Подготовка к ЕГЭ "Решение задач с помощью таблицы"

Решение задач с помощью таблиц

при подготовке к ЕГЭ

Основная часть нашего сознательного мышления связана с решением задач. Когда мы не развлекаемся и не мечтаем, наши мысли направлены к какой-то конечной цели, мы ищем пути и средства к достижению этой цели, мы пытаемся выработать какой-то курс,

следуя которому  можно достичь конечной цели.

Джордж Пойа

В заданиях ЕГЭ обязательно встречаются задачи по математике. Это и простые задачи, которые решаются по действиям, и компетентностные, то есть на подсчёт самого выгодного варианта выбора, и на уравнение. Если с первыми двумя типами выпускники ещё как-то справляются (свыше 50 %), то с задачами на уравнение дело обстоит хуже.

В чём дело? Наверняка, каждый учитель говорит своим одиннадцатиклассникам на консультациях: «Дети, это же обычные задачи, которые вы решали (ну, или должны были решать…) в школе. В восьмом классе… И в девятом тоже… Задачи как в учебниках, классические. Составьте уравнение и решайте!» В том-то и дело, что уравнение-то ещё  надо составить, а это не всем дано, а ещё и решить его, а уравнение-то дробное рациональное! Вспомните, запись решения такой задачи в тетради занимает больше страницы!

Это-то и отпугивает очень многих выпускников от задач. Многих, конечно, но не всех. Есть ученики, наша гордость, которым составить уравнение и решить его нетрудно. Ну, затратят они на экзамене минут 15, 10 или даже 5 на такую задачу и получат честно заработанный 1 балл.

Один… Всего один! К сожалению. Кстати, за чтение графика, нахождение значения производной в точке или нахождение вероятности тоже по баллу дают. Несправедливо… Или всё же стоит подумать, как научиться легче справляться с задачами на уравнение?

Сразу скажу, что не все задачи одинаково решаются. Рассмотрим к примеру классические задачи на движение.

Говорю ученикам:

Для успешного решения задач на движение нужно кое-что твёрдо держать в голове. А именно – формулу-ключ, в которой связаны путь, время и скорость. В любой задаче дают кучу информации, но эту формулу – никогда! Это должно быть ваше знание! Кстати, эта формула нужна и в математических задачах, и в обыденной жизни.

Чтобы эту формулу-ключ хорошо и осмысленно запомнить, достаточно ответить самому себе на простой вопрос: «Если я еду со скоростью 60 километров в час, какое расстояние я проеду за 2 часа?». Очевидно, умножив 60 на 2, получим 120 километров. Вот вы и запомнили нехитрую формулу скорости, пути, времени: s = v·t,  s - это пройденный путь или расстояние,  v – скорость движения, t – время движения.

Всё. Это вся посторонняя информация (из физики), которая необходима для решения задач на движение. Всё остальное – в тексте задачи.

Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко  вывести из неё формулу для скорости или времени. Ведь эта формула – тоже уравнение. Стало быть, к ней применимы тождественные преобразования. Если нас интересует не путь, а скорость, поделим обе части формулы на t, получим: .  Если интересует время, делим на v: .  Если считать задачу замком, то эти формулы – ключи, который должен быть всегда при вас. Ибо без ключа замок открывать неудобно…

Что нам даёт этот ключ?  Он нам даёт дополнительную информацию! Которой как раз и не хватает. Скажем, в задаче даны скорость и расстояние. А нам позарез нужно время. Так найти время из формулы-ключа за 6 секунд можно! То есть можно считать, что время тоже дано. Если формулу-ключ помните. И вообще, если даны любые две величины из формулы, можно считать, что и третья величина известна. Вот и всё.

А вы задумывались, как составитель придумывает тексты задач? Как он размышляет? Возможно, так: «А пусть это будет задача на движение и пусть будет известно расстояние. Например, 730,8 км. Нет, неудобное число. 700 км будет лучше! Пусть известно соотношение между скоростями и временами движения, а искомой величиной будет скорость… Скорость чего? Например, два поезда движутся навстречу друг другу. А какими могут быть их скорости? 63 км/ч и 71 км/ч? Вряд ли, слишком неудобные числа. Лучше подобрать такие, чтобы расстояние 700 км делилось на них, так сказать, красиво. Ведь моя цель – не загружать учеников большими вычислениями, а просто проверить умение решать задачи этого типа. Итак, пусть скорости поездов будут 50 и 70 км/ч. Значит, одна больше другой на 20 км/ч. Так, посчитаем времена их движения: 700:50 = 14 (ч)  и  700:70 = 10 (ч). Получается, с разницей в 4 часа. Всё, готово».

Итак, задача:

1.       «Из пунктов А и В, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу по параллельным путям отправились два поезда. Скорость второго поезда на 20 км/ч больше скорости первого, поэтому он прибыл в пункт назначения на 4 часа раньше. Найти скорость первого поезда».

Мне кажется, свои размышления автор задачи коротко мог записать так:

Я думаю, что для наглядности этих записей автор мог каким-то образом выделять соотношения между скоростями и между временами. Возможно, так:

То есть бóльшую величину – бóльшей фигурой, а меньшую – меньшей.

-3-

В старшей школе есть учащиеся, которые планируют решать на ЕГЭ задания второй части. Поэтому им очень важно сэкономить время на первой части. Не секрет, что в первой части есть задания, которые решаются устно. И даже задача! Да, именно задача. Я не оговорилась. Многие из них также решаются устно. Этому я учу своих 11-классников.  Давайте рассмотрим одну из них.

2.      Два автомобиля отправились в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает  к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость автомобиля, пришедшего к финишу вторым.

Вводим таблицу:

В таблицу первой величиной вносим расстояние, так как оно известно; второй – скорость, так как это искомая величина; время будет третьей величиной, оно выражается через расстояние и время.

По условию, скорость первого автомобиля больше скорости второго на 10 км/ч, поэтому в строке «скорость» нарисуем две фигуры, сначала большую, затем меньшую, и подпишем: «на 10 км/ч».

Каждый знает: чем скорость больше, тем время меньше. Поэтому  в строке «время» нарисуем две другие фигуры, сначала маленькую, затем большую, и подпишем: «на 1 ч».

Вспоминаем, что время находится делением расстояния s на скорость v, и подбираем подходящие скорости, ориентируясь на то, что движутся не велосипедисты, не пешеходы, а автомобили, скорости которых находятся в пределах где-то от 50 до 90 км/ч. Число 420 делится не на много чисел из этих пределов.

420:70 = 6,    420:60 = 7.            6 меньше 7 на 1.

Всё. Получилось. Ура!  Читаем задачу, чтобы вспомнить, что же надо выписать в ответ: «Найти скорость автомобиля, пришедшего к финишу вторым». Рассуждаем. Вторым придёт тот автомобиль, чья скорость меньше (время его движения больше). Значит, из скоростей 70 км/ч и 60 км/ч выбираем меньшую. Ответ: 60.

Кто-то может подумать, что подбором можно легко решать только те задачи на движение, в которых время равно целому числу часов, а другую задачу так легко не сделаешь. Ошибаетесь! Вот пример.

3.      Из пункта А в пункт В, удалённый на расстояние 50 км, отправился междугородний автобус. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось по расписанию, и прибыл в пункт В с опозданием на 15 мин. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?

Известно, что пройденный путь прямо пропорционален времени движения при условии сохранения скорости. Значит, если расстояние 50 км в этой задаче увеличить в четыре раза, то во столько же раз увеличится и время движения, а потому и время опоздания. Тогда задача № 3 равносильна задаче: «Из пункта А в пункт В, удалённый на расстояние 200 км, отправился междугородний автобус. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось по расписанию, и прибыл в пункт В с опозданием на 1 час. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?»

Составим таблицу и подберём скорости. Это очень просто!

4.      Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения реки 4 км/ч, стоянка длилась 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвратился через 13 часов после отправления из него. Ответ дайте в км/ч.

Скорость по течению равна 20 + 4 = 24 (км/ч), скорость против течения равна 20 – 4 = 16 (км/ч), суммарное время в пути равно 13 – 3 = 10 (ч).

Приготовим таблицу:

Помня, что s = v·t, подбираем значения времени и расстояния:

Есть ещё два типа классических задач. Кроме задач на движение, это задачи на работу и куплю-продажу. Давайте сравним эти три вида задач. Во-первых, каждый из видов характеризуется тремя величинами: скорость-время-расстояние в задачах на движение, производительность-время-работа в задачах на работу и цена-количество-стоимость в задачах на куплю-продажу. Во-вторых, что есть, например, скорость? Это быстрота движения, то есть расстояние в единицу времени. А производительность? Это тоже быстрота, но быстрота выполнения работы, то есть работа в единицу времени. Цена с ними схожа, она показывает стоимость единицы товара.

Введём обозначения:

Эти формулы удобно изображать в так называемых магических треугольниках:

 

Допустим, надо найти путь s. Закроем эту букву в треугольнике и увидим рядом написанные буквы v и t. Это значит, чтобы найти путь s, надо скорость v и время t перемножить. Если же надо найти скорость v, закрываем эту букву и видим, что буква s вверху, а t внизу. Это значит, чтобы найти скорость v, надо путь s разделить на время t.

Делаем вывод: классические задачи на работу и куплю-продажу также можно решать подбором в таблице. Рассмотрим несколько тому примеров.

5.      Бригада должна была изготовить 120 изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 3 дня раньше срока. Сколько изделий в час должна была изготовлять бригада по плану?   Ответ: 8.

6.      Машинистке надо перепечатать рукопись, в которой 280 страниц.  В день она стала печатать на 4 страницы больше, чем предполагалось, поэтому закончила работу на 8 дней раньше. Сколько страниц в день печатала машинистка?  Ответ: 14.

7.      У Даши есть 150 рублей. Она может купить на них без сдачи или только апельсины, или только груши. Известно, что один апельсин дороже одной груши на 2 руб. 50 коп, поэтому апельсинов выходило на 2 меньше. Сколько груш может купить Даша на свои деньги?  Ответ: 12.

Задачи для самостоятельного решения

Простые задачи

1.       Вторая труба попускает в минуту на 6 л воды меньше, чем первая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 100 л она наполняет на 5 минут быстрее, чем вторая труба наполняет резервуар объёмом 140 л?

2.       Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 105 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Определите скорость мотоциклиста, если известно, что он проезжает в час на 20 км больше, чем велосипедист, и в другой город он прибывает на 4 часа раньше. Ответ дайте в км/ч.

3.       Машинистке надо перепечатать рукопись, в которой 560 страниц.  В день она стала печатать на 10 страниц больше, чем предполагалось, поэтому закончила работу на день раньше. Сколько страниц в день печатала машинистка?

4.       На изготовление 48 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий в час делает на 4 детали больше, ем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

5.       Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани А в 10 часов утра, теплоход поплыл по течению реки с постоянной скоростью к пристани В. После трёхчасовой стоянки у причала В  теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

6.       На изготовление 24 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 48 таких же деталей. Известно, что первый рабочий в час делает на 2 детали больше, ем второй. Сколько  часов выполняет своё задание первый рабочий?

7.       Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к месту назначения на 1 час раньше. Найти скорость этого автомобиля.

8.       Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.

9.       Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

10.   На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 рублей. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 рублей дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?

11.   Предприниматель приобрёл акции одинаковой стоимости на 110 000 рублей. Если бы он отложил покупку на год, то сумел бы приобрести на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена одной акции данного вида возросла за этот год на 50 рублей. Сколько акций приобрёл предприниматель?

12.   Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость течения реки.

13.   Экскурсионный теплоход проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите собственную скорость теплохода (в км/ч), если он прошёл 120 км, скорость течения реки равна 4 км/ч, стоянка длилась 2 ч, а в пункт отплытия он вернулся через 10 ч.

14.   Экскурсионный теплоход регулярно совершает рейсы из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 570 км, и обратно. Теплоход отправился из пункта А с постоянной скоростью из А в В. После прибытия он вернулся обратно в пункт В со скоростью на 8 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 4 часа. В результате теплоход затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость теплохода на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Задачи на увеличение данных значений

1.       У Насти есть 250 рублей. Она может купить на них без сдачи или только апельсины, или только груши. Известно, что один апельсин дороже одной груши на 2 руб. 50 коп, поэтому апельсинов выходило на 5 меньше. Сколько груш может купить Даша на свои деньги?

2.       Туристы проплыли на байдарке против течения реки 6 км и вернулись обратно. На всё путешествие они затратили 4 часа 30 минут. Какова собственная скорость байдарки, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

3.       Два автомобиля отправились в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает  к финишу на 15 минут раньше второго. Найти скорость автомобиля, пришедшего к финишу вторым.

4.       Бригада должна была изготовить 60 деталей к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 1,5 дня раньше срока. Сколько деталей в час должна была изготовлять бригада по плану?

5.       Два велосипедиста одновременно отправились в 51-килиметровый пробег. Первый ехал со скоростью на 8 км/ч больше и прибыл на 2 часа 40 минут раньше. Найти скорость велосипедиста, прибывшего к финишу первым.

6.       Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 час 30 минут. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч?

7.       Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 10 км, одновременно выехали велосипедист и автобус. Известно, что в час автобус проезжает на 45 км больше, чем велосипедист. Найти скорость автобуса, если известно, что он прибыл в пункт В на 30 минут раньше велосипедиста. Ответ дайте в км/ч.

8.       Из пунктов А и В, расстояние между которыми 140 км, одновременно навстречу друг другу по параллельным путям отправились две электрички. Скорость первой на 20 км/ч больше скорости второй, поэтому она прибыла в пункт назначения на 48 минут раньше. Найти скорость первой электрички.

Краткое описание документа:

Решение задач на движение, работу, куплю-продажу не уравнением, а простым подбором. Даже если числовые данные НЕУДОБНЫЕ! Таблица вместо уравнения. Этот способ экономит время учителя и ученика, развивает творческие способности детей. Магические треугольники формул. Подбор задач для самостоятельного решения.