Инфоурок Математика Другие методич. материалыНекоторые следствия из теоремы Пифагора

Некоторые следствия из теоремы Пифагора

Скачать материал

Cледствия из теоремы Пифагора.

 

        Пусть в треугольнике ABC проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD². Другими словами, справедлива теорема:

 

    Теорема 1. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности        квадратов их проекций на третью сторону.

 

 

Доказательство:

 

    В треугольнике ACD (D = 90°) АС² = AD² + СD²   (1).

    В треугольнике BCD (D = 90°) BC² = BD² + CD²    (2).             

    Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим:

                          AC² - BC² = AD² - BD².

 

 

    Задача 1. На прямой даны две точки А и В. Через точку В проведен перпендикуляр ВС к прямой АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку АС пересекает прямую АВ в точке D.

1.     Докажите, что треугольник ADC – равнобедренный.

2.     Выразите высоту ВС в треугольнике ADC через длины отрезков AD и BD.

                        Рис. 1                                                              Рис. 2

 

Решение:

1)    Применим теорему 1 для треугольника ACD

AD² - CD² = AE² - CE²   (1).

          Но так как по условию АЕ = СЕ, то правая часть равенства (1) есть 0,

          тогда AD² = CD², откуда AD = CD, т. е. треугольник  ADC

          равнобедренный.

    

2)    В прямоугольном треугольнике BCD  BC² = CD² - BD², но CD = AD, поэтому BC² = AD² - BD², отсюда  ВС = .

 

     Задача решена.

 

    Задача 2.  На прямой даны точки А и В. Постройте на этой прямой точку D

так, чтобы разность квадратов ее расстояний до точек  А и В была равна квадрату длины данного отрезка k.

Решение.

 

        (Для решения этой задачи используем результат решения задачи 1).

 

1)    Проведем прямую ВС перпендикулярно прямой АВ и отложим на ней

     отрезок ВС = k.

                     Рис.3                                                                    Рис.4

 

2)    Пусть Е – середина отрезка АС. Проведем EDАС, где D – точка

     пересечения АВ и ЕD.

     Построенная таким образом точка D удовлетворяет условию задачи и является единственной.

 

         Результат решения этой задачи на построение дает возможность

сформулировать важную теорему:

 

     Теорема 2.  Для любого отрезка длины  k  на прямой АВ существует единственная точка, разность квадратов расстояний от которой до точек А и В равна k 2 .

 

     И теперь можно сформулировать теорему, обратную теореме 1.

 

    Теорема 3. Если в треугольнике АВС на стороне АВ или ее продолжении

                       дана точка D, такая, что CВ² - CА² = DВ² - DА², то CD

                       высота.

   (Доказательство этого факта опирается на теорему 2)

 

      Таким образом, все предыдущие рассуждения подсказывают, что существует зависимость между перпендикулярностью отрезков и их длинами. А так как отрезки лежат на прямых, то возможно сформулировать условие перпендикулярности прямых.

      Теорема 3 позволяет выразить условие перпендикулярности двух прямых в форме равенства разностей квадратов отрезков, концы которых принадлежат данным прямым.

 

     Теорема 4.  Если две прямые АВ и CD перпендикулярны, то имеет место

                         равенство: СА² - СВ² = DA² - DB².

                                   

 

                                    С

         Верно и обратное утверждение:

 

    Теорема 5.  Если даны две прямые AB и CD и имеет место равенство

                         CA² - CB² = DA² - DB², то эти прямые перпендикулярны.

 

   Используя полученные соотношения, решим следующие задачи:

 

    Задача 3.  Докажите, что если точка М принадлежит хорде АВ окружности с центром О и радиусом R, то произведение отрезков АМ и МВ равно R2 – ОМ2.

 

 

Решение.

 

     В треугольнике АОМ проведем высоту ОD и применим теорему 1.

     OА² - OM² = DА² - DM².  АО = R, поэтому

     R² - OM² = (AD – DM)(AD + DM).

     Т. к. треугольник  АОВ - равнобедренный, то AD = BD

     и тогда R² - OM² = (ВDDM)(AD + DM)  или

     R² - OM² = MBAM, что требовалось доказать.

 

 

     Задача 4. Докажите, что если из точки М, лежащей вне окружности с

центром О и радиусом R, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то произведение отрезков АМ и МВ равно ОМ2R2.

 

 

                   

   

                                               Решение.

 

     Проведем ОС  МВ и применим к ВОМ теорему 1:

     OM² - R² = МС² - ВС²,

     OM² - R² = (МСВС)(МС + ВС).

     Так как  МС – ВС = МС – АС = АМ, а МС + ВС = ВМ, то

     OM² - R² = АMMВ.

     Задача решена.

 

     Задачи 3 и 4 позволяют доказать известные в планиметрии теоремы об отрезках хорд и секущих:

  

    Теорема 6.  Если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке М, то

                         АМ ∙ ВМ = СМ ∙ DM.

                   

                     

                      

                                       

 

Доказательство.

 

1)     В ∆АОВ, согласно задаче 3,  R² - OM² = АM ∙ ВM.

2)     В ∆СОD, аналогично,  R² - OM² = СMDM.

     Из этих равенств следует, что  АM ∙ ВM = СMDM.

 

 

Теорема 7.  Если из точки М к окружности проведены две секущие,      

                     пересекающие окружность соответственно в точках  А и В,

                     C и D,  то  АМ · ВМ = СМ ∙ DM.

 

 

                                          Доказательство.

 

1)     В ∆МОВ, согласно задаче 4,  OM² - R² = АM ∙ ВM.

2)  В ∆МОD, аналогично,  OM² - R2 = СMDM.

     Из этих равенств следует, что  АM ∙ ВM = СMDM.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Некоторые следствия из теоремы Пифагора"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Медиатор

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

      Данный материал (подборка задач-следствий из теоремы Пифагора) можно использовать для внеклассной работы на занятиях кружка в 8 классе или на уроке. 

       Пусть в треугольнике ABC  проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD².  Другими словами, справедлива теорема:

      Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности        квадратов их проекций на третью сторону.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 743 663 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Рабочая программа по учебному предмету «Математика» основного общего образования 6 класс На 2019-2020 учебный год
  • Учебник: «Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
  • 03.10.2020
  • 241
  • 0
«Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 07.01.2015 2864
    • DOCX 118 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Власова Тамара Геннадиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Власова Тамара Геннадиевна
    Власова Тамара Геннадиевна
    • На сайте: 9 лет и 6 месяцев
    • Подписчики: 3
    • Всего просмотров: 21698
    • Всего материалов: 10

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Мини-курс

Интегрированное управление бизнес-процессами

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Визуальные искусства: анимация и фотография

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Волонтерство: сущность, мотивация, и воспитание

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе