Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Построение графиков некоторой функции
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Построение графиков некоторой функции

библиотека
материалов

Методика построения графиков некоторых функций.


Бирагова Л.Л. МБОУ лицей г.Владикавказ


Материал, связанный с построением графиков элементарных функций, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины, представляет для использования при изучении различных курсов математики повышенного уровня, а также на факультативах и кружковых занятиях. И поэтому разработка методики его изучения достаточна актуальна. Я хочу рассмотреть одну из возможных последовательностей изучения данных вопросов на факультативных занятиях со школьниками, проявляющими интерес к математике.

Для полноты изложения остановимся и на самых простейших случаях, приведя в каждом из них последовательность действий, которую должны осуществить учащиеся для построения того или иного графика.


1.Построение графика функции hello_html_m5aeca1be.gif.



Прежде всего, вспомним определение модуля:

hello_html_6cc2a390.gif

Чтобы построить график функции hello_html_m456d0540.gif надо сначала построить график функции hello_html_18a58ebd.gif , а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.

Пример1.

Построить график функции hello_html_m7b3ea44.gif.

hello_html_m52b14453.png








hello_html_m75c853b1.png








2.Построение графика функции hello_html_m49ee97d4.gif.


Заметим, что так как hello_html_1a65c39e.gif, то функция hello_html_m49ee97d4.gif чётная и для построения её графика следует удалить точки графика функции hello_html_18a58ebd.gif находящиеся слева от оси hello_html_64780203.gif, а все точки, лежащие на оси hello_html_64780203.gif и справа от неё, отобразить симметрично относительно оси hello_html_64780203.gif.

Пример 2.

Построить график функции hello_html_5918c5fb.gif.

hello_html_m20258ccb.png








3.Построение графика функции hello_html_m616dd67.gif.


Последовательность действий учащегося в этом случае представим следующим образом:

1) построить график функции hello_html_18a58ebd.gif, для hello_html_m6699643d.gif;

2) отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси

ординат;

3) участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально

отразить относительно этой оси.

Пример 3.

Построить график функции hello_html_m6a5c5034.gif.hello_html_m53d4ecad.gif

1 –й способ:

hello_html_342dabe5.png











Отметим, что данный график и ему подобные графики можно построить и другими способами.

2- й способ.

hello_html_18e15289.pnghello_html_m2ea5f7ba.pnghello_html_maaaace4.pnghello_html_m4d1b24fe.png


3-й способ.

Этот способ основан на свойстве чётности функции, что позволяет построить её график при hello_html_7a291b6.gif, а затем зеркально отобразить его относительно оси hello_html_2aacb0f9.gif.

Рhello_html_342dabe5.pngассмотрим этапы построения графика.

4.Построение графика «функции» hello_html_m116cb030.gif, при hello_html_m294614f.gif.

По определению абсолютной величины hello_html_461f3ff4.gif где hello_html_m294614f.gif. Строго говоря, у нельзя назвать функцией х, так как каждому значению аргумента х будет соответствовать два значения «функции»: hello_html_630cd0da.gif и hello_html_m55046c7e.gif. Поэтому далее в аналогичных случаях будем брать слово «функция» в кавычки.

Рассмотрим последовательность действий учащегося, которому необходимо построить график функции такого типа:

1) установить, для каких х выполнено условие hello_html_m294614f.gif;

2) на найденных промежутках значений х построить график функции

hello_html_m1290ad7f.gif,

3)осуществить зеркальное отражение графика относительно оси hello_html_m22a4a2b0.gif.


Пример 4.

Построить график функции hello_html_27bf1b70.gif.

hello_html_m4d8dad51.png
















5.Построение графиков «функции» hello_html_m110d986d.gif.


Очевидно, что hello_html_m1c38c097.gif. Значит график «функции» будет симметричен относительно оси абсцисс. Соответствующая последовательность действий учащегося:

1) построить график функции hello_html_m5aeca1be.gif,

2)осуществить его зеркальное отображение относительно оси hello_html_m22a4a2b0.gif.


Пример5.

Построить график «функции» hello_html_m2705b9ee.gif.

hello_html_m5bbc4b96.png










Пример 6.

Построить график «функции» hello_html_m56182941.gif.


hello_html_m391bcfb4.png











Для лучшего закрепления построения данного типа графиков последнее задание можно усложнить: построить график «функции» hello_html_f69da83.gif. Тогда к тому, что только что было изображено, необходимо добавить зеркальное отображение относительно оси hello_html_64780203.gif.

hello_html_1eccba2e.png









6.Построение графиков функций вида: hello_html_271418.gif


Этот случай рассмотрим на частных примерах.


Пример 7.

Построить график функции hello_html_ma1120a3.gif.

Укажем последовательность действий учащегося:

1) Найти абсциссы точек «перелома» графика функции. В данном случае:

hello_html_7d372349.gif, hello_html_m27353acd.gif ; hello_html_m5a4ea668.gif, hello_html_7c185bb2.gif.

2) Рассмотрим далее функцию на каждом из полученных промежутков.

В рассмотренном примере их три: hello_html_73b06fdd.gif; hello_html_1df4c34e.gif; hello_html_m45cf7eb.gif.

а) hello_html_m331dc64.gif. Так как оба слагаемых неотрицательны, то на этом промежутке

графиком функции будет прямая, выражаемая уравнением hello_html_74300556.gif.

б) hello_html_319c6b3f.gif. Первое слагаемое на данном промежутке неотрицательно, второе отрицательно и поэтому графиком будет прямая hello_html_m93ad10b.gif.

вhello_html_m6aed0ecd.png) hello_html_54772de4.gif. Оба слагаемых отрицательны и поэтому графиком будет прямая hello_html_mbd45de8.gif.







Аналогично можно построить и график функции hello_html_c4133f.gif.

1) Найдём абсциссы точек «перелома» графика функции:

hello_html_460ecf46.gif; hello_html_m1d23ae39.gif; hello_html_m38dcc05e.gif; hello_html_m776bfd12.gif; hello_html_m52949375.gif.

2) Рассмотрим функцию на каждом из полученных промежутков. Их шесть:

hello_html_298bc01e.gifhello_html_1df4c34e.gif; hello_html_48916ccc.gif; hello_html_m621389f.gif; hello_html_40940d9c.gif; hello_html_m41fc036e.gif.

Рассуждения те же, что и в примере 7.

hello_html_5de3f481.png












7.Построение графиков функции вида hello_html_m58641376.gif.

Пример 8.

Построить график функции hello_html_3fc52e13.gif.

Построить график этой функции можно аналогично тому, как это было сделано в предыдущем случае, т.е. найти точки «перелома» функции, а затем провести ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками «перелома». Однако целесообразнее в данном случае использовать способ, связанный с геометрическим преобразованием графиков функции.

hello_html_m2a9b5099.pnghello_html_m1db536d9.pnghello_html_4446ea39.pnghello_html_7cfb2f06.png


Для учащихся, проявляющих повышенный интерес к предмету, для будущих участников математических олимпиад представит интерес следующий тип задач.


8. Построение графиков функций аналитические выражения, которыесодержат знак модуля, выраженных неявно.


Пример 9.


Построить график «функции» hello_html_2f778600.gif.

По определению абсолютной величины hello_html_m2b440f6e.gif. График этой «функции» можно построить различными способами. Воспользуемся одним из них:

hello_html_7ab47a3e.pnghello_html_21b15eb7.png










а далее придерживаемся последовательности действий, приведенной в пункте 4.


hello_html_m7be1e3a9.pnghello_html_14ad93ea.png








Существует и другой способ построения графика. Воспользуемся тем, что график данной «функции» симметричен как относительно оси hello_html_m22a4a2b0.gif, так и относительно оси hello_html_64780203.gif, построим его лишь для первой координатной четверти, а затем посредством двух зеркальных отражений получим окончательный график.

Пример 10.


Построить график «функции» hello_html_4ed376ce.gif.

Поступая аналогично предыдущему случаю, получаем:

hello_html_m49a602f1.gif.

Так как график «функции» симметричен относительно двух осей, построим его сначала для первой координатной четверти, т.е. при hello_html_m6699643d.gif, hello_html_1bfc44c5.gif, при этом уравнение « функции» примет вид:

hello_html_429f940a.gif, hello_html_m1f6e646a.gif.

Мы видим, что второму уравнению удовлетворяет лишь одна пара значений hello_html_7c185bb2.gif, hello_html_m18056e53.gif. (сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если оба они равны нулю).

Остаётся рассмотреть первое уравнение:

а) при hello_html_m42f854d8.gif и hello_html_m76214c20.gif тогда hello_html_m32cd8cbc.gif; hello_html_55199af3.gif. б) при hello_html_1181c650.gif, hello_html_m30760a4a.gif и тогда hello_html_587bf149.gif; hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4fcf3b1c.gif.

Строим графики полученных прямых в первой четверти.






hello_html_393d4a97.pnghello_html_56995952.png








9. Построение графиков тригонометрических функций,

содержащих знак модуля.

Пример 11.

Построить график функции hello_html_231fd65.gif.

Учитывая, что hello_html_542070f9.gif; запишем данную функцию так:

hello_html_m4bec69b6.gif.

Раскроем модуль:

а) если hello_html_m67ac66d1.gif и hello_html_m6f224883.gif, то функция принимает вид

hello_html_2bb36761.gif

hello_html_m2ff8327b.gif

hello_html_7e9b9717.gif

б) если hello_html_m67ac66d1.gif иhello_html_mb0f3948.gif, то hello_html_m5e3d57e5.gif; у = 0.

в) если hello_html_m3811716.gif и hello_html_m6f224883.gif, то hello_html_1e3de378.gif; у = 0.

г) если hello_html_m3811716.gif и hello_html_mb0f3948.gif, то hello_html_4d17c3b1.gif; hello_html_m20525641.gif

В дальнейшей работе отправной точкой послужат графики функций hello_html_m3c701a84.gif и hello_html_4648c654.gif, построенные в одной прямоугольной системе координат.

hello_html_m683a9781.png








Графики этих функций строятся тонкими, чуть заметными линиями, поскольку они играют лишь вспомогательную роль.

а) из рисунка видно, на каких промежутках оси абсцисс функции hello_html_m3c701a84.gif,

hello_html_4648c654.gifодновременно принимают неотрицательные значения. Их

графики расположены в верхней полуплоскости. Строим на этих

фиксированных промежутках график функции hello_html_m1da712e4.gif основной

« жирной» линией;

б) на рисунке легко просматриваются на оси hello_html_4b227973.gif промежутки, где

одновременно hello_html_m67ac66d1.gif и hello_html_mb0f3948.gif. На этих промежутках графики функций

расположены соответственно в верхней и нижней полуплоскости

системы координат. Исходная функция в этом случае имеет вид у=0. Строим на этих промежутках её график.

В пунктах в) и г) рассуждения аналогичные предыдущим. В результате вырисовывается график данной функции.

Пример 12.

Построить график функции hello_html_m2de496a.gif.

Функция чётная, так как hello_html_m5e33591.gif, поэтому график можно строить правой (левой) полуплоскости, а затем выполнить симметрию относительно оси hello_html_64780203.gif.

Пусть hello_html_m6699643d.gif, тогда функция принимает вид hello_html_m18d72488.gif. В точках hello_html_m69b87780.gif, где hello_html_7abb5f3f.gif функция теряет смысл.

Раскроем модуль: а) если hello_html_2d06c6bc.gif, то hello_html_me80acc7.gif или hello_html_m3c701a84.gif;

б) если hello_html_8d9b69e.gif, то hello_html_m479bbf80.gif.

Изобразим на указанном промежутке hello_html_m6699643d.gif тонкой линией графики функции hello_html_m3c701a84.gif и hello_html_4648c654.gif.

hello_html_m57fe47e.png







Фиксируем на оси абсцисс отрезки, на которых hello_html_2d06c6bc.gif (косинусоида расположена в верхней полуплоскости). На этих фиксируемых промежутках выделяем основной линией «куски» синусоиды.

Выделяем промежутки оси hello_html_m22a4a2b0.gif, на которых hello_html_8d9b69e.gif(косинусоида расположена в нижней полуплоскости). И на этих промежутках изображаем график функции hello_html_m479bbf80.gif.

При всём этом не забываем о том, что в точках hello_html_m69b87780.gif функция теряет смысл. Теперь строим график функции во всей области определения, выполняя симметрию относительно оси hello_html_64780203.gif.

11



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров523
Номер материала ДВ-261216
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх