• 

  1 слайд

  Функции и их свойства
  Учитель: Арещенко Елена Александровна
  y
  y = f(x)
  0
  x
  

• 

  2 слайд

  Понятие функции
  Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х).
  
  
  y = f(x)
  При этом х называют независимой переменной или аргументом,
  а у – зависимой переменной или функцией.
  

• 

  3 слайд

  Область определения и
  множество значений функции
  Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент.
  
  Обозначается D(y)
  
  Множество значений (или область значений) функции – это множество всех значений переменной у.
  
  Обозначается E(y)
  
  

• 

  4 слайд

  аналитический (с помощью формулы);
  графический (с помощью графика);
  табличный (с помощью таблицы значений);
  словесный (правило задания функции описывается словами).
  Способы задания функции:
  

• 

  5 слайд

  Свойства функций: монотонность
  Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х1 < x2, выполняется условие f(x1) < f(x2).
  Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х1 < x2, выполняется условие f(x1) > f(x2).
  (Функцию называют возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции)
  (Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)
  

• 

  6 слайд

  Свойства функций: ограниченность
  Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует число m, такое, что для любого значения х ∊ Х, выполняется неравенство
  f(x) > m.
  Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если существует число M, такое, что для любого значения х ∊ Х, выполняется неравенство
  f(x) < M.
  Если функция ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной
  

• 

  7 слайд

  Свойства функций:
  наибольшее и наименьшее значения функции
  Число m называют наименьшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если:
  существует число хо ∊ Х такое, что f(хo) = m;
  для любого значения х ∊ Х выполняется неравенство
  f(x) ≥ f(xo).
  Число М называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если:
  существует число хо ∊ Х такое, что f(хo) = М;
  для любого значения х ∊ Х выполняется неравенство
  f(x) ≤ f(xo).
  

• 

  8 слайд

  Свойства функций:
  четность или нечетность
  Функцию y = f(x), х ∊ Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x).
  Функцию y = f(x), х ∊ Х называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(–x) = – f(x).
  График четной функции симметричен относительно оси ординат.
  График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
  

• 

  9 слайд

  График функции
  Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости (х; у(х)), абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции.
  x (абсцисса)
  (ордината) y
  y = f(x)
  0
  

• 

  10 слайд

  Линейная функция y=kx+b
  Свойства линейной функции y = kx + b:
  
  D(f) = (–; +).
  E(f) = (–; +).
  Если b = 0, то функция нечетная.
  а) Нули функции: (– b/k; 0);
  б) точка пересечения с Оу: (0; b).
  а) возрастает, если k > 0;
  б) убывает, если k < 0.
  Не ограничена ни снизу, ни сверху.
  Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  Функция непрерывна на множестве (–; +).
  

• 

  11 слайд

  x
  y
  0
  Линейная функция y=kx+b
  b
  y = kx + b
  b
  k
  

• 

  12 слайд

  Свойства функции y = k/x:
  
  D(f) = (–; 0)  (0; +).
  E(f) = (–; 0)  (0; +).
  Функция нечетная.
  а) Нули функции: нет;
  б) точка пересечения с Оу: нет.
  а) если k < 0, то (–; 0) и (0; +) – промежутки возрастания функции;
  б) если k > 0, то (–; 0) и (0; +) – промежутки убывания функции.
  Не ограничена ни снизу, ни сверху.
  Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  Функция непрерывна на каждом из промежутков
  (–; 0) и (0; +).
  Обратная пропорциональность
  у =
  k
  x
  

• 

  13 слайд

  Обратная пропорциональность
  0
  x
  y
  у = , k < 0
  k
  x
  у = , k > 0
  k
  x
  у =
  k
  x
  

• 

  14 слайд

  Свойства функции y = kx2 при k > 0:
  
  D(f) = (–; +).
  E(f) = [0; +).
  Функция четная.
  а) Нули функции: (0; 0);
  б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
  а) [0; +) – промежуток возрастания функции;
  б) (–; 0] – промежуток убывания функции.
  Ограничена снизу, не ограничена сверху.
  а) унаим. = 0;
  б) унаиб. – не существует.
  Непрерывна на множестве (–; +).
  Выпукла вниз.
  Квадратичная функция y=kx2
  

• 

  15 слайд

  Свойства функции y = kx2 при k < 0:
  
  D(f) = (–; +).
  E(f) = (–; 0].
  Функция четная.
  а) Нули функции: (0; 0);
  б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
  а) [0; +) – промежуток убывания функции;
  б) (–; 0] – промежуток возрастания функции.
  Ограничена сверху, не ограничена снизу.
  а) унаиб. = 0;
  б) унаим. – не существует.
  Непрерывна на множестве (–; +).
  Выпукла вверх.
  Квадратичная функция y=kx2
  

• 

  16 слайд

  0
  x
  y
  y = kx2, k>0
  Квадратичная функция y=kx2
  y = kx2, k<0
  

• 

  17 слайд

  
  D(f) = [0; +).
  E(f) = [0; +).
  Функция ни четная, ни нечетная.
  а) Нули функции: (0; 0);
  б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
  [0; +) – промежуток возрастания функции.
  Ограничена снизу, не ограничена сверху.
  а) унаим. = 0;
  б) унаиб. – не существует.
  Непрерывна на множестве [0; +).
  Выпукла вверх.
  Функция y= x
  Свойства функции y =x:
  

• 

  18 слайд

  0
  x
  y
  Функция y=x
  y =x
  

• 

  19 слайд

  Свойства функции y = x3:
  
  D(f) = (–; +).
  E(f) = (–; +).
  Функция нечетная.
  а) Нули функции: (0; 0);
  б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
  Возрастает на множестве (–; +).
  Не ограничена ни снизу, ни сверху.
  Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  Функция непрерывна на множестве (–; +).
  Функция y=x3
  

• 

  20 слайд

  x
  y
  0
  y = x3
  Функция y=x3
  

Краткое описание материала