Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Подборка задач по теме "Задачи оптимизации"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Подборка задач по теме "Задачи оптимизации"

библиотека
материалов

Уварова Е.А.

Задачи оптимизации


А) Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.

  1. При каком значении параметра t площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x4+2x2 , касательной к нему, проведенной в точке графика с абсциссой t, и прямой x=t-1, наименьшая?(*)


Решение. Установим, что любая касательная к графику функции лежит не выше графика самой функции. Запишем уравнение касательной к графику данной функции в его точке с абсциссой t: y = (t4+2t2)+(4t3+4t)(x-t). Составим разность y(x)-y=x4+2x2-((t4+2t2)+(4t3+4t)(x-t))=x4-t4+2(x2-t2)-(x-t)(4t3+4t)=(x-t)(x3+x2t+xt2+t3+2x+2t-4t3-4t)=(x-t)(x3+2x2t-x2t+3xt2-2xt2-3t3+2(x-t))=(x-t)2(x2+2xt+3t3+2)=(x-t)2((x+t)2+2t2+2) 0 для всех х.

Теперь вычислим площадь фигуры hello_html_27796cc6.gif

hello_html_12eebb24.gif

hello_html_51875dd9.gifhello_html_m3be6162c.gifТак как hello_html_41a46593.gifпри t=0,25 и меняет в этой точке знак с минуса на плюс, то t=0,25 –точка минимума, и наименьшее значение площадь указанной фигуры достигает при этом значении параметра.

Ответ: при t=0,25.


  1. Криволинейная трапеция ограничена параболой y=-x2/3 hello_html_m53d4ecad.gif+4 и осью абсцисс. Рассматривается множество прямоугольников, вписанных в эту трапецию, у которых две вершины лежат на оси абсцисс, а две другие - на параболе. Какой из этих прямоугольников имеет наибольшую площадь?

Ответ: прямоугольник с координатами вершин (2;0),(-2;0),(2;hello_html_m3e0bb9a1.gif),(-2; hello_html_m3e0bb9a1.gif).


Б) Оптимизация расстояния до точки на графике функции.

  1. Определите координаты точки графика функции hello_html_m4ef545c6.gif, расстояние от которой до точки В(-2;0) наименьшее.(*)

Ответ: hello_html_693bed0c.gif

  1. Определите координаты точки графика функции hello_html_m224da388.gif, сумма расстояний от которой до осей координат минимальна.(*)

Ответ: (-1;1).


  1. Точка M(x;y), декартовы координаты которой удовлетворяют условиям a2x-y=2a2-2b, x-by=2-2a2, лежит на прямой y=2-x. При каких a и b эта точка наиболее близко расположена к точке N(3;-1)?(***) (ВМК, 1993г.)


Решение. Координаты точки М(х;у) удовлетворяют системе

hello_html_eac3df8.gifкоторая имеет решение при условии пропорциональности коэффициентов двух последних уравнений (так как а2+10):hello_html_m498431ec.gif

В первом случае получаем при всех а: hello_html_m2ffe80c9.gif(поскольку при b=a2 из второго уравнения системы получаем hello_html_6984f50e.gifучитывая также, что hello_html_764d97cc.gif Причем hello_html_47be78c7.gif

Во втором случае при подстановке во второе или третье уравнение системы

b= -a2–1 получаем х = 4 и MN2=2(4-3)2=2 для всех а.

Ответ: (0;0); (а;-а2-1), а(-;).


  1. Перо графопостроителя вычерчивает график функции y=x-2cos x для всех х из промежутка [-;]. Найти координаты точки графика, наиболее удаленной от оси абсцисс.

Ответ: hello_html_57496cf3.gif

В) Планиметрические задачи

  1. В треугольнике АВС со стороной АС=8 проведена биссектриса ВК. Известно, что площади треугольников АВК и ВКС относятся как 3:1. Найти биссектрису ВК, при которой высота, опущенная из вершины В на АС, будет наибольшей.(**) (экономический ф-т, 1995 г.)


Рhello_html_85087.gifешение. Так как площади треугольников АВК и ВКС относятся как 3:1, то АК:КС=3:1. По свойству биссектрисы угла треугольника АВ:ВС=3:1. Пусть эти стороны равны соответственно и х. По теореме косинусов hello_html_m56ae821c.gif.


Задачу можно переформулировать следующим образом: найти биссектрису угла В треугольника АВС, при которой значение площади данного треугольника будет наибольшим. SABC = ABBCsinB/2. Тогда

hello_html_m29b86916.gif

При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, т.е. hello_html_54298ee0.gif-точка максимума функции площади. Так как на интервале (2;4) точка экстремума единственная, то наибольшее значение функции совпадает с ее максимумом.

Для нахождения ВК вычислим косинус угла (учитывая, что hello_html_m7084e0f.gif С:hello_html_m2315bad2.gif

Ответ: hello_html_4fe3b4fd.gif


  1. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равно 15. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Ответ: 30.


  1. Из прямоугольной трапеции с основаниями 80 и 60 и высотой 100 вырезают прямоугольник наибольшей площади. Вычислить эту площадь.

Ответ: 6000.


Г) Стереометрические задачи.

  1. Вокруг сферы радиуса r описан прямой круговой конус. Найти наименьшее значение объема конуса и отношение высоты конуса к радиусу сферы при этом объеме. (**) (географический ф-т, 1995 г.)

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса:


Оhello_html_m5991a86b.gifбозначим BD за х. Из прямоугольного треугольника ОВН выразим hello_html_m24bb739a.gif

При прохождении через точку x=4r производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, эта точка является точкой минимума, а в силу единственности точки экстремума на области определения в этой точке достигается наименьшее значение функции. hello_html_4cba094a.gifОтношение высоты конуса к радиусу сферы равно 4.

Ответ: hello_html_mbf89618.gif


  1. Найти наибольшее значение объема пирамиды SABC при следующих ограничениях:hello_html_m3f9479e6.gif(**)(мехмат,1994 г.)

Ответ: hello_html_m211e7dda.gif


  1. Заводу поручено изготовить резервуары емкостью 4 м3, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, открытые сверху и покрытые изнутри оловом. Какими следует выбрать размеры резервуара, чтобы израсходовать наименьшее количество олова? (Толщиной стенок пренебречь.)

Ответ: 2м х 2м х 1м.


  1. Найдите наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром hello_html_15a83683.gif.

Ответ: hello_html_3a9707d1.gif.


  1. Сумма всех ребер правильной шестиугольной призмы равна 36. Найти сторону основания призмы, при которой объем призмы наибольший.

Ответ: 2.



Замечание. Задачи, помеченные знаком (*), подобраны из сборника заданий для подготовки к экзаменам в классах с углубленным изучением математики. Задачи со знаками (**) и (***) предлагались на вступительных экзаменах в МГУ и. М.В.Ломоносова (количество * отражает уровень сложности). Задачи, не отмеченные знаками, рассчитаны на обязательный уровень обученности учащихся. Их источниками служили учебник Мордковича А.Г. и др. и дидактические материалы по алгебре и началам анализа под редакцией Ивлева Б.М. и др.

Автор
Дата добавления 26.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров318
Номер материала ДA-016877
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Комментарии:

1 год назад

Задачи для подготовки к ЕГЭ и вузовским олимпиадам.

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх