Подборка задач для работы на уроке по теме "Описанная окружность"

Описанная окружность.

Теория

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Теоремы, связанные с описанной окружностью

• Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью треугольника , и — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны , тогда .

• Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.

• Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, центра I вписанной окружности и центра вневписанной окружности. Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, и центров и вневписанных окружностей.

• Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130).

• Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника ABC на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

• Согласно теореме Лестера центр девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Торричелли и центром описанной окружности.

• Прямая Эйлера проходит через: 1) Центроид треугольника, 2) Ортоцентр треугольника, 3) центр описанной окружности, 4) Центр окружности девяти точек.

Задача №1

Радиус окружности, описанной около треугольника , равен 13, высота, проведённая к стороне равна 5. Найдите длину той хорды описанной окружности, которая делится пополам стороной

Решение.

Пусть — середина искомой хорды Через точку проведём хорду параллельную стороне Тогда точка пересечения отрезков и — середина значит задача имеет два решения. Кроме того, высота треугольника вдвое больше высоты треугольника значит и Пусть — радиус окружности, описанной около треугольника По теореме синусов

Пусть — центр окружности, описанной около треугольника — середина Из прямоугольного треугольника находим, что а так как расстояние между параллельными хордами и также равно 5, то точка лежит на отрезке Следовательно, — диаметр окружности.

Из прямоугольного треугольника находим, что Следовательно, Аналогично находим, что

Ответ:

Теорема синусов

Теорема Пифагора

Задача №2

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Решение.

Точка лежит на окружности с диаметром поэтому По теореме Пифагора

 

Пусть — высота треугольника Тогда:.

Отсюда Из прямоугольного треугольника находим:

 

Если точка лежит между точками и , то Следовательно,

 

Если точка лежит между и то Следовательно,

Ответ:

Теорема Пифагора

Формула площади треугольника

Задача №3

Продолжение биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке . Окружность, описанная около треугольника , пересекает прямую в точке , отличной от . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если , , угол равен .

Решение.

Возможны два случая:

1) точка лежит между и (рис. 1);

2) точка лежит между и (рис. 2).

Рассмотрим первый случай.

поэтому треугольники и равны. Значит,

Тогда искомый радиус равен

Рассмотрим второй случай.

, поэтому треугольники и равны. Значит, Тогда искомый радиус равен

Ответ:

Замечание: на самом деле при внимательном рассмотрении оказывается, что первый случай невозможен, так как оказывается, что — самой длинной из сторон треугольника, а такого быть не может. Ошибка была допущена составителями задачи. При проверке, полный балл выставлялся, либо в случае, когда были разобраны оба случая и верно получены оба ответа, либо в случае, когда была объяснена невозможность первого случая и дан только один ответ.

Дополнительные задачи

№2

№3

№4