РЕШАЕМ ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ЭКОНОМИКЕ

Куприянова С.А.

Решение олимпиадных задач принципиально отличается от решения школьных, даже очень сложных, задач. Ясно, что не каждого учащегося, имеющего по предмету отличную оценку, имеет смысл направлять на олимпиаду. Дело в том, что на выполнение олимпиадного задания отводится строго определенное время, в качестве задач предлагаются не задачи базового или повышенного уровня (по школьным меркам), а задания нестандартные. Эти задания могут быть простыми по формулировке, но выходящими за рамки школьной программы. Определенную роль играет и скорость мышления учащегося. Целесообразно начинать подготовку «олимпиадников» в 5-7 классах. Только при таком подходе, учащийся, попавший на олимпиаду в 8-9 классах, будет чувствовать себя уверенно: скажется опыт решения нестандартных задач, накопленный за несколько лет.

Максимальный балл, присваиваемый за выполнение задачи, зависит от уровня ее сложности.

Решение каждой задачи должно быть выполнено максимально подробно, поскольку итоговая оценка учитывает то, какой процент приведенного решения является верным. Верным должно признаваться любое корректное решение приведенной задачи, независимо от того, насколько оно совпадает с авторским. Более подробные и полные решения оцениваются большим количеством баллов. Если жюри приходит к выводу, что задача скорее решена, чем не решена, то оценка должна быть больше половины от максимально возможной, в противном случае — меньше. Рекомендуется присваивать баллы за каждый шаг в решении задачи.

Арифметические ошибки не должны приводить к существенному сокращению баллов, поскольку на олимпиаде, в первую очередь, проверяется не умение хорошо считать, а умение нестандартно мыслить. Это накладывает высокую ответственность на преподавателей, выполняющих проверку, поскольку в каждой работе необходимо не столько проверить правильность ответа, сколько оценить полноту и корректность выполняемых действий, а при наличии ошибки найти ее и снизить балл исходя из степени ее существенности.

1.                  Задачи на тему «спрос и предложение, эластичность»

1.         Функция спроса на рынке недвижимости задана как: Qd = 8000 – 5P + 0.2I, где Qd –величина спроса на жилье в тыс. м2 в год, P – цена 1м2 жилья, а I – средние годовые доходы покупателей. В 1998 г. I было равно 10 000, функция предложения жилья выглядела как Qs = 5000. В 2003 г. I =15 000, предложение жилья уменьшилось: Qs = 4000. На сколько процентов изменилась цена жилья в 2003 г. по сравнению с 1998 г.?

10 баллов

Решение:

1)      Qd 1998= 8000 – 5Р + 0,2 *10 000=10 000 – 5Р

Qd = Qs, значит 10 000 – 5Р=5 000

5Р=5 000

Рe1998=1 000

2)      Qd 2003=8000 – 5P + 0.2I=8 000 – 5Р + 0,2 *15 000=11 000 - 5Р

Qd = Qs, значит 11 000 - 5Р = 4 000

5Р=7 000

Р = 1 400

3)      1000 – 100%

1400 – X, следовательно X = 1400*100%/1000 =140%,

140%-100%= 40%

Ответ: Pe1998= 1000, Pe2003= 1400. Цены выросли на 40%.

2.      Функция спроса на зерно имеет вид Qd=100-Р, где Qd-величина спроса на зерно в

тоннах, а Р-цена тонны зерна в рублях. Предложение зерна задано функцией Qs=4P, где Qs- величина предложения зерна. Сколько зерна и по какой цене будет продано в состоянии равновесия? Сколько зерна будет реализовано, если правительство установит фиксированную цену 40 рублей за тонну зерна?

8 баллов

Решение.

1)   Находим первоначальное равновесие: Qd = Qs

100-Р = 4P

5Р = 100

Р = 20, подставляем значение в заданную функцию: Qd=100-Р = 100 – 20 = 80

Q = 80

2)   После введения фиксированной цены Qd=100-40 = 60

Qs= Qs=4P = 4*40 = 160

3)        Объем реализации будет определяться как минимальное из полученных значений,

следовательно, Q = 60

3.                  Рынок винограда в Москве может быть описан такими функциями:

Спрос: Qd = 600 - 10P

Предложение: Qs = 320 + 4P

Какова ценовая эластичность спроса и предложения винограда в Москве, если рынок находится в равновесии?

Решение:

Ценовые эластичности находим в точке равновесия. Равновесие определяется равенствами спроса и предложения товара:

Qd=Qs

600-10P = 320+4P

Откуда получаем равновесный объем продаж:

Q* = 400

и равновесную цену:

Р* = 20

Ценовая эластичность спроса равна:

Еd = dQd/dP : (Q/P) = -10/20 = -0.5

Ценовая эластичность предложения равна:

Еs = dQs/dP : (Q/P) = 4/20 = 0.2

Мы видим, что и спрос и предложение товара являются неэластичными по цене.

II.    Задачи, связанные с затратами и функциями спроса или предложения

1.        Средние переменные издержки монопольной фирмы описываются функцией AVC=Q+10, постоянные издержки FC=280. Спрос на продукцию фирмы PD=170-3Q. Найдите параметры равновесия (цену и количество) и прибыль. Сделайте вывод, в каком периоде (долгосрочном или краткосрочном) функционирует фирма.

17 баллов

Решение:

1)        AVC = VC/ Q, значит VС = AVC* Q

VС = (Q+10) * Q = Q²+10 Q

2)        MC = ТСʹ = МСʹ = (Q²+10 Q)ʹ = 2Q + 10

3)        MR = TRʹ = (Р * Q)ʹ, подставляем вместо Р заданную в условии функцию:

MR = TRʹ = (Р * Q)ʹ = ((170 - 3Q) * Q)ʹ = (170 Q – 3 Q²)ʹ = 170 – 6Q

MR = 170 – 6Q

4)        MR = MC

170 – 6Q = 2Q + 10

8Q = 160

Q = 20

5)        Подставляем найденное значение в заданную по условию функцию:

P = 170 – 3 * 20 = 170 – 60 =110

6)        Прибыль определяем по формуле: π = TR – TC, где TR = Р * Q = 110*20 = 2200,

ТС = VС + FC = Q²+10 Q + FC = 20² + 10*20 + 280 (по условию FC=280) = 400 + 200 + 280= 880

π = TR – TC = 2200 – 880 = 1320

7)        Фирма находится в состоянии краткосрочного равновесия, поскольку FC ≠ 0.

2.        Совокупные издержки фирмы, действующей на конкурентном рынке, равны:

ТС = 15q² + 10q - 60.

Найти:

1). Все виды издержек;

2). Какое количество товара (q) в долгосрочном периоде будет производить фирма, максимизирующая прибыль;

3). Написать функцию предложения фирмы.

Решение:

1). Фирма характеризуется следующими видами издержек.

Средние издержки АС = ТС/q = (15q+10+60) / q

Предельные издержки MC = dTC/dq = ТСʹ = (15q² + 10q – 60) ʹ = 30q+10

Постоянные издержки - та часть совокупных издержек, которая не зависит от объема производства и выражаются числовым значением: FC = 60, следовательно  переменные издержки: VC = 15q² + 10q

Cредние переменные издержки: AVC = VC/q = 15q+10

Средние постоянные издержки: AFC = FC/q = 60/q

2). Долгосрочное равновесие фирмы характеризуется таким условием:

средние издержки равны предельным издержкам

AC = MC

Откуда получаем

30q+10 = (15q+10+60) / q

15q-60/q = 0

15q²-60 = 0

q² = 60/15 = 4

q*=2

В долгосрочном периоде фирма будет производить 2 тыс. единиц товара.

3). Функция предложения фирмы выражается как равенство рыночной цены товара предельным издержкам фирмы:

P=MC= 30q+10

Данная зависимость показывает, какое количество товара (q) фирма готова поставить на рынок при разных значениях рыночной цены Р.

III. Задачи на КПВ

1.        Линия КПВ₁ на приведенном выше графике соответствует первоначальной кривой производственных возможностей страны, а точка А соответствует первоначальному количеству шуб и меда, которое производили граждане страны. Затем, в силу глобального потепления, возможности для производства шуб и меда изменились (кривая производственных возможностей приняла вид КПВ₂).  Точка B соответствует текущему количеству производимых шуб и меда. По сравнению с точкой А, в точке B альтернативные издержки производства меда:

1) выросли; +2) упали; 3) стали равны нулю; 4) не изменились 5) могли как вырасти, так и упасть

Решение:

Если раньше альтернативные затраты были 1:1, то в точке В они выросли по оси «шубы», значит по оси «мед» они упали (3:3 – в точке А, 3:4 – в точке В)

2.          (14 баллов)

Три фермера — Билли, Вилли и Дилли — выращивают фасоль и кукурузу. У всех поля имеют одинаковую площадь. Если все поля засеять кукурузой, то на каждом поле вырастет 300 тонн кукурузы. Технология выращивания фасоли у фермеров разная: у Билли урожайность на 25% больше, чем у Вилли, а у Вилли на 25% больше, чем у Дилли. Билли выращивает 200 тонн фасоли. Постройте совместную КПВ, если дядя Скрудж посоветует Билли, Вилли и Дилли работать вместе. Кто из них и сколько будет производить каждого из товаров в рамках совместного предприятия (при условии, что они стремятся продать урожай с максимальной выручкой), если цена кукурузы на рынке составляет 40, а у фасоли равна 80.

Решение:

1)        Обозначим Размер урожая фасоли у Дилли за Y.

Тогда размер урожая фасоли у Вилли 1,25Y

Размер урожая фасоли у Билли 1,25*1,25Y. Известно, что он равен 200 тонн.

1,25*1.25Y = 200      =>       1,5625Y = 200           =>        Y = 128                                  (3 балла)

Выразим производственные возможности всех фермеров и альтернативные издержки производства фасоли:                                  (2 балла)

Построим совместную КПВ фермеров (5 баллов при наличии пояснения).

1)      Если Дилли будет сеять кукурузу = 300, то Билли и Вилли – фасоль = 200+160 = 360

2)      Если Дилли и Вилли будут сеять кукурузу = 300+300 =600, то Билли – фасоль =200

Ответ на вопрос о максимальной выручке аналогичен ответу на вопрос построения КТВ. Так как выгоднее продавать фасоль, то двое обязательно будут засевать свои поля фасолью: Билли и Вилли

Следовательно Билли и Вилли будут выращивать фасоль, а Дилли – кукурузу.

IV. Задачи по теме «Полезность»

1.        Функция полезности индивида равна: U=120-200/D, где U - совокупная полезность; D - доход потребителя. Потребителю предоставляется на выбор 4 тыс. руб. или лотерея, где он с вероятностью 1/4 может выиграть 10 тыс. руб. или с вероятностью 3/4 выиграть 2 тыс. руб. Что предпочтет потребитель: играть или получить достоверный эквивалент игры?

Решение:

Полезность достоверного эквивалента равна:

U₁ = 120 - 200/4 = 70

Ожидаемая полезность лотереи равна:

U₂ = (120-200/10) * 1/4 + (120-200/2) * 3/4 = 40

Так как U₁>U₂, потребитель предпочтет не играть и получить достоверный эквивалент.

2.        После окончания института Максиму предложили два места работы. Безопасная работа преподавателем с заработной платой W₁ = 400 тыс. руб. в месяц. Или опасная работа менеджером полукриминальной фирмы, где его доход составил бы W₂ = R тыс. руб. в месяц. При этом вероятность получить "травму" на работе равна 40%. Функция полезности Максима составляет: U=50 - 8000/W - K, где К=10 в случае получения "травмы" и К=0 без травмы. Какова должна быть премия за риск, чтобы Максим предпочел стать менеджером?

Решение:

Полезность работы преподавателем составляет

U = 50 - 8000/400 - 0 = 30

Ожидаемая полезность опасной работы равна:

Ue = 0.4(50-8000/R-10) + 0.6(50-8000/R) = 46 - 8000/R

Чтобы Максим предпочел опасную работу, ожидаемая полезность опасной работы должна быть выше полезности безопасной работы:

Ue>U

46-8000/R > 30

Откуда получаем значение заработной платы, которую нужно предложить Максиму, чтобы он согласился на опасную работу:

R > 500

Найдем премию за риск

П = R-W₁

П > 100

Таким образом, премия за риск должна превышать 100 тыс. руб. в месяц, чтобы Максим согласился взяться за опасную работу.

V.    Задачи по теме «ВВП»

Российский дилер, работающий на рынке автомобилей, закупил в ноябре 2009 года 30 автомобилей Mitsubishi, произведенных в Японии, по цене 20 000 долларов и 40 автомобилей LADA, произведенных в России, по цене 230 тыс. рублей. К 31 декабря 2009 года дилер продал в России 20 автомобилей Mitsubishi по цене 800 тыс. руб. и 20 автомобилей LADA по цене 330 тыс. руб. Оставшиеся 10 автомобилей Mitsubishi и 20 автомобилей LADA были проданы в 2010-м году по цене 770 тыс. руб. и 300 тыс. руб. соответственно. Подсчитайте, как в результате этих операций изменился валовой внутренний продукт России в 2009 и 2010 годах, если курс доллара составляет 30 рублей за доллар.

Решение:

Найдем закупочную цену автомобилей Mitsubishi в рублях, используя значение курса доллара: 30·20 000 = 600 000 (рублей). Вычислим изменения величины валового внутреннего продукта России (∆ВВП) по конечным продажам.

2009 год

Изменение потребительских расходов и государственных закупок:

∆С + ∆G = 20·800 + 20·330 = 22 600 (тыс. руб.)

Изменение инвестиций в запасы: ∆I = 10·600(20тыс долл* 30руб) + 20·230 = 10 600 (тыс. руб.)

Изменение экспорта: ∆Ex = 0

Изменение импорта: ∆Im = 30шт Mitsubishi·600 =18 000 (руб.)

∆ВВП = ∆С + ∆G + ∆I + ∆Ex – ∆Im = 22 600 + 10 600 + 0 – 18 000 = 15 200 (тыс. руб.)

2010 год

Изменение потребительских расходов и гос. закупок:

∆С + ∆G = 10·770 + 20·300 = 13 700 (тыс. руб.)

Изменение инвестиций в запасы: ∆I = – (10·600 + 20·230) = –10 600 (тыс. руб.)

Изменение экспорта: ∆Ex = 0

Изменение импорта: ∆Im = 0

∆ВВП = ∆С + ∆G + ∆I + ∆Ex – ∆Im = 13 700 – 10 600 + 0 + 0 = 3 100 (тыс. руб.)