Презентация к уроку математики на тему "Решение задания №19 из базового ЕГЭ"

• 1 слайд

  Задание №19 из базового ЕГЭ по математике
  

• 2 слайд

  Число делится на 2, если оно заканчивается четной цифрой или нулём.
  Числа 2346 и 3650 - делятся на 2. Число 4521 - не делится на 2.
  Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.
  Числа 31700 и 16608 -делятся на 4. 215634 – не делится на 4.
  Признаки делимости на 2 и 4:
  

• 3 слайд

  На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
  Числа 17835 и 5472 – делятся на 3. Число 105499 – не делится на 3.
  На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
  Числа 2376 и 342000 – делятся на 9. Число 106499 – не делится на 9.
  
  
  
  
  
  
  Признаки делимости на 3 и 9:
  

• 4 слайд

  Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях - не делится.
  Числа 125000 и 111120 – делятся на 8. Числа 170004 и 124300 – не делятся на 8.
  Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае - не делится.
  Числа 126 и 254610 – делятся на 6. Числа 3585 и 6574 - не делятся на 6.
  Признаки делимости на 8 и 6:
  

• 5 слайд

  На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие - не делятся.
  Числа 245 и 56780 – делятся на 5. Числа 451 и 678 – не делятся на 5.
  На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
  Числа 7150 и 345600 – делятся на 25. Число 56755 – не делится на 25.
  Признаки делимости на 5 и 25:
  

• 6 слайд

  На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 - только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 - только те, у которых три последние цифры нули.
  Число 34680 – делится на 10. Число 56700 – делится на 100 и на 10. Число 87549000 - делится на 10, 100 и 1000. Числа 75864, 7776539 и 9864032 – не делятся на 10, 100 и 1000.
  Признаки делимости на 10, 100 и 1000:
  

• 7 слайд

  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.
  Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.
  Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11.
  Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и б +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.
  Признак делимости на 11:
  

• 8 слайд

  Если число а : 4, то 𝑎 2 : 16;
  Если число а : 7, то 𝑎 2 : 49;
  Если число 𝑎 2 : 25, то число а :5;
  Если число 𝑎 2 : 81, то число а :9.
  
  Делимость квадратов натуральных чисел:
  

• 9 слайд

  Если нужно выяснить, делится ли заданное число на некоторое составное число, необходимо разложить это составное число на множители ( признаки которых вам известны) и проверить делимость исходного числа на эти множители.
  Если число делится на 27, то это число должно делится на 9 и 3;
  Если число делится на 24, то оно должно делится на 6 и 4;
  На какие числа должно делится число, делящееся на 18? На 36?
  Делимость на составные числа:
  

• 10 слайд

  Известно, что число при делении на 3 даёт в остатке 2. Найти несколько таких чисел. Если число делится на 3, его можно представить в виде : 3п ( п – порядковый номер числа). Если число дает в остатке 2, его можно представить в виде: 3п + 2. Получаем числа: при п = 1 – 5, при п = 2 – 8, при п = 5 – 17, при п = 12 – 38.
  Известно, что число при делении на 5, даёт в остатке 3. Найдите любые 4 таких числа. Если число делится на 5, его можно представить в виде : 5п . Если число дает в остатке 3, его можно представить в виде: 5п + 3.
  Получаем числа: при п = 4 – 23, при п = 7 – 38, при п = 10 – 53, при п = 15 – 78.
  Деление с остатком:
  

• 11 слайд

  Известно, что число при делении на 7, даёт в остатке 4. Найдите три таких числа.
  Известно, что число при делении на 4, даёт в остатке 3. Найдите такие числа стоящие на 5, 10 и 12 местах.
  Что означает запись: 8п + 3 ?
  Придумайте задание к следующей записи:
  2п +1.
  

• 12 слайд

  Задача №1. Вы­черк­ни­те в числе 123456 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся трёхзнач­ное число де­ли­лось на 27. В от­ве­те ука­жи­те по­лу­чив­ше­е­ся число.
  Решение:
  Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 3 и на 9. Число де­лит­ся на 9, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 3, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 3. За­ме­тим, что, если число де­лит­ся на 9,то оно де­лит­ся и на 3. Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вы­черк­нув числа 2, 4 и 6 по­лу­чим, число, сумма цифр ко­то­ро­го равна де­вя­ти. Де­вять де­лит­ся на де­вять.
   
  Ответ: 135.
  
