Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 10 класс

Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 10 класс


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.


§ 18. Векторы в пространстве

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: модуль вектора, направление вектора, равенство векторов.

Координатами вектора с началом в точке Аhello_html_51ada824.gif, (хhello_html_51ada824.gif; уhello_html_51ada824.gif; zhello_html_51ada824.gif) и концом в точке

Аhello_html_m413ecfdf.gif (хhello_html_m413ecfdf.gif; уhello_html_m413ecfdf.gif; zhello_html_m413ecfdf.gif) называются числа (хhello_html_m413ecfdf.gifхhello_html_51ada824.gif; уhello_html_m413ecfdf.gif – уhello_html_51ada824.gif; z hello_html_m413ecfdf.gifzhello_html_51ada824.gif).

Равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны.

Расстояние между двумя точками:

а) на плоскости: А(hello_html_7b3f3560.gif) и В (hello_html_m35ae990d.gif) находим по формуле: hello_html_m21979182.gif

б) в пространстве: А(hello_html_1d7d0886.gif) и В (hello_html_46788b3b.gif) и АВ = hello_html_29f8e3ac.gif

Координаты середины отрезка АВ, где А(hello_html_1d7d0886.gif) и В (hello_html_46788b3b.gif)

вычисляются по формулам: х = hello_html_m35ffedb8.gif; у = hello_html_m54aff454.gif; z = hello_html_4db430c0.gif.

Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ

(т.е. точка М удовлетворяет условию hello_html_m78b2a27d.gif), находятся по формулам:

hello_html_f023cb0.gif; hello_html_1a4d27aa.gifи hello_html_7ae8fd5a.gif.

Уравнение окружности с центром в точке О (а; в) имеет вид:

(х - а)hello_html_m2949df1d.gif + (у - в)hello_html_m2949df1d.gif= Rhello_html_m2949df1d.gif.

Уравнение сферы с центром в точке О (а; в; с) имеет вид:

(х - а)hello_html_m2949df1d.gif + (у - в)hello_html_m2949df1d.gif + (z - c)hello_html_m2949df1d.gif= Rhello_html_m2949df1d.gif.

Скалярное произведение двух векторов hello_html_m6e198c3e.gif и hello_html_m47424c1e.gif(hello_html_46788b3b.gif) вычисляется по формулам:

1) hello_html_m5c541b13.gif· hello_html_7797cfda.gif=|hello_html_m5c541b13.gif|·|hello_html_7797cfda.gifcos φ, где φ - угол между векторами hello_html_m5c541b13.gif и hello_html_m47424c1e.gif;

2) hello_html_m5c541b13.gif· hello_html_m47424c1e.gif= хhello_html_m64e2a6c4.gif· хhello_html_7471c139.gif+ уhello_html_m64e2a6c4.gif· уhello_html_7471c139.gif+ zhello_html_m64e2a6c4.gif· zhello_html_7471c139.gif.

Если два вектора hello_html_m6e198c3e.gif и hello_html_m47424c1e.gif(hello_html_46788b3b.gif) коллинеарны, то: hello_html_m15a3e17d.gif= hello_html_m3f5c84a8.gif=hello_html_me5770f0.gif.

Если два вектора hello_html_m6e198c3e.gifи hello_html_m47424c1e.gif(hello_html_46788b3b.gif) перпендикулярны, то:

хhello_html_m64e2a6c4.gif· хhello_html_7471c139.gif+ уhello_html_m64e2a6c4.gif· уhello_html_7471c139.gif+ zhello_html_m64e2a6c4.gif· zhello_html_7471c139.gif= 0. (Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю).

Ребята!

Отзывы и пожелания по материалам справочного пособия по курсу математики

10 класса вы можете высказать учителю математики.

Желаю Вам успехов в учёбе!!!

22



Соловьёв В.А.


Справочник

10 класс


Математика. Готовься к экзаменам






Справочные материалы

по курсу математики 10 класса










2010 г.




































Данное пособие поможет вам, ребята, повторить




Содержание

Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Функция. Область определения и область значений …………………………..1

§ 2. Свойства тригонометрических функций ……..…………………..…………….2

§ 3. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение ….3

§ 4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность …. 3

§ 5. Обратные функции и решение тригонометрических уравнений ……….….....4

§ 6. Решение простейших тригонометрических неравенств ………..…………….12

§ 7. Правила вычисления производных ……………..…….……………………….13

§ 8. Физический смысл производной ……………….. …………………………….13

§ 9. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной ………....…...13

§ 10. Критические точки ……………………………………………..……………...14

§ 11. Признаки возрастания и убывания функции .……... ………………………..14

§ 12. Экстремумы функции ………………………....................................................15

§ 13. Наибольшие и наименьшие значения функции……………………………...15


Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. Аксиомы стереометрии …………..…………………………………………….16

§ 2. Следствия из аксиом…………………………………………………………….16

§ 3. Параллельные и скрещивающиеся прямые …………….…….………….……17

§ 4. Признак параллельности прямых ………………………………………………17

§ 5. Признак параллельности прямой и плоскости………………………………...17

§ 6. Параллельность плоскостей ……………….……..……………….……………18

§ 7. Свойства параллельных плоскостей ..……………….…………………….......18

§ 8. Перпендикулярность прямых в пространстве ……..........................................18

§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости …………..……………..................18

§ 10. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости …………………………19

§ 11. Перпендикуляр и наклонная ………………….……………………………...19

§ 12. Теорема о трёх перпендикулярах…………………………….………………19

§ 13. Расстояние между прямыми и плоскостями ………………………………...20

§ 14. Угол между прямой и плоскостью……………………………………………20

§ 15. Угол между двумя плоскостями……………………………….……………...21

§ 16. Признак перпендикулярности двух плоскостей…………………..…………21

§ 17. Двугранный угол ………………………………..…………………..…………21

§ 18. Векторы в пространстве………………………………..…………………..….22









hello_html_232abcfc.png

Рис. 9

hello_html_70ae5371.png

Рис. 10


§ 15. Угол между двумя плоскостями


Определение. Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно линии их пересечения (рис. 10)

Если плоскости параллельны, угол между ними считается равным 0°.



