Открытый урок "практическое применение подобия треугольников"

Открытый урок по геометрии

Тема: « Практическое применение подобия треугольников к решению задач.»

                                        Учитель: Машкова Н.А.

                 Класс: 8-А

Зареченская общеобразовательная школа

2012 год

Цели урока:

- Совершенствовать навыки решения задач на применение признаков подобия треугольников.        - Показать применение подобия треугольников в измерительных работах на местности.

Задачи урока:

Образовательные: показать учащимся практическое применение подобия треугольников для проведения измерительных работ на местности: определение высоты предмета; познакомить учащихся с различными способами определения высоты предмета, основанных на теоремах подобных треугольников; учить учащихся применять полученные знания при решении задач данного вида;

Развивающие:  развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа и сравнения различных способов определения высоты предмета;  с помощью решения задач исследовательского характера развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость  мышления, способность к оценочным действиям, обобщению, быстрому переключению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы;  формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

Воспитательные: прививать учащимся интерес к предмету посредством включения их в решение практических задач: измерение высоты предмета Фалесом; формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

Учебно-методическое обеспечение:

учебник геометрии 7-9 классы, авторы Л.С. Атаносян, В.Ф. Бутузов – М.: Просвещение 2007 г.;

Подготовительный этап

Предварительная работа по подготовке к уроку включает повторение признаков подобия треугольников. Ребята заранее разбиты на 4 группы и каждой группе дано задание (разобрать  презентацию на  определения высоты предмета или ширины реки.

К моменту проведения урока, учащиеся должны самостоятельно исследовать:

измерение высоты предмета Фалесом; вывод формул; назвать преимущества и недостатки способов определения высоты предмета; дать им название; приготовить презентацию, реферат, буклет, информационный бюллетень по способам определения высоты предмета.

План урока:

1. Организационный момент:  приветствие; постановка основных задач урока.

2. Актуализация знаний: решение задач по готовым чертежам.        

3. Задача №1: «Определение высота предмета по длине его тени» Показ презентаций. Защита проекта.

4. Задача №2: «Измерение высоты при помощи зеркала» Показ презентаций. Защита проекта.

5. Задача №3: «С помощью вращающейся планки.» Показ презентаций. Защита проекта.

6. Задача №4: «Измерение ширины реки.»   

7. Задание на дом. Подведение итогов урока.             

Ход урока:

Сегодня на уроке мы познакомимся с различными  способами определения высоты предмета, и рассмотрим применение для этого признаков подобия треугольников.

Если знать теорию подобных треугольников, то такие чудеса выполняются достаточно просто. Повторим её с помощью решения задачи по готовому чертежу.

Учащиеся решают задачи по готовым чертежам (чертежи за ранее готовы на доске)

1) BC   AC, EF  AB, BC=12см, EF=6см, AE=10см. Найти : АВ

Решение:

Рассмотрим     АВС  и     АСЕ .  <С=<F=90, <А- общий. По двум углам треугольники   подобны,  значит их сходственные стороны пропорциональны.

;      АВ=ВС·АЕ:FE;       АВ=12*10:6=20см

Ответ: АВ=20см.

2) MN// AC, MN=10см,  AC=15см,  MA=3см,   BN=8см,  NC=4см.  Найти: ВM

Решение:

Рассмотрим      АВС  и    MBN.  <B- общий, <BMN= <BAC  как соответственные углы при MN//AC и секущей АВ. По двум углам треугольники   подобны,  значит их сходственные стороны пропорциональны.

MN:АС=ВM:АВ

Пусть ВM=x см, тогда AB=x+3 см

10:15=х:(х+3);

10(х+3)=15х;

10х+30=15х;

Х=6

Значит BM=6см.

Ответ: BM=6см.

Мы повторили  признаки подобных треугольников, которые должны помочь вам разрешить проблемы, о которых мы говорили в начале урока.

Самый древний способ, который предложил греческий ученый Фалес. Он определил высоту пирамиды в Египте по ее тени. А как он это сделал,  вы узнаете, прослушав следующую историю, которая произошла с ним в VI веке до нашей эры. Первая группа провела некоторое исследование.

Презентация 1 группы : «Решение задачи на определение высоты тела по его тени.»

«Усталый пришёл чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошёл к великолепному дворцу фараона. Он что-то сказал слугам. По мгновению распахнули перед ним двери и провели его в приёмную залу. И вот он стоит в запылённом походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители великих тайн природы.

- Кто ты? – спросил верховный жрец.

- Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

- Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту предмета, не взбираясь на неё? – Жрецы согнулись от хохота. – Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибёшься не более чем на 100 локтей.

- Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы великого Египта.

- Хорошо, - сказал фараон. – Около дворца стоит пирамида, мы знаем её высоту. Завтра проверим твоё искусство».

На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Провёл некоторые измерения, сказал способ определения высоты пирамиды и назвал её высоту.

Решение задачи:

Рисунок

Выполним дополнительные построения. Соединим отрезками точки А и В, D и C, C и E. Получим треугольники АВС и CDE.

Так как Солнце от Земли очень далеко, то идущие от него к пирамиде лучи можно считать практически параллельными. Поэтому, АВ параллельно CD. Следовательно, ∠ ВАС = ∠ DCE, как соответственные при параллельных прямых АВ и CD, и секущей АЕ.

Если выбрать тот момент, когда тень от палки будет равна длине самой палки, т.е. АС = ВС, то треугольник АВС будет равнобедренным и прямоугольным. Поэтому, ∠ ВАС = ∠ АВС = 45°.

∠ DCE = ∠ ВАС, поэтому ∠ DCE = 45°. А так как ∆ DEC – прямоугольный, то и ∠CED = 45°. По признаку равнобедренного треугольника, ∠ CDE также равнобедренный. Следовательно, СЕ = ED, т.е. H = b.

Слова Фалеса: Когда тень от палки будет той же длины, что и сама палка, то длина тени от центра основания пирамиды до её вершины будет иметь ту же длину, что и сама пирамида.

Преимущества: не требуются вычисления.

Недостатки: можно определить высоту предмета только в короткий промежуток времени, в солнечную погоду и когда нет рядом предметов, тени которых сливаются с тенью данного предмета.

Название: Способ Фалеса.

№580.Длина тени дерева равна 10,2м, а длина тени человека, рост которого 1,7м, равна 2,5м. Найдите высоту дерева.

Решение: Из подобных треугольников  АВС и А₁В₁С₁  составим отношение сходственных сторон

ВС:В₁С₁=СА:С₁А₁;

В₁С₁=ВС*С₁А₁:СА;

В₁С₁=1,7*10,2:2,5=6,936м

Ответ: 6,936м

Подведём итоги. Мы выяснили, что высоту предмета можно определить по длине его тени. Но это сделать можно лишь в солнечную погоду и тех предметов, которые находятся на достаточном расстоянии от других предметов. Следовательно, нам нужно найти ещё способ для определения высоты предмета. Может быть, кто-то из вас уже сейчас готов предложить такой способ?

Презентация второй группы: « Измерение высоты при помощи зеркала.»

Измерение высоты предмета при помощи зеркала.

№ 581. Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС =165см, ВС=12 см, AD =120см, DE = 4,8м, .

Решение: Из подобных треугольников  АВD  и   EFD  составим отношение сходственных сторон

AB:EF=AD:DE;

EF=AB*DE:AD;

FE=153*480:120=612см

EF=6,12м

Ответ: EF=6,12м

 Презентация третьей группы: «С помощью вращающейся планки.»

С помощью вращающейся планки.

Предположим, что нам нужно определить высоту какого – нибудь предмета, например высоту столба А1С1 (задача № 579). Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А1А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А1С1В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников ( угол А1 = углу А = 90о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;

Измерив расстояния ВА1 и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А1С1 столба.

Презентация четвёртой группы: « Геометрия реки»

 Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ1С1. Точка А выбрана на берегу реки, В1 и С у кромки поверхности воды, ВВ1 – ширина реки (зад №583, рис 204 учебника), измеряя при этом АС, АС1, АВ1.

Решение: Из подобных треугольников  АВС и А₁В₁С₁  составим отношение сходственных сторон

АВ:АВ₁=АС:АС₁;

АВ=АВ₁*АС:АС₁;

АВ=34*100:32=106,25 м

ВВ₁₌АВ-АВ₁;

ВВ₁=106,25-34=72,25м

Ответ: ВВ₁=72,25м

Постановка домашнего задания. Закончить презентацию; №582; №604