  
  

• 13 слайд

   Задача №2. Вы­черк­ни­те в числе 141565041 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 30. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.
  Решение:
  Если число де­лит­ся на 30, то оно также де­лит­ся на 3 и на 10. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль. Тогда вычёрки­ва­ем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число де­ли­лось на три не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на трём, зна­чит, нужно вы­черк­нуть цифру 1 или цифру 4. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем числа 145650, 115650 и 415650
   
  Ответ: 145650, 115650 или 415650.
  
  

• 14 слайд

  Задача №3. Вы­черк­ни­те в числе 74513527 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 15. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.
  Задача №4.Вы­черк­ни­те в числе 85417627 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 18. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.
  
  

• 15 слайд

  Задача №5. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 24. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.
  Решение:
  Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8.
  .Пе­ре­брав трёхзнач­ные числа из 1 и 2, по­лу­чим, что толь­ко 112 де­лит­ся на 8. Это число об­ра­зу­ет по­след­ние три цифры ис­ко­мо­го числа.
  По­след­ние три цифры 112 дают к сумме 4. Рас­смот­рим пер­вые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет сумма цифр, рав­ная 5. Троек с дан­ной сум­мой цифр три: 122, 212, 221.
  Таким об­ра­зом, под­хо­дят числа: 122112, 212112, 221112.
  
  

• 16 слайд

  Задача №6. Най­ди­те ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 0 и де­лит­ся на 24.
  Решение:
  Чтобы число де­ли­лось на 24 оно долж­но де­лит­ся на 3 и на 8.
  Число де­лит­ся на 8, если три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 8. Ис­ко­мое число за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко ну­ля­ми и еди­ни­ца­ми, зна­чит, оно за­кан­чи­ва­ет­ся на 000.
  Число де­лит­ся на 3, если его сумма цифр числа де­лит­ся на 3. По­сколь­ку три по­с­лед­ние цифры числа нули, пер­вые три долж­ны быть еди­ни­ца­ми.
  Таким об­ра­зом, един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи, это число 111 000.
   
  Ответ: 111 000.
  
  

• 17 слайд

  Задача №7. Най­ди­те ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 2 и 0 и де­лит­ся на 24.
  
  

• 18 слайд

  Задача №8. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.
  Решение:
  Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 24 можно пред­ста­вить мно­ги­ми спо­со­ба­ми, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния - 1и24, 2и12, 8и3, 6и4. При­знак де­ли­мо­сти на 11: a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть чет­ным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 4312, 2134, 1342, 3124
  
  

• 19 слайд

  Задача №9. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го числа, сумма цифр ко­то­ро­го равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9.
  Решение:
  Раз­ло­жим число 20 на сла­га­е­мые раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми:
   
  20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.
   
  При раз­ло­же­нии спо­со­ба­ми 1−4, 7 и 8 суммы квад­ра­тов чисел не крат­ны трём. При раз­ло­же­нии пятым спо­со­бом сумма квад­ра­тов крат­на де­вя­ти. Раз­ло­же­ние ше­стым спо­со­бом удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи. Таким об­ра­зом, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8, на­при­мер, число 578.
  
  
  

• 20 слайд

  Задача №10. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 88, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и чётны. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.
  Решение:
  Число де­лит­ся на 88, если оно де­лит­ся на 8 и на 11. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 8, и учи­ты­вая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть чётны и раз­лич­ны по­лу­ча­ем, что по­след­ни­ми циф­ра­ми числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 248, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 11 по­лу­чим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа: 6248, 8624, 2640.
   
  Ответ: 2640, 6248 или 8624.
  
  

• 21 слайд

  Задача №11. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их про­из­ве­де­нию. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.
  Решение:
  Можно за­ме­тить, что если среди цифр есть хотя бы две еди­ни­цы, то ра­вен­ство не­воз­мож­но, так как сумма будет боль­ше про­из­ве­де­ния. То же самое, если еди­ниц нет во­об­ще. В этом слу­чае про­из­ве­де­ние будет слиш­ком боль­шое. Таким об­ра­зом, среди цифр есть ровно одна еди­ни­ца. Число де­лит­ся на 4, зна­чит, по­след­няя цифра чётная, а это зна­чит, что про­из­ве­де­ние тоже чётное. А зна­чит, и сумма. И так как по­след­няя цифра чётная, то остав­ши­е­ся две цифры долж­ны быть одной чётно­сти. А так как мы вы­яс­ни­ли, что среди цифр есть ровно одна еди­ни­ца, то эти числа нечётные. Под эти огра­ни­че­ния под­хо­дят числа: 132, 136, 152, 156, 172, 176, 192, 196, 312, 316, 512, 516, 712, 716, 912, 916, из ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям толь­ко числа 132 и 312.
  
  

• 22 слайд

  Задача №12. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 18, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.
  Задача №13. Най­ди­те трёхзнач­ное число, сумма цифр ко­то­ро­го равна 25, если из­вест­но, что его квад­рат де­лит­ся на 16.
  
  

• 23 слайд

  Задача №14. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 5 и на 7 даёт в остат­ке 1 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.
  Решение:
  Если число имеет оди­на­ко­вые остат­ки по каким-то мо­ду­лям, то оно имеет такой же оста­ток по мо­ду­лю, яв­ля­ю­ще­му­ся НОК этих мо­ду­лей. То есть в дан­ном слу­чае по мо­ду­лю 105. Тогда наше число 105k + 1. Пе­ре­берём все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты: 106, 211, 316, 421, 526, 631, 736, 841, 946. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 421, 631 и 841.
   
  Ответ: 421; 631; 841.
  
  

• 24 слайд

  Задача №15. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 4 и на 5 даёт в остат­ке 2 и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.
  Решение:
  Раз число даёт один и тот же оста­ток по мо­ду­лю 3, 4 и 5, то оно даёт такой же оста­ток и по мо­ду­лю 3•4•5=60. А зна­чит, число имеет вид 500 ≤ 60k+2 ≤ 999 Все числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие этому не­ра­вен­ству: 542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962. Из них удо­вле­тво­ря­ют усло­вию про две раз­лич­ные цифры: 662, 722.
  
  
  

• 25 слайд

  Задача №16. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 даёт в остат­ке 3 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.
  Решение:
  Так как число даёт оди­на­ко­вый оста­ток по мо­ду­лям 4, 5 и 6, то оно также даёт такой же оста­ток и по мо­ду­лю 60. То есть число имеет вид 60k + 3  Все такие числа: 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Из них под­хо­дят под по­след­нее усло­вие толь­ко 843 и 963.
   
  
  

• 26 слайд

  Задача №17. Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 400, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.
  Решение:
  Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 30, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: 30п+1, 30п+2, 30п+3,3п+4.
  При п=1-13 Ни одно из чисел не боль­ше 400
  При п=14: 421, 422, 423, 424. Пер­вая слева цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр
  При п=15: 451, 452, 453, 454. Число 453 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.
  875.
  
  

• 27 слайд

    Задача №18. Трёхзнач­ное число при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 3. Если по­след­нюю цифру числа пе­ре­не­сти в на­ча­ло его за­пи­си, то по­лу­чен­ное число будет на 72 боль­ше пер­во­на­чаль­но­го. Най­ди­те ис­ход­ное число.
  Решение:
  Пусть число имеет вид xyz
  Тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся
  так:  𝑥≥0, 𝑦, 𝑧≤9 𝑧=3 100𝑥+10𝑦+𝑧=100𝑧+10𝑥+𝑦−72
  Под­ста­вив зна­че­ние z = 3 в тре­тье вы­ра­же­ние и пре­об­ра­зо­вав его, по­лу­чим, что 10x + y = 25
  Под­хо­дит толь­ко пара x = 2, y = 5.
  Таким об­ра­зом, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет число 253.
  
  

• 28 слайд

  Задача №19. Най­ди­те наи­мень­шее трёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2, при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 3 и ко­то­рое за­пи­са­но тремя раз­лич­ны­ми нечётными циф­ра­ми.
  Задача №20. Най­ди­те трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 2, и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.
  
  

Краткое описание документа:

Задание №19 из ЕГЭ базового уровня сложности вызывает у выпускников больше затруднений, чем все остальные задания. Хотя, задание на самом деле не сложное. Трудность состоит в том, что ребята не знают как правильно подойти к решению такой задачи. Какое правило тут "работает". Происходит это из-за того, что на уроках математики по программе практически не отведено время на изучение делимости. Поэтому возникла необходимость создания данной разработки. В презентации представлены теоретические аспекты этого задания ( все признаки делимости, деление с остатком, деление на составное число...) и большое количество задач. Большинство задач уже решено, представлен подробный ход рассуждений. Но есть и задачи для самостоятельного решения, что позволяет сразу увидеть насколько усвоен материал. Все задачи взяты из открытого банка задач (соответствуют экзаменационным).