Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Электронная рабочая тетрадь по математике для подготовки к ЕГЭ задачи В1-В12
Базовый уровень
Чердакли Л. Н.
2 слайд
Рабочая тетрадь по математике ориентирована на подготовку учащихся профильных классов для успешной сдачи Единого государственного экзамена по математике (базовый уровень). В рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных измерительных материалов В 1 по В 12 и С 1.
На различных этапах обучения электронная тетрадь поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по основным темам. Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях ученика.
3 слайд
Задание В1
Тип задания. Задание на вычисление.
Характеристика задания.
Задание, моделирующее реальную или близкую к реальной ситуацию. Для решения задачи достаточно уметь выполнять арифметические действия, делать прикидку и оценку, знать, что процент — это одна сотая часть числа.
4 слайд
Немного теории!
Определение: сотая часть любой величины или числа называется ПРОЦЕНТОМ.
Значит, 1 копейка – один процент рубля, 1 см – 1 процент метра, 1 цент – 1 процент доллара, а число 0,05 – 1 процент от 5.
Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком %, то есть
1%=1:100=0,01.
5 слайд
Задача 1. В зоопарке 800 попугаев. Из них 46% умеют разговаривать. Сколько же попугаев умеют разговаривать?
Решение:
1) Найдем 1% от 800 попугаев:
800 : 100 = 8 (попугаев),
2) Найдем теперь 46% от 800:
8 × 46 = 368 (попугаев).
Ответ: 368 попугаев.
6 слайд
Правило: для того, чтобы найти р процентов от числа a, надо:
перевести р процентов в десятичную дробь;
умножить число a на полученную десятичную дробь.
Примеры: а) Найти 17% от 32.
17%=0,17 и 32 × 0,17 = 5,44.
б) Найти 30% от 1,8.
30%=0,3 и 1,8 × 0,3 = 0,54.
7 слайд
Задача 2. На планету Земля с мирным визитом прибыло 140 инопланетян, что составило 3,5% всех желавших прибыть к нам. Сколько всего инопланетян хотели побывать на планете Земля?
Решение:
1) Найдем сначала 1% всех желавших:
140 : 3,5 = 40 (иноп.);
2) Найдем количество всех желавших:
40 × 100 = 4000 (иноп.).
Ответ: 4000 инопланетян.
8 слайд
Правило: Для того чтобы найти все число от известной части b и числу соответствующих процентов p, надо:
перевести р процентов в десятичную дробь;
разделить b на полученную десятичную дробь.
Примеры: 1) Найти число, если 12% его составляют 66.
66 : 0,12 = 550.
2) Найти число, если 150% его равны 960.
960 : 1,5 = 640.
3) Гном Ворчун положил в банк некоторую сумму денег под 80% в год. Через год он получил прибыль 30 000 рублей. Найти величину вклада.
30 000 : 0,8 = 37 500.
9 слайд
Задачи для самостоятельного решения:
1. В июне 1 кг огурцов стоил 50 рублей. В июле огурцы подешевели на 20 %, а в августе еще на 50 %. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после снижения цены в августе?
2. В городе N живет 300 000 жителей. Среди них 20 % детей и подростков. Среди взрослых 35 % не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей города работает?
3. Клиент взял в банке кредит на сумму 30 000 рублей с годовой процентной ставкой 14%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
Ответы: № 1. 20; № 2. 156000 № 3. 2850
10 слайд
Задание В2
Тип задания. Задание на чтение графика функции.
Характеристика задания. Задание B2 на чтение графических функций (график характеризует изменение в зависимости от времени некоторой величины), обычно, в задании требуется найти наибольшее или наименьшее значение этой величины. В этом задании необходимо продемонстрировать использование математических знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Для успешного решения задания необходимо уметь:
• определять значение функции при различных способах задания функций,
• находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения,
• строить графики изученных функций,
• описывать с помощью функций различные зависимости и читать их графики,
• пользоваться информацией, представленной в виде таблиц и графиков.
11 слайд
Задача 1
Решение
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 22 января.
Синими линиями отмечено интересующее нас 22 января. Красная линия проведена к наименьшей температуре, до которой прогрелся воздух в этот день, это -23°С.
Ответ: -23°С.
12 слайд
Задача 2
Решение
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в первый раз за указанный период среднесуточная температура равнялась 19 градусам.
Синей линией отмечена интересующая нас температура 19°С. Красная - указывает на число, когда среднесуточная температура первый раз равнялась 19°С
Ответ: 8июля
13 слайд
Задание для самостоятельного решения
Проверка
Ответ:
23°С
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наибольшую среднесуточную температуру в период с 8 по 18 июля.
14 слайд
На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта РИА Новости было наименьшим за указанный период.
Решим самостоятельно!
Ответ: 15 ноября
15 слайд
Задача 3
На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).
46 – 39 = 7
Ответ: 7
16 слайд
Задача 4
Ответ: 2
На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.
Наибольшее количество
посетителей сайта: 800000
Наименьшее количество
посетителей сайта: 400000
17 слайд
Задание В3
Тип задания. Геометрические задачи, координаты и вектора.
Характеристика задания.
Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей).
Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.
Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами.
18 слайд
а
b
а
Вспомним теорию:
a
ha
a
b
c
a
b
g
19 слайд
Площадь трапеции
h
a
b
Площадь параллелограмма
h
a
Площадь круга
r
Площадь кругового сектора
r
20 слайд
Сложение векторов
Правило треугольника:
А
В
С
Для любых трех точек A,B,C имеет место равенство
21 слайд
Задача 1
Ответ: 6
Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке
P(8, 6), чтобы она касалась оси абсцисс?
R = 6
R
Для того чтобы окружность касалась оси абсцисс, необходимо, чтобы радиус окружности был равен 6.
22 слайд
Задача 2
Применение подобия
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 45. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Ответ: 1080
23 слайд
Задача 3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Формула Пика: S=В+Г/2-1, где В - число целочисленных точек внутри многоугольника, Г - количество целочисленных точек на его границе
Ответ: 17
24 слайд
Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2;1), (10;1), (9;9), (6;9).
Реши самостоятельно:
Диагонали ромба ABCD равны 48 и 55. Найдите длину вектора
А
В
С
D
25 слайд
Тип задания. Задание на анализ практической ситуации.
Характеристика задания. Несложная текстовая задача (возможно, с табличными данными) на оптимальное решение, моделирующая реальную или близкую к реальной ситуацию.
Задание В4
26 слайд
Задача 1
Для изготовления книжных полок требуется заказать 50 одинаковых стёкол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25м². В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекла и шлифовку края. Столько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
А
В
С
50 · 0,25=12,5 (м²)
75 · 50 = 3750 (руб.)
12,5 · 410 =5125 (руб.)
5125 + 3750 = 8875 (руб.)
8875
12,5 · 430 =5375 (руб.)
65 · 50 = 3250 (руб.)
5375 + 3250 = 8625 (руб.)
8625
12,5 · 460 =5720 (руб.)
60 · 50 = 3000 (руб.)
5720 + 3000 = 8720 (руб.)
8720
Ответ:8625
27 слайд
Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.
Пользователь предполагает, что его трафик составит 650 Мб в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?
Задача 2
28 слайд
Решение: Если абонентская плата внесена, то пользователь не должен дополнительно оплачивать трафик (объем переданной информации) в пределах объема, указанного во второй графе таблицы. Но за каждый мегабайт, переданный или полученный сверх этого объема, нужно платить сумму, указанную в третьей графе.
Таким образом, полная плата складывается из абонентской платы и дополнительной оплаты.
Для плана «О» полная сумма равна 650 • 2,5 = 1625 (руб.)
Для плана «500» сумма равна 550 +150 • 2 = 850 (руб.), поскольку из 650 планируемых мегабайт трафика 500 включены в абонентскую плату, а 150 оплачиваются по тарифу 2 руб. за мегабайт.
Для плана «800» превышения трафика нет, поэтому ничего, кроме абонентской платы платить не нужно.
Значит, самый дешевый вариант — выбрать план «800», и это обойдется в 700 руб.
Ответ: 700.
29 слайд
Задача 3
Ответ: 4080
310 · 12 + 17·30 = 4230
Общая площадь стекла, которого нужно изготовить равна 30 · 0,4 = 12м²
Стоимость заказа в фирме А складывается из:
стоимости стекла 310 · 12 = 3720руб. и
стоимости его резки и шлифовки 17 · 30 = 510 руб.
320 · 12 + 13·30 = 4230
При заказе на сумму больше
2500 руб. резка бесплатно.
340 · 12 = 4080
30 слайд
Задача 4
Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 830 рублей. Автомобиль расходует 10 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19 руб. за литр. Какая поездка (поездом или машиной) обойдется дешевле? В ответ напишите, сколько рублей она будет стоить.
Решение:
Билеты на поезд будут стоить 830 • 3 = 2490 руб.
Теперь нужно найти затраты на топливо для автомобиля. На 700 км пути автомобиль потратит 10 - 7=70 л бензина. Общая стоимость бензина
70 – 19 = 1330 руб. Получается, что на автомобиле ехать значительно дешевле.
Ответ: 1330.
31 слайд
1. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.
2. Из пункта А в пункт В ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 42 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 43 км/ч. Третья дорога— без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 66 км/ч. На схеме указаны расстояния между пунктами в километрах.
Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до О позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.
Задачи для самостоятельного решения:
Ответы к задачам:
№ 1. 2,25
№ 2. 2,5
32 слайд
Задание В5
Тип задания. Задание на вычисление элементов прямоугольного треугольника.
Характеристика задания. Задача на вычисления элементов прямоугольного треугольника, связанные с определениями тригонометрических функций острых углов прямоугольного прямоугольника, в том числе по готовому чертежу.
33 слайд
Найдите синус угла АОВ.
в ответе укажите значение
синуса, умноженное на
1
2
1
С
Найдите косинус угла АОВ.
в ответе укажите значение
косинуса, умноженное на
Найдите тангенс угла АОВ.
34 слайд
К
Найдите косинус угла АОВ.
в ответе укажите значение
косинуса, умноженное на
Найдите синус угла АОВ.
в ответе укажите значение
синуса, умноженное на
Найдите тангенс угла АОВ.
35 слайд
Найдите синус угла АОВ.
в ответе укажите значение
синуса, умноженное на
Найдите косинус угла АОВ.
в ответе укажите значение
косинуса, умноженное на
Найдите тангенс угла АОВ.
36 слайд
1.В треугольнике ABC угол C равен 90о, высота CH равна 6, AC = 10. Найдите tg A.
Задачи для самостоятельного решения:
2. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.
Ответы к задачам:
№ 1. 0,6
№ 2. 0,75
37 слайд
Задание В6
Тип задания. Уравнение.
Характеристика задания.
Несложное показательное, логарифмическое или иррациональное уравнение.
38 слайд
Иррациональные
уравнения
Основные
ошибки
Метод
решения
Возведение обеих частей в квадрат. Удобно свести уравнение к системе:
Выявление посторонних корней можно произвести также при помощи проверки – подстановки полученных корней в исходное уравнение.
В качестве ОДЗ приводится только одно условие:
вместо двух условий:
При сведении решения уравнения к системе первое условие становится лишним и решение значительно упрощается
39 слайд
Иррациональные
уравнения
Решите уравнение. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней (если их несколько).
Возможные варианты оформления решения
Наиболее
рациональное
решение
40 слайд
Задача 1:
Найдите корень уравнение
(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их сумму.)
О.Д.З. Уравнение может иметь решение для
но не имеет решений, если < 0
4
1
6
Ответ: 1
Можно, не искать О.Д.З. ,но обязательно выполним проверку, подставив каждый из корней:
Проверку в иррациональных уравнениях нужно обязательно делать для того, чтобы "отсеять" получившиеся посторонние корни.
P.P.S. Это задание с подвохом для тех, кто не сделает проверку. Они напишут в ответ 7 и потеряют свои баллы.
41 слайд
Основные способы их решения
Метод уравнивания показателей
(основан на теореме о показательных уравнениях)
а f(x) = ag(x) <=> f(x) = g(x)
Метод введения новой переменной
Примеры
1) 3х = 4х + 15
2) 2 2х – 4 = 64
3) 22х+2х − 2 = 0
Функционально - графичекий (основан на графике или на свойствах функции)
Показательные уравнения
Ответы: 3; 5; 0.
42 слайд
Разложение на множители (Основан на свойствах степеней с одинаковыми основаниями. Приём: вынос за скобку степень с наименьшим показателем)
Приём деления или умножения
на показательное выражение, отличное
от нуля
(в однородных уравнениях)
Показательные уравнения
Совет: при решении показательных уравнений полезно сначала произвести преобразования, получив в обеих частях уравнения
степени с одинаковыми основаниями
Методы решения
43 слайд
Задача 2
Ответ: -5
1) Найдите корень уравнения:
При желании можно сделать проверку.
2) Решите уравнение .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
или
Ответ: -5
44 слайд
Реши самостоятельно!
Решить уравнения и систему уравнений:
1. (2 )х + 7 = 9/49
2. у = 3х + 2
у =
3. 2 ∙ 3х + 1 − 4 ∙ 3х – 1 = 42
45 слайд
Повторим значения синуса и косинуса
у π/2 90°
1
120° 2π/3 π/3 60°
135° 3π/4 π/4 45°
150° 5π/6 1/2 π/6 30°
180° π -1 0 1 0 0° x
-1/2 ½ 2π 360 (cost)
210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]
240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]
-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)
46 слайд
Арккосинус
у
х
π/2
0
π
1
-1
-а
а
arccos а = t
arccos(-а)
Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
arccos(- а) = π- arccos а
Примеры:
1)arccos(-1)
= π
2)arccos( )
47 слайд
Арксинус
Примеры:
у
х
π/2
-π/2
-1
1
а
arcsin а =t
- а
arcsin(- а)= - arcsin а
arcsin(- а)
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.
