Задачи
оптимизации
А) Вычисление
площади фигуры, ограниченной графиками функций.
1.
При каком значении
параметра t площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x4+2x2 , касательной к нему, проведенной в точке графика с абсциссой t, и
прямой x=t-1, наименьшая?(*)
Решение. Установим, что любая касательная к графику функции лежит не выше
графика самой функции. Запишем уравнение касательной к графику данной функции в
его точке с абсциссой t: y = (t4+2t2)+(4t3+4t)(x-t). Составим разность y(x)-y=x4+2x2-((t4+2t2)+(4t3+4t)(x-t))=x4-t4+2(x2-t2)-(x-t)(4t3+4t)=(x-t)(x3+x2t+xt2+t3+2x+2t-4t3-4t)=(x-t)(x3+2x2t-x2t+3xt2-2xt2-3t3+2(x-t))=(x-t)2(x2+2xt+3t3+2)=(x-t)2((x+t)2+2t2+2)³ 0 для всех х.
Теперь вычислим площадь фигуры
Так как при t=0,25 и меняет в этой точке знак с минуса на плюс,
то t=0,25
–точка минимума, и наименьшее значение площадь указанной фигуры достигает при
этом значении параметра.
Ответ:
при t=0,25.
2.
Криволинейная трапеция
ограничена параболой y=-x2/3 +4 и осью абсцисс. Рассматривается
множество прямоугольников, вписанных в эту трапецию, у которых две вершины
лежат на оси абсцисс, а две другие - на параболе. Какой из этих прямоугольников
имеет наибольшую площадь?
Ответ: прямоугольник
с координатами вершин (2;0),(-2;0),(2;),(-2;
).
Б) Оптимизация
расстояния до точки на графике функции.
1.
Определите координаты
точки графика функции , расстояние от которой до точки
В(-2;0) наименьшее.(*)
Ответ:
2.
Определите координаты
точки графика функции , сумма расстояний от которой до
осей координат минимальна.(*)
Ответ: (-1;1).
3.
Точка M(x;y),
декартовы координаты которой удовлетворяют условиям a2x-y=2a2-2b, x-by=2-2a2,
лежит на прямой y=2-x. При каких a и b эта точка наиболее близко расположена к точке N(3;-1)?(***)
(ВМК, 1993г.)
Решение. Координаты точки М(х;у) удовлетворяют системе
которая имеет решение при условии
пропорциональности коэффициентов двух последних уравнений (так как а2+1¹0):
В первом случае получаем при всех а: (поскольку
при b=a2 из
второго уравнения системы получаем учитывая также, что Причем
Во втором случае при подстановке во второе или третье
уравнение системы
b= -a2 –1 получаем х = 4 и MN2=2(4-3)2=2
для всех а.
Ответ: (0;0);
(а;-а2-1), аÎ(-¥;¥).
4.
Перо графопостроителя
вычерчивает график функции y=x-2cos x для всех х из промежутка [-p;p]. Найти
координаты точки графика, наиболее удаленной от оси абсцисс.
Ответ:
В) Планиметрические
задачи
1. В треугольнике АВС со стороной АС=8 проведена биссектриса ВК. Известно,
что площади треугольников АВК и ВКС относятся как 3:1. Найти биссектрису ВК,
при которой высота, опущенная из вершины В на АС, будет наибольшей.(**)
(экономический ф-т, 1995 г.)
Решение. Так как площади треугольников АВК
и ВКС относятся как 3:1, то АК:КС=3:1. По свойству биссектрисы угла
треугольника АВ:ВС=3:1. Пусть эти стороны равны соответственно 3х и х.
По теореме косинусов .
Задачу можно
переформулировать следующим образом: найти биссектрису угла В треугольника АВС,
при которой значение площади данного треугольника будет наибольшим. SABC
= AB×BC×sinÐB/2. Тогда
При переходе
через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, т.е. -точка максимума функции площади. Так как
на интервале (2;4) точка экстремума единственная, то наибольшее значение
функции совпадает с ее максимумом.
Для нахождения
ВК вычислим косинус угла (учитывая, что С:
Ответ:
2.
Боковые стороны и одно из
оснований трапеции равно 15. При какой длине второго основания площадь трапеции
будет наибольшей?
Ответ:
30.
3.
Из прямоугольной трапеции
с основаниями 80 и 60 и высотой 100 вырезают прямоугольник наибольшей площади.
Вычислить эту площадь.
Ответ: 6000.
Г) Стереометрические
задачи.
1.
Вокруг сферы радиуса r описан
прямой круговой конус. Найти наименьшее значение объема конуса и отношение высоты
конуса к радиусу сферы при этом объеме. (**) (географический ф-т, 1995
г.)
Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса:
Обозначим
BD за х. Из прямоугольного треугольника ОВН выразим
При прохождении через точку x=4r производная меняет знак с минуса на плюс,
следовательно, эта точка является точкой минимума, а в силу единственности
точки экстремума на области определения в этой точке достигается наименьшее
значение функции. Отношение высоты конуса к
радиусу сферы равно 4.
Ответ:
2.
Найти наибольшее значение
объема пирамиды SABC при следующих ограничениях:(**)(мехмат,1994
г.)
Ответ:
3.
Заводу поручено изготовить
резервуары емкостью 4 м3, имеющие форму правильной четырехугольной
призмы, открытые сверху и покрытые изнутри оловом. Какими следует выбрать
размеры резервуара, чтобы израсходовать наименьшее количество олова? (Толщиной
стенок пренебречь.)
Ответ:
2м х 2м х 1м.
4.
Найдите наибольший объем
правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром .
Ответ: .
5.
Сумма всех ребер
правильной шестиугольной призмы равна 36. Найти сторону основания призмы, при
которой объем призмы наибольший.
Ответ: 2.
Замечание. Задачи, помеченные знаком (*), подобраны из сборника заданий для
подготовки к экзаменам в классах с углубленным изучением математики. Задачи со
знаками (**) и (***) предлагались на вступительных экзаменах в МГУ и.
М.В.Ломоносова (количество * отражает уровень сложности). Задачи, не отмеченные
знаками, рассчитаны на обязательный уровень обученности учащихся. Их
источниками служили учебник Мордковича А.Г. и др. и дидактические материалы по
алгебре и началам анализа под редакцией Ивлева Б.М. и др.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.