Олимпиада по математике для 11 класса

Олимпиада по математике для 11 класса.

1.     Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат. 

2.     Решите уравнение в целых числах: 1!+2!+3!+⋯+𝑚!=𝑛².  

3.     У мальчика был один лист бумаги, который он разделил на 4 части. Четвертую часть количества имеющихся кусков бумаги мальчик выбросил. Каждый из оставшихся кусков мальчик разделил опять на 4 части и опять выбросил четвертую часть имеющихся кусков бумаги. Мальчик повторил такую процедуру ещё 6 раз. Сколько всего кусков бумаги мальчик выбросил? 

4.     В треугольнике АВС известна сторона ВС=а и радиус r окружности, касающейся стороны ВС и продолжения АВ и АС. Известно также, что внутри треугольника существует точка М такая, что 𝐵𝐶−𝐴𝑀=𝐶𝐴−𝐵𝑀=𝐴𝐵−𝐶𝑀. Найдите радиус окружности, вписанной в Δ ВМС.

5.     В четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD – квадрат, все ребра имеют одинаковую длину и угол А₁АВ равен углу А₁АD, который равен 60⁰. Найдите величину угла, который образует боковое ребро с плоскостью основания.

Решение заданий олимпиады.

1.     Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат. 

Решение: 

 Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 = (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1 = (n² + 3n + 1)².

2.     Решите уравнение в целых числах: 1!+2!+3!++!=².

Решение:  

Заметим, что решением данного уравнения будут две пары чисел (1;1) и (3;3). Других решений уравнение иметь не будет, так как в левой части функция факториала, в правой квадратичная, а мы знаем, что функция факториала возрастает «быстрее» квадратичной. Точек пересечения больше не будет.

3.     У мальчика был один лист бумаги, который он разделил на 4 части. Четвертую часть количества имеющихся кусков бумаги мальчик выбросил. Каждый из оставшихся кусков мальчик разделил опять на 4 части и опять выбросил четвертую часть имеющихся кусков бумаги. Мальчик повторил такую процедуру ещё 6 раз. Сколько всего кусков бумаги мальчик выбросил?

Решение:  

После деления листа бумаги на 4 части мальчик выбросил 1 кусок. Повторив процедуру, он получил 12 кусков и выбросил 3 листа. Затем он получил 36 листов и выбросил 9 кусков. Число выброшенных кусков составляет геометрическую прогрессию: 1,2,9,…..,b₈, знаменатель которой q=3. Число выброшенных кусков бумаги – это сумма первых восми членов геометричесской прогрессии:

 . 

4.     В треугольнике АВС известна сторона ВС=а и радиус r окружности, касающейся стороны ВС и продолжения АВ и АС. Известно также, что внутри треугольника существует точка М такая, что −=−=−. Найдите радиус окружности, вписанной в Δ ВМС.

  ,   

треугольников ABM и СВМ. Значит,   

Выразим sinB, cosB и ctgφ по формулам через тангенсы половинных углов. Будем иметь  

Сокращая на х и заменяя у по вышеуказанной формуле, получим

, откуда поскольку (−)²−≠0, получаем

. Заменим справа и преобразуем

.

Итак, (+)²=² и = −. 

5.     В четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD – квадрат, все ребра имеют одинаковую длину и угол А₁АВ равен углу А₁АD, который равен 60⁰. Найдите величину угла, который образует боковое ребро с плоскостью основания.

Решение: