр
2	Конус
3	Сфера, шар

Решить самостоятельно:

1. Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м². Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

3. Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?; в) объемы?

4. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

5. Площадь большого круга шара равна 3 см². Найдите площадь поверхности и объем шара.

6. Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите отношение их диаметров.

Самостоятельная работа № 27 на тему: «Тела вращения».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Задание: подготовить сообщение, реферат на тему «Тела вращения в моей профессии».

Тема 9. Декартовы координаты и векторы в пространстве.

Должен уметь: находить расстояние между точками через координаты; находить координаты середины отрезка; производить действия над векторами(сложение, вычитание, умножение).

Должен знать: понятия вектора; понятия угла между прямыми, плоскостями.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 28 на тему:

«Действие над векторами в координатной форме».

Цель: знать правила действия над векторами и уметь их применять при вычислениях.

Теоретический материал

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.

Теорема. Вектор имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде /.

Решить самостоятельно

Вариант 1

№п/п	Название операции	Формулы
1	Найти длину вектора
2	Найти координаты вектора	Точка A Точка B (-1;4;-7.Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора
3	Вычислить координаты середины отрезка	Точка A Точка B (-3;4;-1 Точка С- середина отрезка АВ. С(;;
4	При каких значениях и векторы коллинеарны?
5	Проверьте перпендикулярность векторов	- условие перпендикулярности векторов
6	Найти сумму векторов
7	Найти разность векторов
8	Найти произведение вектора на число	,
9	Вычислить скалярное произведение векторов
10	Найти косинус угла между векторами

Вариант 2

№п/п	Название операции	Формулы
1	Найти длину вектора	;
2	Найти координаты вектора	Точка A Точка B (1;-4;7. Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора
3	Вычислить координаты середины отрезка	Точка A Точка B (2;-3;1 Точка С- середина отрезка АВ. С(;;
4	При каких значениях и векторы коллинеарны?
5	Проверьте перпендикулярность векторов	- условие перпендикулярности векторов
6	Найти сумму векторов
7	Найти разность векторов
8	Найти произведение на число	,
9	Вычислить скалярное произведение векторов
10	Найти косинус угла между векторами

Тема 10. Основные формулы тригонометрии.

Должен уметь: переводить из градусов в радианы (и обратно); определять углы по четвертям; определять знаки тригонометрических функций; применять основные формулы тригонометрии для преобразования выражений.

Должен знать: основное тригонометрическое тождество; основные формулы тригонометрии; формулы сокращенного умножения; сокращение дробей; разложение на множители; нахождение общего знаменателя.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 29 на тему: «Основные формулы тригонометрии».

Цель: знать основные формулы тригонометрии.

Теоретические сведения:

Основные формулы тригонометрии

;

; ; t ; .

Синус и косинус суммы и разности аргументов:

Формулы двойного аргумента:

Формулы понижения степени:

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение:

Самостоятельная работа № 30 на тему: «Использование тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений».

Цель: закрепить навыки преобразования тригонометрических выражений.

Решить самостоятельно

1. Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:

; б); в); ;

; е) .

2. Известно, что , . Найдите:

3. Представить в виде произведения:

; б) ; г) ;

4. Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности

аргументов: ; .

5. Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности

аргументов:

;

6. Представить в виде произведения:

; в); г)

Тема 11. Тригонометрические функции.

Должен уметь: строить графики тригонометрических функций; проводить исследование функций по схеме.

Должен знать: свойства тригонометрических функций; схему исследования функций; понятия сжатия, растяжения, параллельного переноса.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 31 на тему: «Тригонометрические функциии , их свойства и графики».

Цель: закрепить навыки преобразования графиков тригонометрических функций.

Теоретические сведения

Свойства функции	Свойства функции


Во всех следующих свойствах считаем, что
-- возрастает на	-- возрастает на
-- убывает на	-- убывает на
,	,
,	,

Построить самостоятельно. 1. В одной системе координат построить графики функций одной группы и описать их свойства:

а) , , , , б) , , , ,

Самостоятельная работа № 32 на тему:

«Тригонометрические функции у=tg x, y=ctg x и их свойства и графики».

Цель: закрепить навыки преобразования графиков тригонометрических функций.

Теоретические сведения. Функции тангенс и котангенс.

Числовые функции, заданные формулами y=tg(x) и y=ctg(x), называют соответственно тангенсом и котангенсом (и обозначают соответственно tg и ctg).
Областью определения функции тангенс является множество всех чисел x кроме тех, где cos(x)=0: x≠π/2+πn, где n - любое целое число.
Областью определения функции котангенс является множество всех чисел x кроме тех, где sin(x)=0: x≠πn, где n - любое целое число.

Самостоятельная работа № 33 на тему: «Домашняя контрольная работа».

Цель: систематизировать знания, повторить и закрепить материал.

Проверочная (домашняя) работа.

Вариант №1

Вариант №2

1. Постройте график функции ;

2. Укажите область значений данной функции;

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на интервале

1. Постройте график функции ;

2. Укажите область значений данной функции;

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале

3 семестр

Тема 12. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Должен уметь: решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства; решать более сложные уравнения и неравенства (метод разложения на множители; приведением к квадратному, применением основных формул тригонометрии).

Должен знать: формулы решения простейших тригонометрических уравнений; схемы решения тригонометрических неравенств; алгоритм решения полных и неполных квадратных уравнений.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 34 на тему:

«Обратные тригонометрические функции».

Цель: знать понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Теоретический материал

Формулы для повторения

arcsin( a) = arcsin a

arccos (a) =

arctg (a) = arctg a

arcctg (a) = arcctg a

Образцы примеров:

1. arcSin (√3 ∕ 2= π /3, так как Sin π /3=√3 ∕ 2

arcSin (-√2 ∕ 2)= -arcSin √2 ∕ 2= - π/4, так как Sin (-π /4)= -√2 ∕ 2

Вычислите: arcSin0= arcSin1=

arcSin(-½)= аrcSin3=

2 . arcCos (√3 ∕ 2)= π /6, так как Cos π /6=√3 ∕ 2

arcCos(-а)= π- arcCos а

arcCos (-√3 ∕ 2)= π- arcCos √3 ∕ 2= π- π/6 =5π/6

Вычислите: arcCos1= arcCos(√2 ∕ 2)=

arcCos 5= arcCos ½=

arcCos (-√2 ∕ 2)= arcCos 0=

3. arcTg (√3)= π /3, так как Tg π /3=√3

arcTg(-а)= - arcTg а

arcTg (-1/√3)= - arcTg (-1/√3)= - π/6

Вычислите: arcTg1= arcTg(-1)=

arcTg 5= arcCtg 1=

Самостоятельная работа № 35 на тему:

«Решение простейших тригонометрических уравнений».

Цель: знать формулы и методы решения простйших тригонометрических уравнений.

Общие формулы решения тригонометрических уравнений

;

tg tgx = a, a – любое число

T x = arctg x +

I ctg x = a, a – любое число

х= arcctgx +

Частные решения тригонометрических уравнений

sin x=0

х=

sin x=1

sin x=-1 x=

cos x=0

cos x=1

cos x=-1

Значение тригонометрических функций

град	0⁰	30⁰	45⁰	60⁰	90⁰
радиан	0
sin	0				1
cos	1				0
tg	0		1		не существ
ctg	Не существ		1		0

Задание: переписать формулы в тетрадь.

Образцы примеров:

а) 2cosx+=0;

cosx=; х=±arccos()+2πn, n∈Z, x=±+2πn, n∈Z.

б) 2sinx-1=0

2sinx=1; sinx=, х=(-1)^karcsin+πk, k∈Z, х=(-1)^k+πk, k∈Z.

в) sin()=

-sin= ; =(-1)^karcsin(-)+πk, k∈Z , =(-1)^k⁺¹arcsin()+πk, k∈Z ,

=(-1)^k⁺¹+πk, k∈Z , x=(-1)^k⁺¹+3πk, k∈Z .

Решить самостоятельно:

ВАРИАНТ 1

1. Решить уравнения:

а) 2 – = 0

б) tg2x + 1= 0

в) 2sinx+1=0

ВАРИАНТ 2

1. Решить уравнения:

tgx – 1 = 0

б) 2sin = 1

в) 2cosx+=0

Самостоятельная работа № 36 на тему:

«Методы решения простейших тригонометрических неравенств».

Цель: знать методы решения тригонометрических неравенств и применять их при решении упражнений.

tg x > a; tg x a; tg x < a; tg x a.

Решить самостоятельно:

№ 1. Решить неравенство: .

a) ; в) ;

б) ; г) .

№ 2. Решить неравенство: .

a) ; в) ;

б) ; г) .

Самостоятельная работа № 37 на тему:

«Решение тригонометрических уравнений приведением к квадратному».

Цель: знать формулы и методы решения тригонометрических уравнений и применять их при решении упражнений.

Формулы для повторения:

, .

Если , то корни квадратного уравнения находим по формуле:

Образец №1 решения уравнения:

Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z² – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z₁= 2 и z₂ =.

Значит, либо sin x = 2, либо sin x = . Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим

Решите самостоятельно:

а) 3sin²x – 5sinx – 2 = 0; б) 6cos²x + cosx – 1 = 0; в) 3tg²x + 2tgx – 1 = 0.

Образец № 2 решения уравнения:

Решение. Воспользуемся тем, что

Тогда заданное уравнение можно записать в виде:

После преобразования получим:

Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:

2z² –z -1 = 0. Решая его, находим z₁= 1, z₂=

Значит, либо cos x = 1, либо cos x =

Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение

Решая второе уравнение, находим решение:

xarccos

) +

+ 2

Решите самостоятельно:

а) 2sin²x + 3cosx = 0; б) 5cos²x + 6sinx – 6 = 0; в) 2 сtgx + 3tgx – 2 = 0.

Самостоятельная работа № 38 на тему:

«Решение тригонометрических уравнений».

Цель: знать формулы и методы решения тригонометрических уравнений и применять их при решении упражнений.

Образец решения уравнения:

Решение. С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом.

Известно, что - это тождество верно для любого значения х.

Тогда .

Заменив в первом уравнении 2 на , получим:

sinxcosx + 5

Обе части уравнения разделим на cos²x почленно

Так как , то полученное уравнение запишем в виде:

tg²x -

Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:

+3=0, решая уравнение, получим: t =

Итак, tg x=x= arctg x= , .

Решить самостоятельно:

а) 2; б)

Тема 13. Производная.

Должен уметь: вычислять производные простой и сложной функции, производные одночлена и многочлена, производные тригонометрических функций; решать неравенства методом интервалов, определять область определения функции; записывать уравнение касательной к графику функции.

Должен знать: таблицу и правила вычисления производных; алгоритм решения уравнений и неравенств; виды и графики функций.

Компетенции: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем. ОК 4. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа № 39 на тему: «Геометрический смысл производной».

Цель: иметь понятие о геометрическом смысле производной; уметь находить тангенс угла наклона касательной к оси ох.

Теоретический материал

Решить самостоятельно:

Задание

Вариант 1

Вариант 2

Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Самостоятельная работа № 40 на тему: «Правила вычисления производных».

Цель: уметь применять таблицу и правила производных для вычисления производных.

Таблица производных		Правила вычисления производных
(С)΄ = 0, где С – постоянное число	( )΄ = -	(υ ѵ)΄ = υ΄ ΄
(Сх)΄ = С х΄	()΄ =	(υѵ)΄= υ΄ѵ + υѵ΄
(х)΄ = 1	С()΄ =	΄ =
(х²)΄ = 2х	)΄ =
()΄ = n	(sinх)΄=cоs х
()΄ = Сn	(cоs х)΄ = - sin х
( )΄ = -	(tg х)΄ =

Задание: записать формулы в тетрадь.

1. Решите самостоятельно:

2. Найдите производную следующих функций:

Самостоятельная работа № 41 на тему: «Вычисление производной многочлена».

Цел: углубление понимания сущности производной путем применения ее для получения новых знаний. воспитание познавательного интереса к учебному предмету; воспитание у учащихся к культуры мышления; формирование умений строить доказательство, логическую цепочку рассуждений.

Теоретический материал

1.1. Производная суммы равна сумме производных (u + v)`= u` + v`

1.2. Производная произведения равна (u • v)`= u`v + u v`

1.3. Производная частного равна

1.4. Производная степенной функции

Выполнить тест (самостоятельно).

Вариант I.

Часть А. К каждому заданию А дано несколько ответов, из которых один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с предложенным. Выберите правильный ответ, поставьте крестик (х), номер с которой соответствует выбранного Вами ответа.

А_1. Производной функции y=4x⁷ является 1) 7x⁶; 2) 28x⁶;3) 8x⁶ ; 4) 27x⁶.
A_2.Производной функции y=x⁴-2x –

     1) 4x³-2-;            2) 4x-2+;                3) 4x³-2+;            4) 4x²-2

A_3. Производной является       1 ) ; 2) ;    3)     4)

A₄. Производной функции является
1) ;        2) ;                  3) ;        4)

А₅ Производной функции является

1) ;     2) ;          3) ;             4)
Часть В.   Решите задания, получите ответ.

Найдите производную функции.

1);         2 )

Вариант 2.

Часть А. К каждому заданию А дано несколько ответов, из которых один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с предложенным. Выберите правильный ответ, поставьте крестик (х), номер с которой соответствует выбранного Вами ответа.

А₁. Производной функции y=5x⁶ является   1) 5x;   2) 30 x⁶;     3) 30 x⁵;        4) 6x⁵

А_2. Производной является

1) ;               2) ;            3) ;         4)

А₃. Производной является        1) ;         2) ;       3) ;      4)

А₄. Производной функции является

1) 2) 3) 4)

А₅Производной функции является

1) 2) 3) 4)

Часть B. Решите задания, получите ответ.

Найдите производную функции решив задания.

1) ;        2)

Самостоятельная работа № 42 на тему: «Производная сложной функции».

Цель: уметь вычислять производные сложной функции.

Теоретический материал

&Pcy;&rcy;&ocy;&icy;&zcy;&vcy;&ocy;&dcy;&ncy;&acy;&yacy; &scy;&lcy;&ocy;&zhcy;&ncy;&ocy;&jcy; &fcy;&ucy;&ncy;&kcy;&tscy;&icy;&icy;

Пример 1: Найти производную функции у = (x³ - 5х + 7)⁹.

Решение: Обозначив в «уме» u = х³ – 5x +7, получим у = u⁹. Найдем:

По формуле имеем

Решите самостоятельно:

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

№	Задание	Ответы
№	Задание	А	В	С
1
2
3
4
5

Самостоятельная работа № 43 на тему:

«Производная тригонометрических функций».

Цель: знать формулы и уметь вычислять производные тригонометрических функций..

Теоретический материал:

(sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tgx)' = ; (ctgx).

Образцы примеров:

а) (sinx +cosx)' = cos x – sinx; б) (4cosx)' = -4sinx; в) (sin3x)' = 3cos3x;

г) (5cos(-2x))' = -10sin2x; д) (' = ; е) (-ctg(1-2x))' = -;

ж) (sin(2x+' = (-sin2x)' = -2cos2x; з) (tg(3x-7))' = ;

и) (cos (' = (cos(' = (sin' =

к) (ctg ())' = .

Решите самостоятельно:

Найдите производные функций:

g(x) = sinx + 14;
а) cosх+14; б) cosх; в) -cosх

f(x)= cosx – 13;
а) sinх; б) -sinх; в) sinх-13

f(x) = tgx + 19;
а) –tgх; б) 1/cos²х; в) -1/cosх

g(х)=2sin²2х
а) .2sin2х; б) 4sin4х; в).8sin4х

h(x) = x²+ sinx ;
а) .2х-cosх; б) 2х+sinх; в) 2х+cosх

g(x) = 3cosx ;
а) 3sinх; б) -3sinх; в) 3-sinх

h(x) = 3cos(4x-11);
а) -cos(4х-11); б) -3sin(4х-11); в) 12sin{4х-11).

Самостоятельная работа № 44 на тему: «Уравнение касательной".

Цель: уметь записывать уравнение касательной.

y = f(x₀) + f '(х₀)(x - x₀)- уравнение касательной

Решение опорных задач.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение:

Вычислим значение функции: f(-2) =(-2)³ – 3(-2) – 1 = -3;
найдём производную функции: f '(х) = 3х² – 3;
вычислим значение производной: f '(-2) = - 9.;
подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Ответ: y = 9x + 15.

2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y₀ = 1.
Решение:

Найдем абсциссу точки касания: , х₀ = 1.
Найдём производную функции: f '(х) = .
Найдем угловой коэффициент касательной f '(х₀) : f '(1)= - 1
Теперь можно записать уравнение касательной: y = –1(x – 1) + 1 = –x + 2.

Ответ: y = –x + 2.

Решите самостоятельно:

1. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ = 3.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х² - 4 в точке с абсциссой х₀ = - 2. Выполните рисунок.

Самостоятельная работа № 45 на тему: «Домашняя контрольная работа».

Цель: систематизировать знания, повторить и закрепить материал.

Вариант I

Вариант II

Вариант III

1. Найти значение производной в точке х₀

а) f(x) = 4x² +6x+3, x₀= 1;

б) ;

в) f(x) = (3x²+1) (3x²-1), х₀=1;

г) f(x)=2x·cosx,

1. Найти значение производной в точке х₀

а) f(x) = х⁴ -3x²+5, x₀= -3;

б) ;

в) f(x) = (2x²+1) (4+х³), х₀= 1;

г) f(x)=2x·sinx-1,

1. Найти значение производной в точке х₀

а) f(x) = 7x² -56x+8, x₀= 4;

б) ;

в) f(x) = (x²+1) (x³-2), х₀= 1;

г) f(x)=3x·sinx,

2. Найдите производную функции:

а) f(x) = sin (4x-7);

б) f(x) = .

2. Найдите производную функции:

а) f(x) = сos(4x+5);

б) f(x) = .

2. Найдите производную функции:

а) f(x) = сos(0,5x+3);

б) f(x) = .

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции

f(x) = 4 - x²в точке х₀= -3.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции

f(x) = 0,5x²+ 1в точке х₀= 3.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции

f(x) = 2x²+ x в точке х₀= -2.

4. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x³-3x²+2х - 1

в точке с абсциссой х₀= 2.

4. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x²+2x+1

в точке с абсциссой х₀= - 2.

4. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = -x²-3x + 2

в точке с абсциссой х₀= -1.

Тема 14. Применение производной.

Должен уметь: вычислять производные функции; решать неравенства методом интервалов; находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума; вычислять наибольшее и наименьшее значения функции; проводить исследование функции.

Должен знать: таблицу и правила вычисления производных; признаки возрастания и убывания; признаки точек min и max; алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; схему исследования функции.

Самостоятельная работа № 46 на тему:

«Признаки возрастания и убывания функции».

Цель: знать условия возрастания, убывания функции.

Теоретические сведения

Признак возрастания функции: Если в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция возрастает.

Признак убывания функции: Если в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция убывает.

Признак максимума функции: Если функция непрерывна в точке х₀, а на интервале и на интервале , то x₀ является точкой максимума.

Упрощённая формулировка: Если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума.

Признак минимума функции: Если функция непрерывна в точке х₀, а на интервале и на интервале , то x₀ является точкой минимума

Упрощённая формулировка: Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка максимума.

Пример 1. Найти промежутки монотонности f(x) = x² - 4.

Решение:

1) Функция определена для всех R.

2) Найдем производную: f '(x)= 2х .

3) Таким образом, данная функция убывает на промежутке: -∞< x <0;а возрастает на промежутке: 0<x< +∞ .

Решить самостоятельно:

Задание

Вариант 1

Вариант 2

Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания

Самостоятельная работа № 47 на тему: «Нахождение точек экстремума» .

Цель: знать условия точек максимума и минимума функции и уметь находить точки минимума и максимума.

Теоретические сведения

Упрощённая формулировка: Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума.

Алгоритм исследования непрерывной функции у=f(х) на монотонность и экстремумы:

Найти производную функции;
Найти стационарные и критические точки: f´(х)=0
Отметить стационарные точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. Сделать вывод о монотонности функции и точках экстремума.

Пример: Найдите точки экстремума функции: у=3х⁴-16х³+24х²-14.

Решение: 1. f '(х) = 12х³-48х²+48х;

2. f '(х) = 0, 12х³-48х²+48х = 0;

12х(х²-4х+4)=0;

12х=0 или х²-4х+4=0;

х₁=0, х₂=2.

3. f (-1) = 3·(-1)⁴-16·(-1)³+24·(-1)²-11=3+16+24-14= + 29,

f (1) = 3·1⁴-16·1³+24·1²-14=3-16+24-14=-3,

f (3) = 3·3⁴-16·3³+24·3²-14= 243-384+216-14= + 51.

Ответ: х=0 –точка max, х=2 – точка min.

Решить самостоятельно:

1. Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания

2. Найти экстремум функции: ; б)

3. Найдите точку максимума этой функции:

4. Найдите точку минимум этой функции на отрезке [-2;4]

5. Найдите сумму точек экстремума этой функции:

6. Найдите сумму точек экстремума этой функции:

Самостоятельная работа № 48 на тему: «Схема исследования функции».

Цель: знать схему исследования функции и уметь применять для решения примеров.

Схема исследования функции.

· Находим область определения;

· Вычисляем производную;

· Находим стационарные точки

· Определяем промежутки возрастания и убывания;

· Находим точки максимума и минимума;

· Вычисляем экстремум функции;

· Данные заносят в таблицу.

· На основании такого исследования строится график функции.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f(x) = x³–3x²и найти ее промежутки монотонности.

1. Решение:

1) Функция определена для всех R. Найдем производную: f '(x)=3x²–6x.

2) Из уравнения 3x²–6x = 3x(x–2) = 0 получим критические точки функции x₁=0 и x₂=2.

3) Так как при переходе через точку x₁=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

4) При переходе через точку x₂=2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке x₂= 2 у функции минимум.

5) Составим таблицу:

x	(∞;0]	0	[0; 2]	2	[2; +∞)
f '(x)	+	0	–	0	+
f (x)	↑	f_max(0) = 0	↓	f_min(2) = – 4	↑

Ответ: таким образом, данная функция функция возрастает (-∞;0] и [2; +∞), функция убывает [0; 2]; (0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума;

Решить самостоятельно:

Исследовать функцию и построить график:

а) (В I)

б) (В II)

Самостоятельная работа № 49 на тему:

«Наибольшее и наименьшее значения функции».

Цель: уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции.

Теоретические сведения:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(x) на отрезке [a;b]:

1. Найти производную f´(х)

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри oтрезка [a;b]

3. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри oтрезка [a;b]

Образец примера: Найти наибольшее и наименьшее значение функции ОДЗ функции

1. ОДЗ функции – множество действительных чисел.

2. $f^{prime}(x)=3x^2-4x$

3. , если или

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание – убывание, можно схематично изобразить ее график:

Решите самостоятельно:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 3х² - 45х + 1 на [-4; 6].

Самостоятельная работа № 50 на тему:

«Применение производной в физике и механике».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Образцы примеров:

Задача 1. Материальная точка движется по прямой по закону S(t) =. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Решение:

S(t) =.

V(t) == 8 - 3, = 8 – 27 = - 19;

а(t) = = -6t, а(3) = - 18. Ответ: -19, -18.

Задача 2. Точка движется прямолинейно по закону (x измеряется в метрах, t в секундах). Напишите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2.

Решение:

V(t) =, V(t) = =12t²+22t;

- ? =92м/с Ответ: 12t² + 22t; 92м/с.

Задача 3. Основание параллелограмма а изменяется по закону , а высота b по закону

Вычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).

Решение:

S(t) =, S(t) =(3+7t)(3+8t) =56t² +45t +9;

- ?, =112t +45; =493 см²/с.

- ? (см²/с) Ответ: 493 см²/с.

Решить самостоятельно:

Задача. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t²- 6 t+1. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?

Самостоятельная работа № 51 на тему:

«Применение производной в физике и механике».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Задание: подготовить сообщение, реферат по теме «Применение производной в физике и механике».

Тема 15. Первообразная.

Должен уметь: вычислять первообразные функций; вычислять площадь криволинейной трапеции; находить простые определенные и неопределенные интегралы.

Должен знать: таблицу и правила вычисления первообразных; формулу вычисления площади криволинейной трапеции; понятия определенного и неопределенного интеграла.

Самостоятельная работа № 52 на тему: «Понятие первообразной».

Цели: знать понятие первообразной; рассмотреть основное свойство первообразных.

Теоретический материал:

Определение. Функция называется первообразной функцией для данной функции , если

Согласно определению, для функции функция является первообразной. Если принять во внимание, что производная постоянной равна нулю, то легко сообразить, что для функции первообразной будет не только , но и любая из следующих функций:

, так как ;

, так как .

Теорема. (основное свойство первообразной функции)

Если F(x) - первообразная для функции f(x), то F(x)+C , где C - произвольная постоянная, также является первообразной для f(x).

Образец примера:

Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, если: а)

Решение.

Функция одна из первообразных функции для так как для любых

Решите самостоятельно:

Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, если: б)

Самостоятельная работа № 53 на тему: «Таблица первообразных».

Цели: изучить таблицу первообразных; отработать навыки их нахождения.

Теоретический материал:

ФУНКЦИЯ
k	sinx	cosx
kx+C	-cosx+C	sinx+C	tgx+C	-ctqx+C

Образцы примеров:

1. А_10-11 №335

Найдите общий вид первообразных для функции .

а) б)

в) г)

2. А_10-11 №337 (а,б)

Для функции найдите первообразную , принимающую заданное значение в указанной точке:

а) б)

Решите самостоятельно:

1. Найдите одну из первообразных для данной функции на

а) б)

в) г)

2. (для сильных учащихся)

Для функции найдите первообразную , принимающую заданное значение в указанной точке:

а) б)

Самостоятельная работа № 54 на тему: «Три правила вычисления первообразных».

Цели: рассмотреть правила нахождения первообразных и упражнять учащихся в их применении.

Теоретические сведения:

Теорема 1. Первообразная суммы двух функций равна сумме первообразных этих функций, рассматриваемых на одном и том же промежутке.

Теорема 2. Первообразная произведения числа на функцию равна произведению этого числа на первообразную данной функции.

Теорема 3. Если есть одна из первообразных функции а и - постоянные, причём то есть одна из первообразных функции

Образцы примеров:

1. Найдите множество первообразных функции:

б) г) е)

2. Найдите множество первообразных функции:

а) б)

в) г)

д) е)

з) ;

Решите самостоятельно:

1. Найдите множество первообразных функции:

а) в) д)

2. Найдите множество первообразных функции:

а) б) в)

Самостоятельная работа № 55 на тему: «Вычисление площадей плоских фигур».

Цель: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции.

Теоретические сведения:

Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох ,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения , а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.

Образец решения:

№ 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями : у = 4 - х² и у=0

Решение:

1. у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)
у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х: ;

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:

Решить самостоятельно:

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

Самостоятельная работа № 56 на тему:

«Вычисление определенного и неопределенного интеграла».

Цель: знать понятие неопределенного интеграла и уметь применять при вычислениях.

Теоретические сведения:

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Записывают: , где - есть некоторая первообразная функции на этом промежутке, С – const. При этом знак называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменная интегрирования, С- постоянная интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием данной функции.

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Таблица неопределенных интегралов

Свойства неопределенного интеграла:

;

Определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Отрезок называется отрезком интегрирования.

Образцы примеров:

Вычислить интегралы:

Решить самостоятельно:

I вариант.

II вариант.

Самостоятельная работа № 57 на тему: «Домашняя контрольная работа».

Цель: систематизировать знания, повторить и закрепить материал.

*Группа №1*
теория	Первообразная и неопределенный интеграл. Формулы первообразных. Правила отыскания первообразных. Таблица основных неопределенных интегралов.
практика	Вычислите интегралы:	Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
Уровень		, ,
Уровень		,
Уровень		,
*Группа №2*
теория	Определенный интеграл. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Привести и решить свои примеры, подтверждающие теоретические выводы группы.
практика	Вычислите интегралы:	Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
Уровень		,,
Уровень		,
Уровень		,
Уровень		,,

Тема 16. Обобщение понятия степени.

Должен уметь: преобразовывать выражения, содержащие корни; решать иррациональные уравнения; решать квадратные и простейшие уравнения.

Должен знать: понятие корня, свойства корней; алгоритм решения уравнений.

Самостоятельная работа № 58 на тему: «Понятие степени».

Цель: знать понятие степени и свойства, уметь применять знания в преобразовании выражений.

Теоретические сведения:

Степени чисел от 0 до 10

n	0	1	2	3	4	5		6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32		64	128	256	512	1024
	1	3	9	27	81	243		729	2187	6561	19683	59049
	1	4	16	64	256	1024		4096	16384	65536	262144
	1	5	25	125	625	3125		15625	78125	390625
	1	6	36	216	1296	7776		46656	279936
	1	7	49	343	2401	16807		117649
	1	8	64	512	4096	32768
	1	9	81	729	6561	59049
	1	10	100	1000	10000
Решение квадратных уравнений: , Если то Если то Если то корней нет							Формулы сокращенного умножения:
Свойства степеней							Свойства корней n-ой степени
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.							1. 2. 3. 4. 5. 6. ; 7.

Решить самостоятельно.

Вариант I

Вариант II

Обязательный уровень

(с выбором ответа)

А1. Вычислить:

1) 81; 2) 9; 3) 3;

А1. Вычислить:

1) 1; 2) 2; 3) 20;

А2. Вычислить: -2

1) -8; 2) 4; 3) -4;

А2. Вычислить

1) 100; 2) 10; 3) 1;

А3. Вычислить:

1) 50; 2) 25; 3) 5;

А3. Вычислить: -6

1) - 24; 2) – 12; 3) 12;

А4. Решить уравнение: х⁶=64

1) 2; 2) -4; 4 3) -2; 2

А4. Решить уравнение: х⁵=32

1) -2; 2) 2; 3) -2; 2

Обязательный уровень (указать ответ)

А5. Вычислить:

Ответ:

А5. Вычислить:

Ответ:

А6. Преобразовать выражение:

Ответ:

А6. Преобразовать выражение:

Ответ:

Задания с развернутым решением

В1. Найти значение выражения:

Ответ:

В1. Найти значение выражения:

Ответ:

Критерии оценки:

Правильно выполненные 4 задания – “3”

Правильно выполненные 6 заданий – “4”

Правильно выполненные 7 заданий – “5”

Самостоятельная работа № 59 на тему: «Решение иррациональных уравнений».

Цель: закрепить навыки решения иррациональных уравнений.

Теоретические сведения:

Формулы для повторения:

;

Решение квадратных уравнений:

Если то

Если то корней нет

Решить самостоятельно:

1. = ;

2. = ;

3. = ;

4. =4 ;

= 1;

6. =0;

принимает значение равное 2?

Самостоятельная работа № 60 на тему: «Степень».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Задание: составить кроссворд «Степень», с соблюдением методических рекомендаций по составлению кроссвордов.

Форма выполнения задания: кроссворд.

4 семестр

Тема 17. Показательная, логарифмическая, степенная функции.

Должен уметь: строить графики показательной и логарифмической функции; решать показательные и логарифмические уравнения, неравенства и системы уравнений; преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.

Должен знать: понятия, свойства показательной и логарифмической функций; свойства логарифмов; алгоритм решения уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа № 61 на тему:

«Решение показательных уравнений методом выноса общего множителя за скобки».

Цель: знать методы решения показательных уравнений, применять их при решении упражнений

Теоретические сведения:

Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений. Метод выноса за скобки

Образцы решения

Решить уравнение:

Решение:

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть . В результате получим:

Ответ: х = 2.

Решите самостоятельно:

а)

б)

в)

Самостоятельная работа № 62 на тему:

«Решение показательных уравнений приведением к квадратному уравнению».

Цель: знать методы решения показательных уравнений, применять их при решении упражнений

Теоретические сведения:

Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)

Образцы решения:

Решить уравнение: .

Решение: Заметив, что

Перепишем заданное уравнение в виде:

Вводим новую переменную: , тогда уравнение примет вид:

Решив квадратное уравнение, получим: 4, 6. Но так как , то надо решить два уравнения:

Решим первое уравнение:

Рассмотрим второе уравнение.

Второе уравнение не имеет решения, так как для любых значений х. Ответ: 2.

Решить самостоятельно:

а) ;

б) .

Самостоятельная работа № 63 на тему: «Решение показательных неравенств».

Цель: знать методы решения показательных неравенств, применять их при решении упражнений

Теоретические сведения:

Показательное неравенство – это неравенство, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Образцы решения показательных неравенств

1. Решить неравенство

Решение:

Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. .

Получим:

Так как основание , то неравенство равносильно неравенству того же смысла

Ответ: .

2. Решить неравенство

Решение.

Заменим :

Получим неравенство: Трехчлен разложим на множители: .

Ответ: .

Решить самостоятельно:

а) ; б)

в) ; г) .

Самостоятельная работа № 64 на тему:

«Преобразование выражений, содержащие логарифмы».

Цель: знать основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, уметь применять их при решении упражнений.

Теоретические сведения:

Основное логарифмическое тождество:

Свойство логарифмов:

2. ;

3. .

Образцы примеров:

1. =9;

= 12*12^log₁₂⁴=12*4=48.

2. =log_0,1(5*2)= log_0,110= - 1; =7log₂8=7*8=56.

3. Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:

Решение: 4 – х>0; - x >-4; x<4.

Решить самостоятельно:

1. Вычислить:

2. Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:

а)

3. Вычислить

е)

Самостоятельная работа № 65 на тему: «Решение логарифмических уравнений».

Цель: знать методы решения логарифмических уравнений, применять их при решении упражнений.

Теоретические сведения:

Логарифмическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании.

Образцы решения логарифмических уравнений:

1. Решить уравнение:

Решение: Используя формулу: , заменим сумму логарифмов произведением:

Проверка:

- не существует.

Ответ: х.

2. Решить уравнение:

Решение: Используем метод замены.

. Подставим в замену.

Ответ: .

Решите самостоятельно:

а) ; б)

в) ; г)

Самостоятельная работа № 66 на тему: «Решение логарифмических неравенств».

Цель: знать методы решения логарифмических уравнений, применять их при решении упражнений.

Теоретические сведения:

Логарифмическое неравенство называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.

Образцы решения логарифмических неравенств:

1. log₅(3x-1) <1.

Решение:
Так как 1 =log₅5 и основание 5 >0, то
log₅(3x-1)< log₅5
3x-1 >0, 3x-1 <5;
x >1/3, x <2.
Ответ: 1/3 < x < 2.

2. log_0,5(2x+1) >=-1.

Решение:
log_0,5(2x+1) >=log_0,5(0,5)^-1;
log_0,5(2x+1)>= log_0,52.
Так как основание 0 < 0,5 < 1, то
log_0,5(2x+1)>= log_0,52 равносильно
2x+1 >0, 2x+1 <=2;
x >-1/2, x1/2;
Ответ: -1/2 < x 1/2.

3. log₃((x-4)/(3x-1)) >0.

Решение:
log₃((x-4)/(3x-1)) >log₃1 получим:
((x-4)/(3x-1)) >0, ((x-4)/(3x-1)) >1.
Так как первое из неравенств является следствием второго, то достаточно решить только второе неравенство.
((x-4)/(3x-1))-1 >0;
((x-4-3x+1)/(3x-1)) >0;
((2x+3)/(3x-1)) <0.
Применим метод интервалов, получим: -3/2 < x < 1/3.
Ответ: -3/2 < x < 1/3.

4. log_0,2(3x+4) >log_0,2(x²+6).
Решение: Данное неравенство равносильно системе:
3x+4 >0, x²+6 >0, 3x+4 ²+6.
Так как неравенство x²+6 >0 выполняется для любого x R, то имеем систему
x >-4/3, x²-3x+2 >0.
Неравенство x²-3x+2 >0 решим методом интервалов:
x₁ =1; x₂ =2.
-4/3 < x < 1; x >2.
Ответ: -4/3 < x < 1; x >2.

Решите самостоятельно:

I вариант

II вариант

Самостоятельная работа № 67 на тему: «Логарифмы».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Творческие задания (на выбор):

1. Составить пример, в котором присутствовали бы все свойства логарифмов. 2. Найти материал о том, откуда и в связи, с чем появились логарифмы. 3. Разгадать кроссворд.

По горизонтали: 1. Математический смысл переменной n в выражении . 2. Значение переменной, при которой из уравнения получается верное равенство. 3. Множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. 4. Математический смысл переменной х в выражении . 5. Равенство, содержащее неизвестную величину. 6. Результат умножения двух чисел. 7. Зависимость переменной у от переменной х. 8. Запись какого-либо выражения с помощью букв.

Ответы:

Тема 18. Элементы комбинаторики.

Должен уметь: решать задачи на перестановку, размещение, сочетание.

Должен знать: понятия вероятности событий, условной вероятности.

Самостоятельная работа № 68 на тему: «Область применения теории вероятностей».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Теоретические сведения:

Наука угадывать. Слова «случай», «случайность», «случайно» едва ли не самые употребительные в любом языке. Случайность противопоставляется ясной и четкой информации, строгому логическому развитию событий. Однако так уж велика пропасть между случайным и неслучайным? Ведь случайность, когда она проявляется в поведении не одного объекта, а многих сотен и даже тысяч объектов, обнаруживает черты закономерности. Философы говорят: «путь, которым необходимость идет к цели, вымощен бесконечным множеством случайностей». Мир – это бесконечное многообразие явлений. Непосредственное общение с миром приводит к мысли, что все явления разделяются на два вида: необходимые и случайные. Необходимые кажутся нам явлениями неизбежно происходящими, а случайные – явлениями, могущими как произойти так и не произойти в одно и тоже время. Существование и изучение необходимых явлений представляется естественным, закономерным. А случайные явления в обыденном представлении кажутся нам крайне редкими, не имеющими закономерностей; они как бы нарушают естественный ход событий. Однако случайные явления происходят всюду и постоянно. В результате взаимодействия многих случайностей появляется ряд явлений, в закономерности которых мы не сомневаемся. Случайность и закономерность неотделимы друг от друга. Почему явления представляются нам случайными? 1. Отсутствие полной информации о них. Например, вокруг земли летает спутник. Если больше о нем ничего неизвестно, то появление или не появление его в данной точке небесной сферы – явления случайные. Но если известны все параметры его полета, то эти явления достоверно предсказываются. В этом примере случайность или достоверность зависит от полноты информации о явлении. 2. Явления случайны в силу своей природы. Случайность или необходимость явлений может быть установлена при повторении некоторого комплекса условий. Но полная идентичность в повторении комплекса условий невозможна. Изменение комплекса условий, при котором явление должно произойти, влечет за собой изменение самого явления. Такие рассуждения приводят к мысли, что абсолютно необходимых явлений нет. Все явления в определенной мере случайны. В 1718 году вышла в свет книга со странным по тем временам названием «Учение о случаях». Ее автор – французский математик Абрахам де Муавр (26.05.1667 - 27.11.1754) провел следующий эксперимент: он измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин и получил результата, который можно изобразить в виде кривой. Такая кривая задает так называемое нормальное распределение, которое часто встречается в природе. Число 0,514 хорошо известно в демографии. Это число выражает долю мальчиков в общем числе новорожденных. Одним из первых обратил внимание на эту закономерность немецкий естествоиспытатель Александр Фридрих Вильгельм Гумбольт (1769 – 1858). Он высказал предположение, что это общий закон для всего человечества, и на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков, а отношение числа мальчиков к числу девочек равно 22/21. Вслед за Гумбольтом подробно изучил эту проблему Пьер-Симон Лаплас (23.03.1749 – 05.03.1827), но, обработав статистические данные, получил иные значения - 25/24. Наблюдения Лапласа проводились в Париже и длились около 40 лет. Естественно, он решил выяснить, почему имеется расхождение в результатах. Тщательно изучив метрические книги почти за 40 лет, Лаплас установил, что дети, отданные в приют, записываются в эти книги дважды: при рождении и после того, как попали в приют. А в приют отдавали больше девочек, чем мальчиков. Отсюда и увеличение доли девочек в общем числе новорожденных. 3. Представления о достоверности или случайности явления зависят от объективных закономерностей процесса познания. Процесс познания явления бесконечен в своей точности. Уровень этой точности зависит от науки, расширяющей и углубляющей это видение. На одном уровне развития научного знания явления кажутся достоверными, а на другом – случайными. Пример: ошибки измерений случайны. Но они уменьшаются при использовании измерительных приборов с увеличивающей точностью измерений. Однако абсолютной точности измерений достичь нельзя. 4. Природа случайности имеет свои истоки в наших представлениях о физическом строении материи. Принята структурно-системная организация материи, означающая, что материя организуется из частиц, находящихся в движении и различных видах связи. Из элементарных частиц слагается весь материальный мир. Автономность систем, наличие бесконечных видов движения рождают случайности связей элементов структур и систем. Немаловажную роль в возникновении этой науки и развитии этой науки сыграли азартные игры, особенно игра в кости. Азартные игры появились на заре человечества. Так, в археологических раскопках, начиная с V тысячелетия до нашей эры, можно обнаружить астрагалы – специально обработанные кости животных с нанесенными на них точками. Для кого-то кости становились источником богатства, для кого-то – источником нищенства и позора. Первая книга, в которой появились вероятностные представления, так и называлась: «Книга об игре в кости» Джероламо Кардано (24 .09 1501 — 21.09 1576). Те задачи, которые решал Кардано, вошли во все учебники и задачники по теории вероятностей, ведь выпадение кости – классический пример случайного события, которое и является предметом изучения теории вероятностей.

В истории развития теории вероятностей можно выделить следующие этапы.

1. Предыстория теории вероятностей. В этот период, начало которого теряется в глубине веков, ставились и примитивно решались задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов решения в этот период не было. Этот период закончился в XVI веке появление работ Кардано, Пачоли, Тарталья. 2 . Возникновение теории вероятностей как науки. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, устанавливаются первые теоремы. Начало этого периода связано с именами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Этот период продолжается от середины XVI века до начала XVIII века. В этот период теория вероятностей находят свои первые применения в демографии, страховом деле, оценке ошибок наблюдения. 3. Следующий этап начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 год). Здесь была доказана теорема Бернулли, которая дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона, теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания. 4. Следующий этап развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Здесь можно назвать имена Чебышева, Маркова, Ляпунова. В это время теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания, в первую очередь – в физике. Возникает статистическая физика, которая развивается в тесной связи с теорией вероятностей.

5. Современный этап развития теории вероятностей. Для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии и другим наукам, а также к технике и военному делу необходимо было уточнить и привести в стройную систему основные понятия теории вероятностей. Поэтому этот период начался с установления аксиом науки. Первые работы этого периода связаны с именами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века, когда была опубликована и получила всеобщее признание аксиоматика Андрея Николаевича Колмогорова. Сейчас невозможно указать ни одной области человеческой деятельности, где бы не применялись вероятностные исследования. Говорят о «стохастической революции в сознании». В современном языке стохастический означает «случайный», в древнегреческом stochastikos означало «умеющий угадывать».

Где сегодня используются вероятностно-статистические методы? Начать по праву следует со статистической физики. Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы носят статистический характер и законы могут получить точную формулировку только в терминах теории вероятностей. Статистическая физика стала основой всей современной физики, а теория вероятностей – ее математическим аппаратом. В статистической физике рассматриваются задачи, которые описывают явления, определяющиеся поведение большого числа частиц. Статистическая физика весьма успешно применяется в самых разных разделах физики. В молекулярной физике с ее помощью объясняют тепловые явления, в электромагнетизме – диэлектрические, проводящие и магнитные свойства тел, в оптике она позволила создать теорию теплового излучения, молекулярного рассеивания света. В последние годы круг приложений статистической физики продолжает расширяться. Статистические представления позволили быстро оформить математическое изучение явлений ядерной физики. Появление радиофизики и изучение вопросов передачи радио- сигналов не только усилили значение статистических концепций, но и привели к прогрессу самой математической науки – появлению теории информации. Понимание природы химических реакций, динамического равновесия также невозможно без статистических представлений. Вся физическая химия, ее математический аппарат и предлагаемые ею модели являются статистическими. Обработка результатов наблюдений, которые всегда сопровождаются и случайными ошибками наблюдений, и случайными для наблюдателя изменениями в условиях проведения эксперимента, еще в XIX столетии привела исследователей к созданию теории ошибок наблюдений, и эта теория полностью опирается на статистические представления.

Астрономия в ряде своих разделов использует статистический аппарат. Звездная астрономия, исследование распределения материи в пространстве, изучение потоков космических частиц, распределение на поверхности солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и много е другое нуждается в использовании статистических представлений. Биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теоретико-вероятностные законы. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной генетике, требуют вероятностно-статистических рассуждений. Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника и жертвы требует хорошего знания теории вероятностей и математической статистики. Гуманитарные науки объединяют очень разнообразные по характеру дисциплины – от языкознания и литературы до психологии и экономики. Статистические методы все в более значительной мере начинают привлекаться к историческим исследованиям, особенно в археологии. Статистический подход используется для расшифровки надписей на языке древних народов. Идеи, руководившие Ж. Шампольоном при расшифровке древнего иероглифического письма, являются в основе своей статистическими. Искусство шифрования и дешифровки основано на использовании статистических закономерностей языка. Другие направления связаны с изучением повторяемости слов и букв, распределения ударений в словах, вычислением информативности языка конкретных писателей и поэтом. Статистические методы используются для установления авторства и изобличения литературных подделок. Например, авторство М.А. Шолохова по роману «Тихий Дон» было установлено с привлечением вероятностно-статистических методов. Выявление частоты появления звуков языка в устной и письменной речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи информации. Частота использования букв определяет соотношение количества знаков в наборной типографской кассе. Расположение букв на каретке пишущей машины и на клавиатуре компьютера, определяется статистическим изучением частоты сочетаний букв в данном языке. Многие проблемы педагогики и психологии также требуют привлечения вероятностно-статистического аппарат. Вопросы экономики не могут не интересовать общество, поскольку с ней связаны все аспекты ее развития. Без статистического анализа невозможно предвидеть изменение количества населения, его потребностей, характера занятости, изменения массового спроса, а без этого невозможно планировать хозяйственную деятельность. Непосредственно связаны с вероятностно-статистическими методами вопросы проверки качества изделий. Зачастую изготовление изделия занимает несравненно меньше времени, чем проверка его качества. По этой причине нет возможности проверить качество каждого изделия. Поэтому приходится судить о качестве партии по сравнительно небольшой части выборки. Статистические методы используются и тогда, когда испытание качества изделий приводит к их порче или гибели.

Самостоятельная работа № 69 на тему: «Область применения теории вероятностей».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

1. Разгадать кроссворд:

				1
	2
					3
	4
		5
				6
		7
8
			9
		10
	11

1. Прямоугольник с равными сторонами (квадрат).

2. Одна сотая часть числа (процент).

3. Место, занимаемое цифрой в записи числа (разряд).

4. Результат вычитания величин (разность).

5. Какой знак стоит между 0 и 1, если получившееся число больше 0 , но меньше 1 (запятая).

6. Часть прямой (отрезок).

7. Наименьшее натуральное число (единица).

8. Метод Эратосфена, в котором простые числа “отсеиваются” от составных (решето).

9. Одно из измерений прямоугольного параллелепипеда, которого нет у прямоугольника (высота)

10. Число, которое делится на каждое из данных чисел (кратное).

11. Выражение, содержащее числитель и знаменатель (дробь).

Ключевое слово – вероятность.

2. Подготовить рефераты, сообщения, доклады об области применения статистики, теории вероятностей.

Тема 19. Итоговое повторение. Подготовка к экзамену.

Должен уметь: преобразовывать выражения; вычислять производные и первообразные; применять производную и первообразную для решения задач; решать геометрические задачи планиметрии и стереометрии.

Должен знать: значение математической науки для решения задач; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

Самостоятельная работа № 70 на тему:

«Повторение основных формул тригонометрии».

Цель: повторить основные формулы тригонометрии, подготовиться к экзамену.

Выполнить задания.

1. Какому выражению соответствует значение ? а)sin30; б) cos; в) tg

2. Выбрать возможный вариант: а) sina =; б) cos a = -2; в) sin a = -3,7.

3. Какой из углов является углом II четверти? а) ; б) –145^° ; в)

4. Найти значение выражения 2sina+5сosa , если tga=2

3сosa- sina

5. Вычислить сos2a, если sina=-3/4, p<a <3p/2.

6. Преобразовать выражения:

а) 1+tg² a = ; в) 1- sin²a =; д) sin²a + cos²a=; ж) cos (p-a)=;

б) tg (3p/2+a)=; г) sin(a-b)=; е) sin2a=; з) sina - sinb=.

Самостоятельная работа № 71 на тему:

«Тригонометрические уравнения и неравенства».

Цель: повторить решение тригонометрических уравнений и неравенств, подготовиться к экзамену.

Выполнить тест.

1. Найдите корень уравнения на промежутке [-π; 0].

а) ; ;б) ; в) ; г) корней нет.

2. Решите уравнение .

3. Чему равен ? а) ; б) ; в) ; г) .

4. Укажите какие-нибудь три корня уравнения .

5. Решите уравнение .

а) ; б) ; в)

6. Решить неравенства: а) cos 3x >1\2; б) sin .

Самостоятельная работа № 72 на тему:

«Производная. Правила вычисления производных».

Цель: повторить решение тригонометрических уравнений и неравенств, подготовиться к экзамену.

Выполнить задания

1. Решите уравнение f'(x) = 0, если

1. f(x) = 2x² – x 6. f(x) = 1/2x² – 3x

2. f(x) = 2x – 5x² 7. f(x) = 1/6x³ – 1,5x² + 4,5x

3. f(x) = x³/3 – 1,5x² – 4x 8 . f(x) = – 2/3x³ + x² – 12

4. f(x) = 3x³ – 2x 9. f(x) = x⁴ – x⁸

5. f(x) = x²– 6x 10. f(x) = 1/2x² – 1/4x⁴

2. Решите неравенство f'(x)>< 0

а) f'(x) = 4x – 3x²; б) f(x) = x³ + 1,5x²; в) f'(x) = 4x – 1/3x³.

Самостоятельная работа № 73 на тему: «Исследование графиков функций».

Цель: уметь по графику функции определить ее свойства; уметь строить графики функций.

Решите самостоятельно:

1. По графику функции , изображенному на рисунке, определите промежуток убывания функции:

1. .

2. По графику функции , изображенному на рисунке, определить максимум и минимум функции.

3. По графику функции , изображенному на рисунке указать область определения и область значения функции.

4. По графику функции , изображенному на рисунке, указать промежутки, где .

5. Найти область определения функции .

6. Укажите наибольшее значение функции на отрезке .

7. При каких значениях функция принимает положительные значения?

8. Найдите нули функции .

8. Постройте график функции:

Самостоятельная работа № 74 на тему: «Первообразная. Интеграл».

Цель: повторить таблицу и правила вычисления первообразных.

Выполнить тест.

А1. Выберите первообразную для функции .

1) 2) 3) 4)

А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции ?

1) ; 2); 3);4)

А3. Найдите общий вид первообразных для функции .

1) ; 2) ; 3) ;4)

А4. Вычислите интеграл . 1) ;2) ; 3) ;4) .

А5. Вычислите интеграл . 1) ;2) ; 3) ;4) .

А6. Вычислите интеграл . 1) ;2) ; 3) ;4) .

А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

1) ;2) ; 3) ;4) .

А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Рис. 1

А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Рис. 2

А10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Рис. 3

Самостоятельная работа №75 на тему:

«Решение показательных уравнений и неравенств».

Цель: повторить решение показательных уравнений и неравенств.

Выполнить задания.

1. Множество значений: у = 3^х + 10; у = 2^х + 10

2. Решить уравнения: 1) ; ;2) ; 3)

3. Уравнения:

1) Что лишнее: уравнение корень, равенство, среда. А здесь?

2) Найди ошибку.

4. Докажите, что не имеет корней:

5. Неравенства: 1) ; 2) ;

6. Решите уравнение:

1. Решите неравенство:

2. Решить графически уравнение:

Самостоятельная работа №76 на тему:

«Решение логарифмических уравнений и неравенств».

Цель: повторить решение логарифмических уравнений и неравенств.

Выполнить задание.

1. Найдите произведение корней уравнения: log_π (x2 + 0,1) = 0

1) - 1,21; 2) - 0,9; 3) 0,81; 4) 1,21.

2. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения log_0,5(x – 9 ) = 1 + log_0,5 5

1) ( 11; 13 ); 2) ( 9; 11 ); 3) ( -12; -10 ); 4) [ -10; -9 ].

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log₄ (4 – х ) + log₄x = 1

1) ( -3; -1 ); 2) ( 0; 2 ); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].

4. Найдите сумму корней уравнения log_√3 x²= log_√3 ( 9x – 20 )

1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lg (х + 7) – lg (х + 5 )= 1

1) ( -∞; -7 ); 2) ( -7; -5 ); 3) ( -5; -3 ); 4) ( 0; +∞).

6. Решите неравенство log₃( 4 – 2х ) ≥ 1

1) ( -∞; 0,5 ]; 2) ( -∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞ ); 4) [ 0,5; + ∞ ).

7. Решите неравенство log_π( 3х + 2 ) ≤ log_π ( х – 1 )

1) ( -2/3; + ∞ ); 2) ( -∞; - 2/3 ]; 3) [ -1,5; - 2/3 ]; 4) решений нет.

8. Решите неравенство log_1/9( 6 – 0,3х ) > -1

1) ( -10; +∞ ); 2) (-∞; -10 ); 3) ( -10; 20 ); 4) ( -0,1; 20 ).

9. Найдите число целых отрицательных решений неравенства lg ( х + 5 ) ≤ 2 – lg 2

1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) ни одного.

Самостоятельная работа №77 на тему:

«Решение иррациональных уравнений и неравенств».

Цель: повторить решение иррациональных уравнений и неравенств.

Выполнить задание.

1. Вынесите множитель за знак корня , если

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислите : а) 100; б) 91; в) 8,9; г) 4.

3. Упростите выражение : а) ; б) х ; в) ; г) .

4. Расположите в порядке возрастания: , ,

а) , , ; б) , ,

в) , , ; г) , , .

5. ОДЗ выражения является

а) ; б) ; в) ; г) .

6. Укажите промежуток, которому принадлежат корни (или корень) уравнения: : а) ; б) ; в) ; г) .

Самостоятельная работа № 78 на тему: «Домашняя контрольная работа».

Цель: контроль знаний учащихся

Решите самостоятельно:

Вариант 1

1. Отрезок имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:1, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость соответственно в точках С₁ и В_1.Длина отрезка АС₁равна 16 см. Найдите длину отрезка АВ₁.

2. Ромб со стороной 12 см и острым углом 60⁰ вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.

3. Решить уравнение:

4. Решить систему уравнений:

5. Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции

в точке с абсциссой .

7. Решить уравнение:

8. Решите уравнение:

9. Найдите все первообразные функции:

10. Радиус основания цилиндра равен 4 см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найти объем цилиндра.

11. Найдите область определения: .

Вариант 2

1. Отрезок имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:2, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость соответственно в точках С₁ и В_1.Длина отрезка АС₁равна 15 см. Найдите длину отрезка АВ₁.

2. Ромб со стороной 18 см и острым углом 60⁰ вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.

3. Решить уравнение:

4. Решить систему уравнений:

5. Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции

в точке с абсциссой .

7. Решить уравнение:

8. Решите уравнение:

9. Найдите все первообразные функции:

10. Радиус основания цилиндра равен 3 см, площадь боковой поверхности втрое больше площади основания. Найти объем цилиндра.

11. Найдите область определения: .

Вариант 3

1. Отрезок имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 2:3, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость соответственно в точках С₁ и В_1.Длина отрезка АС₁равна 20 см. Найдите длину отрезка АВ₁.

2. Ромб со стороной 24 см и острым углом 60⁰ вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.

3. Решить уравнение:

4. Решить систему уравнений:

5. Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции

в точке с абсциссой .

7. Решить уравнение:

8. Решите уравнение:

9. Найдите все первообразные функции:

10. Радиус основания цилиндра равен 6 см, площадь боковой поверхности в четыре раза больше площади основания. Найти объем цилиндра.

11. Найдите область определения: .

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2007.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.

4. Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.

5. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.

6. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.

7. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.

Интернет - ресурсы

1. http://catalog.alledu.ru/predmet/math/

2. Учебно-информационные комплексы по математике для средних школ: http://mschool.kubsu.ru/uik/index.htm

3. Сайт-справочник правил, формул и теорем по математике:

http://matemathik.narod.ru/

4. Мир Геометрии: http://geometr.info/

5. Страна Математика: http://www.bymath.net/

6. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htm

7. Графики функций" Небольшой сайт в помощь школьнику, изучающему графики функций: определения, примеры, задачник: http://graphfunk.narod.ru/

8. Виртуальная школа юного математика
http://math.ournet.md/indexr.html

Скачать материал

Скачать материал "Методические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 672 258 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Образовательная программа по народному творчеству "Возвращение к истокам"

11.08.2015
2544
1

rar

Рабочая программа по музыке (5-6 классы)

11.08.2015
1284
4

rar

Презентация по музыке на тему "Такие разные марши"

Рейтинг: 5 из 5

11.08.2015
8961
198

docx

Образовательная программа - Оркестр детских музыкальных инструментов «Родничок»

11.08.2015
1410
2

docx

Ценность маминых потешек и колыбельных песен!

11.08.2015
1083
0

docx

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ПО МУЗЫКЕ В 5 КЛАССЕ

10.08.2015
840
0

docx

ВЕЧНЫЙ СОЛНЕЧНЫЙ СВЕТ В МУЗЫКЕ ИМЯ ТЕБЕ МОЦАРТ!!!!

10.08.2015
1697
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 11.08.2015 663
- DOCX 3.4 мбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Сагирова Фания Вагизовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Сагирова Фания Вагизовна
- На сайте: 8 лет и 10 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 7050
- Всего материалов: 5

Ваша скидка на курсы

40%

Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу

Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Копирайтер

500/1000 ч.

Курс повышения квалификации

Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 151 человек из 49 регионов
Этот курс уже прошли 821 человек

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 44 человека из 28 регионов
Этот курс уже прошли 126 человек

Курс повышения квалификации

Применение возможностей MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 37 человек из 19 регионов
Этот курс уже прошли 195 человек

Мини-курс

Дизайн-проектирование: практические и методологические аспекты

4 ч.

780 руб. 390 руб.

Мини-курс

Стратегии и инструменты для эффективного привлечения и удержания клиентов

6 ч.

780 руб. 390 руб.

Мини-курс

Основы профессиональной деятельности эксперта в области индивидуального консультирования

4 ч.

780 руб. 390 руб.

Найдите подходящий для Вас курс

«Инфоурок» ищет активных репетиторов по физике

Интернет-маркетолог

Методические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы

1 семестр

Тема 1. Обобщение изученного материала за курс основной школы……………. 11 - 13

Пояснительная записка

Перечень внеаудиторных самостоятельных работ по математике

1 семестр

Тема 1. Обобщение изученного материала по алгебре и геометрии за курс основной школы.

Самостоятельная работа № 1 на тему: «Развитие понятия о числе».

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Цель: проверить знания и умения обучающихся, полученные при изучении функций.

Должен уметь: представлять плоскость на чертеже; обозначать плоскость, прямую, точку в пространстве; применять ранее полученные знания при решении задач.

Должен знать: основные элементы планиметрии и стереометрии; формулировку аксиом и следствий; основные аксиомы планиметрии.

Самостоятельная работа № 5 на тему: «Аксиомы стереометрии».

Самостоятельная работа № 6 на тему: «Аксиомы стереометрии. Решение задач».

Самостоятельная работа № 7 на тему:

«Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве».

Теорема 1. (признак параллельности прямой и плоскости)

Самостоятельная работа № 8 на тему:

«Признак параллельности прямых. Решение задач».

Самостоятельная работа № 9 на тему: «Домашняя контрольная работа».

Контрольная работа (домашняя).

Тема 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

Самостоятельная работа № 10 на тему:

«Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве».

1. Составить кроссворд.

Самостоятельная работа № 12 на тему:

«Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями».

Самостоятельная работа № 13 на тему: «Теорема о трех перпендикулярах».

Самостоятельная работа № 14 на тему: «Многогранники и их элементы».

Самостоятельная работа № 15 на тему: «Многогранники и их элементы».

Самостоятельная работа № 16 на тему: «Пирамиды и их элементы».

Самостоятельная работа № 17 на тему: «Пирамиды и их элементы. Решение задач».

Самостоятельная работа № 19 на тему: «Изготовление моделей многогранников».

Самостоятельная работа № 20 на тему:

«Определение объемов и площадей поверхностей многогранников».

Самостоятельная работа № 21 на тему: «Многогранники».

Самостоятельная работа № 22 на тему: «Цилиндр, сечение цилиндра».

Самостоятельная работа № 23 на темуе: «Конус, сечение конуса».

Самостоятельная работа № 24 по тему: «Шар, сфера».

Шар – тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки.

Самостоятельная работа № 25 на тему: «Тела вращения».

Разгадать кроссворд по теме «Тела вращения».

Тема 8. Объем и площадь поверхностей тел вращения.

Самостоятельная работа № 26 на тему:

«Площади поверхности и объем фигур вращения».

Самостоятельная работа № 27 на тему: «Тела вращения».

Самостоятельная работа № 28 на тему:

«Действие над векторами в координатной форме».

Самостоятельная работа № 29 на тему: «Основные формулы тригонометрии».

Самостоятельная работа № 30 на тему: «Использование тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений».

Самостоятельная работа № 31 на тему: «Тригонометрические функциии , их свойства и графики».

Самостоятельная работа № 32 на тему:

«Тригонометрические функции у=tg x, y=ctg x и их свойства и графики».

Самостоятельная работа № 33 на тему: «Домашняя контрольная работа».

Самостоятельная работа № 34 на тему:

«Обратные тригонометрические функции».

Самостоятельная работа № 35 на тему:

«Решение простейших тригонометрических уравнений».

Самостоятельная работа № 36 на тему:

«Методы решения простейших тригонометрических неравенств».

Самостоятельная работа № 37 на тему:

«Решение тригонометрических уравнений приведением к квадратному».

Самостоятельная работа № 38 на тему:

«Решение тригонометрических уравнений».

Тема 13. Производная.

Самостоятельная работа № 39 на тему: «Геометрический смысл производной».

Самостоятельная работа № 40 на тему: «Правила вычисления производных».

Самостоятельная работа № 41 на тему: «Вычисление производной многочлена».

Самостоятельная работа № 43 на тему:

«Производная тригонометрических функций».

Решите самостоятельно:

Самостоятельная работа № 44 на тему: «Уравнение касательной".

Самостоятельная работа № 45 на тему: «Домашняя контрольная работа».

Тема 14. Применение производной.

Самостоятельная работа № 46 на тему:

«Признаки возрастания и убывания функции».

Самостоятельная работа № 47 на тему: «Нахождение точек экстремума» .