48 слайд
Арктангенс
у
π/2
-π/2
х
0
а
arctgа = t
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
arctg(-а) = - arctg а
-а
arctg(-а )
Примеры:
1) arctg√3/3 =
π/6
2) arctg(-1) =
-π/4
49 слайд
Арккотангенс
у
х
0
π
а
arcctg а = t
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .
arcctg(- а) = π – arcctg а
- а
arcctg(- а)
1) arcctg(-1) =
Примеры:
3π/4
2) arcctg√3 =
π/6
50 слайд
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
cost = а , где |а| ≤ 1
или
Частные случаи
cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
cost=1
t = 2πk‚ kЄZ
cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
51 слайд
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
sint = а, где | а |≤ 1
или
Частные случаи
sint=0
t = πk‚ kЄZ
sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
52 слайд
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ k ЄZ
ctgt = а, а ЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ
53 слайд
Пример 1 sin x = −
√3
2
x = (−1)n arcsin + πn, nZ
√3
2
−
x = (−1)n+1 arcsin + πn, nZ
√3
2
x = (−1)n+1 + πn, nZ
π
3
Ответ: (−1)n+1 + πn, nZ
π
3
54 слайд
Решить уравнение:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
1
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
2
В ответе запишите наибольший отрицательный корень
3
55 слайд
Это надо знать про логарифмы!
56 слайд
Простейшие логарифмические уравнения
57 слайд
Решить уравнения:
58 слайд
Тип задания. Геометрическое.
Характеристика задания. Задание на вычисление суммы углов треугольника, четырехугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка, представляющего собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти, на клетчатой бумаге (сетке) со стороной клетки 1.
Задание В 7
59 слайд
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной окружности в равностороннем
треугольнике
Радиус описанной окружности
Периметр
Высота
Площадь
A
B
C
A1
B1
C1
O
a
a
a
r
R
r
r
R
R
60 слайд
Треугольник, в котором две стороны равны между собой
называется равнобедренным.
Равные стороны называются боковыми, а последняя основанием
Площадь треугольника
Периметр P = 2a + b
P = 2R(2sinα + sinβ)
Теорема синусов
Теорема косинусов
М
К
О
a
b
61 слайд
Соотношение между сторонами и углами треугольника
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
62 слайд
Задача 1
Ответ: 120
Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 120˚. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах
А
В
С
D
α
β
ω
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Дано: α + β + ω = 120˚
Найти: ∟АСВ
α + β = ω
По условию: α + β + ω = 120˚
Следовательно: α + β = ω = 60˚
Угол АСD развернутый:∟АСВ + ω = 180˚
Следовательно: ∟АСВ = 180˚- ω
∟АСВ = 180˚- 60˚ = 120˚
63 слайд
Задача 2
Ответ: 135
Радиус окружности равен 36. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
А
В
С
О
36
36
1 способ:
По теореме косинусов:
2 способ:
64 слайд
Задача 3
В треугольнике ABC угол A равен 26o, угол C равен 44o. На продолжении стороны AB отложен отрезок BD = BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
A
B
C
D
26o
44o
В ∆ АВС ∟В = 180˚ – 26˚ – 44˚ = 110o
110o
∟АВD = 180˚ – развернутый
∟СВD = 180˚ – 110˚ = 70˚
70˚
По условию ∆ СВD - равнобедренный
∟С = ∟D
∟ВDC = ∟ВCD = (180˚ – 70˚):2 =55˚
Ответ: 55
65 слайд
Задание В 8
Тип задания. Задача на вычисление
Характеристика задания. Задание на преобразование логарифмических и показательных выражений.
66 слайд
Свойства степени с рациональным показателем
(m и n – рациональные числа, α >0 и b>0 ).
67 слайд
Степень с рациональным показателем
Если n - натуральное число
m - целое число
Свойства логарифмов
loga x + loga y = loga (x · y)
loga x − loga y = loga (x : y)
loga xn = n · loga x
68 слайд
Задача 1.
Найти значения выражений: 79 · 311 : 218 ; 247 : 36 : 165 ; 306 : 65 : 252.
Решение. Разложим все основания степеней на простые множители:
79 · 311 : 218 = 79 · 311 : (7 · 3)8 = 79 · 311 : (78 · 38) = 79 · 311 : 78 : 38 = 7 · 33 = 189.
247 : 36 : 165 = (3 · 23)7 : 36 : (24)5 = 37 · 221 : 36 : 220 = 3 · 2 = 6.
306 : 65 : 252 = (5 · 3 · 2)6 : (3 · 2)5 : (52)2 = 56 · 36 · 26 : 35 : 25 : 54 = 52 · 3 · 2 = 150.
Найти значения выражений:
69 слайд
Задача 2 - 3
Ответ: 3
Вычислите значение выражения:
.
Вычислите значение выражения:
Ответ: 8
70 слайд
Задача 4
Найдите значение выражения
1 способ решения:
2
r
b
a
log
=
r
b
a
log
b
a
log
+
с
a
log
=
с
a
log
b
2 способ решения:
a
a
log
=
1
a²+2ab+b²
=
(a+b)²
r
b
a
log
r
b
a
log
=
r
b
a
log
Ответ: 1
71 слайд
Задачи для самостоятельного решения:
Найдите значение выражения:
2
7
99
9
72 слайд
Задание В 9
Тип задания. Решение задач по теории вероятностей.
Характеристика задания.
Задачи на вычисление событий, вероятность, случайный эксперимент, сложение и умножение вероятностей.
73 слайд
Справочный материал
Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.
Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.
Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.
(объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В
(пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.
А
называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.
Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.
74 слайд
Вероятности противоположных событий:
Формула сложения вероятностей:
Формула сложения для несовместных событий:
Формула умножения вероятностей:
Условная вероятность В при условии, что А наступило
Формула вероятности k успехов в серии из n испытаний Бернулли:
р – вероятность успеха, q=1-p вероятность неудачи в одном испытании
75 слайд
Схема решения задач:
Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны.
Найти общее число элементарных событий (N)
Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число N(A).
Найти вероятность события А по формуле
76 слайд
Задача 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя.
Решение:
Случайный эксперимент – бросание жребия.
Элементарное событие – участник, который выиграл жребий.
Число элементарных событий: N=4
Событие А = {жребий выиграл Петя}, N(A)=1
Ответ: 0,25
77 слайд
Задача 2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4.
Решение:
Случайный эксперимент – бросание кубика.
Элементарное событие – число на выпавшей грани.
Ответ:1/3
Всего граней:
1, 2, 3, 4, 5, 6
Элементарные события:
N=6
N(A)=2
78 слайд
Задача 3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.
Множество элементарных исходов:
Решение:
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
N=36
A= {сумма равна 8}
N(А)=5
Ответ:5/36
79 слайд
Решение:
О
О
О
О
О
О
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
О
О
О
О
О
О
Множество элементарных исходов:
N=8
A= {орел выпал ровно 2 }
N(А)=3
Ответ: 0,375
8 исходов
Задача 4. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза.
80 слайд
Задача 5. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
Решение:
Всего спортсменов: N= 4 + 7 + 9 + 5 = 25
A= {последний из Швеции}
N=25
N(А)=9
Ответ: 0,36
81 слайд
Задача 6. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
А={вопрос на тему «Вписанная окружность»}
B={вопрос на тему «Параллелограмм»}
События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно
С={вопрос по одной из этих тем}
Р(С)=Р(А) + Р(В)
Р(С)=0,2 + 0,15=0,35
Ответ: 0,35
82 слайд
Задача 7
Ответ: 0,992
1) 500 – 4 = 496 насосов не подтекает.
Число благоприятных исходов – это 496 (насосов не подтекает).
Число всех возможных исходов – это 500 (все насосы).
Вероятность находим, как отношение благоприятных исходов эксперимента 496
к числу всех возможных исходов 500.
2) 496/500 = 0,992
83 слайд
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Реши самостоятельно и сверь с решением!
Ответ: 0,498
5000 – 2512 = 2488
84 слайд
Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.
Реши самостоятельно!
Ответ: 0,25
85 слайд
Задание В10
Тип задания. Задача на составление уравнения.
Характеристика задания. Традиционная «текстовая» задача (на движение, работу и т.п.), т.е. задача на составление уравнения.
86 слайд
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Х км/ч
S км
24 км/ч
(Х+16) км/ч
t1 = t2
Задача 1
87 слайд
Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
финиш
старт
240 км
2
1
1ч
Задача 2
Х км/ч –скорость второго велосипедиста,
(Х +1) км/ч –скорость первого велосипедиста.
Первый велосипедист прибыл к финишу на 1 ч раньше, т.е. его время в пути на 1 час меньше.
88 слайд
Задача 3
Ежемесячный доход семьи складывается из зарплаты отца и зарплаты матери. Зарплату отца увеличили на 5%, а зарплату матери – на 75%, в результате чего семейный доход увеличился на 15%. Во сколько раз зарплата матери до повышения была меньше зарплаты отца?
Общий доход семьи:
X - заработок отца
У - заработок матери
Доход семьи после увеличения на 15%
Х + У
100%+5%=105%
1,05 Х -заработок отца
100%+75%=175%
1,75 У -заработок матери
1,05Х + 1,75У
1,15(Х + У) = 1,05Х + 1,75У
1,15Х +1,15У = 1,05Х + 1,75У
1,15Х - 1,05Х = 1,75У - 1,15У
0,1Х = 0,6У
Х = 6У
зарплата матери до повышения была меньше зарплаты отца в 6 раз
Ответ: 6
семейный доход увеличился на15%
89 слайд
Задача 4
Ответ: 49
Обозначим Х — число вопросов теста. Тогда время, необходимое Коле, равно Х/12 мин., а время, необходимое Мише, равно Х/21 мин. Коля закончил отвечать на тест через 105/60 часа после Мити. Поэтому:
90 слайд
Задачи на совместную работу
Работу обозначаем за 1.
91 слайд
Объем работы
- объем работы
92 слайд
Задача 5
Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?
1) (часть) – производительность первой трубы
2) (часть) – производительность второй трубы
3) (часть) – общая производительность
4) (час.) – общее время работы
93 слайд
Задача 6
(часть) – общая производительность
94 слайд
Задача 7
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Это условие поможет ввести х …
255
х–1
х+1
Пр. теч.
По. теч.
255
Пусть vсоб. = x
х-1
v,
км/ч
255
S,
км
справка
Найдем скорость против течения: надо из собственной скорости отнять скорость течения
справка
Чтобы найти время надо расстояние разделить на
скорость
t =
S
v
t,
ч
справка
Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения
Решение:
255
х–1
255
х+1
на 2 ч
<
<
на 2 ч
+ 2
=
255
х+1
Ответ: 16
95 слайд
30 км
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.
А
10:00
В
остановка
2ч 30мин
18:00
х+1
Пр. теч.
По. теч.
30
Пусть vсоб. = x
х–1
v,
км/ч
30
S,
км
справка
Найдем скорость против течения: надо из собственной скорости отнять скорость течения
справка
Это условие поможет ввести х …
Чтобы найти время надо расстояние разделить на
скорость
t =
S
v
t,
ч
справка
Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения
30
х–1
30
х+1
Стоянка
2,5
8ч
30
х–1
30
х+1
+ + 2,5 = 8
Задача 8
Решение:
96 слайд
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.
Задача 9 Решение:
·(-1)
Ответ: 11
97 слайд
420км
В
?
1
x
От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
х+1
1 тепл.
2 тепл.
420
х
v,
км/ч
420
S,
км
Это условие поможет ввести х …
420
х
t,
ч
420
х+1
– =
420
х
420
х+1
1
Первый теплоход вышел на 1 ч раньше, значит, его время в пути на 1 час больше.
на 1 ч
>
На 1 км/ч >
2
x
+1
На 1 ч >
А
?
1
На 1 км/ч >
2
Задача 9
98 слайд
390 км
Пристани и расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
А
В
остановка
9 часов
х+3
Из А в В
Из В в А
390
х
v,
км/ч
390
S,
км
t,
ч
390
х
390
х+3
Остановка
9
390
х
390
х+3
= + 9
=
Задача 10
99 слайд
Решить самостоятельно!
Это случилось жарким летом ...
На побережье реки Оки отдыхали друзья Коля, Володя и Серёжа. Чтобы выжить на отдыхе, друзья решили поймать пару рыбин и сделать отличную уху. Закинули удочки и стали ждать клёва. Поймав первую рыбину, друзья как-то сразу поняли, что двух рыбин не хватит. Да и десяти тоже. Порода, видимо, была такая - мелкая, да... Решили, что надо поймать штук 30, или больше.
100 слайд
Задание В11
Тип задания. Анализ практической ситуации, приводящей к решению неравенства или уравнения.
Характеристика задания. Текстовое задание, моделирующее реальную или близкую к реальной ситуацию (например, физические, химические и др. процессы).
101 слайд
Задача 1
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой
η = (T₁ - T₂)/T₁ · 100% , где T₁— температура нагревателя (в градусах Кельвина), T₂— температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T₁ КПД этого двигателя будет не меньше 35%, если температура холодильника T₂ = 260 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
Ответ:400
20
7
400
102 слайд
Задача 2
При нормальном падении света с длиной волны λ=400нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол φ(отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением dsinφ=kλ. Под каким минимальным углом φ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?
Ответ: 30
.
Задача сводится к решению неравенства d ≤ 1600нм
на интервале: 0˚‹ φ ‹ 90˚
Длина волны света : λ=400 нм и номер максимума k =2
30˚‹ φ ‹ 90˚
103 слайд
Задачи для самостоятельного решения:
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 50 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 60 до 80 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 120 до 150 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение:
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 75
104 слайд
Задача В11
Тип задания. Задание на вычисление производной.
Характеристика задания. Задача на вычисление производной по данным приводимого в условии рисунка, представляющего собой изображенные на клетчатой бумаге график функции и касательную к нему. Иногда на рисунке может быть изображен только график функции, а касательная задана описанием. Метод решения от этого не меняется и основывается на геометрическом смысле производной.
105 слайд
Вспомним теорию: Касательная есть предельное положение секущей при ∆х→0
х
y
0
k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Угловой коэффициент касательной равен f ˈ(х0). В этом состоит геометрический смысл производной.
Касательная
Секущая
Секущая
k → f’(x0)
106 слайд
Касательная к графику дифференцируемой в точке хо функции f – это прямая, проходящая через точку (хо ; f(хо)) и имеющая угловой коэффициент fˈ(хо).
Выведем уравнение касательной к графику функции f в точке А (хо; f(хо)).
k = fˈ(хо) => y = fˈ(хо)•х + b
Найдем b :
f(хо) = fˈ(хо)•хо + b => b = f(хо) - fˈ(хо)•хо
y = fˈ(хо)•х + f(хо) - fˈ(хо)•хо
y = f(хо) – fˈ(хо)(х - хо)
107 слайд
Задача 1
На рисунке изображен график y = f′ (x) — производной функции f(x) , определенной на интервале (-15; 8) . Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10; 2].
Ответ: 2
-15
-10
2
x0 - точка максимума, если производная при переходе через x0 меняет свой знак с плюса на минус.
Условие выполняется в точках x = -9 и -4.
Найдем точки в которых
Это: -9; -7; -4; -2.
Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи.
+
+
-
-
108 слайд
Задача 2
Ответ: 4
Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,3; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
109 слайд
Задача 3
Ответ: 44
Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.
110 слайд
Задача для самостоятельного решения:
На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (-8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Ответ: 6
111 слайд
Задание В12
Тип задания. Задание на вычисление площадей поверхностей или объемов многогранников и тел вращения.
Характеристика задания. Несложное задание по стереометрии на применение основных формул, связанных с вычислением площадей поверхностей или объемов многогранников (пирамид и призм) или тел вращения (цилиндров, конусов, шаров), в том числе вписанных или описанных около других многогранников или тел вращения.
112 слайд
Задача 1
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60˚. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в
60˚ и равно 3 . Найдите объём параллелепипеда.
Ответ:2,25
1
1
60˚
А
В
D
С
D′
A′
B′
C′
N
3
V = Sоснов · Н
Sоснов =
а
·
в
·
Sin
α
1
1
Найдем высоту параллелепипеда из ∆ ANA′
60˚
H
60˚
V
Sоснов
=
·
Н
Итак:
113 слайд
Задача 2
Ответ: 2
N
1
3
114 слайд
Задача 3
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Решение:
C
D
E
F
S
B
A
3
3
6
6
3
3
Формула объема пирамиды:
Рассмотрим основание пирамиды.
Отрезок ВЕ разбивает основание на две
равные трапеции.
Площадь каждой трапеции равна:
Sоснов = 2 ∙ 13,5 = 27
= 13,5
Высота пирамиды равна 3 .
Ответ: 27
115 слайд
Задача 4
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 8.
Решение:
C
D
E
F
S
B
A
3
6
8
4
3
Формула объема пирамиды:
Рассмотрим основание пирамиды .
Отрезки разбивают основание на три равных прямоугольника, со сторонами 3 и 4
Площадь каждого прямоугольника равна:
Высота пирамиды равна 8.
Ответ: 96
4
3
8
8
6
4
S = 3 ∙ 4 =12
Sоснов = 3 ∙ 12 = 36
116 слайд
Задача 5
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 7.
1
6
8
5
1
7
3
5
Вынесем отдельно основание пирамиды
Площадь основания
состоит из площадей трех
прямоугольников
Sоснов = 1∙ 3 +6 ∙ 3 + 6 ∙ 5 = 51
Высота пирамиды равна 7.
Ответ: 119
117 слайд
Задача 6
В конус, угол между образующей которого и основанием равен 60˚ , вписан шар. Найдите объем конуса, если объем шара равен 14.
Ответ: 31,5
60˚
=
·
r
S
O
A
B
∆ АSB – равносторонний (SA=SB, ∟A=60˚)
SO – высота и медиана. Точка N – центр шара и точка пересечения всех медиан в равносторонним треугольнике АSВ
N
Точка N делит медиану SО в отношении 2:1 (считая от вершины)
Итак NО = r = ⅓ SО, т.е. радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник равен ⅓ от высоты треугольника
R
АО = R , следовательно АВ = 2 R.
118 слайд
Задачи для самостоятельного решения:
1. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
Ответы:
№ 1 - 27
№ 2 - 3
119 слайд
Задание В13
Тип задания. Задание на исследование функций с помощью производной.
Характеристика задания. Задание на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке. Производная в некоторых задачах может быть задана графиком.
120 слайд
Касательная в таких точках графика параллельна оси ОХ, а поэтому производная в этих точках равна 0;
1
1
-1
0
х
у
-1
у
х
1
0
-1
1
-1
y=f(x)
y=g(x)
Теория! Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или производная не существует, называются критическими.
Касательная в таких точках графика не существует, а поэтому производная в этих точках не существует.
121 слайд
производная равна нулю
(стационарные точки)
критические точки
производная не существует
максимума
«+» на «-»
минимума
«-» на «+»
перегиба
знак
не меняется
максимума
«+» на «-»
минимума
«-» на «+»
излома
знак
не меняется
плавные линии
угловатые линии
точка
точка
точка
точка
точка
точка
122 слайд
Достаточное условие существования экстремума функции:
Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума функции f(x).
Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х0 – точка минимума функции f(x).
Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х0 экстремума нет.
123 слайд
Схема исследования функции
Найти область определения функции;
Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность;
Найти точки пересечения графика функции с осями координат;
Исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
Найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
Построить график функции.
124 слайд
x
1
2
3
4
5
-1
-2
-4
-1
-2
1
-3
-5
0
возрастает
возрастает
убывает
Построить эскиз графика функции, зная, что
y
-4
125 слайд
Исследовать функцию и построить график
а) ;
б)
в) критические точки: - ; 1.
г) по результатам исследования составляем таблицу:
д) строим график функции:
1 3
х
у
-5 -2
3
-7
126 слайд
Если непрерывная на промежутке функция имеет единственную точку экстремума х0, то в случае максимума – значение f(х0) наибольшее на этом промежутке, а в случае минимума – значение f(х0) наименьшее на этом промежутке.
127 слайд
Задача 1
Найдите наибольшее значение функции у = х ³ - 4х² + 4х +3
на отрезке [1; 6]
у′ = 3х ² - 8х + 4
у′ = 0
3х ² - 8х + 4 = 0
х₁ = 2 , х₂ = 2/3 ∉ отрезку [1; 6].
У(1) = 1 ³ - 4·1² + 4·1 +3 = 4
У(2) = 2 ³ - 4·2² + 4·2 + 3 = 3
У(6) = 6 ³ - 4·6² + 4·6 +3 = 99
Ответ: 99
128 слайд
Задача 2
Ответ: 12
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке х = π/6 заданная функция имеет максимум.
Найдём это наибольшее значение:
Найдем производную функции:
129 слайд
Задача 3
Ответ: 4
Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,3; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
130 слайд
Задача 4
Ответ: 44
Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.
131 слайд
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найдите точку минимума функции
2. Найдите точку максимума функции
Ответы: № 1 - 5; № 2 - 4
132 слайд
Задание С 1
Тип задания. Преобразование комбинированных выражений
Характеристика задания. Задание на преобразование комбинированных выражений: комбинация тригонометрических выражений с логарифмическими и показательными, иррациональных выражений и логарифмических, решение комбинированных неравенств.
133 слайд
Преобразование комбинированных выражений
Необходимые формулы
Показать 1 шаг
Необходимые формулы
Показать 2 шаг
Вычислить:
134 слайд
Преобразование комбинированных выражений
Необходимые формулы
Показать 1 шаг
Необходимые формулы
Показать 2 шаг
Найдите значение выражения:
135 слайд
Преобразование иррациональных выражений
Найдите значение выражения:
Необходимые формулы
Показать 1 шаг
-
Необходимые формулы
Показать 2 шаг
2 a b ?
a 2 - 2 ▪ a ▪ b + b2
+
136 слайд
Комбинированные неравенства
Найти сумму целых решений неравенства:
Показать 1 шаг
Найдите допустимые значения х
Решение:
Показать 2 шаг
Так как
то
иллюстрация
1
- 6
Показать 3 шаг
Отбор целых решений
О Т В Е Т
137 слайд
Комбинированные неравенства
Найти количество целых решений неравенства:
Найдите допустимые значения х
Решение:
Показать 1 шаг
Показать 2 шаг
Так как
то
иллюстрация
Показать 3 шаг
-1
3
Целые решения, удовлетворябщие ОДЗ:
1, 2, 3
О Т В Е Т
3
138 слайд
Комбинированные уравнения
Метод оценки значений
левой и правой части уравнения
Показать 1 шаг
Найдите допустимые значения х
Решение:
Показать 2 шаг
О Т В Е Т
х =2,5
139 слайд
Комбинированные уравнения
Метод оценки значений
левой и правой части уравнения
Выполни самостоятельно и добейся ответа:
О Т В Е Т
140 слайд
Тренировочная работа №1
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество: sin2x + cos2 x = 1
sin2x = 1 - cos2 x ;
Умножим обе части уравнения на (-1)
Обозначим cos x = t, -1≤ t ≤ 1;
сos x = 1,
х = 2πn, n Є Z.
Это есть решение нашего уравнения.
141 слайд
Итак 2 вопрос: надо указать корни, принадлежащие отрезку
Решив уравнение, мы получили корни:
Первый способ решения:
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
или
Ответ:
Отрезку принадлежат корни
142 слайд
Второй способ решения:
х
х = 0, х =2π, х = 4π, x=6π … не принадлежат данному отрезку.
Ответ:
143 слайд
Третий способ решения
: 2
В первой серии корней нет корней, принадлежащих данному отрезку.
n целое число, n =1.
Во второй серии
корней
найдем корни,
принадлежащие
данному отрезку
n =1.
n = 1 и n = 2.
144 слайд
Четвертый способ решения:
π
2π
3π
Эти корни,
не принадлежат
данному отрезку.
Эти корни,
=> принадлежащие
данному отрезку
Ответ:
145 слайд
У меня всё получилось!!!
Ну кто придумал эту математику !
Надо решить ещё пару примеров.
146 слайд
удачи на экзамене!
До свидания!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 665 181 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Чердакли Лилия Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.