Особенности
логарифмических уравнений в обучении студентов педагогических ВУЗов
Статья по
математике. Автор: Меджидова Фиренгиз Аседуллаевна.
Учитель
информатики, специалист по ИКТ в МКОУ «Великентская СОШ им. Гереева У. А.». РД,
Дербентский район, с. Великент
Аннотация. Статья содержит сведения о логарифмических
уравнениях, свойствах и их применении в решении логарифмических уравнений, необходимые
в обучении студентов математике.
Ключевые
слова: логарифмические
уравнения, свойства логарифмических уравнений, применение свойств
логарифмических уравнений.
Важнейшим условием эффективности работы учителя в
школе является качество его профессиональной подготовки. Качество образования,
гарантирующее высокий уровень готовности студентов педагогических ВУЗов
к будущей профессиональной деятельности, определяется тем,
насколько полученное в вузе образование соответствует текущим и перспективным задачам развития
общества. Исходя из этого важным, на мой взгляд, выступает умение учащихся
решению логарифмических уравнений
и неравенств.
На сегодняшний
день проблемным является именно область математики, так как учащиеся все больше
увлекаясь компьютерами, забывают порой тренировать свой ум с помощью
математики. Решение логарифмических уравнений является весьма существенной тренировкой
«мозга».
Целью данного исследования
выступает рассмотрение логарифмических уравнений, с помощью ряда примеров. В
первую очередь, проведем небольшой экскурс в историю появления и развития
логарифмов.
Логарифмы были
придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея
выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу
Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея
логарифма не нашла своего развития. В развитии теории логарифмов большое
значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал
рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он
ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса»
Однако первым
руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд
багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово
"аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб
аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении")
– со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а
само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о
решении уравнений.
Перейдем к
рассмотрению непосредственно логарифмических уравнений. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком
логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим
логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b.
(1)
Утверждение
1. Если a > 0, a
≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение
x = ab.
Пример 1. Решить уравнения:
a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x
= 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3;
c) или
x = 1. [4]
Приведем
основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a
> 0, a ≠ 1 и b > 0.
Р2. Логарифм произведения положительных
сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
loga
N1·N2 = loga N1
+ loga N2 (a > 0, a ≠ 1, N1
> 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1·N2
> 0, тогда свойство P2 примет вид
loga
N1·N2 = loga |N1|
+ loga |N2| (a > 0, a ≠ 1,
N1·N2 > 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел
равен разности логарифмов делимого и делителя
(a > 0, a ≠ 1, N1
> 0, N2 > 0).
Замечание. Если ,
(что равносильно N1N2 > 0) тогда
свойство P3 примет вид
(a > 0, a ≠ 1, N1N2
> 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен
произведению показателя степени на логарифм этого числа:
loga
N k = k loga N (a
> 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k -
четное число (k = 2s), то
loga
N 2s = 2s loga |N| (a
> 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
(a > 0, a ≠ 1, b >
0, b ≠ 1, N > 0),
в частности,
если N = b, получим
(a > 0, a ≠ 1, b
> 0, b ≠ 1). (2)
Используя
свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c
≠ 0), (3)
(a > 0, a ≠ 1, b >
0, c ≠ 0), (4)
(a > 0, a ≠ 1, b > 0,
c ≠ 0), (5)
и, если в (5) c
- четное число (c = 2n), имеет место
(b > 0, a ≠ 0, |a|
≠ 1). (6) [2]
Перечислим и
основные свойства логарифмической функции f(x) = loga
x:
1.
Область определения
логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2.
Область значений
логарифмической функции - множество действительных чисел.
3.
При a > 1
логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2
loga x1 < loga x2),
а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1
< x2 loga x1 > loga
x2).
4.
loga 1 = 0 и loga
a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5.
Если a > 1, то
логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x
(1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна
при x (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).
6.
Если a > 1, то
логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз. [3]
Утверждение
2. Уравнение loga
f(x) = loga g(x) (a >
0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система,
неравенство которой решается проще)
|
f(x) = g(x),
|
|
|
f(x) = g(x),
|
f(x) > 0,
|
g(x) > 0.
|
Утверждение
3. Уравнение logh(x)
f(x) = logh(x) g(x)
равносильно одной из систем
|
f(x) = g(x),
|
|
|
f(x) = g(x),
|
h(x) > 0,
|
h(x) > 0,
|
h(x) ≠ 1,
|
h(x) ≠ 1,
|
f(x) > 0,
|
g(x) > 0.
|
Нужно
подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто
используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ)
исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения
или могут быть потеряны решения. Например, уравнения
f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)
или
loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) +
loga g(x) = b
вообще говоря,
неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже). [4]
Следовательно,
при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные
преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является
составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования,
которые могут привести к потере корней.
Использование
определения логарифма. Пример 1.
Решить уравнения
a) log2(5 + 3log2(x
- 3)) = 3,
|
c) log(x - 2)9
= 2,
|
b)
|
d) log2x + 1(2x2
- 8x + 15) = 2.
|
Решение. a) Логарифмом
положительного числа b по основанию a (a > 0, a
≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить
b. Таким образом, logab = c, b = ac
и, следовательно,
5 + 3log2(x
- 3) = 23
или
3log2(x
- 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.
Опять
используя определение, получим
x - 3 = 21, x = 5. [5]
Проверка
полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:
log2(5 +
3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5
+ 3) = log28 = 3.
Получим
истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного
уравнения.
b) Аналогично
примеру a), получим уравнение
откуда следует
линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6.
Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.
c) Аналогично
примеру a), получим уравнение
(x - 2)2
= 9.
Возведя в
квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0
с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После
проверки остается лишь x = 5.
d) Используя
определение логарифма, получим уравнение
(2x2
- 8x + 15) = (2x + 1)2
или, после
элементарных преобразований,
x2 + 6x-7 = 0,
откуда x1
= -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1. [1]
Рассмотрим использование свойств логарифма. Пример 3. Решить уравнения
a) log3x + log3(x
+ 3) = log3(x + 24),
|
b) log4(x2
- 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2
|
c) log2x + log3x
= 1
|
Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x
(0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования
логарифмов уравнения)
|
x > 0,
|
x+3 > 0,
|
x+24 > 0.
|
Используя
свойство P2 и утверждение 1, получим
log3x + log3(x
+ 3) = log3(x + 24)
|
|
|
log3x(x
+ 3) = log3(x + 24),
|
x > 0,
|
|
|
|
x(x + 3) = x + 24,
|
x > 0,
|
|
|
x2 + 2x - 24 = 0,
|
x > 0,
|
|
|
|
x1 = -6,
|
x2 = 4,
|
|
x > 0,
|
|
x = 4.
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Используя
свойство P3, получим следствие исходного уравнения
откуда,
используя определение логарифма, получим
или
x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x
+ 5),
откуда
получаем уравнение
x2 - 2x - 3 = 0
с решениями x1
= -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
c) ОДЗ
уравнения: x (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение
log2x(1
+ log32) = 1,
откуда или
или
log2x = log63. Следовательно,
Подводя итоги
несколько слов о показательных
уравнениях.
Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится
только в показателе степени при постоянных основаниях.
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида
Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению
Пример 1. Решить уравнение
.
Представим правую часть уравнения в виде степени с
основанием 2:
.
Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:
Если после введения новой переменной показательное уравнение сводится к
алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то
сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя
решение простейшего показательного уравнения.
В заключении
не мало важным является отметить то, что математика, как и любая другая наука не стоит на месте,
вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и
идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло
свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но
компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание
хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать.
Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое
применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших
технологиях.
Список литературы
1.
Корн Г. и Т. Корн.
«Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука,
1970
2.
Курош А.Г. «Курс высшей
алгебры» Москва 1975
3.
М. Д. Аксенова.
«Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.
4.
Цыпкин А. Г. Под ред. С.
А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980
5.
Штейн Е.А. «Большая
школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.