§ 16. Признак перпендикулярности двух плоскостей


Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема. Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой их пересечения, перпендикулярна к другой плоскости.


§ 17. Двугранный угол


hello_html_m4bc46dae.png

Рис. 11


Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 11). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая – ребром двугранного угла.


Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.




21

hello_html_6da8b0d8.png

Рис. 5


§ 13. Расстояние между прямыми и плоскостями


Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую (рис. 6).

Определение. Расстоянием между плоскостью и параллельной ей прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из любой точки прямой к плоскости (рис. 7).

hello_html_m43e960f6.png

Рис. 6

hello_html_490e9675.png


Рис. 7

Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный к каждой из них.

На рисунке 8 отрезок АВ – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а и в.

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

hello_html_m43e1026.png

Рис. 8



§ 14. Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется острый угол между прямой и её проекцией на плоскость (рис. 9).





20

§ 1. Функция. Область определения и область значений


Функция – одно из важнейших математических понятий. Напомним, что функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: у = f(х). (Читают: у равно эф от х.) Символом f(х) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Заметим, что в записи вида у = f(х) вместо f употребляют и другие буквы: g, φ, h и т. п.

Область определения функции – множество всех значений аргумента (независимой переменной), при которых функция имеет смысл.

Область значений функции множество всех значений, которые принимает функция (зависимая переменная).

Если функция задана формулой и её область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

При нахождении области определения функции следует обращать внимание на два факта:

1) делить на нуль нельзя, поэтому выражение, стоящее в знаменателе дроби (или делитель) всегда отлично от нуля.

Пример 1: Найти область определения функции hello_html_m18212341.gif. Делить на нуль нельзя, поэтому hello_html_6d9324e6.gif, hello_html_m60892873.gif, hello_html_7f18ad4e.gif. Значит область определения данной функции hello_html_24497b9e.gif.

2) корень чётной степени из отрицательного числа не извлекается, поэтому выражение, стоящее под знаком корня чётной степени, всегда неотрицательно (≥ 0).

Пример 2: Найти область определения функции hello_html_m78dc9839.gif. Согласно правилу: hello_html_m2220bb21.gif. Найдём корни квадратного уравнения. По теореме Виета:

hello_html_336bf5b5.gif= 3 и hello_html_m1d8db194.gif= 4. Графиком функции hello_html_44b53fed.gifявляется парабола, ветви которой направлены вниз. Значит область определения данной функции hello_html_5f6a2524.gif.

Вопрос о нахождении области значений функции решается гораздо сложнее.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 3. Найти область значений функции: hello_html_f58a1de.gif. Так как 3 0,

тоhello_html_m683974f7.gif, значит у 4. Отсюда: hello_html_6c4a7a3e.gif.

1

Пример 4. Найти область значений функции: hello_html_1a781afa.gif. Дробь hello_html_m448526ce.gif hello_html_m442f2d62.gif,

значит у 4 + 1,5 = 5,5. Отсюда: hello_html_338f1395.gif.

Пример 5. Найти область значений функции: hello_html_666ae1e9.gif. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня всегда должно быть неотрицательным, значит, таким же будет и значение квадратного корня: у ≥ 0, т.е. hello_html_5efa1fc7.gif.

Пример 6. Найти область значений функции: hello_html_45526d73.gif. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня всегда должно быть неотрицательным, значит, таким же будет и значение квадратного корня: у ≥ 0, т.е. hello_html_5efa1fc7.gif.

Пример 7. Найти область значений функции: hello_html_cf9cdf.gif. Графиком данной функции будет парабола, направленная ветвями вверх, значит, наименьшее значение функция будет принимать в вершине, hello_html_m71bf1798.gif, тогда

у(-4) =(-4) ∙ (- 4) + 8 ∙ (- 4) +12 = 16 – 32 +12 = 28 – 32 = -4, т.е. hello_html_m76d4dcf9.gif.

Пример 8. Найти область значений функции: hello_html_m7833a1d7.gif. Графиком данной функции будет парабола, направленная ветвями вниз, значит, наибольшее значение функция будет принимать в вершине, hello_html_m6fd4dff.gif, тогда

у(3) =-3 ∙ 3 + 6 ∙ 3 - 8 = - 9 + 18 - 8 = 18 - 17 = 1, т.е. hello_html_7dcd34b5.gif.

Пример 9. Найти область значений функции: hello_html_m1a22a30b.gif. Так как функция hello_html_5a6eef9f.gif– ограничена, то достаточно найти два краевых значения: 3 ∙ (-1) - 5 = - 3 - 5 =

= - 8 и 3 ∙ 1 - 5 =3 - 5 = -2. Значит, hello_html_41cdf601.gif.


§ 2. Свойства тригонометрических функций

1. Чётность функций

Функция у = f(x) называется чётной, если для всех значений х из области определения функции выполняется равенство: f(-x) = f(x).

Чётной из тригонометрических функций является только одна функция y = cos x.

Значит: cos (-x) = cos x.

Функция у = f(x) называется нечётной, если для всех значений х из области определения функции выполняется равенство: f(-x) = - f(x).

Нечётные функции: y = sin x, y = tg x, y = ctg x.

Значит: sin (-x) = - sin x, tg (-x) = - tg x, ctg (-x) = - ctg x.

Функция не являющейся ни чётной, ни нечётной, называется функцией общего вида (ФОВ).

2. Периодичность тригонометрических функций

Функция называется периодической, если для всех х из области определения функции выполняется равенство: f(x + Т) = f(x).

Число Т ≠ 0 называется периодом функции.

2 Периодичность тригонометрических функций: hello_html_ma7cef57.gif;

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.


§ 10. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости


Теорема. Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Теорема (обратная теорема). Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны.


§ 11. Перпендикуляр и наклонная


Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

На рисунке 4 из точки А проведены к плоскости α перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В – основание перпендикуляра, точка С – основание наклонной, ВС – проекция наклонной АС на плоскость α.

hello_html_m3bdef9b3.png

Рис. 4



§ 12. Теорема о трёх перпендикулярах


Теорема. Прямая, проведённая на плоскости перпендикулярно к проекции наклонной, перпендикулярна и к этой наклонной.

Теорема (обратная теорема). Если прямая на плоскости перпендикулярна к наклонной, то она перпендикулярна и к проекции наклонной.




19

§ 6. Параллельность плоскостей


Определение. Две плоскости называются параллельными, если она не пересекаются.

Если плоскости α и β параллельны, пишут: α║β.

Теорема (признак параллельности плоскостей): Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следствие. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.


§ 7. Свойства параллельных плоскостей


Теорема. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Теорема. Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

Теорема. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Следствие. Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны.


§ 8. Перпендикулярность прямых в пространстве


Введём сначала понятие “угол между прямыми в пространстве”. Если две пересекающиеся прямые образуют прямые углы, то говорят, что угол между этими прямыми равен 90°. Если пересекающиеся прямые образуют острые и тупые углы, то за угол между данными прямыми принимается мера острого угла.

Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми параллельными данным скрещивающимся.

Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Отрезки (лучи) называют перпендикулярными, если они принадлежат перпендикулярным прямым.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой.


§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости


Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости и проходящей через точку пересечения.

В этом случае и плоскость будет перпендикулярна к прямой: аhello_html_501fa71c.gifα и αhello_html_501fa71c.gifа.

Отрезок (луч) называется перпендикулярным к плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.



18

hello_html_74462b53.gif; hello_html_358a72db.gif; hello_html_509c44bc.gif.

В случае сложной функции у = f (kx + в), период находится по формуле: hello_html_4fd0809f.gif.

Например, для функции hello_html_m6525633b.gifпериод равен: hello_html_m13bbdedc.gif, а для функции hello_html_75a87f73.gif период равен: hello_html_43a36136.gif, функция hello_html_mbcbac63.gifимеет период: hello_html_maab98db.gif.


§ 3. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций

в произведение


Формулы сложения тригонометрических функций имеют вид:

hello_html_2985dc6f.gif; (1) hello_html_m5609b19.gif; (2)

hello_html_m5f48a844.gif; (3) hello_html_m4c020a1c.gif (4).

Сформулируем эти зависимости словами:

(1) Сумма синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности аргументов.

(2) Разность синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы аргументов.

(3) Сумма косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности аргументов.

(4) Разность косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности на синус полусуммы аргументов, взятому со знаком «минус».

Полезно также помнить формулы: hello_html_m607de95d.gif и hello_html_m21cc1b3b.gif.


§ 4. Преобразование произведения тригонометрических функций

в сумму и разность


Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов имеют вид:


hello_html_m3839dd68.gif

hello_html_35017d75.gif

hello_html_69eae6b4.gif

hello_html_m7bb9398b.gif

hello_html_m60c5e843.gif

hello_html_m498364c9.gif.

Отсюда: hello_html_m62b08997.gifили словами: 3

Произведение синуса и косинуса с различными аргументами, равно полусумме синусов суммы и разности этих аргументов.

hello_html_m692cbb4d.gifили словами:

Произведение косинусов с различными аргументами, равно полусумме косинусов суммы и разности этих аргументов.

hello_html_m55897417.gifили словами:

Произведение синусов с различными аргументами, равно половине разности косинусов разности и суммы этих аргументов.

Пример 1. Найти значение произведения: hello_html_m2013bdb3.gif.

Решение:

hello_html_48f8c212.gifhello_html_2e6782bb.gif=hello_html_m11e76fd0.gif=hello_html_12072dd8.gif.

Ответ: hello_html_12072dd8.gif.

Пример 2. Найти значение произведения: hello_html_m6117723a.gif.

Решение:

hello_html_m6117723a.gif-hello_html_m5493dcc9.gif=hello_html_m7d52592f.gif=hello_html_m33439217.gif.

Ответ: hello_html_m33439217.gif.

§ 5. Обратные функции и решение тригонометрических уравнений


Умение решать тригонометрические уравнения является очень важным в курсе математики средней школы. Многие учащиеся испытывают определённые трудности при их решении.

При решении тригонометрических уравнений мы будем использовать понятия обратных тригонометрических функций: арксинус, арккосинус, арктангенс и арктангенс, а так же формулы для решения простейших уравнений.

Определение:

arc cos a = α,

если cos α = a и 0 ≤ απ,

при этом – 1 ≤ а ≤ 1.

соs x = 0, hello_html_m2f777eda.gif;

соs x = 1, hello_html_3a3df987.gif;

соs x = – 1, hello_html_mf9c53aa.gif.


Если же соs x = а, где – 1 < а < 1, а ≠ 0, то hello_html_m5df873c2.gif.

Определение:

arc sin a = α,

если sin α = a и – hello_html_1258f56c.gifα hello_html_1258f56c.gif

при этом – 1 ≤ а ≤ 1.

sin x = 0, x = πk, hello_html_m59efea38.gif;

sin x = 1, hello_html_3cb927c4.gif;

sin x = – 1, hello_html_m7d70e8f.gif.

4 Если же sin x = а, где – 1 < а < 1, а ≠ 0, то hello_html_m210035c2.gif hello_html_m59efea38.gif.

2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

3. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.


§ 3. Параллельные и скрещивающиеся прямые


В пространстве две прямые могут лежать в одной плоскости, а могут и не лежать (в одной плоскости).

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Параллельность прямых обозначается в пространстве так же, как на плоскости: (АВ)‌║(СD).

Отрезки (лучи), принадлежащие параллельным прямым, называются параллельными.

Теорема. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.


§ 4. Признак параллельности прямых


Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.


§ 5. Признак параллельности прямой и плоскости


Известны три случая расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит на плоскости;

2) прямая пересекает плоскость, т.е. прямая и плоскость имеют одну общую точку;

3) прямая и плоскость не имеют общих точек.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости).

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Теорема. Если плоскость (β), проходящая через прямую (в), параллельную плоскости (α), пересекает данную плоскость (α), то линия пересечения параллельна данной прямой (в).

hello_html_m1a5b9a84.png

Рис. 3.



17

f(-3) =hello_html_75999346.gif;

f(-2) =hello_html_4c227c7b.gif;

f(-1) =hello_html_30de0271.gif;

f(0) =hello_html_5412001d.gif. Выберем из найденных значений функции наибольшее и наименьшее: hello_html_7de4971d.gif; hello_html_6d0aad6f.gif.

Ответ: hello_html_7de4971d.gif; hello_html_6d0aad6f.gif.



Геометрия


§ 1. Аксиомы стереометрии


hello_html_24865df9.gifКакова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

На рисунке 1 точки А и В принадлежат плоскости α, а точки Е, F, К не принадлежат этой плоскости.

hello_html_m62a54015.png

Рис. 1


hello_html_m10f776c6.png

Рис. 2


hello_html_3ec1a6b8.gifЧерез любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

На рисунке 2 изображена плоскость α, проходящая через точки А, В, С. Эти точки не принадлежат одной прямой.

hello_html_734b4c0c.gifЕсли две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

hello_html_m74ba4977.gifЕсли две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.


§ 2. Следствия из аксиом


1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость,

16 и притом только одну.

Определение: arc tg a = α, если tg α = a и – hello_html_1258f56c.gif < α < hello_html_1258f56c.gif.

Уравнение tg x = а имеет решение: hello_html_m7dca4595.gif hello_html_m59efea38.gif.


Определение: arc сtg a = α, если сtg α = a и 0 < α < π.

Уравнение сtg x = а имеет решение: hello_html_m36234898.gif hello_html_m59efea38.gif.


Способы решения тригонометрических уравнений


1. Самый распространённый метод решения тригонометрических уравнений – это разложение на множители. Рассмотрим несколько примеров.


Пример 1. Решить уравнение: hello_html_451514ea.gif.

Решение:

Используя формулу для синуса двойного аргумента, запишем уравнение в виде hello_html_6d8d1c22.gif

Вынося общий множительhello_html_72c3507a.gifза скобки, получаем:

hello_html_6d8d1c22.gif.

hello_html_64217195.gifhello_html_mf7fe30b.gif

hello_html_m19116bcf.gifhello_html_33e52457.gif

hello_html_mef54f35.gif.

Ответ: hello_html_856028.gif.

Пример 2. Решить уравнение: hello_html_m45011c7d.gif.

Используя формулу приведения hello_html_m885ad1c.gif, запишем уравнение в виде hello_html_m18bd4abd.gif.

Применив формулу для суммы косинусов, имеем:

hello_html_1b35e7f6.gif

hello_html_76934e0e.gifhello_html_711c0ec5.gif

hello_html_5bcb9dd2.gifhello_html_2211e494.gif

hello_html_m4ef7e658.gifhello_html_m594dc0c9.gif

hello_html_m4ef959e7.gif, hello_html_47a9c129.gif hello_html_m2a3c01e4.gif, hello_html_47a9c129.gif.






5

Ответ: hello_html_133dca1c.gif.


2. Уравнение вида hello_html_7a34a8be.gif или hello_html_m59beab02.gif разложением

на множители сводится к двум элементарным уравнениям.

hello_html_m275679fe.gif

hello_html_m4f3651dd.gif

hello_html_m4fcd22ac.gifи hello_html_517c506c.gif.

3. Уравнения вида hello_html_29f5536d.gif или hello_html_7a289e04.gif приводятся

к квадратным уравнениям относительно hello_html_m447e8214.gif или hello_html_17449813.gif соответственно:

hello_html_m3aec6ab4.gif

hello_html_714df185.gif

hello_html_m6c0aae98.gif

или

hello_html_7a289e04.gif

hello_html_ff596f8.gif

hello_html_60e01a74.gif.

4. Уравнение вида hello_html_me7daa2e.gif – однородное относительно

hello_html_17449813.gifили hello_html_m447e8214.gif:

hello_html_me7daa2e.gif

hello_html_587ee3ef.gif

hello_html_13428ab1.gif.

5. Уравнение вида hello_html_m48f1ab47.gif сводится

к однородному уравнению относительно hello_html_17449813.gif или hello_html_m447e8214.gif:

hello_html_m48f1ab47.gif

hello_html_3e885c6.gif

hello_html_m132134a3.gif.

6. Уравнение вида hello_html_3fd64fb0.gif с помощью формул приведения сводится

к элементарному уравнению.

Воспользуемся формулой hello_html_710cca4f.gifи получим:

hello_html_m2f17cfb2.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m2ba172a6.gif.

7. Уравнение вида hello_html_m36bd26f5.gif с помощью формул приведения сводится

к двум элементарным уравнениям:

hello_html_m36bd26f5.gif

6

§ 12. Экстремумы функции


Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «–»

на «+», то это точка минимума;

если же при переходе через критическую точку производная меняет знак

с «+» на «–», то это точка максимума.

Пример. Определить точки экстремума функции hello_html_bee0a91.gif.

Решение:


Найдём у′ = (hello_html_m5a9b7bc2.gif)′= 6хhello_html_m390ba23f.gif – 2х – 4 . Выясним, когда производная равна нулю: 6хhello_html_m390ba23f.gif – 2х – 4 = 0, 2(3хhello_html_m390ba23f.gifх – 2) = 0, значит hello_html_53dee204.gif и hello_html_dbfecbe.gif. Определим знак производной на каждом из интервалов

hello_html_m6de01214.png

В точке hello_html_53dee204.gif производная меняет знак с плюса на минус, а в точке hello_html_dbfecbe.gif производная меняет знак с минуса на плюс. Пользуясь условием экстремума, получаем, что точка hello_html_53dee204.gif– это точка максимума, а hello_html_dbfecbe.gif– точка минимума.

Ответ: hello_html_m255a65c8.gif; hello_html_20cb1934.gif.


§ 13. Наибольшие и наименьшие значения функции


Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке, надо найти значения функции на концах промежутка и в точках максимума и минимума (если они есть), принадлежащих указанному промежутку, а затем выбрать из них самое большое и самое маленькое.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функцииhello_html_5bd683a5.gif на промежутке [-3; 0].

Решение:

Найдём у′ = (hello_html_m1e8a0b21.gif)′= хhello_html_m390ba23f.gif +3х + 2 .

Выясним, когда производная равна нулю: хhello_html_m390ba23f.gif +3х + 2 = 0, значит hello_html_4c16176f.gif и hello_html_2f456e25.gif.

Определим знак производной на каждом из интервалов: у′ < 0 при хhello_html_m7f499848.gif(-2; -1)

и у′ > 0, если хhello_html_m7f499848.gif(-∞; -2)hello_html_m72007674.gif(-1; +∞). Значит hello_html_m5adf429b.gif; hello_html_454f854f.gif.

Точкиhello_html_m5adf429b.gif иhello_html_454f854f.gifпринадлежат промежутку [-3; 0], поэтому найдём значения функции в точках х = -3; -2; -1; 0.

15

Подставим найденные значения в уравнение касательной, получим:

у – 15 = 6 · (х + 1), т.е. у – 15 = 6х + 6, тогда у = 6х + 6 + 15, у = 6х + 21.

Ответ: у = 6х + 21.


Пример 2. Найдите тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку М(0; 5), к графику функции f(x) = хhello_html_m390ba23f.gif – 3х + 5.

Решение:

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной: hello_html_5c7cbcad.gif.

Найдём у′ = f(x) = (хhello_html_m390ba23f.gif – 3х + 5)′ = 2х – 3.

Мы знаем, что хhello_html_2b9c130b.gif = -1, тогда hello_html_m54cfc4ba.gif2 · (-1) – 3 = -5.

Ответ: hello_html_m54cfc4ba.gif-5.


§ 10. Критические точки

Критические точки – это те точки, в которых производная равна нулю.

Пример. Найдите критические точки функции f(x) =hello_html_632103c5.gif

Решение:

Найдём у′ = f(x) = (hello_html_382a5a03.gif)′ = hello_html_27ee87b1.gif=hello_html_m3e2e1b54.gif. В критических точках производная равна нулю, значит: hello_html_m3e2e1b54.gif= 0. Отсюда hello_html_m33df89be.gif, значит х = ± 4.

Ответ: х = ± 4.


§ 11. Признаки возрастания и убывания функции

Функция убывает на промежутке, если у′ на нём отрицательна (у′ < 0);

Функция возрастает на промежутке, если у′ на нём положительна (у′ > 0).

Пример. Найдите участки возрастания и убывания функции: f(x) =hello_html_m44953e95.gif

Решение:


Найдём у′ = f(x) = (hello_html_m47ea2683.gif)′ = hello_html_7aabc58.gif. В критических точках производная равна нулю, значит: hello_html_7aabc58.gif= 0. Отсюда х = 0; 1. Графиком производной является парабола, расположенная ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями, значит функция убывает на промежутке (0; 1) и возрастает на промежутках

(-∞; 0)hello_html_m72007674.gif(1; +∞).

hello_html_fb169ba.pngзнак у

0 1

Ответ: убывает на (0; 1) и возрастает на (-∞; 0)hello_html_m72007674.gif(1; +∞).

14

hello_html_4258e5f0.gif

hello_html_m7b147dcf.gif

hello_html_1f738d40.gifи hello_html_m3207412d.gif.

8. Уравнение вида hello_html_5205f84f.gif сводится к элементарному уравнению

относительно hello_html_6f1fee40.gif или hello_html_m895b075.gif, так как является однородным относительно

hello_html_17449813.gifили hello_html_m447e8214.gif:

hello_html_5205f84f.gif

hello_html_75dbac5f.gif

Пример 1. Решить уравнение: hello_html_260fb54e.gif


Решение:

Однородным называется уравнение, в котором все слагаемые одной и той же степени относительно hello_html_m447e8214.gif и hello_html_17449813.gif.

В однородных уравнениях hello_html_72c3507a.gif и hello_html_17449813.gif не могут одновременно равняться нулю, так как если hello_html_m447e8214.gif= 0, то и hello_html_17449813.gif = 0, а hello_html_4714b6d2.gifОднородные уравнения решаются делением обеих частей уравнения на hello_html_17449813.gif.

Поделив обе части уравнения на hello_html_17449813.gif, получим:

hello_html_7d31e5a.gif, hello_html_m516c8d43.gif, hello_html_1f20f9b9.gif.

Ответ: hello_html_m1f076a1d.gif

Пример 2. Решить уравнение: hello_html_3b700006.gif.


Решение:

hello_html_3b700006.gif

hello_html_m67df8441.gif

hello_html_77efcd14.gif

hello_html_457bb6b2.gif

hello_html_m5327cbea.gif.

Разделив обе части уравнения на hello_html_m6c4ca611.gif, получим:

hello_html_1b3cb410.gif.

Отсюда: hello_html_m6fce0bd7.gif и hello_html_m3c8205e1.gif, значит










7

hello_html_m6aee9a2a.gifhello_html_6f048355.gif

Ответ: hello_html_517c9b1c.gif.


9. Уравнение вида hello_html_m6a20fdbc.gif можно решать методом введения

вспомогательного угла.

Это уравнение можно решить с помощью универсальной подставки

оно сводится к однородному после замены с на hello_html_51637755.gif.

Пример 1. Решить уравнение: hello_html_m6b87f6b7.gif

Решение:

Используем формулы тригонометрических функций двойного угла: hello_html_m548bef51.gif и hello_html_754071d8.gif,

Правую часть преобразуем так: hello_html_209c5e52.gif, получим:

hello_html_m5d12d59.gif+ hello_html_m6e25adf4.gif=hello_html_m7b820e31.gif

3hello_html_75689ef0.gifhello_html_m5d12d59.gif + hello_html_m44d14a1a.gif = 0.

Поделив это уравнение на hello_html_m44d14a1a.gif, получим:

3hello_html_m3b3f81bd.gifhello_html_26d2ca7f.gif + 1 = 0.

Обозначив hello_html_m1b48efdc.gif, получаем уравнение:

3уhello_html_4fbf37b8.gif – 4у + 1 = 0,



откуда hello_html_m7843b109.gif и hello_html_m17ba20d9.gif.

1) hello_html_m6a671d1a.gif, hello_html_m53d4ecad.gif, hello_html_67dc93e8.gif;

2) hello_html_m625ead7a.gif, hello_html_6f39b999.gif, hello_html_m4331bb36.gif.

Ответ: hello_html_6679315e.gif.

Пример 2hello_html_m44c793a1.gif. Решить уравнение: hello_html_m677940f3.gif
















8

xhello_html_m7f499848.gif (- πarc sinhello_html_m8464e99.gif + 2πk; arc sinhello_html_m8464e99.gif + 2πk), khello_html_m7f499848.gifZ, учитывая, что arc sinhello_html_m8464e99.gif= hello_html_9d32392.gif ,

получим: xhello_html_m7f499848.gif (-hello_html_12edb95.gif+ 2πk;hello_html_9d32392.gif + 2πk), khello_html_m7f499848.gifZ.


§ 7. Правила вычисления производных

Производные вычисляются по формулам: (u + v)' = u' + v '; (uv)' = u' v + u v';

(C u)' = C ∙ u'; C ' = 0 (где C = const); (sin x)' = cos x; (cos x)' = – sin x;

(hello_html_m50f7e651.gif)' = hello_html_18c04eb7.gif; (tg x)' = hello_html_dc16d6.gif; (ctg x)' = hello_html_55d3e8b4.gif; (ln x)' = hello_html_m12ff6cec.gif;

(xhello_html_d901e0b.gif)'= n ∙ xhello_html_4f7f18b3.gif; (ehello_html_34fbc23a.gif)'= ehello_html_34fbc23a.gif; (ahello_html_34fbc23a.gif)'= ahello_html_34fbc23a.gif∙ ln a; (loghello_html_m1ab27dc3.gifx)' = hello_html_777b4b68.gif.

Полезно помнить, что: hello_html_m767669c.gif и hello_html_b01d4d7.gif


§ 8. Физический смысл производной

Физический (механический) смысл производной: производная пути по времени

есть скорость, т. е. hello_html_m7043df3d.gif, а производная скорости по времени есть ускорение: hello_html_m333c6b9e.gif.

Пример. Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 4thello_html_m390ba23f.gif + 15thello_html_m5fcebee0.gif.

Найдите формулу вычисления скорости в любой момент времени.

Вычислите скорость и ускорение при t = 2 (время измеряется в секундах, координата – в метрах).

Решение:

hello_html_ae6d920.gif, поэтому V (t) =hello_html_10fec412.gif=(4thello_html_m390ba23f.gif + 15thello_html_m5fcebee0.gif)′ =4 · 2t +15 · 4 thello_html_28a05c6c.gif= 8t + 60 thello_html_28a05c6c.gif.

hello_html_m35e777f2.gif, значит hello_html_m6a9e646b.gif= (8t + 60 thello_html_28a05c6c.gif)′ = 8 + 60 · 3thello_html_m390ba23f.gif= 8 + 180thello_html_m390ba23f.gif.

Найдём V(2) = 8 · 2 +60 · 2hello_html_28a05c6c.gif = 16 + 480 = 496 (м/с), а(2) = 8 + 180 · 2hello_html_m390ba23f.gif= 728(м/сhello_html_m390ba23f.gif).

Ответ: V (t) = 8t + 60 thello_html_28a05c6c.gif; V(2) = 496 (м/с), а(2) = 728(м/сhello_html_m390ba23f.gif).


§ 9. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной


Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной: hello_html_cc46bc8.gif.

Уравнение касательной имеет вид: у – уhello_html_2b9c130b.gif =уhello_html_2b9c130b.gif (х – хhello_html_2b9c130b.gif).

Пример 1. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= 12х + 3xhello_html_m390ba23f.gif, проведённой через точку с абсциссой хhello_html_2b9c130b.gif = -1.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: у – уhello_html_2b9c130b.gif = уhello_html_2b9c130b.gif (х – хhello_html_2b9c130b.gif). Найдём у′ = 12 + 6х.

Мы знаем, что хhello_html_2b9c130b.gif = -1, тогда уhello_html_2b9c130b.gif = 12 + 3 · (-1) hello_html_m390ba23f.gif= 12 + 3 =15, уhello_html_2b9c130b.gif = 12 + 6 · (-1) = 6. 13

Пример 3: Решите уравнение:

hello_html_me6f81b1.gif

Решение:

hello_html_m6ae2127e.gif,

значит:

hello_html_2e5939e9.gifhello_html_m6c03b186.gif,

отсюда следует:

hello_html_m51b6dc58.gifhello_html_7b97d90e.gifhello_html_m4647a1ac.gif.

Из первого уравнения системы вытекает, что hello_html_54e2a87a.gif Подставим

эти значения во второе и третье уравнения системы: hello_html_3eb25580.gif

и hello_html_5939203d.gif.

Значит, ответ найден. Ответ: hello_html_m1bf6a085.gif.


§ 6. Решение простейших тригонометрических неравенств


Неравенства, составленные из тригонометрических выражений, называются тригонометрическими неравенствами. Тригонометрические неравенства решаются,

в основном, путём сведения их к простейшим неравенствам вида: sinx < a, cosx < a,

tgx > a, ctgx > 0 и т. д.

При решении тригонометрических неравенств справедливы следующие

формулы:

1) sinx > a, (|а| < 1) => х hello_html_m7f499848.gif (arc sinа + 2πk; π -arc sinа + 2πk), khello_html_m7f499848.gifZ;

2) sinx < a, (|a| < 1) => xhello_html_m7f499848.gif (-π -arc sina + 2πk; arc sinа + 2πk), khello_html_m7f499848.gifZ;

3) cosx > a, (|a| < 1) => xhello_html_m7f499848.gif (-arc cosa + 2πk; arc cosa + 2πk), khello_html_m7f499848.gif Z;

4) cosx < a, (|a| < 1) => xhello_html_m7f499848.gif (arc cosa + 2πk; 2π -arc cosa + 2πk), khello_html_m7f499848.gifZ;

В случае: sinxa, sinxa, cosxa, cosxa с обеих сторон будут квадратные скобки.

5) tgxa => xhello_html_m7f499848.gif[arc tga + πk; π/2 + πk), khello_html_m7f499848.gifZ;

6) tgxa => xhello_html_m7f499848.gif(- π/2 + πk; arc tga + πk], khello_html_m7f499848.gifZ;

7) ctgxа => xhello_html_m7f499848.gif(πk; arc сtga + πk], khello_html_m7f499848.gifZ;

8) ctgxa => xhello_html_m7f499848.gif[arc сtga + πk; π + πk), khello_html_m7f499848.gifZ.

В случае: tgx > a, tgx < a, ctgx > a, ctgx < a с обеих сторон будут круглые скобки.

Пример. Решим неравенство 2 sin2x – 7 sinx + 3 > 0.

Решение:

Если введём обозначение sin х = t, то данное неравенство сводится

к квадратному неравенству 2 t2 - 7 t + 3 > 0, решения которого определяются совокупностью неравенств: t < hello_html_m431e45e1.gif и t > 3, т. е. исходное неравенство равносильно совокупности неравенств sin х <hello_html_m431e45e1.gif и sin x > 3. Второе неравенство не имеет решения,

а решения первого неравенства находятся по формуле (2):

12

Решение:

Выразим hello_html_5ce0d115.gif через hello_html_m572622f8.gif, используя тождество:

hello_html_5ce0d115.gif= hello_html_m7b2db7f0.gif.

Обозначим hello_html_m7b6906ca.gif, тогда hello_html_35e3d5bd.gif и уравнение примет вид:

hello_html_m609b4906.gif, откуда hello_html_m5c286670.gif и hello_html_58bae57f.gif.

1) hello_html_m5e4cf7e7.gif

hello_html_2e5f8afb.gif+ hello_html_m44d14a1a.gif hello_html_75689ef0.gif = hello_html_m2630981.gif

hello_html_2e5f8afb.gif+ 2hello_html_m44d14a1a.gif = 0

hello_html_m79b60b44.gif

hello_html_m7b1cbb1.gifhello_html_7a19931b.gif

hello_html_48e32d10.gifhello_html_6befb302.gif

hello_html_57e71925.gifhello_html_m1e7cdd5f.gif

hello_html_m369e262.gif.

2) Уравнение hello_html_41942a.gif не имеет корней, так как hello_html_417f2d20.gif и hello_html_5d7c14cd.gif и равенства hello_html_m2c948843.gif и hello_html_256401b9.gif не могут одновременно выполняться в силу того, что hello_html_396a528d.gif.

Ответ: hello_html_7e4b1dc6.gif.

Однако в некоторых случаях без вспомогательного угла обойтись трудно.

hello_html_2a0695dd.gif.

Обозначимhello_html_m3db23574.gif, а hello_html_2aeb1919.gif, получим: hello_html_m33fd1601.gif.


Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения

hello_html_m11e17f18.gif.


Решение:

Выражение hello_html_48b8b08c.gif можно преобразовать

несколькими способами. Положим, например, hello_html_m7bf0bcd3.gif и hello_html_m483b358b.gif, тогда


9

hello_html_4d48bd0c.gif.

Теперь ясно, что выражение принимает все значения из отрезка [– 5; 5].

Ответ: – 5 и 5.


10. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Многие тригонометрические уравнения могут быть сведены путём введения новой переменной к квадратным уравнениям.

Рассмотрим несколько примеров.


Пример 1. Решить уравнение: hello_html_373f38f6.gif.


Решение:

Это уравнение является квадратным относительно hello_html_m662ea125.gif.

Обозначим hello_html_4605a533.gif, получим уравнение hello_html_m44e5aebb.gif. Его корни hello_html_m34bf8df6.gif и hello_html_1d95f3e1.gif. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений hello_html_m2c948843.gif и hello_html_2020ff65.gif.

Уравнение hello_html_m2c948843.gif имеет корни hello_html_55406bf9.gif;

уравнение hello_html_2020ff65.gif не имеет корней.

Ответ: hello_html_m7948611a.gif.

Пример 2. Решить уравнение: hello_html_10638fb9.gif.

Заменяя hello_html_50e6d8e2.gif, получаем: hello_html_1f236b7c.gif

hello_html_m3136719.gif.

Обозначим hello_html_4605a533.gif, получим уравнение hello_html_394fc8c5.gif,

откуда корни hello_html_m9bcded.gif и hello_html_2379dd28.gif.

Уравнение hello_html_449c9929.gif имеет корни hello_html_7c2089c8.gif;

уравнение hello_html_1d649a4e.gif не имеет корней.

Ответ: hello_html_m44323077.gif.

Пример 3hello_html_6d5e1901.gif. Решить уравнение: hello_html_2f068760.gif.

Решение:

Используя формулу hello_html_mc06671a.gif, получаем: hello_html_m466694bd.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_1f35c31a.gif.

Обозначим hello_html_574f86b2.gif, получим уравнение hello_html_m740c2f.gif,








10

откуда корни hello_html_m34bf8df6.gif и hello_html_1def3f9f.gif. 1) hello_html_256401b9.gif, hello_html_m566210a0.gif;

2) hello_html_4ffbfdbe.gif , hello_html_7c80b9ca.gif.

Эти решения можно объединить в одно: hello_html_3de956a3.gif.

Ответ: hello_html_1767b1af.gif


11. Нестандартные уравнения. Некоторые уравнения или неравенства, особенно тригонометрические или смешанные (в которых, кроме тригонометрических, присутствуют логарифмы или функции «другого» типа), решаются рассмотрением области значений входящих выражений. Тогда нередко оказывается, что решение уравнения (неравенства) возможно только в «крайних» случаях. К сожалению, общих рекомендаций здесь дать нельзя. Рассмотрим примеры.


Пример 1: Решите уравнение: hello_html_m1357f141.gif


Решение:

Левая часть уравнения принимает значение 2, если оба слагаемых равны единице одновременно:

hello_html_10328294.gif

hello_html_3325d94f.gifhello_html_7d5d5e60.gif

тогда hello_html_m1203b68d.gif, отсюда: hello_html_3f878875.gif, значит hello_html_1e5a634f.gif.

Отсюда: hello_html_m501b39e4.gif Ответ: hello_html_m357223d6.gif.

Пример 2: Решите уравнение: hello_html_m86d68ba.gif


Решение:

hello_html_m86d68ba.gif

hello_html_2feef739.gif

hello_html_m7cbe62c2.gif

hello_html_22f84e3e.gifhello_html_m394996fe.gif

hello_html_m7ae1365b.gifhello_html_237134be.gifhello_html_4010701a.gifhello_html_m5778815c.gif

Отсюда: hello_html_mcb4ef88.gif и hello_html_m664a49e1.gif.

Ответ: hello_html_755a00bf.gif








11


Автор
Дата добавления 09.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров198
Номер материала ДВ-435204
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх