Некоторые следствия из теоремы Пифагора

Cледствия из теоремы Пифагора.

        Пусть в треугольнике ABC проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD². Другими словами, справедлива теорема:

    Теорема 1. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности        квадратов их проекций на третью сторону.

Доказательство:

    В треугольнике ACD (D = 90°) АС² = AD² + СD²   (1).

    В треугольнике BCD (D = 90°) BC² = BD² + CD²    (2).             

    Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим:

                          AC² - BC² = AD² - BD².

    Задача 1. На прямой даны две точки А и В. Через точку В проведен перпендикуляр ВС к прямой АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку АС пересекает прямую АВ в точке D.

1.     Докажите, что треугольник ADC – равнобедренный.

2.     Выразите высоту ВС в треугольнике ADC через длины отрезков AD и BD.

                        Рис. 1                                                              Рис. 2

Решение:

1)    Применим теорему 1 для треугольника ACD. 

AD² - CD² = AE² - CE²   (1).

          Но так как по условию АЕ = СЕ, то правая часть равенства (1) есть 0,

          тогда AD² = CD², откуда AD = CD, т. е. треугольник  ADC –

          равнобедренный.

2)    В прямоугольном треугольнике BCD  BC² = CD² - BD², но CD = AD, поэтому BC² = AD² - BD², отсюда  ВС = .

     Задача решена.

    Задача 2.  На прямой даны точки А и В. Постройте на этой прямой точку D

так, чтобы разность квадратов ее расстояний до точек  А и В была равна квадрату длины данного отрезка k.

Решение.

        (Для решения этой задачи используем результат решения задачи 1).

1)    Проведем прямую ВС перпендикулярно прямой АВ и отложим на ней

     отрезок ВС = k.

                     Рис.3                                                                    Рис.4

2)    Пусть Е – середина отрезка АС. Проведем EDАС, где D – точка

     пересечения АВ и ЕD.

     Построенная таким образом точка D удовлетворяет условию задачи и является единственной.

         Результат решения этой задачи на построение дает возможность

сформулировать важную теорему:

     Теорема 2.  Для любого отрезка длины  k  на прямой АВ существует единственная точка, разность квадратов расстояний от которой до точек А и В равна k ² .

     И теперь можно сформулировать теорему, обратную теореме 1.

    Теорема 3. Если в треугольнике АВС на стороне АВ или ее продолжении

                       дана точка D, такая, что CВ² - CА² = DВ² - DА², то CD –

                       высота.

   (Доказательство этого факта опирается на теорему 2)

      Таким образом, все предыдущие рассуждения подсказывают, что существует зависимость между перпендикулярностью отрезков и их длинами. А так как отрезки лежат на прямых, то возможно сформулировать условие перпендикулярности прямых.

      Теорема 3 позволяет выразить условие перпендикулярности двух прямых в форме равенства разностей квадратов отрезков, концы которых принадлежат данным прямым.

     Теорема 4.  Если две прямые АВ и CD перпендикулярны, то имеет место

                         равенство: СА² - СВ² = DA² - DB².

                                    С

         Верно и обратное утверждение:

    Теорема 5.  Если даны две прямые AB и CD и имеет место равенство

                         CA² - CB² = DA² - DB², то эти прямые перпендикулярны.

   Используя полученные соотношения, решим следующие задачи:

    Задача 3.  Докажите, что если точка М принадлежит хорде АВ окружности с центром О и радиусом R, то произведение отрезков АМ и МВ равно R² – ОМ².

Решение.

     В треугольнике АОМ проведем высоту ОD и применим теорему 1.

     OА² - OM² = DА² - DM².  АО = R, поэтому

     R² - OM² = (AD – DM)(AD + DM).

     Т. к. треугольник  АОВ - равнобедренный, то AD = BD

     и тогда R² - OM² = (ВD – DM)(AD + DM)  или

     R² - OM² = MB ∙ AM, что требовалось доказать.

     Задача 4. Докажите, что если из точки М, лежащей вне окружности с

центром О и радиусом R, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то произведение отрезков АМ и МВ равно ОМ² – R².

                   

                                               Решение.

     Проведем ОС  МВ и применим к ВОМ теорему 1:

     OM² - R² = МС² - ВС²,

     OM² - R² = (МС – ВС)(МС + ВС).

     Так как  МС – ВС = МС – АС = АМ, а МС + ВС = ВМ, то

     OM² - R² = АM ∙ MВ.

     Задача решена.

     Задачи 3 и 4 позволяют доказать известные в планиметрии теоремы об отрезках хорд и секущих:

    Теорема 6.  Если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке М, то

                         АМ ∙ ВМ = СМ ∙ DM.

                      

Доказательство.

1)     В ∆АОВ, согласно задаче 3,  R² - OM² = АM ∙ ВM.

2)     В ∆СОD, аналогично,  R² - OM² = СM ∙ DM.

     Из этих равенств следует, что  АM ∙ ВM = СM ∙ DM.

Теорема 7.  Если из точки М к окружности проведены две секущие,      

                     пересекающие окружность соответственно в точках  А и В,

                     C и D,  то  АМ · ВМ = СМ ∙ DM.

                                          Доказательство.

1)     В ∆МОВ, согласно задаче 4,  OM² - R² = АM ∙ ВM.

2)  В ∆МОD, аналогично,  OM² - R² = СM ∙ DM.

     Из этих равенств следует, что  АM ∙ ВM = СM ∙ DM.

Краткое описание документа:

      Данный материал (подборка задач-следствий из теоремы Пифагора) можно использовать для внеклассной работы на занятиях кружка в 8 классе или на уроке. 

       Пусть в треугольнике ABC  проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD².  Другими словами, справедлива теорема:

      Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности        квадратов их проекций на третью сторону.