Практическая работа по математике: Решение показательных уравнений"

Практическая работа №11

Тема: «Решение показательных уравнений»

Цель: рассмотреть основные методы решения показательных уравнений.

Ход работы.

I.                  Теоретическая часть.

Методы решения показательных уравнений

1. Простейшие показательные уравнения

Тип уравнения	Вид уравнения	Метод решения
1		(x)
2		b = a	b b>0	b b
		=  f(x) = 1	f(x) =	Решений нет

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение:.

Решение.   4х-5=х+4  3х=9  х=3

Ответ:3

Пример 2. Решите уравнение:   

Решение.

      х-4= х=+4 х=+  х=      

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение:^-3x = -7 .

Решение.

                        

Ответ: нет решений.

2. Методы преобразования показательных уравнений к простейшим.

А. Метод уравнивания оснований.

Пример 1. Решите уравнение 27 Решение.

27

=0

4х-6=2х+2

2х=8

х=4. 

Ответ: 4

Пример 2. Решите уравнение:

х=4х-15

3х=15

х=5.

Ответ: х=5.

В. Уравнения, решаемые разложением на множители.

Пример 1. Решите уравнение х

х

х

(х-2)(

(х-2)=0 или (

х=2            

                  

                   х=3

Ответ: 2; 3

Пример 2. Решите уравнение:

(1-35)=0

х=0

Ответ: 0

С. Уравнения, которые с помощью подстановки  преобразуется к квадратным уравнениям более высоких степеней).

Пусть Aгде А,В,С – некоторые числа. Сделаем замену: , t0, тогда А. Решаем полученное уравнение, находим значение t, учитываем условие t0, возвращаемся к простейшему показательному уравнению , решаем его и записываем ответ.

Пример 1. Решите уравнение: . Решение.

Делаем замену t=, t0. Получаем уравнение 4-4=15t

4-15t-4=0,

;

 ,             t= не удовлетворяет условию t0

Вернемся к переменной х:

х=2. Ответ: х=2

Пример 2. Решите уравнение: . Решение.

=0

Делаем замену: =t, t0, тогда =. Получаем уравнение:

, t= не удовлетворяет условию t0

Вернемся к переменой х:

=1

х-2=0

х=2. Ответ: х=2

D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A, где k,m,n = N

Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить на , либо на  и получим уравнение типа С.

Пример 1.Решить уравнение: . Решение.

2

2

Пусть t=,t0, тогда 2

 

Вернемся к переменной х:

     х=-1; х=0. Ответ: -1; 0

Пример 2. Решите уравнение: . Решение.

Пусть , тогда

(

(t-1)(

(t-1)(=0

t-1=0          

t=1             D0

, х=0. Ответ: 0

К данному типу уравнений относятся уравнения, левая часть которых имеет вид A+С, где А, В, С – некоторые числа, причем .

Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки:

=t, тогда .

Пример 3. Решите уравнение: (2+ Решение.

(2+

:

(2+ Поэтому можно ввести новую переменную:

t=(2+, тогда , причем t. Получим уравнение:

t+=4         , оба корня удовлетворяют условию t. Вернемся к переменной х:

≫

 Ответ:

E. Уравнения,  имеющие вид A.

Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на  либо на . В результате получается простейшее уравнение. Примеры. Решите уравнение . Решите уравнение .

F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции.

Пример 1. Решите уравнение: .

Пример 2. Решите уравнение:  

G. Графический способ решения уравнений вида

Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y= и y= в одной системе координат.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Проверочная работа

1.     Решите систему уравнений (465):

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.     Решите уравнения:

а)

б) ;

в)

г)

х	-1	0	1	2	3
f(x) =			1	2	4
х	0	3
g(x)= x+1	1	4

х	-3	-2	-1	0	1	2
f(x) =	8	4	2	1
х	1	4
g(x) =		2

4. Графики пересекаются в одной точке - в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 - корень заданного уравнения.

Тип уравнения	Вид уравнения	Метод решения
1		(x)
2		b = a	b b>0	b b
		=  f(x) = 1	f(x) =	Решений нет

Проверочная работа

1.      Решите систему уравнений :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.      Решите уравнения:

а)

б) ;

в)

г)

Тип уравнения	Вид уравнения	Метод решения
1		(x)
2		b = a	b b>0	b b
		=  f(x) = 1	f(x) =	Решений нет

Проверочная работа

1.      Решите систему уравнений (465):

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.      Решите уравнения:

а)

б) ;

в)

г)