1034424
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыНестандартные задачи по математике с решениями. 7-9 класс. Часть 2.

Нестандартные задачи по математике с решениями. 7-9 класс. Часть 2.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.


Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.

Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.

В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.

Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.


Задача № 1

Доказать равенствоhello_html_fb55a40.gif

Решение:

hello_html_6600aba1.gif

hello_html_m52d21fa2.gif

hello_html_m20d6b612.gif

hello_html_m3c8ca337.gif

hello_html_m48bce39d.gif

hello_html_m3aa4398b.gif

Задача № 2

Доказать, что выражениеhello_html_2aed1a71.gif не равно нулю, если a, b, c – попарно не равные между собой числа.

Решение:

hello_html_1768167.gif

hello_html_5808237f.gif=

hello_html_50a51e1.gif

hello_html_7734f764.gifт.к. ahello_html_85b1ed4.gif.

Задача № 3

Доказать, чтоhello_html_7928d7c9.gif делится на 6 при любом натуральном n.

Решение:

hello_html_16608350.gif

hello_html_m39dc66a7.gifhello_html_18ffb855.gifэто произведение трех последовательных чисел, поэтому делится на 1hello_html_4723b767.gif.

12n делится на 6 очевидно. Следовательно, hello_html_m6d95d9ed.gif делится на 6, поэтому hello_html_15bc0b6f.gif делится на 6.

Задача № 4

Доказать, что числоhello_html_m1707cf0b.gif делится на 3 при любом натуральном n.

Решение:

hello_html_6d36ad0a.gif

hello_html_m622e0331.gifтри последовательных числа, значит делится на 3.

hello_html_m3f09ea22.gifтакже делится на3. Следовательно, hello_html_m5cfe3633.gif делится на 3, поэтому hello_html_6dc90d6c.gif делится на 3.

Задача № 5

Доказать, что если n – натуральное число и nhello_html_m5690762a.gif , то hello_html_m7e7bef11.gif составное число.

Решение:

hello_html_m2558705d.gif

Так как n – натуральное, то hello_html_m7742832e.gif– целые числа, не равные 1. Значит, hello_html_m7e7bef11.gif – составное число.

Задача № 6

Доказать равенство:hello_html_19a722d8.gif

Решение:

hello_html_m3891d942.gif

hello_html_6db20ffa.gif

Задача № 7

Доказать равенство: hello_html_2e7baf0a.gif

Решение:

hello_html_m382573a6.gif=hello_html_1c284a81.gif

Задача № 8

Доказать равенство: hello_html_5994e0a8.gif

Решение:

hello_html_m7da7a557.gif

Задача № 9

Доказать равенство: hello_html_1bc6dba5.gif

Решение:

hello_html_1226d623.gif

hello_html_m71f307b.gif

Задача № 10

Доказать равенство:hello_html_m41b3bf6.gif

Решение:

hello_html_2604735e.gif

hello_html_m5c5c9750.gif

Задача № 11

Доказать, что число hello_html_3cef48cd.gif является квадратом некоторого натурального числа x, и найти x.

Решение:

Пусть 1980hello_html_5dddafc5.gif

hello_html_32d73361.gif

hello_html_2f60e3c4.gif

hello_html_17551f5.gif

Значит, x =hello_html_m1d63636b.gif

Задача № 12

Упростить выражение:hello_html_m796bbdc.gif

Решение:

hello_html_m6e61f0dd.gif

hello_html_20803129.gif

Задача № 13

Упростить выражение: hello_html_2c403ac1.gif

Решение:

hello_html_m24922114.gif

hello_html_1ad06f4.gif

hello_html_3bd313ad.gif

hello_html_21470ab7.gif

Задача № 14

Упростить выражение: hello_html_752c7b1b.gif ,если hello_html_3e621558.gif

Решение:

hello_html_mfd057ee.gif

hello_html_m20f4fcc.gif

Если hello_html_3e621558.gif, то B=hello_html_m11aa8d82.gif

Задача № 15

Упростить выражение: hello_html_592dd6d6.gif, если hello_html_m3d526648.gif, где hello_html_m486afe02.gif

Решение:

hello_html_m253eb631.gif

Если hello_html_7bc08245.gif, то hello_html_14ea3d72.gif при hello_html_m2c29fac0.gif

Задача № 16

Найти все значения r, при которых уравнение hello_html_67c8085b.gif имеет:

1) равные корни;

2) корни, модули которых равны, а знаки противоположны.

Решение:

hello_html_67c8085b.gif

1) Уравнение будет иметь равные корни при D=0.

hello_html_m548eee3b.gif

hello_html_7e228adc.gif

hello_html_m1baccdcc.gif

2) Уравнение будет иметь корни, модули которых равны, а знаки противоположны, если второй коэффициент будет равен 0 и это уравнение станет неполным. Значит, при r=0 уравнение примет вид hello_html_36b8bf1c.gif.

Задача № 17

Доказать что если hello_html_m5888c7cd.gif, то квадратное уравнение hello_html_1ada267d.gif. Имеет действительные корни. При каких значениях hello_html_m74c4ce20.gif оба корня этого уравнения отрицательные?

Решение:

1) Докажем ,что данное уравнение имеет действительные корни при hello_html_mca66f2f.gif

hello_html_1ada267d.gif

hello_html_2e4c2a50.gif

hello_html_m7bcd6c87.gif

hello_html_56f9b095.gif

Уравнение будет иметь действительные корни, если hello_html_m6721e49a.gif. Но данный дискриминант будет равен нулю при hello_html_m4583115d.gif, а по условию hello_html_m5888c7cd.gif, значит, этот дискриминант должен быть строго больше нуля. Он больше нуля, т.к.hello_html_3773d815.gif. Значит, уравнениеhello_html_31c3496e.gifимеет действительные корни.

2) Чтобы уравнение имело два отрицательных корня, свободный коэффициент должен быть с положительным знаком, т.к. hello_html_7402b696.gif, а их сумма равна отрицательному числу.

Решим систему неравенств:

hello_html_419bacab.gifhello_html_4f4ec0da.gifhello_html_45e16c3b.gif

Ответ:hello_html_m55c636ed.gif

Задача № 18

Каким условиям удовлетворяют числа a и b ,если биквадратное уравнение hello_html_b5bd3ef.gif имеет четыре различных действительных корня?

Решение:

hello_html_7673f486.gif

hello_html_m66b47495.gif

Так как уравнение hello_html_m7c422862.gifимеет 4 различных корня, то k иhello_html_m189306a6.gif –положительны, т.к. hello_html_6c8b7a02.gif,hello_html_m537618c.gif. Уравнение hello_html_m4f00519c.gifбудет иметь положительные корни hello_html_m6ea08f81.gifпри hello_html_6cf09497.gifи при положительном дискриминанте.

hello_html_m6fbd4fce.gif

hello_html_m909d66e.gif

hello_html_17c048ee.gif

hello_html_13756912.gif

hello_html_m18d99585.gif

Сумма двух чисел будет положительна, только если эти оба числа будут положительны, значит hello_html_m289d40a8.gif

Ответ: hello_html_m89bb772.gif

Задача № 19

Какой цифрой оканчивается число hello_html_mb29508c.gif

Решение:

hello_html_m1f023c44.gifоканчивается цифрой 2.

hello_html_m18457238.gifоканчивается цифрой 4.

hello_html_m31af6aa2.gifоканчивается цифрой 8.

hello_html_281528f6.gifоканчивается цифрой 6.

hello_html_m5b440d9d.gifоканчивается цифрой 2.

hello_html_m3384d1e7.gifоканчивается цифрой 4.

………………………………………..

Т.е. через каждые четыре показателя числа будут оканчиваться теми же цифрами. Так как при делении 1982 на 4 получаем в остатке 2, то число hello_html_mb29508c.gifоканчивается той же цифрой, что hello_html_m18457238.gif, т.е. цифрой 4.

Задача № 20

Пусть hello_html_59e54a35.gif. Доказать что hello_html_m4802723a.gif.

Решение:

hello_html_7578d5f3.gif

hello_html_m751ebb48.gif


Общая информация

Номер материала: ДБ-255354

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.