Олимпиада по математике в 11 классе

Задачи олимпиады по математике. Муниципальный этап 2016–2017 уч. г.

11 класс

11.1. Решите уравнение в натуральных числах: 

11.2.Может ли куб наибольшего из трех последовательных натуральных чисел равняться сумме кубов двух других натуральных чисел?

11.3. Дан куб  с длиной ребра а. На ребре  взята точка L так, что . Найти длину отрезка линии пересечения плоскостей  и , заключенной между плоскостями  и .

11.4.На клетчатой бумаге   играют двое. Первый начинает из левого нижнего угла. Он может ставить черточку по диагонали одной клетки. Второй  ставит черточку по стороне одной клетки, продолжая ломаную после первого. Пересекать свои черточки нельзя. Выигрывает тот, кто попадет в верхний правый угол. Какой игрок может обеспечить себе выигрыш при правильной игре?

11.5. Найти число всех семизначных натуральных чисел, у которых цифры в десятичной записи идут в строго убывающем порядке.