Пояснительная записка к презентации

Малая академия наук

МБОУ «Южно - Российский лицей казачества и народов Кавказа»

г. Железноводск

 «Многогранный мир симметрии»

Авторы проекта:  Цой  Мария

Еналдиева Анастасия

МБОУ СОШ № 1 г. Минеральные Воды,10 А класс

Научный руководитель   Фадеева Наталья Олеговна

МБОУ СОШ № 1 г. Минеральные Воды

учитель математики

2016 г.

Оглавление

Введение	3 - 4
Виды симметрии	5 - 7
Применение симметрии в математике	8 - 9
Симметрия в природе	9 - 10
Симметрия в архитектуре	10 - 11
Симметрия у человека	12
Результаты социологического опроса	13
Выводы	14

Введение

«Симметрия – в широком или узком смысле в зависимости от того, как вы определите значение этого понятия, - является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство»

Герман Вейль, немецкий математик и физик, лауреат премии Лобачевского

Симметрия встречается  повсеместно — в природе, в человеческом творчестве. Например, симметрия, свойственная бабочке и кленовому листу, аналогична симметрии форм автомобиля и самолета; симметрия в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы - симметрия орнаментов и бордюров, симметрия атомной структуры молекул и кристаллов. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества.  Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и поэзии, скульптуре и музыке.

Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии. «Симметрия устанавливает забавное и удивительное родство  между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности…»: - писал Дж. Ньюмен.

В одном смысле симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное; а второй смысл этого слова – равновесие. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей.   Пристальное внимание уделяли симметрии Пифагор и его ученики. Исходя,  из учения о числе пифагорейцы дали первую математическую гармонию  симметрии, которая не потеряла своего значения и в наши дни. Замечательно то, что к наиболее интересным результатам наука приходила именно тогда, когда устанавливались факты нарушения симметрии. Следствия, вытекающие из принципа симметрии, интенсивно разрабатывались физиками в прошлом веке и привели к ряду важных результатов. Такими следствиями законов симметрии являются законы сохранения в физике.

Любая научная классификация основана на выявлении свойств симметрии классифицируемых объектов. Объекты или явления группируются по общности их свойств, сохраняющейся при определенных преобразованиях. Пример – периодическая система элементов, предложенная великим русским химиком Д. И. Менделеевым.

Законы симметрии лежат в основе всех классификаций. Кристаллы, например, классифицируют по типу симметрии кристаллической решетки.

Симметрия многообразна и многолика. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям — поворотам, отражениям, переносам, взаимной замене частей и т. Д. Она связана с упорядо­ченностью и уравновешенностью, пропорцио­нальностью и соразмерностью частей, красо­той и гармонией (а иногда с однообразием), с целесообразностью и полезностью.

Слайды 1- 3

            Симметрия в науке и природе  нас  заинтересовала, и мы поставили перед собой такие цели:

·        Научиться различать многообразные проявления симметрии в окружающем мире.

·        Узнать какую роль играют принципы симметрии в научном познании мира и в человеческом творчестве.

Задачи:

·        Изучить литературу по данной тематике.

·        Проанализировать на предмет симметрии объекты живой и неживой природы.

·        Определить область применения результатов  проекта.

Слайд 4 - 5

Виды симметрии.

Определение.    Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Осевая симметрия

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Приведём примеры геометрических фигур, обладающие осевой симметрией.

Равнобедренный(но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. а равносторонний треугольник - три основные симметрии.                                У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

 

Центральная симметрия.

Определение.   Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.

Например: На рисунке точки М и М1,  N и N1  симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Определение.   Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

 Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является

         окружность                                                         и                              параллелограмм.

Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии,  у прямой их бес - конечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно плоскости а.

Это математическое понятие описывает соотношение в оптике объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале, а также многие законы симметрии (в кристаллографии, химии, физике, биологии и т. д., а также в искусстве и искусствоведении)

Зеркальная симметрия насекомых, животных и растений является вертикальной симметрией.

Отражение в воде - единственный пример горизонтальной симметрии в природе.

Поверхность озера играет роль зеркала и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии.

Слайды 6 - 15

Симметрия в математике

Симметрия графиков функций.

О симметрии графиков функций говорят, когда функция является четной или нечетной.

         Вспомним определения:

• функция f(x), удовлетворяющая условию  f(-x)= -f(x)  для всех  х  из области определения этой функции, называется НЕЧЕТНОЙ.    

  Например:                             

Y = x3;	Y = k/x

• функция f(x), удовлетворяющая условию f(-x)=f(x) для всех х из области определений этой функции, называется ЧЕТНОЙ.   Например:

У = x2;	Y = cos x

Область определения и четной и нечетной функций симметрична относительно точки

х = 0.  График нечетной функции симметричен относительно начала координат (симметрия относительно точки или центральная), а график четной функции симметричен относительно оси ординат (симметрия относительно прямой или осевая). Поэтому, для построения графиков четных и нечетных функций достаточно провести исследование свойств функции на половине области определения данной функции, и если функция четная, воспользоваться осевой симметрией, если нечетная - центральной.

Примеры тел, обладающих симметрией

Многогранник. Зеркально-осевая симметрия. Куб.  Симметрия третьего порядка. Cимметрия 5 порядка двадцатигранной структуры

Слайды 16 - 18

Симметрия в природе.

Многие предметы окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии.

Листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Как мы знаем, на плоскости существует два вида симметрии: осевая и центральная.

М. Гарднер пишет: «На Земле жизнь зароди­лась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным ли­ниям: образовался мир растений, обладаю­щих симметрией конуса, и мир животных с би­латеральной симметрией». Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере фактически любого дерева.

Ярко выраженной симметрией обладают ли­стья, ветви, цветы. Центральная симметрия характерна для различных плодов, ягод: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии.

Центральную симметрию можно наблюдать на изображении цветов: цветки одуванчика, мать-и-мачехи, кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки.

Зеркальная симметрия характерна для всех представителей животного мира.

Загадочные снежинки.

Посмотрим на снежинки. Пожалуй, они являются самым ярким примером красоты форм  осевой симметрии. Любая снежинка имеет поворотную ось симметрии и кроме того, каждая снежинка зеркально симметрична. Природные снежинки бывают только шестиугольными или любыми другими плоскими или пространственными образованиями с количеством лучей, кратным трём. Снежинка – это кристалл замёршей воды. Все твёрдые тела в природе состоят из кристаллов. Каждый кристалл имеет форму многогранника, поэтому говорят, что Природа реализовала многогранники – геометрические фигуры, идеальные объекты – в виде кристаллов. Кристалл каменной соли, например, имеет форму куба.

Именно кристаллы вносят в мир не­живой природы очарование симметрии.

Слайды 19 - 23

Симметрия в архитектуре

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры. Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним из художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение. Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий, архитектуры фасадов, в оформлении внутренних помещений, колоннах, потолках и т.д.  В большинстве случаев они обладают осевой симметрией. 

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Мы исследовали архитектурные сооружения города Минеральные Воды (железнодорожный вокзал, Мемориал Вечной Славы, Покровский собор, здание администрации города)  на симметричность и обнаружила, что в зданиях города присутствует сочетание симметрии и асимметрии.

Слайд 24 - 26

Орнаментальную симметрию считают наиболее сложной симметрией. «Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики, » - говорил Герман Вейль.                                                                   Слайд 27

«Симметрия позволяет совершенствовать и ускорять процесс создания нового»: - так говорит мастер по пошиву одежды, учитель технологии Зайцева Нина Анатольевна. (видео)

Слайды 28 - 29

Симметрия у человека

Человеческое тело обладает билатеральной симметрией (внешний облик и строение скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом. Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии.

Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти две части - два полушария - плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого. Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую сторону.

Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук, чтобы увидеть начальные признаки функциональной симметрии. Лишь немногие люди одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку.

Мы  провели опыт: сфотографировали одноклассников и проверили  их лица на симметрию. Мы обнаружили, что все лица обладают некоторой симметричностью. Но идеально симметричного лица нет. Человек создан природой, поэтому в этом нет ничего удивительного. Некоторая асимметрия придает каждому лицу некую изюминку. А вот идеально симметричное лицо будет казаться неживым, ненастоящим.

О роли симметрии и красоте человеческого тела говорила в своем интервью учитель физической культуры нашей школы Мхеидзе Галина Анатольевна.(видео)

Слайды 30 – 31

Данные статистического опроса

Мы попросили прохожих на улицах г. Минеральные Воды поучаствовать в нашем исследовании, для чего им было предложено дать ответы на следующие вопросы:

1.     Ваш возраст.

2.     Встречаетесь ли Вы с симметрией в повседневной жизни?

Всего было опрошено 1000 человек в возрасте от 10 лет.

В результате опроса получены следующие данные:

                    

                                                                         Ответы минераловодчан

               

Встречаетесь ли вы с симметрией в повседневной жизни?
Возраст	10-20	21-45	от 45
да	393	198	369
нет	57	3	0

Слайды 32 - 33

Выводы:

v Мы узнали, какие существуют виды симметрии, научились их различать и находить в окружающих предметах.

v Не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами  научные знания  основаны на общем для всех принципе симметрии.

v  Принцип симметрии в XXI веке охватывает всё новые области.

v  Сферы влияния симметрии поистине безграничны.

v Материалы этого проекта в дальнейшем можно использовать на  уроках математики в девятом и десятом классе по теме «Движение»; на занятиях математического кружка для учащихся 5-6 классов.

«…быть прекрасным - значит быть симметричным  и  соразмерным».

греческий философ Платон

Слайды 34 – 35

Список литературы

1.      Г.И. Глейзер История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, - М: Просвещение 1982 г.

2.      «М.С. Атанасян “Геометрия” 7-9 класс. М: Просвещение, 2013 г.

3.      Колмогоров А. Н., Математика. //Математический энциклопедический словарь. – М. СЭ, 1988;

4.      Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005;

5.      Энциклопедия для детей. Математика. под редакцией М.Д. Аксёновой, - М.: «Аванта+»,1999 г.

6.      Я.И. Перельман. Занимательная геометрия. – М.: «Триада-литера», 1999 г.

7.      А.П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: «Педагогика», 1985 г.

   8. Тарасов, Л. В. Этот удивительный симметричный мир. Пособие для учащихся. –  

     М.: Просвещение, 1982

   9.   Шарыгин, И. Ф. Наглядная геометрия. – М.: Педагогика, 1992.

Интернет-ресурсы:

8.      slovo/ws>article/text/fizika.html

9.      aerochayka.ru>disk/teoriya/svzh/NAVO6

10.  habrahabr.ru/post/160473/