Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Научный проект по математике " Топология. Теория узлов.Топологическая модель теории узлов в биологии".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научный проект по математике " Топология. Теория узлов.Топологическая модель теории узлов в биологии".

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_2a5ac431.gif


Учебно-воспитательный комплекс "Арман"


Бидашева Алина

ученица 10 класса












Научный проект по математике


Тема: Топология. Теория узлов.

Топологическая модель теории узлов в биологии.


Направление: Математика


Секция: Прикладная математика





Научный руководитель: Кагирова Данекер Темиржановна.

















Алматы, 2015





Содержание:


Аннотация


Введение


Предисловие

  1. Топология


4.1.История возникновения топологии

4.2.Направления топологии

4.3.Геоинформационная система (ГИС) и топология.

4.3.Практическое применение топологических знаний


  1. Теория узлов


  1. Топологическая модель теории узлов в биологии.


  1. Заключение


  1. Список используемой литературы


  1. Приложение
























Аннотация

Цель исследования:


Цель научной работы состоит в построении и исследовании математических моделей деформации упругих кривых в трёхмерном пространстве путём последовательного изменения предположений о характере взаимосвязей между механическими параметрами узлов и последующим применением построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК и, главным образом, и к нахождению условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК.

Объектом исследования являются узлы, их трёхмерное представление в пространстве.


Предметом исследования научного проекта являются топология, теория узлов, топологическая модель теории узлов в биологии, узлы ДНК.


Гипотеза: Предполагаемое воздействие ферментов на ДНК структуры, как на структуры, имеющие аналогичные топологическим узлы.


Результаты работы и выводы:

В результате анализа литературы по каждому из разделов приведены практические задачи, доказательства теорем, модели и чертежи,интерактивные материалы на диске.


Практическим результатом первой части исследования стало:


Доказательство изотопии предметов на примере чашки и тора.

Доказательство гомеоморфизма и гомотопии букв в русском, английском, казахском языках, выведены классы по их гомеоморфности/гомотопии.

Доказана проблема четырёх красок на примере политической и административной карты Казахстана.

Приведены примитивные задачи по топологии и их иллюстрированное решение,которые можно предложить для ознакомления ученикам на этапе школьного образования.


Практическим результатом второй части исследовательской работы стало:

Доказательство операции связной суммы узлов.

Доказательство коммутативности узлов.

Представление движений Рейдемейстера.

Описание нескольких вариантов вычисления инварианта (Полинома Александера).

Вычисление полинома для узлов – трилистник (2 варианта; простой и деформированный), восьмёрка , тривиального узла.

Выведение закономерности, регулярности торических узлов по их диаграммам.

Выведение общей формулы инварианта Александера для торических узлов.

Анализ флага Казахского ханства-выведение узла, его инварианта.

Создание физических моделей узлов.

Подробная инструкция по созданию моделей тора, трилистника в программах по 3D моделированию-Solid Works, Luxulogy Modo .


Методика исследования:

  1. Изучение и анализ теоретических сведений по данному вопросу: работа с учебной и научно-популярной литературой, поиск информации в Интернете, самостоятельный перевод информации на русский язык.

  2. Сравнение, сопоставление, анализ, аналогия.

  3. Анкетирование. Опрос, проведённый в интернете.

  4. Расчеты инвариантов узлов.

  5. Построение узлов, создание моделей.


Введение


Актуальность исследования:

Научная топология играет значительную роль в познании, являясь важнейшим средством теоретического воспроизведения объекта исследования. Какую бы отрасль знания мы не взяли, мы обязательно встретимся в ней с топологией, как с одной из основных форм представления объектов или их типов и соответствующего расчленения всего материала. Топология является необходимым этапом любого исследования.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

  • Обосновать мысль о топологической эквивалентности предметов, гомотопии, гомеоморфизма. Также раскрыть способы решения проблем топологии.

  • Подробно разобрать понятие о топологических узлах. Дать решения главных задач теории узлов. Описать инвариант узла - Полином Александера.

  • Раскрыть процесс заузливания, циклизации ДНК. Разобрать процесс воздействия на организм человека современных онкологических препаратов.


Этапы, процедура исследования;

Проект разделён на 3 основные части:

  1. Топология.

  2. Теория узлов.

  3. Применение теории узлов в биологии.


Новизна исследования и степень самостоятельности:


После открытия двойной спирали Уотсоном и Криком в Nature 50-х годов было очень много исследований по биокатализаторам, модифицирующим структуру ДНК, различным собственно структурам ДНК. К исследованию ДНК подключились не только биологи, но и физики,математики, химики, специалисты в области рентгеноструктурного анализа, это был широкий комплекс исследований, которые развивались повсеместно.

Почему вопрос о топологии ДНК встал на повестку дня достаточно серьезно?

Дело в том, что ДНК в организме существует в виде суперскрученных систем, она уложена в структуре хроматина, нуклеосомы, и здесь встает вопрос о том, как происходит считывание информации, как эта информация переходит в белок и так далее. Все эти механизмы очень хорошо изучены, получено достаточно много Нобелевских премий по этим проблемам.


Области практического использования результатов:


В настоящее время на фоне динамики процессов изменения структуры, содержания и даже самой концепции школьного образования особенно остро стоит вопрос повышения качества, а значит и глубины математических, в том числе и геометрических познаний учащихся.


Я предлагаю ввести топологию, как вводный курс в изучении математики на среднем школьном уровне, поскольку все теоремы, доказательства и решения задач сами по себе имеют интуитивный характер. В процессе изучения топологии у школьника будет развиваться пространственное воображение, логика, кругозор, интеллект.


Теорию узлов же предлагаю углубленно рассматривать, как прикладной курс в школах с естественно-математическим направлением, поскольку теория узлов, фактически является составной частью высшей математики. В школах с гуманитарным и др. направлениями как курс для ознакомления. Теория узлов тем и прекрасна, что зная сравнительно немного можно провести большую исследовательскую работу, самостоятельно вычислять инварианты и разбираться с диаграммами, создать нечто нетривиальное.


Предлагаю разбирать программы по 3D моделированию на уроках информатики, преимущественно для старшего звена(10-11 классы). Также разделение по направлениям: MODO-для физико-математического направления, программу используют повсеместно как профессионалы, используя сложные структуры, как начинающие, пользуясь базовыми инструментами. Solid Works-для гуманитарного направления и др. Ввиду того, что интерфейс программы интуитивен и прост в изучении, но в общем и целом даёт схожие результаты.





















«Не многие ветви геометрии развивались в последнее время так быстро и плодотворно, как топология; редко случается, чтобы незаметный вначале отдел какой – нибудь науки приобрёл такое основное значение для большого ряда совершенно различных областей знания, как топология».

Д. Гильберт

Предисловие

Данная работа является вводным курсом в огромный мир топологии, раскрывает красоту математических узлов и их применение.


Многие считают, что математика – это наука о числах или величинах. Можно привести не один аргумент против этого определения и к числу разделов математики, которые не являются науками о числах и величинах, принадлежит топология. Топология успешно обходится без арифметизации и служит сильным доводом против отождествления математики с арифметикой и вычислениями.

Топология стала отдельной областью математики примерно 90 лет назад, но само её развитие, приходится на последние 70 лет. Топология, как одна из самых новых ветвей науки геометрии, имеет великое будущее. Она образовалась из потребности анализа, но ни в коем случае не является отделом анализа, а принадлежит геометрии (хотя содержит теоремы, связанные с алгеброй). Однако интересно то, что идеи топологии проникают почти во все области математики.

В настоящее время предложения топологии применяются в различных областях знания – в дифференциальных уравнениях, оптимальных процессах, в космогологии, в теоретической физике, в алгебраической геометрии и теории чисел, биологии и социологии.

Элементарная геометрия имеет дело с величинами (расстояния, углы, площади), которые не меняют своих значений при движении фигур, тогда как проективная геометрия занимается такими понятиями (точка, прямая, отношение инцидентности, двойное отношение), которые сохраняются при более широкой группе проективных преобразований. Однако и движения, и подобия, и проективные преобразования - только частные случаи гораздо более общих топологических преобразований. Топология изучает наиболее общие свойства геометрических фигур, связанные с "прикосновением" друг к другу частей фигуры и с "непрерывностью" в самом общем виде. Топологические свойства фигур представляют большой интерес: в известном смысле это самые глубокие, самые основные геометрические свойства, так как они сохраняются при самых "резких" преобразованиях.


Применение в геометрии алгебраических методов, начавшееся с трудов Ферма и Декарта, одобрялось не всеми учеными. На первых порах, по словам Н.Бурбаки, аналитическая геометрия была громоздкой и неизящной. После красивых построений древних греков, оставалось чувство неудовлетворенности. Многие ученые пытались уберечь древнюю красивую науку от вторжения посторонних методов. Лейбниц, обращаясь к Гюйгенсу, писал, что он не доволен алгеброй в том отношении, что она в области геометрии не доставляет ни красивых путей, ни наиболее красивых построений. Он утверждал, что нужен чисто геометрический analysis situs (от латинского situs – положение). Лейбниц не довел свою мысль до завершения, поэтому нам не известно, что он вкладывал в понятие “геометрический analysis situs” Эйлер, Гаусс и Риман считали, что термины Лейбница относятся к новой ветви геометрии, изучающей свойства геометрических фигур, связанные с их взаимным расположением. Возникнув из разрозненных задач и оформившись в новую область математики, она получила название топологии

Заслуга в этом принадлежит в первую очередь великому французскому математику Анри Пуанкаре, который выделил топологические структуры и разработал язык для их описания.

По своим математическим вкусам и по унаследованным им традициям, Пуанкаре был представителем классической математики — великой французской школы математического анализа, созданной Лагранжем, Лапласом, Коши.

Пуанкаре представлял математический анализ в универсальном понимании этого слова, включающем и теорию функций, и все аспекты дифференциальных уравнений, и «математическую физику» в самом широком смысле.

И универсальность Пуанкаре как математика отразилась в том, каким именно образом он создал новую область математики — топологию. Для Пуанкаре топология сначала и прежде всего была могущественным инструментом для решения проблем, возникающих в классических отделах математики. Пуанкаре открыл для математики и целый мир новых проблем — проблем «качественного», т.е. именно топологического характера, целый мир по своему существу недоступный не только методам, но и самому, если так можно выразиться, мировоззрению «классической» математики, в центре которой находились формула и вычисление (т.е. техника оперирования с формулами). Таким образом, величайший представитель классической математики — Пуанкаре, как никто другой, «взорвал изнутри» её традиции и открыл доступ в неё не только новым методам исследования, но и — что может быть ещё важнее — новым способам видеть вещи и интересоваться ими.

























Глава 1. Топология


История возникновения топологии

Что касается меня, то все различные пути, на которых я последовательно находился, приводили меня к Analisys situs*

А. Пуанкаре

На рубеже XIX-XX веков от геометрии отделилась совершенно новая область – топология, которая, собственно, и определила развитие математики XX века. В топологию ушли те геометрические структуры, которые оказались наиболее фундаментальными, наиболее простыми и, как выяснилось впоследствии, наиболее тесно связанными с физикой XX века.

Топология стала одной из основных отраслей математики в XX веке не в последнюю очередь потому, что нашла своё применение в физике. Как раз на рубеже веков физика перестала быть линейной. Выяснилось, что ньютоновский мир, в котором наше пространство одинаково и равномерно протяжено по всем направлениям, не является достаточно точным описанием реальности. Потребовалась, в чём опять-таки, принял решающее участие Пуанкаре, разработка представления о нашем мире как о чем-то изогнутом, скрученном. И для описания этого неплоского мира топология оказалась самым подходящим инструментом.

Топология началось с исследования некоторых вопросов в геометрии. 1736 г. работа Леонарда Эйлера над проблемой Семи Мостов Кенигсберга рассматривается в качестве одного из первых академических трактатов в современной топологии.

Термин "Topologie" был введен в Германии в 1847 году Иоганном Бенедиктом Листингом в Vorstudien zur Topologie (Предварительные исследования для топологии), который использовал это слово на десять лет раньше до его первого появления в печати. Английская форма топологии впервые была использована в 1883 году в некрологе Листинга в журнале Природа, чтобы отличить "... качественную геометрию от обычной геометрии, в которой количественные зависимости в основном лечатся.." Термин тополог в смысле специалиста в топологии был использован в 1905 году в журнале Зритель. Тем не менее, все эти виды использования топологии не точно соответствуют современному определению топологии.

Современная топология сильно зависит от идей теории множеств, разработанных Георгом Кантора позднее. Анри Пуанкаре опубликовал анализ Situs в 1895 году, ввел понятия гомотопии и гомологии, которые в настоящее время считаются частью алгебраической топологии.

Объединенив работы по функциональным пространствам Георга Кантора, Вито Вольтерра, Арцела, Жака Адамара, Джулио Асколи и других; Морис Фреше ввел метрическое пространство в 1906 году. Метрическо е пространство в настоящее время считается частным случаем общего топологического пространства. В 1914 году, Хаусдорф придумал термин "топологическое пространство" и дал определение, что сейчас называется хаусдорфовым.







Направления топологии

Первое направление топологии (называемое теоретико-множественной топологией) было утверждено Ф. Хаусдорфом и другими математиками (начало ХХ века).

Второе направление топологии (называемое задач разн комбинаторной или алгебраической топологией) начало развиваться в 90-х годах прошлого столетия. В этом направлении имеются работы А. Пуанкре, которые посвящены интегральному исчислению для высших размерностей.

Объединил теоретико-множественное и комбинаторное направления Л.Брауэр (1908). Он же изучил понятие размерности. Дальнейшее развитие объединённой теории было продолжено Д. Лефшецом (С. Левшец первый использовал термин «топология») и другими.

С 1930 года топология двигалась ускоренным шагом. Огромнейший вклад внесли в эту науку М. Морс (теория критических точек), Х. Уитни( расслоенное пространство), Ж. Де Рама (дифференциальные формы).

Топология дала новый толчок дифференциальной геометрии и развила новую ветвь алгебры (называемой гомологической алгеброй) и алгебраическую геометрию.

Советские математики, начиная с 20-х годов, тоже внесли большой вклад в топологию. Особенно важные результаты принадлежат П.С. Александрову, А.Н. Колмогорову, Л.С. Понтрягину, П.С. Урысону.

Топология превратилась в одну из основных граней математики и стала необходимой для многих её областей.


Термин "топология"

Существует по крайней мере 3 варианта значения слова «топология»

Объединим всё вышесказанное:


ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация – это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет неметрический и качественный характер. Раньше она носила названия «анализ ситус» (анализ положения), а также «теория точечных множеств». В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию.




Разделы топологии

Общая топология, или теоретико-множественная топология — раздел топологии, в котором изучается понятие непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.

Алгебраическая топология — раздел, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности

Дифференциальная топология — Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов.






































Геоинформационная система (ГИС) и топология.


Геоинформационная система (географическая информационная система, ГИС) — система сбора, хранения, анализа и графической визуализации пространственных(географических) данных и связанной с ними информации о необходимых объектах.


Топология(гис) - это набор правил, которые вместе с инструментами и технологиями редактирования позволяют более точно моделировать геометрические отношения в базе геоданных.

Топология хранится в базе геоданных как одно или несколько отношений, определяющих, как пространственные объекты одного или нескольких классов пространственных объектов используют общую геометрию. Участвующие в топологии пространственные объекты относятся к простым классам пространственных объектов — топология не изменяет определение класса пространственных объектов, а сама служит описанием пространственных отношений этих объектов.


Зачем нужна топология?

В течение долгого времени, топология была ключевым элементом ГИС, служащим для управления данными и контролем над их целостностью. В целом, модель топологических данных управляет пространственными отношениями путём представления пространственных объектов (точечных, линейных и площадных объектов) в виде схем топологических примитивов — узлов, граней и рёбер. Эти примитивы, взаимоотношения между ними, а также с объектами, чьи границы они представляют, определяются отображением геометрии пространственных объектов в графе топологических элементов.


Каким образом объекты в топологии используют общую геометрию

Пространственные объекты могут совместно использовать геометрию внутри топологии. Ниже приведены примеры смежных пространственных объектов:

Площадные объекты могут использовать общие границы (полигональная топология).

Линейные объекты могут использовать общие конечные точки (топология ребер и узлов).

Кроме того, общая геометрия может использоваться между классами пространственных объектов с помощью топологии базы геоданных. Например:

Линейные пространственные объекты могут иметь общие сегменты.

Площадные объекты могут совмещаться с другими площадными объектами. Например, земельные участки могут складываться в блоки.

Линейные пространственные объекты могут иметь вершины, совпадающие с точечными объектами (узловая топология).

Точечные объекты могут совмещаться с линейными (точечные события).


Если говорить о разнице между геометрией и топологией, то в геометрии главную роль играет расстояние. Про две точки на одном острове важно понимать, сколько времени потребуется, чтобы дойти из одной точки в другую, каково расстояние между точками, какова структура пути – можно ли дойти по равнине или надо подниматься в гору, а затем спускаться.


С точки же зрения топологии главным вопросом является, можно ли вообще дойти от одной точки до другой, расположены ли эти две точки на одном острове или они лежат на разных островах. Можно ли доплыть из одного озера до другого по протокам, или этих протоков нет, и два озера друг от друга отделены. То есть вопросы топологии – это вопросы гораздо более простые и, тем самым, лежащие в основе всего того, что мы используем для описания окружающего нас пространства.


Топология может быть формально определена как "изучение качественных свойств некоторых объектов (так называемого топологического пространства), относительно определенного вида преобразования (непрерывного отображения), особенно те свойства, которые инвариантны относительно определенного вида преобразования (так называемый гомеоморфизм) ".


Топология также используется для обозначения структуры, навязанной установленного X, структура, которая по существу "характеризует" множество X как топологическое пространство, взяв надлежащий уход за такими свойствами, как конвергенция, связности и непрерывности, при трансформации.


Топологические пространства естественно появляются почти в каждом филиале математики. Это сделало топологию одним из великих объединяющих идей математики.

Причиной движения топологии является то, что некоторые геометрические проблемы зависит не от точной формы объектов, участвующих в процессе, а в том, как они вместе взяты. Например, квадрат и круг имеют много общих свойств: они оба одномерные объекты (с топологической точки зрения), и оба разделяет плоскость на две части, части внутри и за пределами части.

Konigsberg bridges.png

В одной из первых работ по топологии, Леонард Эйлер доказал, что было невозможно найти маршрут через город Кенигсберг (ныне Калининград), пройдя по его семи мостам ровно один раз. Этот результат не зависит от длины мостов, ни от их расстояния друг от друга, только от свойств подключения: какие мосты соединяют острова, к которому или по берегам рек.

Этот конфуз в математике называется-Проблема семи мостов Кёнигсберга, которая привела к созданию отрасли математики, известный как теории графов.

Аналогично, теорема о причёсывании ежа в алгебраической топологии говорит, что "никто не может расчесать иголки ежа ровно, не создавая вихрей." Этот факт сразу же убедителен для большинства людей, даже если они, возможно, не признают более формальное утверждение теоремы - не существует непрерывного касательного векторного поля на сфере, которое нигде не обращается в ноль. Как и в случае мостов Кенигсберга, результат не зависит от формы области; это относится к любому объекту, пока он не имеет отверстий.hello_html_b8e073d.png


Практическое применение топологических знаний


Чтобы справиться с этими проблемами, которые не полагаются на точную форму объектов, необходимо иметь четкое представление, что есть свойства, разрешающие эти проблемы. Из этой потребности возникает понятие гомеоморфизма.

Интуитивно, два пространства гомеоморфны, если можно деформировать один объект в другой без резки или склеивания. Традиционная шутка, что тополог не может отличить кофейную кружку с пончиком, отчасти правдива, так как достаточно податливыми пончик можно изменить в чашечку кофе, создавая ямочку и постепенно увеличивая его, одновременно сокращая отверстие в рукоятке.

http://compulenta.computerra.ru/upload/iblock/2d2/Homeo_resized_width_cc09541e2748db178c9d78a645337a3a_500_q95.jpg

Гомеоморфизм можно считать самым основным понятием топологической эквивалентности. Другим же является гомотопическая эквивалентность. Это труднее описать, не объясняя технически, но важно понять, что два объекта гомотопически эквивалентны(гомотопны), если они оба являются результатом "сжатия" некоторого крупного объекта

hello_html_m14e00e57.png

Вводное упражнение по классификации прописных букв английского алфавита в соответствии с гомеоморфизма и гомотопией. Результат частично зависит от используемого шрифта. Цифры используем без засечек шрифт Myriad. Гомотопическая эквивалентность грубее, чем отношения гомеоморфизма; гомотопическая класс эквивалентности может содержать несколько классов гомеоморфизма. Простой случай гомотопической эквивалентности, описанной выше, может быть использован здесь, чтобы доказать, что две буквы гомотопически эквивалентны. Например, О помещается внутрь Р и хвост P может быть сплющенным в части "дырки".

Классы гомеоморфизмах являются:

  • нет отверстий,

  • нет отверстий три хвоста,

  • нет отверстий четыре хвоста,

  • одно отверстие нет хвост,

  • одно отверстие один хвост,

  • одно отверстие два хвоста,

  • два отверстия нет, и хвост

  • полосы с четырьмя хвостами (полоса на K почти слишком коротка, чтобы увидеть).



Гомотопические классы больше, потому что хвосты могут быть искаженными до точки:

  • одно отверстие,

  • два отверстия,

  • нет отверстий.

Топология букв имеет практическое значение в трафаретной типографии. Например, шрифт Braggadocio, его трафареты букв сделаны из одного соединённого куска материала.

BraggadocioSP.png

Относительно русского алфавита

Например, буквы Г, Л, М, П, С (если они изображены тонкими линиями без «хвостиков») гомеоморфны между собой. Буквы Е, У, Т, Ч, Ш, Ц, Э также гомеоморфны между собой, но не гомеоморфны указанным ранее буквам. Буква О не гомеоморфна никакой другой букве русского алфавита.

Относительно казахского алфавита

(Вопрос находится у меня в доработке)

Проблема четырех красок.

Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения. Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852 году. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В.Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха.

Эта проблема заинтересовала меня, и я начала искать уже «раскрашенные» карты, но карты Казахстана и его ближних территорий не было. Поэтому я решила сама сделать подобную карту для Казахстана, как административную, так и политическую.


hello_html_31a3e75c.pnghello_html_7cd5b946.png








Задачи по топологии


Для лучшего понимания главных задач топологии будет уместно предложить несколько задач разной сложности. Сложность данного этапа в том, что любые решения в простейших задачах топологии весьма сложно объясняются словами, однако интуитивно понятные действия и приводят нас решению задач.


Задача 1.1:hello_html_7dd70d52.png

Докажите, что из эластичного тела на рис. 1 (а) можно при помощи деформаций получить тело на рис 1 (б). Иными словами, если бы человек был достаточно эластичен, то он смог бы разъединить сцепленные пальцы обеих рук, не расцепляя их.

Ответ: да, смог бы.




hello_html_5b8a4d90.pnghello_html_5b8a4d90.pnghello_html_m265c0f84.pngРешение:




Задача 1.2:hello_html_m4e92e158.png

Теперь, когда принцип работы деформаций в топологии вам ясен, предлагаю разобрать эту же задачу, с небольшим изменением: человек решил надеть часы.

Аналогично: эластичное тело с зацепленными пальцами и часами на рис.2(а), непрерывными деформациями превратить в человека с расцепленными пальцами на рис.2(б).

Ответ: нет, не смог бы.


Решение:

hello_html_m1d6c4fea.png


Теория узлов

Понятие "узел"

Узел галстука, узлы корабелов и альпинистов, гордиев узел, клубок змей, петля палача... Узлы — это и обиходные предметы, и символы сложности, а порой — метафоры зла. Узлы — точнее, математическая теория узлов — интересует многих биологов, химиков, физиков. Узлы вошли в

моду. Узлы повсеместно использовались уже со времен античности. Это объясняется их важной технологической ролью, особенно в мореходстве и строительстве. Но появление веревок и узлов произошло раньше, в доисторические времена, и предшествовало изобретению топора, лука, колеса. Сегодня мы применяем узлы, не задумываясь даже, что их возраст исчисляется тысячелетиями.

Узлы появились в доисторические времена - вместе с первыми нитками и верёвками. Узлами пользовались первые мореплаватели, ткачи, строители... Узлы - предметы простые и наглядные. Все мы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни. Математические узлы во многом напоминают узлы самые обычные, с одним важным отличием - концы узла всегда считаются склеенными. То есть, чтобы развязать на практике математический узел, нам необходимо разрезать нить (веревку, шнурок или что-то еще, что мы использовали для завязывания этого узла). В последние годы математики и физики с огромным интересом и удивительной интенсивностью стали заниматься соответствующими теориями, особенно теорией узлов. Достаточно сказать, что за это время четыре медали Филдса были получены именно за работы, связанные с этой теорией.

Каждый человек уверен, что знает, что такое узел, потому что ежедневно завязывает шнурки на ботинках. На самом деле так и есть, хотя, в отличие от бытового понимания, в математике узел — это замкнутая гладкая кривая, правильным образом вложенная в трехмерное пространство и не имеющая самопересечений. При этом ситуации, которые называются перекрестками, не только возможны, но и приветствуются.

Узлы появились в доисторические времена - вместе с первыми нитками и верёвками. Узлами пользовались первые мореплаватели, ткачи, строители... Узлы - предметы простые и наглядные. Все мы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни. Математические узлы во многом напоминают узлы самые обычные, с одним важным отличием - концы узла всегда считаются склеенными. То есть, чтобы развязать на практике математический узел, нам необходимо разрезать нить (веревку, шнурок или что-то еще, что мы использовали для завязывания этого узла). В последние годы математики и физики с огромным интересом и удивительной интенсивностью стали заниматься соответствующими теориями, особенно теорией узлов. Достаточно сказать, что за это время четыре медали Филдса были получены именно за работы, связанные с этой теорией.

Развитие теории узлов инициировал великий английский физик Дж. Максвелл. Он пришёл к выводу, что волны осуществляют электромагнитные взаимодействия, а потом его осенила ещё более смелая мысль: сами взаимодействующие частицы - тоже волны; но так как частицы (атомы) очень маленькие, а волны - длинные, волны-атомы должны замыкаться на себя на небольшом участке пространства: это узелки, в памяти которых хранится вся физико-химическая информация об атоме, закодированная в самом характере заузливания атома. Максвел и его ученики принялись за исследование узлов, начали их систематическую классификацию в виде таблиц.

Однако наиболее успешно теория узлов стала развиваться лишь вместе с топологией - наукой о свойствах фигур, сохраняющихся при гомеоморфизмах. Математиков привлекла сама красота предмета.

Достаточно сказать, что за это время четыре медали Филдса былиполучены именно за работы, связанные с этой теорией. А именно, лауреатами медали Филдса в разноевремя стали Владимир Дринфельд из Харькова, работающий в Чикаго, Максим Концевич из Москвы,работающий в Париже, Воган Джонс из Новой Зеландии, работающий в Калифорнии, и Эдвард Виттен,физик-теоретик, работающий в Принстоне.

В последние годы теория узлов перестала быть утехой лишь небольшого числа специалистов, неожиданно превратившись в одно из самых модных увлечений математиков, физиков и даже генетиков. Например, в молекулярной биологии при расшифровке аминокислот и изучении ДНК возникла идея о том, что кодирование химической информации происходит в маленьких узелках.



































Атомная теория строения материи

В 1860 г. английский физик Уильям Томсон, которого мы знаем под именем лорда Кельвина, в то время еще не облеченный дворянским титулом, размышлял о фундаментальных проблемах, связанных со структурой материи.

Его коллеги разделялись на два враждующих лагеря: одни поддерживали так называемую корпускулярную теорию, согласно которой материя состоит из атомов, мельчайших твердых корпускул, занимающих определенное положение в пространстве; другие представляли себе материю как наложение волн, пульсирующих в пространстве-времени. Каждая из этих теорий давала убедительные объяснения некоторых явлений, но была неприменима к другим. Томсон искал синтез этих теорий. И нашел его. По его мнению, материя, безусловно, состоит из атомов. Но эти атомы-вихри являются не точечными объектами, а... мельчайшими узлами (см. Thomson, 1867). Атом, таким образом, рассматривается как волна, — не расходящаяся по всем направлениям, а свернутая в узкий луч, сильно закрученный и возвращающийся к своему началу, подобно змее, кусающей себя за хвост. Эта змея может перекручиваться очень сложным образом, прежде чем себя укусить, образуя тем самым узел. И именно тип этого узла определяет физико-химические свойства атома. Томсон предположил, что молекулы построены из многих атомов-вихрей, сплетенных между собой. Математическая модель такого объекта называется зацеплением и представляет собой конечный набор пространственных кривых, которые могут быть завязаны отдельно и/или переплетаясь друг с другом. Эта теория покажется, без сомнения, довольно-таки фантастической читателю, изучавшему в школе планетарную модель атома (восходящую к Нильсу Бору).

Но мы находимся в 1860 г., будущий нобелевский лауреат родится лишь двадцать пять лет спустя, а пока научное сообщество всерьез рассматривает революционную идею Томсона. Величайший физик того времени Джеймс Кларк Максвелл (чьи знаменитые уравнения являются фундаментом волновой теории) после некоторых сомнений все же поддержал эту идею. Он заявил, что теория Томсона согласуется с экспериментальными данными лучше, чем любая другая. Для дальнейшего развития теории было необходимо классифицировать узлы. Это дало бы возможность получить классификацию атомов, отождествив каждый тип узла с каким-то конкретным атомом. Три узла, представленных ниже:

hello_html_2fc11f7a.png

трилистник, восьмерка и тривиальный узел — могли бы быть моделями, скажем, атомов кислорода, углерода и водорода. Итак, на первый план выступила уже не физико-химическая, а математическая проблема — проблема классификации узлов. И шотландский физик и математик, соратник Томсона, Питер Тейт (Peter Tait) вызвался разрешить ее.







Классификация узлов

Согласно Тейту, всякий узел, будучи замкнутой кривой в пространстве, может быть представлен плоской кривой — его ортогональной проекцией на горизонтальную плоскость.

Эта проекция может иметь самопересечения в тех точках, где одна часть узла располагается над другой. hello_html_m787a8d57.png

В плоском изображении, чтобы ясно представить себе вид узла вблизи точки самопересечения, линию, которая изображает нижнюю ветвь узла, разрывают, так что получается перекресток. Мы и далее будем пользоваться таким естественным способом изображения узлов.

Чтобы корректно поставить проблему классификации узлов, нужно прежде всего уточнить, какие узлы принадлежат одному и тому же классу, и, следовательно, дать точное определение эквивалентности узлов.


Распознавание тривиального узла

В теории узлов есть одна главная нерешенная задача — понять, когда два, на первый взгляд, совершенно разных узла топологически представляют собой одно и то же.

Другими словами, один узел из другого можно получить какими-то простыми непрерывными деформациями. То есть веревочку, из которой это все связывается, мы можем растягивать, сжимать, передвигать в пространстве, но разрезать ее или переклеивать мы не можем.

Математик Александра Скрипченко о эффективных алгоритмах, представлениях лорда Кельвина и движениях Рейдемейстера. Существует отдельная разновидность вышеописанной задачи — распознавание тривиального узла. Тривиальный узел — это петля, которая никак не зацеплена.

Самая простая идея, которая лежит в основе всей теории узлов, — это то, что узел можно представить диаграммой, проекцией на какую-нибудь плоскость. Первое, что необходимо было сделать, — классифицировать соответствующие плоские кривые. Но легко понять уже на примере тривиального узла, что мы можем его перекрутить, и узел останется таким же, топология никак не поменяется, а на картинке добавится лишний перекресток. И выглядеть все будет совершенно по-другому. Значит, идея должна быть более тонкой и более хитрой.

Таким образом, в теории узлов есть две связанные задачи: распознать тривиальный узел и понять, представляют ли две крайние запутанные диаграммы одно и то же или нет.





Изотопие узлов

Узел можно представлять, как тонкую запутанную веревку в пространстве, концы которой соединены. Эту веревку можно как угодно изгибать, сжимать или растягивать, но нельзя разрывать и склеивать. Всевозможные положения, которые может принимать при этом веревка, изображают один и тот же узел. Итак, изменяя непрерывным образом положение замкнутой кривой (веревки) в пространстве (не разрывая и не склеивая ее), мы получаем всегда один и тот же узел, но его плоское изображение может при этом измениться до неузнаваемости. Например, может изменится количество перекрестков.hello_html_7d9e3558.png


Два представления одного узла

Тем не менее, естественный подход к классификации пространственных узлов состоит в том, чтобы составить сначала список всех плоских кривых с 1, 2, 3, 4, 5, . . . перекрестками, а затем исключить дубликаты, т. е. кривые, которые изображают один и тот же узел в пространстве.

Для того чтобы эта задача была разрешима за время человеческой жизни, следует ограничить максимальное исследуемое число перекрестков. Питер Тейт остановился на десяти. Вначале Тейту повезло: он обнаружил, что математик-любитель и проповедник Томас Киркман (Thomas Kirkman) уже классифицировал плоские кривые с небольшим числом перекрестков и остается только последовательно удалить дубликаты. Но эта задача была непростой. Действительно, для каждого перекрестка плоской кривой имеется две возможности для выбора одной ветви, проходящей над другой. Для кривой с 10 перекрестками, например, имеется априори 210, т. е. 1024, возможностей построить узел. Поэтому Тейт решил классифицировать только альтернированные узлы, т. е. узлы, у которых верхние и нижние ветви чередуются, если двигаться вдоль проекции

hello_html_64696be.png

Таким образом, каждой плоской кривой соответствует в точности два альтернированных узла. Казалось бы, задача Тейта существенно упростилась. Тем не менее, она осталась весьма нелегкой — Тейт посвятил ей почти всю свою жизнь. Неальтернированные узлы (с десятью и менее перекрестками) были классифицированы в 1899 г., после шести лет работы, американцем Литтлом, которому удалось избежать последовательного перебора 210 вариантов пересечений. К несчастью для Томсона, Киркмана, Литтла и Тейта, в то время когда Литтл и Тейт завершили свою работу, таблица узлов уже мало кого интересовала... hello_html_6cab3e87.png

Как бы то ни было, к концу XIX в. большая часть работы по классификации узлов (с десятью и менее перекрестками) была завершена и появились таблицы узлов. Пример такой таблицы простых узлов с семью и менее перекрестками представлен слева.



Практическое исследование теории узлов

Говоря о первой задачи теории узлов, нам нужно предоставить первый узел-тривиальный

Не случится ли такой возможности, что все узлы в действительности можно распутать, привести к тривиальному узлу, но для того, чтобы ответить на этот вопрос нужно прибегнут к более серьёзным инструментам топологии-эти инструменты называются инвариантами узлов. Инвариант узла- это численная характеристика, которая соответствует определённому узлу и всем его непрерывным преобразованиям, соответственно если инварианты узлов разные, то и узлы разные. Следовательно 1 задача-это отличить тривиальный узел от нетривиального. Существует таблица нетривиальных узлов, которую я описывала ранее. Берём курс, чтобы построить характеристики, которые помогут нам отличить узлы между собой. В этой таблице присутствуют также и узлы, которые называются «простыми». На самом деле на узлах можно определить операцию, которая в некотором роде похожа на сложение.



hello_html_m6312131.pnghello_html_m6c0dcf46.pnghello_html_af1ab3b.pnghello_html_57056fac.pnghello_html_m2d6a9fda.png


  1. Разрываем один узел Т(трилистник)

  2. Разрываем второй узел В( восьмёрка)

  3. Соединяем

  4. Полученный узел обозначается Т#B

Эта операция называется операция связной суммы. Удивительно, но для этой операции есть нулевой элемент, как ни трудно догадаться это тривиальный узел

T#O=T

hello_html_m211fb518.pnghello_html_m74e84cdd.pnghello_html_m5d3654f4.pnghello_html_423285f8.pnghello_html_m7ab20489.pnghello_html_m35607410.png


Операция связной суммы коммутативна, к примеру если есть узел Т1 и мы берём связную сумму с узлом, который мы обозначили Т2.

Т1#Т2=Т2#T1

Я не буду на чертеже использовать какие-то определённые узлы, просто обозначим их абстрактно.

Теперь представьте, мы стягиваем узел Т1, таким образом его можно легко провести через узел Т2.

Доказать:


hello_html_m1c1d5262.png

Доказательство:

hello_html_m799ebadc.png

К сожалению, у операции связной суммы нет обратного элемента, тоесть для нетривиального узла Т1 нет обратного

узла Т2, который бы приводил к сумме Т1#T2=O, давала бы нам.

hello_html_35ba1ab7.png

Это приводит нас в выводу, что за пределами узла, никакими манипуляциями развязать его мы не можем.

Не смотря на кажущуюся банальность данного утверждения это довольно глубокое утверждение.

Теперь наконец поговорим о простых узлах. Мы говорили о таблице, в которой были приведены только простые узлы. Что такое простой узел? Давайте разберём по аналогии с простыми числами. Простое число, это число, которое делится только на себя и на единицу. То есть нельзя разложить на множители.

Нам дан какой-то узел Т (Внутри этой окружности находится какой-то узел), его мы можем назвать составным, если он представляет связную сумму хотя бы двух нетривиальных узлов. Например Т1 и Т2. То есть узел Т, мы будем называть простым узлом, если его нельзя представить, как связную сумму двух узлов. И если нам доподлинно известно, что узел Т не является простым-его можно разбить единственным образом на связную сумму. Т’=T1…Tn Эта единственность с точностью до порядка. Мы ведь помним, что операция связной суммы коммутативно.

hello_html_476f312e.pnghello_html_m6decd6b4.pnghello_html_fccb2dc.png








Движение Рейдемейстера

В теории узлов есть одна главная нерешенная задача — понять, когда два, на первый взгляд, совершенно разных узла топологически представляют собой одно и то же.

Другими словами, один узел из другого можно получить какими-то простыми непрерывными деформациями. То есть веревочку, из которой это все связывается, мы можем растягивать, сжимать, передвигать в пространстве, но разрезать ее или переклеивать мы не можем.

Существует отдельная разновидность вышеописанной задачи — распознавание тривиального узла. Тривиальный узел — это петля, которая никак не зацеплена

С 1860 года топологи много раз возвращались к решению этой задачи. Но реальный прорыв произошел в 20-е годы XX века в Германии благодаря работе Курта Рейдемейстера. Он задался вопросом, что значит, когда два узла эквивалентны, изотопны. Он рассмотрел локально диаграмму узлов возле отдельных перекрестков и показал, что два узла изотопны, если их диаграммы переводятся друг в друга с помощью наборов простых движений, примерно таких, которые вы совершаете, когда завязываете шнурки.

Например, вы берете прямую веревку и образуете из нее правую или левую петлю. При этом топологически процессы не меняются. Все остается эквивалентным. Движение такого типа — это движение Рейдемейстера. Он составил полный список таких движений и доказал, что такой набор — это набор необходимых и достаточных движений. hello_html_m5c17238.png


Алгоритм развязывания узла

В дальнейшем люди активно продолжали развивать эту теорию, но гораздо более тонким образом. Для диаграмм подбирали уже специальные формы, а не произвольные проекции на плоскости. Дальше анализировалось, что для конкретного вида диаграмм означают движения Рейдемейстера. Ученые доказали, что существует универсальный алгоритм, развязывающий узел. Но, поскольку в современном мире мы стремимся к эффективности, люди стараются строить все более и более быстрые алгоритмы. В качестве меры скорости используется, например, количество перекрестков. Это совершенно разные ситуации, если у вас есть алгоритм развязывания за экспоненциальное время или за линейное. Принципиальная задача — построить наиболее эффективный алгоритм — по-прежнему актуальна. Это первое алгоритмическое направление развития теории узлов.


Полином Конвея и полином Александера

Второе направление связано с инвариантами. Представьте, что есть две крайне запутанные диаграммы узлов. Как понять, что они задают один и тот же узел? Можно каждому узлу сопоставить единым способом какую-нибудь алгебраическую конструкцию так, чтобы они выглядели по-разному для разных узлов, а для изотопных узлов выглядели одинаково.
Одним из первых хронологически был американский математик Джеймс Александер, который предложил свой многочлен в 1928 году. Его конструкция не справилась с классификацией уже первых 84 неизотопных узлов, известных в то время. Однако принцип работы инвариантов крайне нагляден именно на этом примере.


Построение инварианта узла-Полином Александераhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/5/5b/Alexander_Matrix_elm.svg/220px-Alexander_Matrix_elm.svg.png

Возьмём ориентированную диаграмму узла с n пересечениями. Имеется n + 2 областей диаграммы. Чтобы получить многочлен Александера, сначала построим матрицу инцидентности размера (n, n + 2). n строк соответствуют n пересечениям, а n + 2 столбцов соответствуют областям. Значениями элементов матрицы будут 0, 1, −1, t, −t.

Значения элементов матрицы для областей, смежных пересечению. Линия, отмеченная стрелкой, лежит снизу и стрелка указывает направление обхода.

Рассмотрим элемент матрицы, соответствующий некоторой области и пересечению. Если область не прилегает к пересечению, элемент равен 0. Если область прилегает к пересечению, значение элемента зависит от положения. Рисунок справа показывает значение элементов в матрице для пересечения (лежащий ниже участок узла помечен направлением обхода, для лежащего сверху направление не имеет значения). Следующая таблица задаёт значения элементов в зависимости от положения, области относительно лежащей снизу линии.

слева до пересечения: −thttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/b/b9/Alexander_trefoil.svg/310px-Alexander_trefoil.svg.png

справа до пересечения: 1

слева после пересечения: t

справа после пересечения: −1

Построим многочлен Александера для трилистника. На рисунке показаны области (A0, A1, A2, A3, A4) и точки пересечения (P1, P2, P3), а также значения элементов таблицы (рядом с точками пересечения).

Таблица Александера для трилистника примет вид:

Точка

A0

A1

A2

A3

A4

P1

-1

0

-t

t

1

P2

-1

1

-t

0

t

P3

-1

t

-t

1

0

Отбросим первые два столбца и вычислим определитель: -t^3 - t + t^2. Разделим полученное выражение на -t, получим многочлен Александера для трилистника: t^2 - t + 1.

Поскольку полином Джеймса Александера был первым открыт первым в 1923 году и стал буквальным открытием в мире математики, варианты его вычисления стали умножаться, как только изучалась новая статья в теории узлов, ученые топологи пытались найти способ вычисления полинома Александера в этой сфере и с использованием соответствующего материала.












Облегченный способ вычисления


Существует также другой способ вычислить полином Александера, с его помощью мы вычислим другие варианты полинома Александера. Этот способ вычисления я разобрала, исходя из алгоритма нахождения многочлена Александера, который был приведен Дж. В. Александером в своей статье.

Наша задача сформулировать как сравнивать между собой узлы, а так же рассмотреть узлы, которые являются тривиальными

Обратим внимание на диаграмму узла. hello_html_m74b2e5f4.png

Она особым образом размечена, кусочки диаграммы, кривые которые идут поверху называются-дугами диаграмм.hello_html_m479e08f8.png

Двойные точки определяют нахождение одной дуги над\под другой дугой. Дуга заканчивается, когда она входит в двойную точку, находясь снизу, соответственно начинается новая дуга. На диаграмме стрелочками отмечено направление.

После того, как мы разметили диаграмму

Мы рассматриваем двойные точки/ точки самопересечения

Различные по принципу какая дуга поверху, а также в каком порядке дуги.

Различаются перекрёстки двух типов

1)Когда какая-то дуга идёт поверху и в неё справа-налево идут J и K

2) Когда какая-то дуга идёт поверху и в неё слева-направо идут J и K











Давайте же запишем нашу диаграмму удобным способом, который в виде цифр или каких-то данных закодирует нам всю комбинаторную информацию, которая касается нашей диаграммы. Обратим внимание, что у нас есть три дуги и три точки самопересечения. Давайте нарисуем таблицу из трех строк, которые соответствовать 3 точкам самопересечения, а также из трех столбцов соответствующих 3 дуги.



1-t







Давайте начнём работать над точкой самопересечения, которая обведена на диаграмме желтым цветом, она соответствует первой строке. Что же будет написано в первой строке? мы видим, что поверху идёт дуга под номером 3, значит на 3 месте 1 строки должно быть (1-t), вот и запишем данные в таблице.hello_html_1e198730.png


-1

t

1-t







Давайте, поймём какого типа наша точка. Она 1 типа поскольку поверху идёт дуга 3 и в неё справа налево идут дуги 1 и 2. Значит в первой строке, в первом столбце будет стоять -1, и поскольку дуга 1 заканчивается и переходит в дугу 2 на 2 месте будет стоять t.






Перейдём к следующей точке самопересечения, обведённой синим цветом.hello_html_5fcc1f98.png

-1

t

1-t

t

1-t

-1




Точка соответствует второй строке. Мы видим, что поверху идёт дуга под номером 2, значит на 2 месте 2 строки должно быть (1-t), вот и запишем данные в таблице. Давайте, поймём какого типа наша точка. Она первого типа поскольку поверху идёт дуга 2. Обратите внимание, что если мы развернем диаграмму так, чтобы дуга 2 шла вверх, то будет видно и в неё тоже справа налево идут дуги 3 и 1. Значит во второй строке, на первом месте будет стоять 1, соответственно в третьем столбце будет стоять -1.


Перейдём к следующей точке самопересечения, обведённой красным цветом.hello_html_m7f92cdfd.png

Оставшаяся точка самопересечения соответствует третьей строке.

-1

t

1-t

t

1-t

-1

1-t

-1

t

Давайте, поймём какого типа наша точка. Она также первого типа поскольку поверху идёт дуга1 и в неё справа входит дуга 2 и выходит налево дуга 3. Значит в первой строке будут идти следующие данные.


Что же нам делать с этими данными?

В этой таблице нам предлагают вычеркнуть последний столбец и последнюю строку. И вычислить оставшийся определитель.


-1

t

1-t

t

1-t

-1

1-t

-1

t


-1

t


=-t2+t-1 –Полином Александера для трилистника

t

1-t


Ранее мы вычислили полином Александера: -t2+t-1; -t3-t+t2; t2+t-1 что приводит нас к некоторым свойствам полинома.


Основные свойства Полинома Александера:

Полином Александера не меняется при преобразованиях Рейдемейстера.

Полином Александера определяется с точностью до знака, с точностью до наименьшей степени t в многочлене.

Например: t100-t99+t98= t98(t2+t-1) = t2+t-1









Вычисление полинома Александера для другой диаграммы трилистника

Вы можете легко понять, что это диаграмма трилистника, но немного деформированного, а именно с применением 1 преобразования Рейдемейстера.hello_html_1540e80b.pnghello_html_cfdb3fc.png

Возникает первый вопрос: Сколько нужно столбцов и строк в матрице?

4 строки-поскольку 4 точки самопересечения

4 столбца-поскольку 4 дуги

hello_html_m6392f9da.png

Начнем с этой точки самопересечения, обведённой желтым цветом.

Сверху дуга 1, справа налево идут дуги 3 и 4, Точка 1 типа. 2 дуга не участвует в пересечении.

Заполняем данные 1 строки:


1-t

0

-1

t














Возьмём следующую точку, обведённую синим цветом. Сверху дуга 4, справа налево идут дуги 1 и 2, Точка 1 типа. 3 дуга не участвует в пересечении.hello_html_m3edc3a8.png

Заполняем данные 2 строки:


1-t

0

-1

t

-1

t

0

1-t









hello_html_2c086c35.png

1-t

0

-1

t

-1

t

0

1-t

0

-1

1

0





Возьмём следующую точку, обведённую зелёным цветом. Точка 1 типа. Сверху дуга 3. Возникает конфликт поскольку 3 дуга проходит поверху и сама же проходит снизу. Существуют 2 варианта: На 3 месте должно быть 1-t ; t. Что же мы делаем? Берём её сумму, а именно 1-t+ t=1. Далее в эту точку справа входит точка 2 следовательно -1.

Дуги 1 и 4 не участвуют в пересечении.

Заполняем данные 3 строки:


Возьмём следующую точку, обведённую красным цветом. Сверху дуга 3, справа налево идут дуги 1 и 4, Точка 1 типа. 2 дуга не участвует в пересечении.

Заполняем данные 3 строки:hello_html_m413453c0.png

1-t

0

-1

t

-1

t

0

1-t

0

-1

1

0

1

0

1-t

-1



Далее нам нужно вычеркнуть последний столбец и последнюю строку.


1-t

0

-1

t

-1

t

0

1-t

0

-1

1

0

1

0

1-t

-1

Раскладываем по первому столбцу

hello_html_ab1325d.png

В итоге мы получили Полином Александера с точностью до знака.

Таким образом мы доказали, что движения Рейдемейстера не влияют на инвариант узла.

Вычисление полинома Александера для узла «восьмёрка».

Предлагаю выбирать точки так, чтобы 1-t проходила по диагонали в нашей таблице.hello_html_24c3eac8.png

Следовательно первой мы рассматриваем двойную точку, где дуга 1 идёт поверху (выделена синим цветом).

Точка 2 типа, поскольку в неё слева направо входит 2дуга и превращается в 3.4 дуга не участвует в самопересечении.

1-t

t

-1

0













Заполняем данные 1 строки:


Дуга 2 идёт поверху (выделена красным цветом).

Точка 1 типа, поскольку в неё справа налево входит 3 дуга и превращается в 4 дугу.hello_html_783a09eb.png

Дуга 1 не участвует в самопересечении.

Заполняем данные 2 строки:

1-t

t

-1

0

0

1-t

-1

t














hello_html_m60e79a40.png

Дуга 3 идёт поверху (выделена зелёным цветом).

Точка 2 типа, поскольку в неё слева направо входит 4 дуга и превращается в 1 дугу.

Дуга 2 не участвует в самопересечении.

Заполняем данные 3 строки:


1-t

t

-1

0

0

1-t

-1

t

-1

0

1-t

t






Дуга 4 идёт поверху.

Точка 2 типа, поскольку в неё справа налево входит 1 дуга и превращается в 2 дугу.

Дуга 3 не участвует в самопересечении.

Заполняем данные 3 строки, вычеркиваем последний стобец и последнюю строку


1-t

t

-1

0

0

1-t

-1

t

-1

0

1-t

t

1

t-

0

1-t

1-t

t

-1

0

0

1-t

-1

t

-1

0

1-t

t

1

t-

0

1-t

Раскладываем по первому столбцу

hello_html_m143dbece.png

=-t3+3t2-t=t2-3t+1

hello_html_m72ebe2a9.png

Нахождение полинома для тривиального узла.hello_html_m2967dafb.png

-t

0

t







Поверху идёт дуга 1. Точка 2 типа. Слева направо идут дуги 3 и 1. Возникает конфликт. НА первом месте должно стоять: 1-t;-1. Возьмём сумму этих значений. 1-t+(-1)= -t. Дуга 3 находится слева, следовательно ставим в соответствие-t. Дуга 2 не участвовала.





hello_html_m1ac7ca32.png

Поверху снова идёт дуга 1. Точка типа 1. Справа налево идут дуги 2 и 3.

-t

0

t

1- t

-1

t











Дуга 2 идёт поверху, в эту дугу 2 входит справа дуга 1 и выходит дуга 2.Конфликт с 2 дугой. 2 Варианта: (1-t);t. Возьмём сумму:1-t+t=1.На 1 месте 3 строки будет-1.hello_html_66f3ec1a.png





-t

0

t

1- t

-1

t

-1

1

0


-t

0

t

1- t

-1

t

-1

1

0


Вычеркиваем->



=t=1(т.к. «выносим» наименьшее t)

- t 0

1- t -1


В итоге мы получили полином Александера для тривиального узла.


Один интересный класс узлов - торические узлы, которые имеют бесконечное количество узлов.

Рациональная обмотка тора. Тор получается декартовым произведением 2 окружностей; вращением одной маленькой окружности вокруг оси оз. Если мы зададим кривую, которая во внутренней геометрии тора будет прямой, наклонной к оси ох, значит мы одновременно движемся по большой, маленькой кружности. Следовательно получаются 2 числа. 1 число - кривая обходит вокруг большой окружности, 2 число - вокруг маленькой окружности. Обозначается торический узел-ТК(p,q)


Естественно, если количество обмоток пропорционально особого интереса такие узлы не представляют.

обмотка тора, которая соответствует непропорциональному количеству обмоток, называется нетривиально-рациональной.


Посмотрим на узел(2;3)

hello_html_m70825578.png


Трилистник


То есть трилистник является торическим узлом с характеристиками (2;3)

Посмотрим на узел (2;5), поскольку узел (2;4) пропорционален узлу (1;2)

hello_html_m39aa9c49.pnghello_html_ad2c357.png


Можно заметить закономерность между торическими узлами с характеристиками (2;n)

Слева находится общая диаграмма торических узлов.

При n-нечетное число обмоток/ n-1-количество витков-соответственно четное количество витков.

Если же у торических узлов наблюдается закономерность в диаграммах соответственно и полином Александера будет задан определённой закономерностью.

hello_html_m2ed4c367.png

Давайте изобразим удобную диаграмму торического узла, чтобы было удобно вычислить полином Александера.

Поскольку мы уже знаем полином для трилистика, предлагаю вычислить многочлен для узла TK(2;5).




hello_html_63065612.png

Дуга 1 идёт поверху (выделена синим цветом).

1-t

0

-1

t

0





















Точка 1 типа, движение слева направо входит 3 дуга и превращается в 4 дугу.

Дуга 2, 5 не участвует в самопересечении.

Заполняем данные 1 строки:




hello_html_1ba2e387.png

Возьмём следующую точку самопересечения, выбираем именно эту поскольку дуга 2 идёт поверху (выделено оранжевым цветом), это не принципиально, но вычисления будут легче.

1-t

0

-1

t

0

0

1-t

0

-1

t
















Точка 1 типа, движение слева направо входит 4 дуга и превращается в 5 дугу.

Дуга 1 и 3 не участвует в самопересечении.

Заполняем данные 2 строки:


Уже сейчас можно заметить закономерность, но для чистоты эксперимента предлагаю продолжит решать по алгоритму.


1-t

0

-1

t

0

0

1-t

0

-1

t

t

0

1-t

0

1











Возьмём следующую точку самопересечения, дуга 3 идёт поверху (выделена зелёным цветом).hello_html_44a89ce.png

Точка 1 типа, справа входит 5 дуга и налево выходит 1 дуга.

Дуга 1 и 3 не участвует в самопересечении.

Заполняем данные 3 строки:


1-t

0

-1

t

0

0

1-t

0

-1

t

t

0

1-t

0

-1

-1

t

0

1-t

0






Возьмём следующую точку самопересечения, дуга 4 идёт поверху (выделена красным цветом).hello_html_m7a664f97.png

Точка 1 типа, справа входит 1 дуга и налево выходит 2 дуга.

Дуга 5 и 3 не участвует в самопересечении.

Заполняем данные 4 строки:


hello_html_43974349.png

1-t

0

-1

t

0

0

1-t

0

-1

t

t

0

1-t

0

-1

-1

t

0

1-t

0

0

-1

t

0

1-t

Возьмём последнюю точку самопересечения, дуга 5 идёт поверху (выделена желтым цветом).

Точка 1 типа, справа входит 2 дуга и налево выходит 3 дуга.

Дуга 1 и 3 не участвует в самопересечении.

Заполняем данные 5 строки:

Вычеркиваем последний столбец и последнюю строку.

1-t

0

-1

t

0

0

1-t

0

-1

t

t

0

1-t

0

-1

-1

t

0

1-t

0

0

-1

t

0

1-t








Считаем определитель

1-t 0 -1 t

=t4-t3+t2-t+1

0 1-t 0 -1

t 0 1-t 0

-1 t 0 1-t


Объединяем наши знания:

ТК(2;3)-> t2-t+1

ТК(2;5) ->t4-t3+t2-t+1

Из регулярности диаграммы мы догадываемся, что вычисление будет аналогичным; получается таблица с диагональным сдвигом.

Следовательно мы можем вычислить полином для ТК(2;7)-> t6-t5 +t4-t3+t2-t+1

Составим общую формулу для торических узлов:

ТК(2;n)->hello_html_64324154.gif

n-нечетное число, запишем в виде 2к+1->hello_html_151cca7d.gif

При помощи полинома Александера мы выявили, что существуют разные узлы, потому что их многочлены не равны.

У нас есть узел К1 и второй узел К2, у нас есть полином первого узла, также и полином второго узла.

Узел К является связной суммой узлов К1#K2, чему в таком случае равен полином от связной суммы?


И Мы приходим к следующему свойству Полинома Александера.

PA(К1#K2)= PA(K1)* PA(K2)


Инварианты Васильева


Главная революция в исследовании узлов произошла в 1990 году, когда Виктор Васильев, немаломерный тополог, специалист по теории катастроф, придумал свои инварианты Васильева. Инварианты Васильева — это не один полином, а целая бесконечная семья. Васильев ввел правило, по которому можно строить семью. Теория катастроф — это частный случай теории особенностей. Особенностей в теории узлов нет. Однако Виктор Васильев решил ее внести и разрешил самопересечение, введя только условие, как оно связано с непересекающимися перекрестками.

Во-первых, сама идея позволяет взглянуть на проблему не с психологической точки зрения, то есть индивидуально разбирать трудности каждого узла, а с социологической: на узлы смотрят семьями. Эта идея потом эффективно применялась в разных видах математики. Во-вторых, в настоящий момент существует недоказанная гипотеза о том, что Васильев все-таки построил полную систему инвариантов. Работа продолжается, и есть надежда, что такой подход позволит классифицировать узлы в полном смысле этого слова.





















Анализ узла на флаге Казахского Ханстваhttp://im5.asset.yvimg.kz/userimages/latish/V2Kzi2uEeTMfXJX0U69wjb0YSLFWv6.gif


Изображение слева является логотипом флага Казахского ханства, принятого на рассмотрение к 550-летию Казахского ханства.

С приобретёнными знаниями, не сложно заметить математический узел в центре логотипа.


Этап 1. Доказательство достоверности узла на флаге.

Утверждению достоверности этого узла и его отношения к казахскому ханству сопособствуют находки фрагментов керамических плит в захоронении, найденном в Акмолинской области, которое принадлежит хану Жаныбеку-основателю Казахского ханства.

hello_html_m13456ccf.pnghttp://550kazakhan.kz/wp-content/uploads/2015/03/812075e1c0339d3446bacaabf5d76bfd1.jpg

hello_html_m64d5507f.png

На данной фреске из согдийского городища Пенджикент (VVIII вв. н. э.) ясно виден тюркский воин, с волчьеглавым знаменем на копье и сопровождаемый драконом, но нас всё-таки интересует то, что изображено на полотнище.


hello_html_m6d0f5a2e.png

По заказу Центрального государственного музея Республики Казахстан известным российским ученым М. В. Гореликом (1946- 2015) было реконструировано тюркское знамя. Исследователь работал на основе стенописей из восточного Туркестана и икон из Дуньхуана, а также серебряной головы хищника согдийской работы VII века, хранящихся в Эрмитаже. В орнаментике полотнища мастер использовал узоры согдийских и китайских тканей VII-VIII веков.


После рассмотрения флага с реконструкции стало понятно явное очертание этого узла только в более остром, геометрическом виде, без кривых.hello_html_9c95f4.pnghello_html_m6d0f5a2e.png

После подбора возможного узла, я пришла к результату, который находится слева.



Этап 2.Анализ диаграммы с точки зрения топологической логики.


После соединения всех граней в одну общую диаграмму, используя хирургию узлов, я пришла к такому варианту.hello_html_m2eb61391.png







hello_html_m5b5672a5.png

Далее я заметила, что образуются симметричные петли вверху и внизу диаграммы. Эти петли можно преобразовать в соответствии с первым движением Рейдемейстера.







Этап 3.Определение типа узла.

hello_html_107ae251.png

После применения движения Рейдемейстера я пришла к такому результату. Подсчитываем количество перекрёстков для определения типа узла. Ихполучилось 7.

Обращаемся к таблице узлов и ищем этот узел.

Это узел 74, или так называемый бесконечный узел.



Бесконечный узел или вечный узел (санскр. Shrivatsa, тиб. Dpal be'u) является символическим узлом в Тибете и Монголии. Другое его наименование — «кишки Будды», восходит к индийской традиции, в которой подобный символ обозначал внутренности убитых врагов. Мотив используется в тибетском буддизме. Имеет несколько интерпретаций.

Как этот узел не имеет конца, так и этот символ олицетворяет полное обретение Неизмеримых Достоинств и Пяти видов изначальной Мудрости. В качестве символа поучений Будды, он представляет непрерывность двенадцати звеньев взаимозависимого происхождения, которые лежат в основе циклического существования.

Символ взаимозависимости всех явлений и живых существ во Вселенной.


Полином Александера для этого узла-

4 t+4 t^{-1} -7









Создание модели тора и трилистника в программе по 3d моделированию Luxology modo.Алгоритм.hello_html_2169ab4c.png





Выбираем модель куб и выставляем данные о позиции, размере.







Характеристики палаллелепипеда:100мм-10мм-10мм, hello_html_2169ab4c.png

Положение: в центре.











Переходим в режим Edges. hello_html_4beb56.jpg

В разделе Add Geometry выбираем пункт Loop Slice, или же сочетанием кнопок Alt+C.





hello_html_m55409939.jpg

Выбираем характеристики Edit-Move-Mode-Uniform, выставляем количество current 0 count-15, в общем счете получится 16, поскольку мы хотим добиться красивого спирального узла.

hello_html_19a28054.png

Переходим в раздел Deform свойство Rotate tools-twist, Axis Rotate-Angle-3*180(можно также 5*187).

Свойство Action Axis Auto-Axis выбираем параметр X.





Возвращаемся в свойство Rotate tools-bend, нажимаем на начало спирали, свойство bend-spine X, выставляем параметры 100мм-0мм-0мм.

hello_html_73ee679d.png

hello_html_73ee679d.png





Переходим в свойство Action Center Auto 3d-bend, параметр X=-50мм, соответственно Y=0мм; Z=0мм. hello_html_73ee679d.png

Далее мы можем изменить угол в свойстве Angle=360 градусов.

Закрываем панель инструмента Snapping.





Переходим в верхний раздел раскладки-Polygons-Deform.hello_html_57116338.png



hello_html_4a9a543b.png

Выделяем область соединения в прямоугольник, удаляем момент стыка кнопкой delete.







Переходим в боковой раздел и выбираем плашку Vertex свойство Mergehello_html_m189f3ce2.png





hello_html_m4769aee7.png

выплывает окно Merge Vertices: выбираем automatic-ok-ok.



hello_html_4daf2bcc.png

Переходим в боковой раздел Basic,кликаем в раздел Center Select-All, разворачиваем модель вправо с помощью стрелки на клавиатуре.

hello_html_a79075a.png



hello_html_m692469ea.png

Выбираем верхний раздел edges нажимаем на любое ребро.hello_html_m692469ea.png







Переносим курсор мыши на рабочее поле, нажимаем левой кнопкой мыши и у нас открывается облако с видами. Для наглядности выберем perspective. Уже на этом этапе мы можем заметить, что у нас уже получился торический узел, а если точнее его торическая геометрия, создание модели тора на этом моменте заканчивается, следующий этап-Трилистникhello_html_55566e7c.pnghello_html_m17399b00.png





Для того,чтобы сделать модель более заметной, нужно перейти в главный верхний раздел view-dimensions tool, таким образом выходят координатные прямые обозначающие размеры тора. hello_html_m351fa68b.png

Дважды кликнем на торhello_html_6cac75b7.png

hello_html_m6cad5582.png

Далее растягивая желтую шкалу размера доводим до ширины=21,1.

hello_html_m3595634c.png















Теперь дважды кликнем на ребро тора.

hello_html_m724cefa0.pnghello_html_74a6e0db.png

Нажимаем сочетание клавиш Shift+F5 выбираем шаблон, который назван Quick Pipe.







Шаблон создаёт для нас новую геометрию трубки проходящую по рёбрам тора.hello_html_m6ae19037.png









hello_html_5b1a31f5.png

Мы создавали модель тора в роли подложки для создания трубки, соответственно сейчас модель тора не обязательна, поэтому мы её выделяем и удаляем.















Результат-Модель Трилистника с гранямиhello_html_m1bc656a2.png









Для красоты сглаживаем рёбра трилистника hello_html_m47b37cd6.png

Модель трилистника в программе по 3D моделированию готова.





































Топологическая модель теории узлов в биологии


После открытия двойной спирали Уотсоном и Криком в Nature 50-х годов было очень много исследований по биокатализаторам, модифицирующим структуру ДНК, различным собственно структурам ДНК. К исследованию ДНК подключились не только биологи, физики, химики, специалисты в области рентгеноструктурного анализа, а это был широкий комплекс исследований, которые развивались повсеместно.

Почему вопрос о топологии ДНК встал на повестку дня достаточно серьезно? Дело в том, что ДНК в организме существует в виде суперскрученных систем, она уложена в структуре хроматина, нуклеосомы, и здесь встает вопрос о том, как происходит считывание информации, как эта информация переходит в белок и так далее. Все эти механизмы очень хорошо изучены, получено достаточно много Нобелевских премий.

Сегодня наш предмет — это топологические формы ДНК, и связано это с интересом к развитию биомедицины и современных подходов к фармацевтике.


История открытия структуры ДНК.


Молекула жизни, ДНК лежит в основе всех процессов, благодаря которым живут бактерии, высшие и мы с вами.

ДНК как молекула, находящаяся в ядре живой клетки, была открыта очень давно, еще в 60-х годах XIX века. Это открытие сделал швейцарский врач Мишер. Но по-настоящему история ДНК началась с момента открытия структуры ее молекулы, что произошло значительно позже, в 1953 году. С тех пор ДНК становится все более и более знаменитой благодаря своей центральной роли в живом организме.


Как и кем была открыта ДНК? Все знают, что ДНК была открыта двумя учеными: англичанином Фрэнсисом Криком и американцем Джеймсом Уотсоном. Открытие произошло в Великобритании, в Кембридже. Там Уотсон оказался на стажировке, он встретил Крика, с которым они быстро сдружились — именно потому, что у Крика был точно такое же отношение к вопросу, он тоже совершенно был поглощен идеей, что тайна гена может быть раскрыта путем определения структуры молекулы ДНК.

Но у них не было никаких возможностей проводить эксперименты. Эксперименты с ДНК делались в другой лаборатории, тоже в Великобритании, в Лондоне, в Королевском колледже, и эти эксперименты проводились Розалиндой Франклин, специалистом по рентгеноструктурному анализу, — она и сыграла ключевую роль в дальнейшей драме, которая развернулась по определению структуры ДНК, наряду, конечно, с Уотсоном и Криком.

Розалинда работала над ДНК, ее структурой, она пыталась сделать снимки рассеяния рентгеновских лучей от ДНК, ей удалось сделать кардинальный шаг в правильном направлении. Для рентгеноструктурного анализа нужно получать кристаллы молекул. В ДНК очень длинные молекулы, которые не кристаллизуются. Поэтому вместо кристаллов Розалинда изучала волокна ДНК. Затем на них направлялся пучок рентгеновских лучей, изучалась картина рассеяния этих лучей.

Она столкнулась с очень серьезной трудностью: фотографии, которые при этом получались, были очень плохо воспроизводимы и совершенно невразумительны.


И вот тут она сделала этот выдающийся шаг. Она решила, что, возможно, там структуры плохо контролируются и, это зависит от влажности образца. Она сделала камеру, в которой поддерживала фиксированную влажность, и стала менять эту влажность. В итоге, она обнаружила, что при высокой или низкой влажности совершенно разные картины рассеяния. Она поняла, что наблюдает две разные формы молекулы ДНК, и она назвала форму при низкой влажности A-формой, а форму при высокой влажности B-формой. B-форма представляла наибольший интерес, потому что в клетке ДНК находится при высокой влажности, в воде.

Важнейшим событием в этой драме было то, что Уотсону и Крику стала известна эта рентгенограмма, эта картина рассеяния. Уотсону и Крику удалось раздобыть эту картину, и они немедленно поняли основные параметры структуры ДНК.

Дальше стали уже строить модель, исходя из этих параметров, которые получились из эксперимента Розалинды Франклин. И, конечно, абсолютно важнейшим шагом было, когда Уотсон— стал пытаться сделать пары из четырех оснований, которые входят в состав ДНК.

Он, уже зная, что это две нитки, что это двойная спираль, пытался сделать пары из них, это ему удалось, это теперь знаменитые комплементарные пары А – Т и G – С. И когда он это сделал, то у них получилась замечательная красивейшая модель B-формы ДНК, которая и есть знаменитая двойная спираль, она и есть та самая структура, в виде которой генетическая информация хранится во всех клетках всех живых организмов на Земле.

Так было сделано, наверное, самое выдающееся открытие, по крайней мере в области биологии и медицины, самое выдающееся открытие в истории этих наук, может, и самое выдающееся открытие в истории науки вообще. Удивительно, что эта статья была очень быстро напечатана и занимала ровно одну страницу журнала Nature. Это очень короткая статья. Великое открытие не требует длинного объяснения.

С этой публикации, которая была осуществлена 25 апреля 1953 года, начинается отсчет времени новой эры в истории человеческой цивилизации, эры ДНК, когда мы знаем, что все живые организмы построены согласно инструкции, заложенной в молекуле ДНК, в последовательности звеньев из четырех букв: А, Т, G и C, — в последовательности ДНК, и эта ДНК представляет собой двойную спираль диаметром 2 нанометра, очень длинную — в зависимости от количеств звеньев в цепочке.

Если ДНК взять из одной клетки человека и вытянуть в одну линию, то получится молекула маленькой толщины и длиной приблизительно 2 метра. Теперь все наше знание, все наше понимание и биологии, и медицины основывается на том, что мы знаем структуру ДНК, и мы знаем, что ДНК является носителем генетической информации. Это знание дает нам возможность необыкновенно эффективно вмешиваться в процессы, явления жизни на всех уровнях: и в микроорганизмах, и в высших организмах, и в человеке.


Двойная спираль ДНК закручена, и с точки зрения математики к проблемам раскручивания ДНК применима теория узлов. 

Интерес к топологии ДНК был у математиков из Института теоретической и экспериментальной физики, в частности у профессора Монастырского — очень известного тополога, который и модифицировал некоторые уравнения, применимые для замкнутой ленты — а ДНК рассматривалась именно как замкнутая лента, — и предложил механизмы разрыва ребер ленты. Это легло в основу целого направления дальнейших исследований ДНК, потому что экспериментально разрывы в молекуле ДНК можно наблюдать с помощью метода линейного дихроизма.

Когда вы помещаете в поток суперскрученную молекулу ДНК, то путем математических преобразований можно применить целый ряд формул для исследования гидродинамики, можно эти разрывы в ДНК связать в явной форме с параметрами, измеряемыми с помощью метода линейного дихроизма.

Таким образом, изменение суперскрученности ДНК, производное по суперскрученности во времени, дает скорость изменения супервитков на ДНК. Поэтому эти теоретические основы, заложенные в начале XXI века с использованием математических выкладок конца прошлого века, позволили математически описывать состояние ДНК в растворе.

  1. Появление математически обоснованного экспериментального метода наблюдения за состоянием ДНК позволило измерять скорость изменения этих супервитков и исследовать различные соединения.

Для чего это нужно в практическом плане? Дело в том, что многие современные лекарственные препараты — как противоопухолевые, так и новые антибиотики — являются ингибиторами ферментов-биокатализаторов, которые изменяют топологическую структуру ДНК, — это гираза, топоизомераза. Бывают топоизомеразы первого типа и второго типа.

Топоизомераза первого типа раскручивает без существенных затрат энергии, топоизомераза второго типа использует молекулу аденозинтрифосфорной кислоты. Это энергетический запасник, и если реакция нуждается в энергетике, то молекула АТФ здесь очень хорошо используется. Таким образом, реакция АТФ-зависимая. Оказалось возможным измерять изменения скорости превращения с использованием этого метода линейного дихроизма с описанием соответствующих уравнений. В частности, онкологическое, противораковое средство Этопозид — это классический ингибитор топоизомеразы, и таким методом удалось достаточно хорошо проанализировать скорость.

Но это существующие соединения, а нужно смотреть на перспективы. Я считаю, что отправной точкой современных исследований в области биологии и химии являются комбинаторные подходы. Конец XX века, XXI век — это время комбинаторной химии и биологии, это поиск новых структур белков, структур антител с помощью скрининга. Скрининг химических библиотек, двухпараметрический скрининг библиотек и белков против низкомолекулярных соединений и современные подходы робототехники — все это позволяет осуществить эти подходы.

Возникновение такого математически обоснованного физического метода аналитической биохимии позволяет осуществлять такой скрининг. Я считаю, что с помощью, в частности, метода линейного дихроизма — могут быть и другие подходы, основанные, например, на микрокалориметрии, — удастся создать (и это уже делается) новые ингибиторы превращающих топологию молекулы ДНК ферментов-биокатализаторов, являющиеся противораковыми средствами и новыми антибиотиками.

ДНК находится в неких структурах, это не свободно плавающие молекулы. В частности, в токе крови при раковых заболеваниях можно найти фрагменты ДНК, и это один из перспективных диагностических тестов в онкологии, и вообще внеклеточная ДНК сейчас также является предметом исследований. Но здесь мы говорим о структурированных формах ДНК, которые упакованы, суперспирализованы, и, чтобы остановить патологический процесс на каком-то начальном этапе, конечно, хорошо бы ударить по биокатализатору, который осуществляет эти превращения, — вы останавливаете, фермент не работает, и с ДНК ничего не происходит.

Раковые трансформированные клетки особенно предрасположены к делению, это особенно активные клетки, где происходят топологические изменения ДНК. Если вы предложите эффективный препарат, который затормозит действие биокатализатора, вы будете иметь эффективное противораковое средство. Но здесь возникает проблема. Суперскрученная структурированная ДНК имеется и в нормальных клетках, поэтому это соединение будет действовать как на нормальные клетки, так и на раковые. Здесь вы видите основы сайд-эффектов химиотерапии. Почему она так тяжела? Потому что не только ингибиторы топоизомераз, но и препараты, действующие на ферменты, изменяющие топологию ДНК, действуют и на нормальные клетки, значит, человек действительно плохо себя чувствует. Поэтому нужно проводить скрининг в сторону препаратов, которые будут наиболее активно действовать на раковые клетки и меньше действовать на здоровые клетки.

Та же самая проблема существует и в антибиотиках.

Бактерии — это прокариоты, поэтому можно осуществить разницу, терапевтическое окно более эффективного действия на ту клетку, которую вам надо убить, по сравнению с той клеткой, которая необходима для жизнедеятельности. Поэтому скрининговые методы с помощью новых физических подходов очень важны для поиска новых лекарственных соединений. Здесь опять же робототехника, возможности анализа множества клонов, множества соединений, выбор более эффективных соединений очень важны.

Это, кстати, очень важно в изменении топологии ДНК, потому что часто бывает нужно сокристаллизовать фермент с соответствующим ингибитором. Поэтому такие технические приемы робототехники очень важны.

Методы органического синтеза — сейчас клик-химия и различные методы органического синтеза — позволяют фактически получить огромные массивы химических соединений с небольшими изменениями, что позволяет автоматически выбрать наиболее эффективные нужные препараты. И третье — возможность манипуляции широкими библиотеками белков и антител, когда вы также можете выбрать с помощью аппаратов робототехники наиболее эффективные необходимые клоны, которые будут связывать или превращать нужные соединения.

современных методах анализа библиотек химических соединений и анализа клонов биокМатализаторов или белков, которые мы хотим использовать для терапии.

Моё мнение как же всё таки усовершенствовать структуру лечения онкологически больных пациентов состоит в том, чтобы с помощью современных приборов анализировать сотни клонов белков или химических соединений, действующих на определенные биологические системы, причем присутствие человека здесь нужно минимальное.





Заключение

В 1640 французский философ и математик Р.Декарт (1596–1650) нашел инвариантное соотношение между числом вершин, ребер и граней простых многогранников. Это соотношение Декарт выразил формулой VE + F = 2, где V– число вершин, E – число ребер и F – число граней. В 1752 швейцарский математик Л.Эйлер (1707–1783) дал строгое доказательство этой формулы. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии – это решение знаменитой задачи о кёнигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кёнигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава – Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты – линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки – его вершинами, а линии – ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кёнигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута.

Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. К.Гаусс (1777–1855) создал теорию узлов, которой позднее занимались И.Листинг (1808–1882), П.Тэйт (1831–1901) и Дж.Александер. В 1840 А.Мёбиус (1790–1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О.де Морган (1806–1871) и А.Кэли (1821–1895). Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874).

Основателями современной топологии являются Г.Кантор (1845–1918),А.Пуанкаре (1854–1912) и Л.Брауэр (1881–1966).

На рубеже 19 века от геометрии отделилась совершенно новая область – топология, которая, собственно, и определила развитие математики XX века. В топологию ушли те геометрические структуры, которые оказались наиболее фундаментальными, наиболее простыми и, как выяснилось впоследствии, наиболее тесно связанными с физикой XX века. Заслуга в этом принадлежит в первую очередь великому французскому математику Анри Пуанкаре, который выделил топологические структуры и разработал язык для их описания.

Как часто бывает в математике, все начиналось с физиков. Человек, которого зовут Уильям Томсон, известный также как лорд Кельвин в середине XIX века, размышлял, как и многие его коллеги, над тем, как устроен мир и из чего сделана материя. На тот момент существовали две основных теории построения материи: корпускулярная и волновая. Однако Томсон предположил третий вариант — атомное устройство, где атомы представляют собой хитрым образом свернутые маленькие веревочки, другими словами, узлы. И он предположил, что разные топологические свойства узлов соответствуют разным физическим и химическим свойствам атомов. Поэтому нужно стремиться как можно скорее расклассифицировать узлы и научиться определять, когда две веревочки, на первый взгляд свернутых по-разному, соответствуют одной и той же топологической конструкции. Теория Томсона не прожила долго, и уничтожил ее наш соотечественник Менделеев открытием таблицы. Однако задача уже была поставлена.

Вдруг, в 1990-е годы, начали появляться приложения топологии. Поначалу медленно, но все больше и больше, так что теперь кажется, что есть не так много областей, где не применяется топология. Биологи изучают теорию узлов, чтобы понять ДНК. Чтобы построить квантовый компьютер, используют косы — переплетенные нити материала, движущегося в одном направлении, и ту же теорию используют для того, чтобы научить роботов двигаться. Инженеры используют односторонние ленты Мёбиуса, чтобы сделать ленточные конвейеры более эффективными. Сканирование мозга, которое делают врачи, основано на теории гомологий, а в космологии используют топологию для понимания того, как образуются галактики. Компании, производящие мобильные телефоны, применяют топологию для нахождения “дыр’’ в зоне покрытия сети, а самим телефонам топология нужна для анализа фотографий, которые они делают.


Именно потому, что топология не зависит от измерения расстояний, она такая мощная. Одни и те же теоремы применимы к любой сложной ДНК, независимо от ее длины или принадлежности определенному виду животных. Нам не нужны различные сканеры мозга для людей с мозгом различных размеров. Когда данные системы GPS о мобильном телефоне ненадежны, топология все же может гарантировать, что этот телефон получит сигнал. Квантовые вычисления невозможно выполнить до тех пор, пока мы не сможем построить надежную систему, устойчивую к помехам, так что косы идеальны для хранения информации, поскольку они не изменяются, если вы их пошевелите. Где же в следующий раз проявится топология?



























Список используемой литературы

http://humbio.ru/

http://postnauka.ru/

http://ru.math.wikia.com/wiki/Топология

Экскурс в теорию узлов (соросовский образовательный журнал, том 8, №1, 2004)

Алгебраическая топология с геометрической точки зрения(Скопенков А. Б)

А. Б. СОСИНСКИЙУЗЛЫ ХРОНОЛОГИЯ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Москва

Издательство МЦНМО

2005

Лекции Максим Франк-Каменецкого, Александры Скрипченко, Сергея Ландо

Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», Вып. 21).

Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. (Библиотека студента-математика. Вып. 3).

Вербицкий М. Лекции и задачи по топологии. — 2009.

Introduction to Knot Theory (Dover Books on Mathematics) Richard H. Crowell, Ralph H. Fox., Library of Congress Cat.aloging in Publication Data, 1963


(Литература выписана не полностью)



Автор
Дата добавления 08.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1006
Номер материала ДВ-317319
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх