Построение графиков некоторой функции

Методика построения графиков некоторых функций.

Бирагова Л.Л. МБОУ лицей г.Владикавказ

Материал, связанный с построением графиков элементарных функций, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины, представляет для использования при изучении различных курсов математики повышенного уровня, а также на  факультативах и кружковых занятиях. И поэтому разработка методики его изучения достаточна актуальна. Я хочу рассмотреть одну из возможных последовательностей изучения данных вопросов на факультативных занятиях со школьниками, проявляющими интерес к математике. 

        Для полноты изложения остановимся и на самых простейших случаях, приведя в каждом  из них последовательность действий, которую должны осуществить учащиеся для построения того или иного графика.

1.Построение графика функции   .

Прежде всего, вспомним определение модуля:

Чтобы построить график функции    надо сначала построить график функции   , а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально  отразить относительно этой оси.

     Пример1.

Построить график функции  .                         

2.Построение графика функции       .

      Заметим, что так как  , то функция  чётная и для построения её графика следует удалить точки графика функции  находящиеся слева от оси , а все точки, лежащие на оси  и справа от неё, отобразить симметрично относительно оси .

Пример 2.

Построить график функции .

3.Построение графика функции .

Последовательность действий учащегося в этом случае представим следующим образом:

1) построить график функции  , для ;

2) отобразить  построенную  часть  графика  симметрично  относительно  оси  

    ординат;

3) участки   полученного   графика,   лежащие  ниже  оси  абсцисс,  зеркально

   отразить относительно этой оси.

Пример 3.

Построить график функции   .

1 –й   способ:

   Отметим, что данный график и ему подобные графики можно построить и другими способами.

2- й  способ.

3-й  способ.

Этот способ основан на свойстве чётности функции, что позволяет построить её график при , а затем зеркально отобразить его относительно оси .

Рассмотрим этапы построения графика.

4.Построение графика «функции»  ,  при  .

По определению абсолютной величины  где . Строго говоря, у  нельзя назвать функцией х, так как каждому значению аргумента  х будет соответствовать два значения «функции»:  и . Поэтому далее в аналогичных случаях будем брать слово «функция» в кавычки.

Рассмотрим последовательность действий учащегося, которому необходимо построить график функции такого типа:

  1) установить, для каких  х  выполнено условие ;  

  2) на    найденных  промежутках  значений   х  построить  график   функции   

     ,

  3)осуществить зеркальное отражение графика относительно оси .

Пример 4.

Построить график функции .

5.Построение графиков «функции»   .

Очевидно, что  . Значит  график «функции» будет симметричен относительно оси абсцисс. Соответствующая последовательность действий учащегося:

1) построить график функции  ,

2)осуществить его зеркальное отображение относительно оси .

Пример5.

Построить график «функции» . 

Пример 6.

Построить график «функции» .

    Для лучшего закрепления построения данного типа графиков последнее задание можно усложнить: построить график «функции» . Тогда к тому, что только что было изображено, необходимо добавить зеркальное отображение относительно оси .

6.Построение графиков функций вида:

Этот случай рассмотрим на частных примерах.

Пример 7.

Построить график функции .

Укажем последовательность действий учащегося:

1) Найти  абсциссы  точек  «перелома»  графика  функции.  В  данном случае:

   ,    ; , .   

2) Рассмотрим  далее  функцию  на  каждом  из  полученных  промежутков.

   В  рассмотренном   примере их три:  ; ;  .

   а) . Так как оба слагаемых неотрицательны, то на этом промежутке  

       графиком функции будет прямая, выражаемая  уравнением  .

б) . Первое слагаемое на данном промежутке неотрицательно, второе отрицательно и поэтому графиком будет прямая .

в)  . Оба слагаемых отрицательны и поэтому графиком будет прямая .

Аналогично можно построить и график функции .

  1) Найдём абсциссы точек «перелома» графика функции:

      ;  ;  ;  ;  .

  2) Рассмотрим функцию на каждом из полученных промежутков. Их шесть:  

        ; ;  ; ; .

    Рассуждения те же, что и в примере 7.

7.Построение графиков функции вида   .

  Пример 8.

  Построить график функции      .

   Построить график этой функции можно аналогично тому, как это было сделано в предыдущем случае, т.е. найти точки «перелома» функции, а затем провести ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками «перелома». Однако целесообразнее в данном случае использовать способ, связанный с геометрическим преобразованием графиков функции.

Для учащихся, проявляющих повышенный интерес к предмету, для будущих участников математических олимпиад представит интерес  следующий тип задач.

8. Построение графиков функций аналитические выражения,  которыесодержат знак модуля, выраженных неявно.

Пример 9.

Построить график «функции»    .          

  По определению абсолютной величины  . График этой «функции» можно построить различными способами. Воспользуемся одним из них:

а далее придерживаемся последовательности действий, приведенной в пункте 4.

Существует и другой способ построения графика. Воспользуемся тем, что график данной «функции» симметричен как относительно оси , так и относительно оси  , построим его лишь для первой координатной четверти, а затем посредством двух зеркальных отражений получим окончательный график.       

Пример 10.

Построить график «функции»   .

Поступая аналогично предыдущему случаю, получаем:

  .

Так как график «функции» симметричен относительно двух осей, построим его сначала для первой координатной четверти, т.е. при , ,  при этом уравнение « функции» примет вид:

                    ,      .

     Мы видим, что второму уравнению удовлетворяет лишь одна пара значений , . (сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если оба они равны нулю).

Остаётся рассмотреть первое уравнение:

а) при  и  тогда ; .                                                                                                                                     б) при  ,      и тогда   ;  .

Строим графики полученных прямых в первой четверти.

9. Построение графиков тригонометрических функций,

 содержащих знак модуля.

Пример 11.

   Построить график  функции .

Учитывая, что ; запишем данную функцию так:

  .

Раскроем модуль:

   а) если  и , то функция принимает вид

    

        

      

  б) если  и, то ;  у = 0.

  в) если  и , то ; у = 0.

  г) если  и  , то ;

     В дальнейшей работе отправной точкой послужат графики функций   и , построенные в одной прямоугольной системе координат.

Графики этих функций строятся тонкими, чуть заметными линиями, поскольку они играют лишь вспомогательную роль.

а) из   рисунка  видно,  на  каких  промежутках оси абсцисс функции  ,    

       одновременно    принимают    неотрицательные    значения.     Их  

   графики    расположены   в   верхней    полуплоскости.   Строим    на   этих  

   фиксированных    промежутках    график     функции       основной

   « жирной» линией;

б) на   рисунке     легко    просматриваются    на   оси     промежутки,     где

    одновременно    и  . На этих промежутках графики функций  

    расположены   соответственно   в      верхней   и   нижней     полуплоскости

    системы координат. Исходная функция в этом случае   имеет вид  у=0.  Строим на этих промежутках её график.

В пунктах в) и г) рассуждения аналогичные предыдущим. В результате вырисовывается  график данной функции.

Пример 12.

Построить график функции .

      Функция чётная, так как , поэтому график можно строить правой (левой) полуплоскости, а затем выполнить симметрию относительно оси  .

Пусть , тогда функция принимает вид . В точках  , где     функция теряет смысл.

Раскроем модуль: а) если  , то  или ;

                                       б) если  , то .

Изобразим на указанном промежутке  тонкой линией графики функции   и   .

Фиксируем на оси абсцисс отрезки, на которых  (косинусоида расположена в верхней полуплоскости). На этих  фиксируемых промежутках выделяем основной линией  «куски» синусоиды.

Выделяем промежутки оси , на которых (косинусоида расположена в нижней полуплоскости). И на этих промежутках изображаем график функции  .

При всём этом не забываем о том, что в точках   функция теряет смысл. Теперь строим график функции во всей области определения, выполняя симметрию относительно оси  .